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Ch 13OscillationsदोलनOscillations (dolan)

Periodic and oscillatory motion, simple harmonic motion and the reference circle, velocity and acceleration in SHM, the force law F = −kx, energy in SHM and the simple pendulum — with every NCERT example and exercise solved.आवर्ती और दोलनी गति, सरल आवर्त गति और संदर्भ वृत्त, सरल आवर्त गति में वेग और त्वरण, बल नियम F = −kx, सरल आवर्त गति में ऊर्जा और सरल लोलक — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।Periodic motion, SHM aur reference circle, velocity–acceleration, F = −kx, SHM mein energy aur simple pendulum — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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SHM as the projection of uniform circular motionएकसमान वृत्तीय गति के प्रक्षेप के रूप में सरल आवर्त गतिSHM as the projection of uniform circular motionFig 13.10Displacement, velocity and acceleration in SHMसरल आवर्त गति में विस्थापन, वेग और त्वरणDisplacement, velocity and acceleration in SHMFig 13.13Oscillations of a block on a springकमानी से बँधे गुटके के दोलनOscillations of a block on a springFig 13.14Kinetic, potential and total energy in SHMसरल आवर्त गति में गतिज, स्थितिज और कुल ऊर्जाKinetic, potential and total energy in SHMFig 13.15Simple pendulumसरल लोलकSimple pendulumFig 13.16
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 13.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 13.2Periodic and oscillatory motionsआवर्ती और दोलनी गतियाँPeriodic aur oscillatory motion
  3. 13.3Simple harmonic motionसरल आवर्त गतिSimple harmonic motion
  4. 13.4Simple harmonic motion and uniform circular motionसरल आवर्त गति और एकसमान वृत्तीय गतिSHM aur circular motion
  5. 13.5Velocity and acceleration in simple harmonic motionसरल आवर्त गति में वेग और त्वरणSHM mein velocity aur acceleration
  6. 13.6Force law for simple harmonic motionसरल आवर्त गति के लिए बल नियमSHM ka force law
  7. 13.7Energy in simple harmonic motionसरल आवर्त गति में ऊर्जाSHM mein energy
  8. 13.8The simple pendulumसरल लोलकSimple pendulum
  9. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  10. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  11. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  12. 🎯Quizक्विज़Quiz

13.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Many motions repeat themselves: a swing, a pendulum clock, the strings of a sitar, the atoms in a solid. Understanding oscillations is the key to waves, sound, AC circuits and much of physics.बहुत-सी गतियाँ स्वयं को दोहराती हैं: झूला, लोलक घड़ी, सितार के तार, ठोस के परमाणु। दोलनों की समझ तरंगों, ध्वनि, प्रत्यावर्ती धारा परिपथों और भौतिकी के बड़े भाग की कुंजी है।Jhoola, pendulum clock, sitar ke taar — sab baar-baar repeat. Oscillations samajhna waves, sound aur AC ki chaabi hai.

13.2Periodic and oscillatory motionsआवर्ती और दोलनी गतियाँPeriodic aur oscillatory motion

A motion that repeats itself at regular intervals of time is periodic. If a body moves to and fro about a mean (equilibrium) position, the motion is oscillatory (vibratory). Every oscillatory motion is periodic, but not every periodic motion is oscillatory (uniform circular motion is periodic, not to and fro). At the mean position the net force is zero; when displaced, a force pulls the body back.जो गति नियमित समय-अंतरालों पर स्वयं को दोहराए वह आवर्ती है। यदि वस्तु माध्य (साम्य) स्थिति के इधर-उधर गति करे तो गति दोलनी (कंपनिक) है। हर दोलनी गति आवर्ती है, पर हर आवर्ती गति दोलनी नहीं (एकसमान वृत्तीय गति आवर्ती है, इधर-उधर नहीं)। माध्य स्थिति पर कुल बल शून्य; विस्थापित करने पर बल वस्तु को वापस खींचता है।Regular interval par repeat = periodic. Mean position ke idhar-udhar = oscillatory. Har oscillatory periodic hai, par ulta zaroori nahi (circular motion).

13.2.1Period and frequencyआवर्तकाल और आवृत्तिPeriod aur frequency

The smallest interval after which the motion repeats is the period T (s). The number of repetitions per second is the frequency ν = 1/T, unit hertz (1 Hz = 1 s⁻¹).जिस न्यूनतम अंतराल के बाद गति दोहराती है वह आवर्तकाल T (s) है। प्रति सेकंड पुनरावृत्तियों की संख्या आवृत्ति ν = 1/T है, मात्रक हर्ट्ज़ (1 Hz = 1 s⁻¹)।Period T = repeat hone ka sabse chhota time. Frequency ν = 1/T, unit hertz.

Solved (NCERT Example 13.1)A heart beats 75 times per minute: ν = 75/60 s = 1.25 Hz; T = 1/1.25 = 0.8 s.हल (NCERT उदाहरण 13.1)हृदय प्रति मिनट 75 बार धड़कता है: ν = 75/60 = 1.25 Hz; T = 0.8 s।Solved (NCERT Example 13.1)ν = 75/60 = 1.25 Hz, T = 0.8 s.

13.2.2Displacementविस्थापनDisplacement

“Displacement” here means the change of any physical quantity with time about its mean value — position of a block, angle of a pendulum, voltage across a capacitor, pressure in a sound wave. A periodic function can be written as a combination of sines and cosines (Fourier’s theorem).यहाँ “विस्थापन” का अर्थ किसी भी भौतिक राशि का अपने माध्य मान के सापेक्ष समय के साथ परिवर्तन है — गुटके की स्थिति, लोलक का कोण, संधारित्र की वोल्टता, ध्वनि तरंग में दाब। कोई भी आवर्ती फलन ज्या और कोज्या के संयोजन से लिखा जा सकता है (फ़ूरिए प्रमेय)।Yahan displacement = kisi bhi quantity ka mean se change (position, angle, voltage). Periodic function = sin/cos ka combination (Fourier).

