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Ch 12Kinetic Theoryअणुगति सिद्धांतKinetic Theory (anugati siddhant)

Molecular nature of matter, gas laws, pressure and temperature from molecular motion, rms speed, the law of equipartition, specific heats of gases and solids, and mean free path — with every NCERT example and exercise solved.द्रव्य की आण्विक प्रकृति, गैस नियम, अणुओं की गति से दाब और ताप, वर्ग माध्य मूल चाल, ऊर्जा का समविभाजन नियम, गैसों और ठोसों की विशिष्ट ऊष्मा तथा माध्य मुक्त पथ — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।Molecular nature, gas laws, molecules ki motion se pressure aur temperature, rms speed, equipartition, specific heat aur mean free path — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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Real gas versus ideal gas: PV/T against Pवास्तविक बनाम आदर्श गैस: PV/T बनाम PReal gas versus ideal gas: PV/T against PFig 12.1 / 12.8Pressure of an ideal gas: a molecule hitting the wallआदर्श गैस का दाब: दीवार से टकराता अणुPressure of an ideal gas: a molecule hitting the wallFig 12.4Degrees of freedom of a diatomic moleculeद्विपरमाणुक अणु की स्वातंत्र्य कोटियाँDegrees of freedom of a diatomic moleculeFig 12.5–12.6Mean free path of a gas moleculeगैस अणु का माध्य मुक्त पथMean free path of a gas moleculeFig 12.7
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 12.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 12.2Molecular nature of matterद्रव्य की आण्विक प्रकृतिMatter ki molecular nature
  3. 12.3Behaviour of gasesगैसों का व्यवहारGases ka behaviour
  4. 12.4Kinetic theory of an ideal gasआदर्श गैस का अणुगति सिद्धांतIdeal gas ki kinetic theory
  5. 12.5Law of equipartition of energyऊर्जा के समविभाजन का नियमEquipartition law
  6. 12.6Specific heat capacityविशिष्ट ऊष्मा धारिताSpecific heat capacity
  7. 12.7Mean free pathमाध्य मुक्त पथMean free path
  8. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  9. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  10. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  11. 🎯Quizक्विज़Quiz

12.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Kinetic theory explains the behaviour of gases from the idea that a gas is made of rapidly moving molecules. It gives a molecular meaning to pressure and temperature, explains the gas laws, Avogadro’s hypothesis and specific heats, and estimates molecular sizes and speeds. Maxwell, Boltzmann and others developed it in the 19th century.अणुगति सिद्धांत गैसों के व्यवहार को इस विचार से समझाता है कि गैस तेज़ी से गतिमान अणुओं से बनी है। यह दाब और ताप का आण्विक अर्थ देता है, गैस नियमों, आवोगाद्रो परिकल्पना और विशिष्ट ऊष्माओं को समझाता है तथा अणुओं के आकार और चाल का अनुमान देता है। इसे 19वीं शताब्दी में मैक्सवेल, बोल्ट्ज़मान आदि ने विकसित किया।Gas = tez chalne wale molecules. Kinetic theory pressure aur temperature ka molecular matlab, gas laws, Avogadro aur specific heat samjhaati hai.

12.2Molecular nature of matterद्रव्य की आण्विक प्रकृतिMatter ki molecular nature

Dalton’s atomic theory and Avogadro’s law (equal volumes of all gases at the same temperature and pressure contain equal numbers of molecules) support the molecular picture. Molecules are about 1 Å (10⁻¹⁰ m) in size. In solids they are tightly packed (≈ 2 Å apart); in gases they are far apart and move freely except during collisions.डाल्टन का परमाणु सिद्धांत और आवोगाद्रो नियम (समान ताप और दाब पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है) आण्विक चित्र का समर्थन करते हैं। अणुओं का आकार लगभग 1 Å (10⁻¹⁰ m) होता है। ठोसों में वे पास-पास (≈ 2 Å) होते हैं; गैसों में दूर-दूर और संघट्ट के अलावा स्वतंत्र रूप से गतिमान।Dalton theory aur Avogadro law (same T, P par same volume = same number of molecules). Molecule size ≈ 1 Å. Solid mein paas-paas, gas mein door-door.