Solved (NCERT Example 13.2)(i) sin ωt + cos ωt = √2 sin(ωt + π/4): periodic, T = 2π/ω. (ii) sin ωt + cos 2ωt + sin 4ωt: periodic, T = 2π/ω (the smallest common period). (iii) e^(−ωt): decreases steadily — non-periodic. (iv) log(ωt): increases steadily — non-periodic.हल (NCERT उदाहरण 13.2)(i) √2 sin(ωt + π/4): आवर्ती, T = 2π/ω। (ii) आवर्ती, T = 2π/ω। (iii) e^(−ωt): अनावर्ती। (iv) log(ωt): अनावर्ती।Solved (NCERT Example 13.2)(i), (ii) periodic, T = 2π/ω; (iii), (iv) non-periodic.

13.3Simple harmonic motionसरल आवर्त गतिSimple harmonic motion

A particle oscillating about the origin with displacement x(t) = A cos(ωt + φ) is in simple harmonic motion (SHM). Here A is the amplitude (maximum displacement), (ωt + φ) the phase, φ the initial phase (phase constant) and ω = 2π/T the angular frequency (rad s⁻¹). A and φ are fixed by the initial conditions.मूल बिंदु के इधर-उधर x(t) = A cos(ωt + φ) विस्थापन से दोलन करता कण सरल आवर्त गति में है। A = आयाम (अधिकतम विस्थापन), (ωt + φ) = कला, φ = प्रारंभिक कला (कला नियतांक), ω = 2π/T = कोणीय आवृत्ति (rad s⁻¹)। A और φ प्रारंभिक स्थितियों से तय होते हैं।x(t) = A cos(ωt + φ) = SHM. A = amplitude, (ωt + φ) = phase, φ = initial phase, ω = 2π/T.

Solved (NCERT Example 13.3)(a) sin ωt − cos ωt = √2 sin(ωt − π/4): SHM, T = 2π/ω. (b) sin²ωt = ½ − ½cos 2ωt: periodic with T = π/ω; it is also harmonic, about the point ½ instead of 0.हल (NCERT उदाहरण 13.3)(a) √2 sin(ωt − π/4): सरल आवर्त गति, T = 2π/ω। (b) sin²ωt = ½ − ½cos 2ωt: आवर्ती, T = π/ω; ½ के परितः आवर्त।Solved (NCERT Example 13.3)(a) SHM, T = 2π/ω; (b) ½ − ½cos 2ωt: T = π/ω, ½ ke around harmonic.

13.4Simple harmonic motion and uniform circular motionसरल आवर्त गति और एकसमान वृत्तीय गतिSHM aur circular motion

If a particle P moves uniformly on a circle of radius A with angular speed ω, the projection P′ of P on a diameter executes SHM (Fig 13.10): x = A cos(ωt + φ). The circle is called the reference circle; the amplitude is its radius and the phase is the angle of OP.यदि कण P, A त्रिज्या के वृत्त पर ω कोणीय चाल से एकसमान रूप से चले, तो किसी व्यास पर P का प्रक्षेप P′ सरल आवर्त गति करता है (चित्र 13.10): x = A cos(ωt + φ)। इस वृत्त को संदर्भ वृत्त कहते हैं; आयाम उसकी त्रिज्या और कला OP का कोण है।Circle par uniform motion ka diameter par projection = SHM (Fig 13.10). Isse reference circle kehte hain.

SHM as the projection of uniform circular motionएकसमान वृत्तीय गति के प्रक्षेप के रूप में सरल आवर्त गतिSHM as the projection of uniform circular motionNCERT Fig 13.10 · 6 tappable partsNCERT चित्र 13.10 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 13.10 · 6 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 13.4)(a) Radius A, T = 4 s, starting at 45°, anticlockwise: x = A cos(2πt/4 + π/4) = A cos(πt/2 + π/4). (b) Radius B, T = 30 s, starting at 90°, clockwise: x = B cos(−2πt/30 + π/2) = B sin(2πt/30).हल (NCERT उदाहरण 13.4)(a) x = A cos(πt/2 + π/4)। (b) x = B cos(−2πt/30 + π/2) = B sin(2πt/30)।Solved (NCERT Example 13.4)(a) A cos(πt/2 + π/4); (b) B sin(2πt/30).

13.5Velocity and acceleration in simple harmonic motionसरल आवर्त गति में वेग और त्वरणSHM mein velocity aur acceleration

v(t) = −ωA sin(ωt + φ)
velocity: maximum ωA at the mean position, zero at the endsवेग: माध्य स्थिति पर अधिकतम ωA, सिरों पर शून्यmean par max ωA
a(t) = −ω²A cos(ωt + φ) = −ω²x
acceleration ∝ displacement, directed towards the mean positionत्वरण ∝ विस्थापन, माध्य स्थिति की ओरa = −ω²x

Velocity leads displacement by π/2; acceleration is opposite in phase to displacement (Fig 13.13). Eliminating t: v = ±ω√(A² − x²).वेग विस्थापन से π/2 आगे है; त्वरण विस्थापन से विपरीत कला में (चित्र 13.13)। t हटाने पर: v = ±ω√(A² − x²)।Velocity x se π/2 aage; acceleration ulti phase mein (Fig 13.13). v = ±ω√(A² − x²).