Solved (NCERT Examples 12.1–12.3)12.1 Water 1000 kg m⁻³, vapour at 100 °C, 1 atm 0.6 kg m⁻³: molecular volume ÷ total vapour volume = 0.6/1000 = 6 × 10⁻⁴.
12.2 18 g of water = 1 mol occupies 18 × 10⁻⁶ m³: volume per molecule = 18 × 10⁻⁶/6 × 10²³ = 3 × 10⁻²⁹ m³, radius ≈ 2 Å.
12.3 In vapour each molecule has 3 × 10⁻²⁹/(6 × 10⁻⁴) = 5 × 10⁻²⁶ m³; spacing ≈ (5 × 10⁻²⁶)^(1/3) ≈ 40 Å.हल (NCERT उदाहरण 12.1–12.3)12.1 आण्विक आयतन ÷ भाप का आयतन = 0.6/1000 = 6 × 10⁻⁴।
12.2 1 mol जल = 18 × 10⁻⁶ m³ ⇒ प्रति अणु 3 × 10⁻²⁹ m³, त्रिज्या ≈ 2 Å।
12.3 भाप में प्रति अणु 5 × 10⁻²⁶ m³ ⇒ दूरी ≈ 40 Å।Solved (NCERT Examples 12.1–12.3)12.1: 6 × 10⁻⁴; 12.2: 3 × 10⁻²⁹ m³ (r ≈ 2 Å); 12.3: spacing ≈ 40 Å.

12.3Behaviour of gasesगैसों का व्यवहारGases ka behaviour

At low pressure and high temperature real gases obey PV = KT, where K ∝ number of molecules N: K = Nk_B, with Boltzmann constant k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹. So PV = Nk_BT = μRT, with μ = N/N_A moles and R = N_A k_B = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹. A gas obeying this exactly at all P and T is an ideal gas; real gases approach it as P → 0 (Fig 12.1).कम दाब और उच्च ताप पर वास्तविक गैसें PV = KT का पालन करती हैं, जहाँ K = Nk_B, बोल्ट्ज़मान नियतांक k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹। अतः PV = Nk_BT = μRT, μ = N/N_A मोल, R = N_A k_B = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹। जो गैस हर P और T पर इसका ठीक पालन करे वह आदर्श गैस है; वास्तविक गैसें P → 0 पर इसके निकट आती हैं (चित्र 12.1)।PV = Nk_BT = μRT, k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹, R = 8.314. Hamesha follow kare = ideal gas; real gas low P par ideal jaisi (Fig 12.1).

Real gas versus ideal gas: PV/T against Pवास्तविक बनाम आदर्श गैस: PV/T बनाम PReal gas versus ideal gas: PV/T against PNCERT Fig 12.1 / 12.8 · 4 tappable partsNCERT चित्र 12.1 / 12.8 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 12.1 / 12.8 · 4 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 12.4)Neon and oxygen, partial pressures 3 : 2. Same V and T, so (i) number of molecules ratio = μ₁/μ₂ = P₁/P₂ = 3 : 2; (ii) mass density ratio ρ₁/ρ₂ = (μ₁M₁)/(μ₂M₂) = (3 × 20.2)/(2 × 32.0) = 0.947.हल (NCERT उदाहरण 12.4)नियॉन : ऑक्सीजन आंशिक दाब 3 : 2। (i) अणुओं का अनुपात = 3 : 2; (ii) घनत्व अनुपात = (3 × 20.2)/(2 × 32.0) = 0.947।Solved (NCERT Example 12.4)(i) 3 : 2; (ii) (3 × 20.2)/(2 × 32) = 0.947.

12.4Kinetic theory of an ideal gasआदर्श गैस का अणुगति सिद्धांतIdeal gas ki kinetic theory

Assumptions: a gas has a very large number of molecules in random motion; their own volume is negligible; they do not interact except during brief elastic collisions with each other and the walls.मान्यताएँ: गैस में बहुत अधिक अणु यादृच्छिक गति में हैं; उनका स्वयं का आयतन नगण्य है; वे एक-दूसरे और दीवारों से क्षणिक प्रत्यास्थ संघट्टों के अलावा परस्पर क्रिया नहीं करते।Bahut saare molecules random motion mein; apna volume negligible; sirf elastic collisions mein interact.

12.4.1Pressure of an ideal gasआदर्श गैस का दाबIdeal gas ka pressure

A molecule hitting a wall with velocity component vₓ rebounds with −vₓ, giving the wall momentum 2mvₓ (Fig 12.4). Counting the molecules that reach area A in time Δt and averaging over all directions (v̄ₓ² = v̄²/3):vₓ घटक से दीवार से टकराने वाला अणु −vₓ से लौटता है और दीवार को 2mvₓ संवेग देता है (चित्र 12.4)। Δt में A क्षेत्रफल तक पहुँचने वाले अणु गिनकर और सब दिशाओं का औसत लेकर (v̄ₓ² = v̄²/3):Wall ko har takkar mein 2mvₓ momentum (Fig 12.4). Average v̄ₓ² = v̄²/3:

P = ⅓ n m v̄²
n = number density, m = mass of a molecule, v̄² = mean of squared speedn = संख्या घनत्व, m = अणु का द्रव्यमान, v̄² = वर्ग चाल का माध्यn = number density
Pressure of an ideal gas: a molecule hitting the wallआदर्श गैस का दाब: दीवार से टकराता अणुPressure of an ideal gas: a molecule hitting the wallNCERT Fig 12.4 · 6 tappable partsNCERT चित्र 12.4 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 12.4 · 6 tappable partsOpen

12.4.2Kinetic interpretation of temperatureताप की अणुगति व्याख्याTemperature ka kinetic matlab

From P = ⅓nmv̄², PV = ⅔E where E = N·½mv̄² is the total translational kinetic energy. Comparing with PV = Nk_BT gives ½mv̄² = (3/2)k_BT: the average kinetic energy of a molecule is proportional to the absolute temperature and independent of P, V or the kind of gas. Hence v_rms = √(v̄²) = √(3k_BT/m) = √(3RT/M).P = ⅓nmv̄² से PV = ⅔E, जहाँ E = N·½mv̄² कुल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा है। PV = Nk_BT से तुलना करने पर ½mv̄² = (3/2)k_BT: एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा परम ताप के अनुक्रमानुपाती है और P, V या गैस के प्रकार पर निर्भर नहीं। अतः v_rms = √(3k_BT/m) = √(3RT/M)।PV = ⅔E ⇒ ½mv̄² = (3/2)k_BT — average KE ∝ T. v_rms = √(3k_BT/m) = √(3RT/M).

Solved (NCERT Examples 12.5, 12.6)12.5 Argon and chlorine at 27 °C: (i) average KE per molecule ratio = 1 : 1 (same T); (ii) v_rms(Ar)/v_rms(Cl₂) = √(70.9/39.9) = 1.33.
12.6 ²³⁵UF₆ (M = 349) and ²³⁸UF₆ (M = 352): the lighter one is faster; v_rms ratio = √(352/349) = 1.0043, i.e. about 0.43% faster — the basis of isotope separation by diffusion.हल (NCERT उदाहरण 12.5, 12.6)12.5 (i) औसत गतिज ऊर्जा अनुपात 1 : 1; (ii) √(70.9/39.9) = 1.33।
12.6 हल्का ²³⁵UF₆ तेज़: √(352/349) = 1.0043 ⇒ लगभग 0.43% अधिक।Solved (NCERT Examples 12.5, 12.6)12.5: 1 : 1, 1.33. 12.6: ²³⁵UF₆ 0.43% tez.
NCERT Example 12.7 (think about it)(a) A ball hitting a bat that moves towards it rebounds faster (in the bat’s frame it rebounds with the same relative speed, so v′ = v + 2u). (b) A piston pushed in moves towards the molecules, so they rebound faster: the gas heats up on compression. (c) A piston moving out lowers the rebound speed: an expanding gas cools. (d) A heavy bat loses less speed in the collision, so the ball leaves faster.NCERT उदाहरण 12.7 (सोचिए)(a) सामने आते बल्ले से गेंद अधिक चाल से लौटती है (v′ = v + 2u)। (b) अंदर धकेला पिस्टन अणुओं को तेज़ लौटाता है: संपीडन में गैस गर्म। (c) बाहर जाता पिस्टन: प्रसार में गैस ठंडी। (d) भारी बल्ला टक्कर में कम चाल खोता है।NCERT Example 12.7(a) Tez lautti (v + 2u). (b) Compression ⇒ garam. (c) Expansion ⇒ thandi. (d) Bhaari bat kam speed khota.