Displacement, velocity and acceleration in SHMसरल आवर्त गति में विस्थापन, वेग और त्वरणDisplacement, velocity and acceleration in SHMNCERT Fig 13.13 · 4 tappable partsNCERT चित्र 13.13 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 13.13 · 4 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 13.5)x = 5 cos(2πt + π/4) m. At t = 1.5 s the phase is 3π + π/4: x = 5 cos(3π + π/4) = −3.54 m; v = −10π sin(3π + π/4) = +22.2 m s⁻¹; a = −(2π)²x = +140 m s⁻².हल (NCERT उदाहरण 13.5)x = 5 cos(2πt + π/4) m; t = 1.5 s पर: x = −3.54 m, v = +22.2 m s⁻¹, a = −(2π)²x = +140 m s⁻²।Solved (NCERT Example 13.5)x = −3.54 m, v = 22.2 m/s, a = 140 m/s².

13.6Force law for simple harmonic motionसरल आवर्त गति के लिए बल नियमSHM ka force law

From Newton’s second law, F = ma = −mω²x, i.e. F = −kx with k = mω². SHM is the motion of a particle under a restoring force proportional to the displacement and directed towards the mean position. A block on a spring obeys exactly this (Fig 13.14): ω = √(k/m), T = 2π√(m/k). Try it in the spring lab.न्यूटन के द्वितीय नियम से F = ma = −mω²x, अर्थात F = −kx, k = mω²। सरल आवर्त गति ऐसे प्रत्यानयन बल के अधीन गति है जो विस्थापन के अनुक्रमानुपाती और माध्य स्थिति की ओर हो। कमानी पर गुटका ठीक इसी का पालन करता है (चित्र 13.14): ω = √(k/m), T = 2π√(m/k)। कमानी लैब में आज़माइए।F = −kx, k = mω². Restoring force ∝ displacement, mean ki taraf = SHM. Spring–block (Fig 13.14): T = 2π√(m/k). Spring lab try kijiye.

Oscillations of a block on a springकमानी से बँधे गुटके के दोलनOscillations of a block on a springNCERT Fig 13.14 · 8 tappable partsNCERT चित्र 13.14 · 8 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 13.14 · 8 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 13.6)A block of mass m between two identical springs (constant k) fixed to walls: displaced by x, one spring stretches and the other compresses, both pulling back: F = −2kx. So it is SHM with T = 2π√(m/2k).हल (NCERT उदाहरण 13.6)दो समान कमानियों (k) के बीच m द्रव्यमान का गुटका: x विस्थापन पर दोनों वापस खींचती हैं, F = −2kx ⇒ T = 2π√(m/2k)।Solved (NCERT Example 13.6)F = −2kx ⇒ T = 2π√(m/2k).

13.7Energy in simple harmonic motionसरल आवर्त गति में ऊर्जाSHM mein energy

Kinetic energy K = ½mv² = ½kA² sin²(ωt + φ) and potential energy U = ½kx² = ½kA² cos²(ωt + φ). Their sum E = ½kA² is constant (Fig 13.15). K and U each vary with period T/2; at the mean position all energy is kinetic, at the extremes all is potential.गतिज ऊर्जा K = ½mv² = ½kA² sin²(ωt + φ) और स्थितिज ऊर्जा U = ½kx² = ½kA² cos²(ωt + φ)। इनका योग E = ½kA² नियत है (चित्र 13.15)। K और U प्रत्येक T/2 आवर्तकाल से बदलते हैं; माध्य स्थिति पर सारी ऊर्जा गतिज, सिरों पर सारी स्थितिज।K = ½kA² sin², U = ½kx², E = ½kA² constant (Fig 13.15). Mean par sab KE, ends par sab PE.

Kinetic, potential and total energy in SHMसरल आवर्त गति में गतिज, स्थितिज और कुल ऊर्जाKinetic, potential and total energy in SHMNCERT Fig 13.15 · 4 tappable partsNCERT चित्र 13.15 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 13.15 · 4 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 13.7)1 kg block, k = 50 N m⁻¹, pulled 10 cm and released on a smooth surface. At x = 5 cm: K = ½k(A² − x²) = ½ × 50 × (0.01 − 0.0025) = 0.1875 J; U = ½ × 50 × 0.0025 = 0.0625 J; E = K + U = 0.25 J = ½kA².हल (NCERT उदाहरण 13.7)x = 5 cm पर: K = ½ × 50 × (0.01 − 0.0025) = 0.1875 J; U = 0.0625 J; E = 0.25 J = ½kA²।Solved (NCERT Example 13.7)K = 0.1875 J, U = 0.0625 J, E = 0.25 J.

13.8The simple pendulumसरल लोलकSimple pendulum

A bob of mass m on a light inextensible string of length L. Displaced by θ, the restoring torque is τ = −mgL sin θ (Fig 13.16). For small θ (sin θ ≈ θ in radians), α = −(g/L)θ — angular SHM with T = 2π√(L/g), independent of the mass and (for small swings) the amplitude. See it in the pendulum lab.L लंबाई की हल्की अवितान्य डोरी पर m द्रव्यमान का गोलक। θ विस्थापित करने पर प्रत्यानयन बल आघूर्ण τ = −mgL sin θ (चित्र 13.16)। छोटे θ पर (sin θ ≈ θ रेडियन में) α = −(g/L)θ — कोणीय सरल आवर्त गति, T = 2π√(L/g), द्रव्यमान और (छोटे दोलनों में) आयाम पर निर्भर नहीं। लोलक लैब में देखिए।Small θ par sin θ ≈ θ ⇒ angular SHM, T = 2π√(L/g) (Fig 13.16) — mass par depend nahi. Pendulum lab dekhiye.