12.5Law of equipartition of energyऊर्जा के समविभाजन का नियमEquipartition law

Each independent way a molecule can store energy (a degree of freedom) that appears as a squared term in the energy gets, on average, ½k_BT in thermal equilibrium. Translational and rotational degrees get ½k_BT each; a vibrational mode has both kinetic and potential terms and gets k_BT (Fig 12.5).तापीय साम्य में अणु के ऊर्जा संचय का हर स्वतंत्र तरीका (स्वातंत्र्य कोटि) जो ऊर्जा में वर्ग पद के रूप में आता है, औसतन ½k_BT पाता है। स्थानांतरीय और घूर्णी कोटियों को ½k_BT प्रत्येक; कंपन विधा में गतिज और स्थितिज दोनों पद होते हैं, अतः k_BT (चित्र 12.5)।Har degree of freedom (squared term) ko average ½k_BT. Vibration mode = KE + PE ⇒ k_BT (Fig 12.5).

Degrees of freedom of a diatomic moleculeद्विपरमाणुक अणु की स्वातंत्र्य कोटियाँDegrees of freedom of a diatomic moleculeNCERT Fig 12.5–12.6 · 5 tappable partsNCERT चित्र 12.5–12.6 · 5 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 12.5–12.6 · 5 tappable partsOpen

12.6Specific heat capacityविशिष्ट ऊष्मा धारिताSpecific heat capacity

12.6.1Monatomic gasesएकपरमाणुक गैसेंMonatomic gases

Only 3 translational degrees: U = (3/2)RT per mole ⇒ C_v = (3/2)R, C_p = (5/2)R, γ = 5/3.केवल 3 स्थानांतरीय कोटियाँ: U = (3/2)RT प्रति मोल ⇒ C_v = (3/2)R, C_p = (5/2)R, γ = 5/3।3 degrees ⇒ C_v = 3R/2, C_p = 5R/2, γ = 5/3.

12.6.2Diatomic gasesद्विपरमाणुक गैसेंDiatomic gases

Rigid rotator: 3 translational + 2 rotational = 5 ⇒ C_v = (5/2)R, C_p = (7/2)R, γ = 7/5. If vibration is also active: U = (7/2)RT, C_v = (7/2)R, γ = 9/7.दृढ़ घूर्णक: 3 + 2 = 5 कोटियाँ ⇒ C_v = (5/2)R, C_p = (7/2)R, γ = 7/5। कंपन भी सक्रिय हो तो C_v = (7/2)R, γ = 9/7।Rigid: 5 degrees ⇒ C_v = 5R/2, γ = 7/5; vibration ke saath C_v = 7R/2, γ = 9/7.

12.6.3Polyatomic gasesबहुपरमाणुक गैसेंPolyatomic gases

3 translational + 3 rotational + f vibrational modes: U = (3 + f)RT ⇒ C_v = (3 + f)R, C_p = (4 + f)R, γ = (4 + f)/(3 + f).3 स्थानांतरीय + 3 घूर्णी + f कंपन विधाएँ: C_v = (3 + f)R, C_p = (4 + f)R, γ = (4 + f)/(3 + f)।C_v = (3 + f)R, C_p = (4 + f)R.

12.6.4Specific heat capacity of solidsठोसों की विशिष्ट ऊष्मा धारिताSolids ki specific heat

Each atom of a solid oscillates in 3 dimensions: energy 3k_BT per atom, U = 3RT per mole ⇒ C = 3R (Dulong–Petit law). It fails at low temperature, where quantum effects matter. Water (treated like a solid, 3 atoms) has C ≈ 9R.ठोस का हर परमाणु 3 विमाओं में दोलन करता है: प्रति परमाणु 3k_BT, प्रति मोल U = 3RT ⇒ C = 3R (ड्यूलोंग-पेटिट नियम)। कम ताप पर यह विफल होता है। जल (3 परमाणु) के लिए C ≈ 9R।Solid: 3k_BT per atom ⇒ C = 3R. Low T par fail. Water ≈ 9R.

Solved (NCERT Example 12.8)44.8 L of helium at STP = 2 mol. Heat to raise T by 15.0 °C at constant volume: Q = μC_vΔT = 2 × (3/2)(8.31) × 15.0 = 374 J.हल (NCERT उदाहरण 12.8)STP पर 44.8 L हीलियम = 2 mol। स्थिर आयतन पर 15.0 °C वृद्धि: Q = 2 × (3/2)(8.31) × 15.0 = 374 J।Solved (NCERT Example 12.8)2 mol, C_v = 3R/2 ⇒ Q = 374 J.

12.7Mean free pathमाध्य मुक्त पथMean free path

Molecules travel in straight lines only between collisions. The average distance between successive collisions is the mean free path l. A molecule of diameter d sweeps a cylinder of volume πd²⟨v⟩Δt and hits every molecule centred inside it (Fig 12.7); allowing for the motion of the other molecules:अणु केवल संघट्टों के बीच सीधी रेखा में चलते हैं। क्रमागत संघट्टों के बीच औसत दूरी माध्य मुक्त पथ l है। d व्यास का अणु πd²⟨v⟩Δt आयतन का बेलन बनाता है और उसके भीतर केंद्र वाले हर अणु से टकराता है (चित्र 12.7); बाकी अणुओं की गति को शामिल करने पर:Do collisions ke beech average doori = mean free path l (Fig 12.7):

l = 1/(√2 n π d²)
smaller for denser gases and bigger moleculesघनी गैसों और बड़े अणुओं के लिए कमdense gas ⇒ kam l
Mean free path of a gas moleculeगैस अणु का माध्य मुक्त पथMean free path of a gas moleculeNCERT Fig 12.7 · 4 tappable partsNCERT चित्र 12.7 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 12.7 · 4 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 12.9)Water vapour at 373 K, 1 atm: n = P/(k_BT) = 1.013 × 10⁵/(1.38 × 10⁻²³ × 373) ≈ 2.0 × 10²⁵ m⁻³; d ≈ 2 × 10⁻¹⁰ m. l = 1/(1.414 × 3.14 × 4 × 10⁻²⁰ × 2.0 × 10²⁵) ≈ 2.8 × 10⁻⁷ m — about 1500 molecular diameters.हल (NCERT उदाहरण 12.9)373 K, 1 atm पर जलवाष्प: n ≈ 2.0 × 10²⁵ m⁻³, d ≈ 2 × 10⁻¹⁰ m ⇒ l ≈ 2.8 × 10⁻⁷ m — लगभग 1500 आण्विक व्यास।Solved (NCERT Example 12.9)n ≈ 2 × 10²⁵, d = 2 Å ⇒ l ≈ 2.8 × 10⁻⁷ m.

★ Yaad rakho — quick revision★ याद रखो — झटपट दोहराव★ Yaad rakho — quick revision