Simple pendulumसरल लोलकSimple pendulumNCERT Fig 13.16 · 8 tappable partsNCERT चित्र 13.16 · 8 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 13.16 · 8 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 13.8)A pendulum that “ticks seconds” has T = 2 s: L = gT²/(4π²) = 9.8 × 4/39.5 ≈ 1 m.हल (NCERT उदाहरण 13.8)सेकंड लोलक का T = 2 s: L = gT²/(4π²) ≈ 1 m।Solved (NCERT Example 13.8)T = 2 s ⇒ L = gT²/4π² ≈ 1 m.

★ Yaad rakho — quick revision★ याद रखो — झटपट दोहराव★ Yaad rakho — quick revision

  1. ν = 1/T (Hz); ω = 2πν = 2π/T (rad s⁻¹).ν = 1/T (Hz); ω = 2πν = 2π/T (rad s⁻¹)।ν = 1/T; ω = 2π/T.
  2. SHM: x = A cos(ωt + φ); v = −ωA sin(ωt + φ); a = −ω²x.सरल आवर्त गति: x = A cos(ωt + φ); v = −ωA sin(ωt + φ); a = −ω²x।x = A cos(ωt + φ); a = −ω²x.
  3. v = ±ω√(A² − x²); v_max = ωA (mean), a_max = ω²A (ends).v = ±ω√(A² − x²); v_max = ωA (माध्य), a_max = ω²A (सिरे)।v_max = ωA; a_max = ω²A.
  4. Force law F = −kx; spring–block T = 2π√(m/k).बल नियम F = −kx; कमानी–गुटका T = 2π√(m/k)।F = −kx; T = 2π√(m/k).
  5. Energy: K = ½k(A² − x²), U = ½kx², E = ½kA² = ½mω²A².ऊर्जा: K = ½k(A² − x²), U = ½kx², E = ½kA²।E = ½kA².
  6. Simple pendulum (small angle): T = 2π√(L/g); seconds pendulum L ≈ 1 m.सरल लोलक (छोटा कोण): T = 2π√(L/g); सेकंड लोलक L ≈ 1 m।T = 2π√(L/g).
  7. Projection of uniform circular motion on a diameter is SHM (reference circle).एकसमान वृत्तीय गति का व्यास पर प्रक्षेप = सरल आवर्त गति (संदर्भ वृत्त)।Reference circle.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Thinking every periodic motion is SHM. SHM needs a = −ω²x; e.g. sin³ωt is periodic but not SHM.हर आवर्ती गति को सरल आवर्त मानना। a = −ω²x चाहिए; sin³ωt आवर्ती है पर सरल आवर्त नहीं।Har periodic ko SHM maanna.
  • Saying acceleration is maximum at the mean position. There a = 0 and speed is maximum; a is maximum at the extremes.माध्य स्थिति पर त्वरण अधिकतम कहना। वहाँ a = 0, चाल अधिकतम; a सिरों पर अधिकतम।Mean par a max kehna. Galat.
  • Using degrees inside ωt + φ. The phase is in radians.ωt + φ में डिग्री लेना। कला रेडियन में।Degree lena. Radian lo.
  • Thinking a heavier bob changes a pendulum’s period. T = 2π√(L/g) has no mass in it.मानना कि भारी गोलक आवर्तकाल बदलता है। T में द्रव्यमान नहीं।Bhaari bob se T badalta maanna.
  • Using the stroke as the amplitude. Stroke (end to end) = 2A.स्ट्रोक को आयाम मानना। स्ट्रोक = 2A।Stroke = amplitude maanna. Stroke = 2A.
  • Saying K or U has period T. Each repeats every T/2 (they depend on sin² and cos²).K या U का आवर्तकाल T कहना। प्रत्येक T/2।K, U ka period T/2 hai.

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

13.1 Which of these represent periodic motion? (a) A swimmer completing one return trip across a river (b) A freely suspended bar magnet displaced from N-S and released (c) A hydrogen molecule rotating about its centre of mass (d) An arrow released from a bow.13.1 इनमें से कौन आवर्ती गति है? (a) नदी के एक किनारे से दूसरे और वापस एक यात्रा पूरी करता तैराक (b) N-S दिशा से विस्थापित कर छोड़ा गया स्वतंत्र रूप से लटका छड़ चुंबक (c) अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन करता हाइड्रोजन अणु (d) धनुष से छोड़ा गया तीर।13.1 Periodic kaun: (a) swimmer (b) bar magnet (c) H₂ rotation (d) arrow?
(b) and (c) are periodic. (a) is one trip only — it is not repeated. (d) does not repeat at all.(b) और (c) आवर्ती हैं। (a) केवल एक यात्रा — दोहराई नहीं जाती। (d) दोहराती नहीं।(b), (c) periodic.
13.2 Which represent (nearly) SHM and which are periodic but not SHM? (a) rotation of the earth about its axis (b) an oscillating mercury column in a U-tube (c) a ball bearing in a smooth curved bowl released slightly above the lowest point (d) general vibrations of a polyatomic molecule.13.2 कौन (लगभग) सरल आवर्त गति है और कौन आवर्ती पर सरल आवर्त नहीं? (a) पृथ्वी का अपनी अक्ष पर घूर्णन (b) U-नली में दोलन करता पारद स्तंभ (c) चिकने वक्र कटोरे में निम्नतम बिंदु से थोड़ा ऊपर छोड़ा गया बॉल बेयरिंग (d) बहुपरमाणुक अणु के सामान्य कंपन।13.2 SHM kaun, sirf periodic kaun?
SHM: (b) and (c) (restoring force ∝ small displacement). Periodic but not SHM: (a) (rotation, not to and fro) and (d) (a superposition of SHMs of several frequencies).सरल आवर्त गति: (b) और (c)। आवर्ती पर सरल आवर्त नहीं: (a) और (d) (कई आवृत्तियों का अध्यारोपण)।SHM: (b), (c); sirf periodic: (a), (d).
13.3 Fig 13.18 shows four x–t plots for linear motion of a particle. Which represent periodic motion, and what is the period?13.3 चित्र 13.18 में किसी कण की रैखिक गति के चार x–t आलेख हैं। कौन आवर्ती गति दर्शाते हैं और आवर्तकाल क्या है?13.3 Char x–t graphs mein periodic kaun, period?
In the book’s figure, plots (b) and (d) repeat exactly — periodic with T = 2 s. (a) and (c) are not periodic: in (c) only one position repeats, not the whole pattern of motion; a periodic motion must repeat the entire motion in every period.पुस्तक के चित्र में (b) और (d) ठीक दोहराते हैं — आवर्ती, T = 2 s। (a) और (c) आवर्ती नहीं: (c) में केवल एक स्थिति दोहराती है, पूरी गति नहीं।(b), (d) periodic, T = 2 s; (a), (c) nahi.
13.4 Which functions represent (a) SHM, (b) periodic but not SHM, (c) non-periodic motion? Give the period where periodic. (a) sin ωt − cos ωt (b) sin³ωt (c) 3 cos(π/4 − 2ωt) (d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt (e) exp(−ω²t²) (f) 1 + ωt + ω²t²13.4 कौन-से फलन (a) सरल आवर्त, (b) आवर्ती पर सरल आवर्त नहीं, (c) अनावर्ती गति दर्शाते हैं? आवर्ती के लिए आवर्तकाल दीजिए। (a) sin ωt − cos ωt (b) sin³ωt (c) 3 cos(π/4 − 2ωt) (d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt (e) exp(−ω²t²) (f) 1 + ωt + ω²t²13.4 Functions classify kijiye: SHM / periodic / non-periodic.
(a) √2 sin(ωt − π/4): SHM, T = 2π/ω.
(b) sin³ωt = (3 sin ωt − sin 3ωt)/4: periodic, T = 2π/ω, not SHM.
(c) 3 cos(2ωt − π/4): SHM, T = π/ω.
(d) periodic, T = 2π/ω, not SHM (sum of three frequencies).
(e) non-periodic (decays). (f) non-periodic (grows without limit — not physical).(a) सरल आवर्त, T = 2π/ω। (b) आवर्ती, T = 2π/ω, सरल आवर्त नहीं। (c) सरल आवर्त, T = π/ω। (d) आवर्ती, T = 2π/ω, सरल आवर्त नहीं। (e), (f) अनावर्ती।(a) SHM 2π/ω; (b) periodic 2π/ω; (c) SHM π/ω; (d) periodic 2π/ω; (e), (f) non-periodic.
13.5 A particle is in linear SHM between A and B, 10 cm apart; A → B is positive. Give the signs of velocity, acceleration and force when it is (a) at A (b) at B (c) at the mid-point going towards A (d) 2 cm from B going towards A (e) 3 cm from A going towards B (f) 4 cm from B going towards A.13.5 एक कण 10 cm दूर बिंदुओं A और B के बीच रैखिक सरल आवर्त गति में है; A → B धनात्मक। वेग, त्वरण और बल के चिह्न दीजिए जब कण (a) A पर (b) B पर (c) मध्य बिंदु पर A की ओर जाते हुए (d) B से 2 cm दूर A की ओर (e) A से 3 cm दूर B की ओर (f) B से 4 cm दूर A की ओर।13.5 A–B 10 cm, signs of v, a, F at six points.
Mean at the mid-point (x = 0), A at x = −5 cm, B at +5 cm; a and F always point to the mean (sign opposite to x).
(a) at A: v = 0, a +, F + .
(b) at B: v = 0, a −, F − .
(c) mid-point towards A: v −, a = 0, F = 0.
(d) x = +3 cm, towards A: v −, a −, F − .
(e) x = −2 cm, towards B: v +, a +, F + .
(f) x = +1 cm, towards A: v −, a −, F − .माध्य मध्य बिंदु पर; A: x = −5 cm, B: +5 cm; a और F सदैव माध्य की ओर।
(a) 0, +, + (b) 0, −, − (c) −, 0, 0 (d) −, −, − (e) +, +, + (f) −, −, −।(a) 0,+,+ (b) 0,−,− (c) −,0,0 (d) −,−,− (e) +,+,+ (f) −,−,−.
13.6 Which relations between acceleration a and displacement x involve SHM? (a) a = 0.7x (b) a = −200x² (c) a = −10x (d) a = 100x³13.6 त्वरण a और विस्थापन x के कौन-से संबंध सरल आवर्त गति दर्शाते हैं? (a) a = 0.7x (b) a = −200x² (c) a = −10x (d) a = 100x³13.6 SHM kaun: a = 0.7x, −200x², −10x, 100x³?