  1. PV = μRT = Nk_BT; k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹, R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹, N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹.PV = μRT = Nk_BT; k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹, R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹, N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹।PV = μRT = Nk_BT.
  2. Pressure P = ⅓ n m v̄² = ⅔ (E/V).दाब P = ⅓ n m v̄² = ⅔ (E/V)।P = ⅓nmv̄².
  3. Average KE per molecule = (3/2)k_BT; v_rms = √(3k_BT/m) = √(3RT/M).प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा = (3/2)k_BT; v_rms = √(3RT/M)।KE = 3k_BT/2; v_rms = √(3RT/M).
  4. Equipartition: ½k_BT per translational/rotational degree, k_BT per vibrational mode.समविभाजन: प्रत्येक स्थानांतरीय/घूर्णी कोटि को ½k_BT, कंपन विधा को k_BT।½k_BT per degree; vibration k_BT.
  5. C_v: monatomic 3R/2 (γ = 5/3), rigid diatomic 5R/2 (γ = 7/5), solid 3R; C_p − C_v = R.C_v: एकपरमाणुक 3R/2 (γ = 5/3), दृढ़ द्विपरमाणुक 5R/2 (γ = 7/5), ठोस 3R; C_p − C_v = R।3R/2, 5R/2, 3R.
  6. Mean free path l = 1/(√2 n π d²); collision frequency = v/l.माध्य मुक्त पथ l = 1/(√2 n π d²); संघट्ट आवृत्ति = v/l।l = 1/(√2nπd²).
  7. Dalton: P = P₁ + P₂ + …; Avogadro: same V, P, T ⇒ same number of molecules.डाल्टन: P = P₁ + P₂ + …; आवोगाद्रो: समान V, P, T ⇒ समान अणु संख्या।Dalton, Avogadro.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Thinking heavier gases have higher average KE. At the same T every gas has the same average KE (3/2)k_BT; heavier molecules are just slower.मानना कि भारी गैसों की औसत गतिज ऊर्जा अधिक है। समान T पर सबकी (3/2)k_BT; भारी अणु केवल धीमे हैं।Bhaari gas ki KE zyada maanna. Same T ⇒ same KE.
  • Using M in g mol⁻¹ in v_rms = √(3RT/M). M must be in kg mol⁻¹ (O₂: 0.032).v_rms में M को g mol⁻¹ में लेना। M kg mol⁻¹ में (O₂: 0.032)।M ko gram mein lena. kg mol⁻¹ lo.
  • Writing v_rms = average speed. v_rms = √(v̄²) is slightly larger than the mean speed.v_rms को औसत चाल मानना। v_rms औसत चाल से थोड़ी अधिक है।v_rms = average speed maanna.
  • Forgetting gauge pressure. Absolute P = gauge + 1 atm (Exercise 12.4).प्रमापी दाब भूलना। परम P = प्रमापी + 1 atm (अभ्यास 12.4)।Gauge pressure mein 1 atm jodna bhoolna.
  • Giving the rotation about the bond axis a degree of freedom for a diatomic molecule. Its moment of inertia is negligible, so only 2 rotations count.द्विपरमाणुक अणु में आबंध अक्ष के परितः घूर्णन गिनना। केवल 2 घूर्णन गिने जाते हैं।Bond axis rotation ginna. Sirf 2.
  • Using °C in PV = μRT. Temperature must be in kelvin.PV = μRT में °C लेना। केल्विन लीजिए।°C lena. Kelvin lo.