Only (c) a = −10x: a ∝ −x (ω = √10 rad s⁻¹). (a) points away from the mean; (b) and (d) are not linear in x.केवल (c) a = −10x: a ∝ −x। (a) माध्य से दूर; (b), (d) x में रैखिक नहीं।Sirf (c).
13.7 For SHM x(t) = A cos(ωt + φ), the initial position is 1 cm and the initial velocity is ω cm/s, with ω = π s⁻¹. Find A and φ. If instead x = B sin(ωt + α), find B and α.13.7 सरल आवर्त गति x(t) = A cos(ωt + φ) में प्रारंभिक स्थिति 1 cm और प्रारंभिक वेग ω cm/s है, ω = π s⁻¹। A और φ ज्ञात कीजिए। यदि x = B sin(ωt + α) लें तो B और α?13.7 x(0) = 1 cm, v(0) = ω cm/s. A, φ aur B, α?
Cosine form: A cos φ = 1, and v(0) = −Aω sin φ = ω ⇒ A sin φ = −1.
A = √(1 + 1) = √2 cm, φ = −π/4 = 7π/4.
Sine form: B sin α = 1, Bω cos α = ω ⇒ B cos α = 1 ⇒ B = √2 cm, α = π/4.
(The answer key prints “A = 2 cm”; the √ sign appears to be missing — √2 cm is correct.)A cos φ = 1, A sin φ = −1 ⇒ A = √2 cm, φ = 7π/4।
B sin α = 1, B cos α = 1 ⇒ B = √2 cm, α = π/4।
(उत्तरमाला में “2 cm” छपा है; √ छूटा प्रतीत होता है।)A = √2 cm, φ = 7π/4; B = √2 cm, α = π/4.
13.8 A spring balance reads 0 to 50 kg over a 20 cm scale. A body suspended from it, when displaced and released, oscillates with period 0.6 s. What is the weight of the body?13.8 एक कमानीदार तुला का पैमाना 20 cm लंबा है और 0 से 50 kg तक पढ़ता है। इससे लटकी वस्तु विस्थापित कर छोड़ने पर 0.6 s आवर्तकाल से दोलन करती है। वस्तु का भार क्या है?13.8 Spring balance 50 kg / 20 cm, T = 0.6 s. Weight?
k = 50 × 9.8/0.20 = 2450 N m⁻¹.
m = kT²/(4π²) = 2450 × 0.36/39.48 = 22.3 kg ⇒ weight = mg ≈ 219 N.k = 50 × 9.8/0.20 = 2450 N m⁻¹; m = kT²/(4π²) = 22.3 kg ⇒ भार ≈ 219 N।k = 2450 N/m; m = 22.3 kg ⇒ 219 N.
13.9 A spring of constant 1200 N m⁻¹ on a horizontal table has a 3 kg mass at its free end. The mass is pulled 2.0 cm and released. Find (i) the frequency (ii) the maximum acceleration (iii) the maximum speed.13.9 क्षैतिज मेज़ पर 1200 N m⁻¹ नियतांक की कमानी के मुक्त सिरे पर 3 kg द्रव्यमान है। द्रव्यमान को 2.0 cm खींचकर छोड़ा जाता है। (i) आवृत्ति (ii) अधिकतम त्वरण (iii) अधिकतम चाल ज्ञात कीजिए।13.9 k = 1200, m = 3 kg, A = 2 cm. ν, a_max, v_max?
ω = √(k/m) = √(1200/3) = 20 rad s⁻¹.
(i) ν = ω/2π = 3.2 Hz; (ii) a_max = ω²A = 400 × 0.02 = 8.0 m s⁻²; (iii) v_max = ωA = 0.40 m s⁻¹.ω = 20 rad s⁻¹।
(i) ν = 3.2 Hz; (ii) a_max = 8.0 m s⁻²; (iii) v_max = 0.40 m s⁻¹।ω = 20 ⇒ 3.2 Hz, 8.0 m/s², 0.40 m/s.
13.10 In Exercise 13.9, with x = 0 at the unstretched position and left-to-right positive, write x(t) if at t = 0 the mass is (a) at the mean position (b) at maximum stretch (c) at maximum compression. How do these functions differ?13.10 अभ्यास 13.9 में, अविकृत स्थिति को x = 0 और बाएँ से दाएँ धनात्मक लेकर x(t) लिखिए यदि t = 0 पर द्रव्यमान (a) माध्य स्थिति पर (b) अधिकतम खिंचाव पर (c) अधिकतम संपीडन पर है। ये फलन कैसे भिन्न हैं?13.10 x(t) at t = 0: (a) mean (b) max stretch (c) max compression.
A = 2 cm, ω = 20 rad s⁻¹ (x in cm):
(a) x = 2 sin 20t (b) x = 2 cos 20t (c) x = −2 cos 20t.
They have the same amplitude and frequency; only the initial phase differs.A = 2 cm, ω = 20 rad s⁻¹:
(a) x = 2 sin 20t (b) x = 2 cos 20t (c) x = −2 cos 20t।
आयाम और आवृत्ति समान; केवल प्रारंभिक कला भिन्न।(a) 2 sin 20t (b) 2 cos 20t (c) −2 cos 20t; sirf phase alag.
13.11 Fig 13.20 shows two circular motions with radius, period, initial position and sense of revolution marked. Obtain the SHM of the x-projection of the radius vector of P in each case.13.11 चित्र 13.20 में दो वृत्तीय गतियाँ हैं जिन पर त्रिज्या, आवर्तकाल, प्रारंभिक स्थिति और घूर्णन की दिशा अंकित हैं। प्रत्येक में P के त्रिज्या सदिश के x-प्रक्षेप की सरल आवर्त गति ज्ञात कीजिए।13.11 Do circular motions ka x-projection SHM.
(a) Radius 3 cm, T = 2 s (ω = π rad s⁻¹), P starts on the +y axis and moves anticlockwise: x = 3 cos(πt + π/2) = −3 sin πt cm.
(b) Radius 2 m, T = 4 s (ω = π/2 rad s⁻¹), P starts on the −x axis and moves clockwise: x = 2 cos(πt/2 + π) = −2 cos(πt/2) m.(a) त्रिज्या 3 cm, T = 2 s, +y अक्ष से वामावर्त: x = −3 sin πt cm।
(b) त्रिज्या 2 m, T = 4 s, −x अक्ष से दक्षिणावर्त: x = −2 cos(πt/2) m।(a) x = −3 sin πt cm; (b) x = −2 cos(πt/2) m.
13.12 Draw the reference circle for each SHM, showing the initial position, radius and angular speed (take anticlockwise rotation; x in cm, t in s): (a) x = −2 sin(3t + π/3) (b) x = cos(π/6 − t) (c) x = 3 sin(2πt + π/4) (d) x = 2 cos πt13.12 प्रत्येक सरल आवर्त गति के लिए संदर्भ वृत्त बनाइए; प्रारंभिक स्थिति, त्रिज्या और कोणीय चाल दिखाइए (वामावर्त घूर्णन; x cm में, t s में): (a) x = −2 sin(3t + π/3) (b) x = cos(π/6 − t) (c) x = 3 sin(2πt + π/4) (d) x = 2 cos πt13.12 Reference circles: (a)–(d).
Write each as x = A cos(ωt + φ); the circle has radius A and P starts at angle φ from the +x axis ([[dg:b11p-ref-circle|reference circle]]).
(a) −2 sin(3t + π/3) = 2 cos(3t + 5π/6): r = 2 cm, ω = 3 rad s⁻¹, start at 150°.
(b) cos(t − π/6): r = 1 cm, ω = 1 rad s⁻¹, start at −30° (30° below +x).
(c) 3 sin(2πt + π/4) = 3 cos(2πt − π/4): r = 3 cm, ω = 2π rad s⁻¹, start at −45°.
(d) 2 cos πt: r = 2 cm, ω = π rad s⁻¹, start on the +x axis.हर एक को x = A cos(ωt + φ) लिखिए; त्रिज्या A, प्रारंभिक कोण φ।
(a) 2 cos(3t + 5π/6): r = 2 cm, ω = 3, आरंभ 150°।
(b) cos(t − π/6): r = 1 cm, ω = 1, आरंभ −30°।
(c) 3 cos(2πt − π/4): r = 3 cm, ω = 2π, आरंभ −45°।
(d) r = 2 cm, ω = π, आरंभ +x अक्ष पर।(a) r 2, ω 3, 150°; (b) r 1, ω 1, −30°; (c) r 3, ω 2π, −45°; (d) r 2, ω π, 0°.
13.13 (a) A spring (constant k) is clamped at one end with mass m at the other; a force F stretches it. (b) The same spring has a mass m at each free end, and each end is pulled by F. (a) What is the maximum extension in each case? (b) If released, what is the period in each case?13.13 (a) k नियतांक की कमानी एक सिरे पर जकड़ी है और दूसरे पर m द्रव्यमान; बल F इसे खींचता है। (b) उसी कमानी के दोनों मुक्त सिरों पर m द्रव्यमान हैं और प्रत्येक सिरा F से खींचा जाता है। (a) दोनों में अधिकतम प्रसार? (b) छोड़ने पर आवर्तकाल?13.13 Spring clamped vs free with two masses. Extension, period?
(a) The tension in the spring is F in both cases, so the extension is F/k in both.
(b) Case (a): T = 2π√(m/k). Case (b): the centre of the spring stays at rest, so each mass is attached to half the spring, whose constant is 2k: T = 2π√(m/2k).(a) दोनों में तनाव F, अतः प्रसार F/k।
(b) स्थिति (a): T = 2π√(m/k)। स्थिति (b): कमानी का मध्य स्थिर, प्रत्येक द्रव्यमान आधी कमानी (2k) से: T = 2π√(m/2k)।(a) F/k dono; (b) 2π√(m/k) aur 2π√(m/2k).
13.14 A locomotive piston has a stroke (twice the amplitude) of 1.0 m and moves in SHM with angular frequency 200 rad/min. What is its maximum speed?13.14 रेल इंजन के पिस्टन का स्ट्रोक (आयाम का दोगुना) 1.0 m है और यह 200 rad/min कोणीय आवृत्ति से सरल आवर्त गति करता है। अधिकतम चाल क्या है?13.14 Stroke 1.0 m, ω = 200 rad/min. v_max?
A = 0.50 m ⇒ v_max = ωA = 200 × 0.50 = 100 m/min (≈ 1.7 m s⁻¹).A = 0.50 m ⇒ v_max = 200 × 0.50 = 100 m/min।A = 0.5 ⇒ 100 m/min.
13.15 g on the moon is 1.7 m s⁻². What is the period of a simple pendulum on the moon if its period on earth is 3.5 s? (g on earth = 9.8 m s⁻²)13.15 चंद्रमा पर g = 1.7 m s⁻² है। यदि पृथ्वी पर सरल लोलक का आवर्तकाल 3.5 s है, तो चंद्रमा पर क्या होगा?13.15 Earth T = 3.5 s; moon g = 1.7. T?
T ∝ 1/√g ⇒ T_moon = 3.5 × √(9.8/1.7) = 3.5 × 2.40 = 8.4 s.T ∝ 1/√g ⇒ T = 3.5 × √(9.8/1.7) = 8.4 s।3.5 × √(9.8/1.7) = 8.4 s.
13.16 A simple pendulum of length l and bob mass M hangs in a car moving on a circular track of radius R with uniform speed v. If it makes small radial oscillations about its equilibrium position, what is its period?13.16 l लंबाई और M गोलक-द्रव्यमान वाला सरल लोलक एक कार में लटका है जो R त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर एकसमान चाल v से चल रही है। यदि लोलक साम्य स्थिति के परितः त्रिज्य दिशा में छोटे दोलन करे तो आवर्तकाल?13.16 Pendulum in a car on circular track. T?
In the car’s frame the bob feels g downward and the centrifugal acceleration v²/R horizontally. Effective gravity g_eff = √(g² + v⁴/R²), so T = 2π√(l/√(g² + v⁴/R²)). (The mass M does not appear.)कार के निर्देश-तंत्र में g नीचे और v²/R क्षैतिज: g_eff = √(g² + v⁴/R²) ⇒ T = 2π√(l/√(g² + v⁴/R²))।g_eff = √(g² + v⁴/R²) ⇒ T = 2π√(l/g_eff).
13.17 A cylindrical cork of density ρ, base area A and height h floats in a liquid of density ρₗ. It is pressed down slightly and released. Show that it oscillates in SHM with period T = 2π√(hρ/(ρₗg)). (Ignore viscous damping.)13.17 ρ घनत्व, आधार क्षेत्रफल A और ऊँचाई h का बेलनाकार कॉर्क ρₗ घनत्व के द्रव में तैरता है। इसे थोड़ा दबाकर छोड़ा जाता है। दर्शाइए कि यह T = 2π√(hρ/(ρₗg)) आवर्तकाल से सरल आवर्त गति करता है।13.17 Floating cork ka T = 2π√(hρ/ρₗg) dikhaiye.
In equilibrium, weight = buoyancy. Pressed down by x, extra buoyancy = Axρₗg upward: F = −(Aρₗg)x, a restoring force ∝ x ⇒ SHM with k = Aρₗg.
Mass m = Ahρ ⇒ T = 2π√(m/k) = 2π√(Ahρ/(Aρₗg)) = 2π√(hρ/(ρₗg)).साम्य में भार = उत्प्लावन। x दबाने पर अतिरिक्त उत्प्लावन Axρₗg ऊपर: F = −(Aρₗg)x ⇒ k = Aρₗg।
m = Ahρ ⇒ T = 2π√(hρ/(ρₗg))।F = −(Aρₗg)x; m = Ahρ ⇒ T = 2π√(hρ/ρₗg).
13.18 One end of a mercury U-tube is connected to a suction pump and the other to the atmosphere, keeping a small level difference. Show that when the pump is removed, the mercury column executes SHM.13.18 पारे वाली U-नली का एक सिरा चूषण पंप से और दूसरा वायुमंडल से जुड़ा है, जिससे स्तरों में छोटा अंतर बना रहता है। दर्शाइए कि पंप हटाने पर पारद स्तंभ सरल आवर्त गति करता है।13.18 U-tube mercury SHM dikhaiye.
Let the level in one arm rise by x; the other falls by x, so the level difference is 2x. Unbalanced weight = (2x)Aρg, acting to restore equal levels: F = −(2Aρg)x — proportional to x and towards equilibrium ⇒ SHM.
With total column length L (mass ALρ): ω² = 2g/L, T = 2π√(L/2g).एक भुजा में स्तर x ऊपर, दूसरी में x नीचे ⇒ अंतर 2x। असंतुलित भार (2x)Aρg स्तर बराबर करने की ओर: F = −(2Aρg)x ⇒ सरल आवर्त गति।
कुल लंबाई L: T = 2π√(L/2g)।F = −(2Aρg)x ⇒ SHM, T = 2π√(L/2g).

🎯 Quiz — 13 questions🎯 क्विज़ — 13 प्रश्न🎯 Quiz — 13 questions

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1. In SHM, acceleration isसरल आवर्त गति में त्वरणSHM mein acceleration

2. Speed of a particle in SHM is maximum atसरल आवर्त गति में चाल अधिकतम होती हैSpeed max kahan

3. Period of a spring–mass system isकमानी–द्रव्यमान निकाय का आवर्तकालSpring–mass ka T

4. If the length of a simple pendulum is made 4 times, its period becomesसरल लोलक की लंबाई 4 गुना करने पर आवर्तकालL 4 guna ⇒ T

5. Total energy of a particle in SHM is proportional toसरल आवर्त गति में कण की कुल ऊर्जा अनुक्रमानुपाती हैSHM energy ∝

6. Phase difference between displacement and acceleration in SHM isसरल आवर्त गति में विस्थापन और त्वरण का कला-अंतरx aur a ka phase difference

7. Which represents SHM?कौन सरल आवर्त गति दर्शाता है?SHM kaun?

8. Kinetic energy of an oscillator varies with a period ofदोलित्र की गतिज ऊर्जा का आवर्तकालKE ka period

9. The length of a seconds pendulum on earth is aboutपृथ्वी पर सेकंड लोलक की लंबाई लगभगSeconds pendulum ki length

10. A body in SHM has amplitude 0.1 m and ω = 10 rad s⁻¹. Its maximum speed isसरल आवर्त गति में आयाम 0.1 m और ω = 10 rad s⁻¹। अधिकतम चालA = 0.1, ω = 10 ⇒ v_max

11. Projection of uniform circular motion on a diameter isएकसमान वृत्तीय गति का व्यास पर प्रक्षेपCircular motion ka projection

12. The period of a simple pendulum does NOT depend onसरल लोलक का आवर्तकाल किस पर निर्भर नहीं करताPendulum T kis par depend nahi

13. Frequency is 2 Hz. The angular frequency isआवृत्ति 2 Hz है। कोणीय आवृत्तिν = 2 Hz ⇒ ω

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These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.