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

12.1 Estimate the fraction of molecular volume to the actual volume occupied by oxygen gas at STP. Take the diameter of an oxygen molecule as 3 Å.12.1 STP पर ऑक्सीजन गैस द्वारा घेरे वास्तविक आयतन और अणुओं के आयतन का अनुपात आकलित कीजिए। ऑक्सीजन अणु का व्यास 3 Å लीजिए।12.1 O₂ at STP, d = 3 Å. Molecular volume / actual volume?
Per mole: molecular volume = N_A × (4/3)πr³ = 6.02 × 10²³ × (4/3)π(1.5 × 10⁻¹⁰)³ = 8.5 × 10⁻⁶ m³.
Actual volume = 22.4 × 10⁻³ m³ ⇒ fraction = 8.5 × 10⁻⁶/22.4 × 10⁻³ ≈ 4 × 10⁻⁴.प्रति मोल आण्विक आयतन = N_A × (4/3)πr³ = 8.5 × 10⁻⁶ m³; वास्तविक आयतन 22.4 × 10⁻³ m³ ⇒ अनुपात ≈ 4 × 10⁻⁴।8.5 × 10⁻⁶/22.4 × 10⁻³ ≈ 4 × 10⁻⁴.
12.2 Molar volume is the volume occupied by 1 mol of an ideal gas at STP (1 atm, 0 °C). Show that it is 22.4 litres.12.2 मोलर आयतन STP (1 atm, 0 °C) पर 1 mol आदर्श गैस का आयतन है। दर्शाइए कि यह 22.4 लीटर है।12.2 Molar volume = 22.4 L dikhaiye.
V = μRT/P = 1 × 8.314 × 273/(1.013 × 10⁵) = 0.0224 m³ = 22.4 L.V = μRT/P = 8.314 × 273/1.013 × 10⁵ = 0.0224 m³ = 22.4 L।V = 8.314 × 273/1.013 × 10⁵ = 22.4 L.
12.3 The figure shows PV/T versus P for 1.00 × 10⁻³ kg of oxygen at two temperatures T₁ and T₂. (a) What does the dotted plot signify? (b) Which is true: T₁ > T₂ or T₁ < T₂? (c) What is PV/T where the curves meet the y-axis? (d) Would 1.00 × 10⁻³ kg of hydrogen give the same value? If not, what mass of hydrogen would? (M(H₂) = 2.02 u, M(O₂) = 32.0 u, R = 8.31 J mol⁻¹ K⁻¹)12.3 चित्र में 1.00 × 10⁻³ kg ऑक्सीजन के लिए दो तापों T₁ और T₂ पर PV/T बनाम P दिखाया है। (a) बिंदुकित आलेख क्या दर्शाता है? (b) T₁ > T₂ या T₁ < T₂? (c) y-अक्ष पर वक्रों के मिलन बिंदु पर PV/T का मान? (d) क्या 1.00 × 10⁻³ kg हाइड्रोजन से यही मान मिलेगा? यदि नहीं, तो कितनी हाइड्रोजन से?12.3 PV/T vs P graph, 1 g O₂: (a) dotted (b) T₁ vs T₂ (c) PV/T at y-axis (d) hydrogen?
([[dg:b11p-pvt-real|figure]]) (a) Ideal-gas behaviour: PV/T is the same at all pressures.
(b) T₁ > T₂: the curve closer to the ideal line is at the higher temperature.
(c) PV/T = μR = (1.00/32.0) × 8.31 = 0.26 J K⁻¹.
(d) No: 1.00 g of H₂ is 1/2.02 mol, giving 4.1 J K⁻¹. Same value needs μ = 1/32 mol ⇒ m = 2.02/32.0 g = 6.3 × 10⁻⁵ kg.(a) आदर्श गैस व्यवहार।
(b) T₁ > T₂ (आदर्श रेखा के निकट वाला वक्र उच्च ताप का)।
(c) PV/T = μR = (1/32) × 8.31 = 0.26 J K⁻¹।
(d) नहीं; समान मान के लिए m = 2.02/32 g = 6.3 × 10⁻⁵ kg।(a) Ideal gas (b) T₁ > T₂ (c) 0.26 J K⁻¹ (d) Nahi; 6.3 × 10⁻⁵ kg H₂.
12.4 An oxygen cylinder of 30 litres has an initial gauge pressure of 15 atm at 27 °C. After some oxygen is withdrawn, the gauge pressure drops to 11 atm and the temperature to 17 °C. Estimate the mass of oxygen taken out. (R = 8.31 J mol⁻¹ K⁻¹, M(O₂) = 32 u)12.4 30 लीटर के ऑक्सीजन सिलिंडर में 27 °C पर प्रारंभिक प्रमापी दाब 15 atm है। कुछ ऑक्सीजन निकालने पर प्रमापी दाब 11 atm और ताप 17 °C हो जाता है। निकाली गई ऑक्सीजन का द्रव्यमान आकलित कीजिए।12.4 30 L cylinder, gauge 15 → 11 atm, 27 → 17 °C. Kitni O₂ nikli?
Absolute pressures: 16 atm and 12 atm.
μ₁ = P₁V/(RT₁) = 16 × 1.013 × 10⁵ × 0.030/(8.31 × 300) = 19.5 mol.
μ₂ = 12 × 1.013 × 10⁵ × 0.030/(8.31 × 290) = 15.1 mol.
Δμ = 4.4 mol ⇒ mass = 4.4 × 32 g ≈ 0.14 kg.परम दाब 16 atm और 12 atm।
μ₁ = 19.5 mol, μ₂ = 15.1 mol ⇒ Δμ = 4.4 mol ⇒ द्रव्यमान ≈ 0.14 kg।Absolute 16, 12 atm ⇒ 19.5 − 15.1 = 4.4 mol ⇒ 0.14 kg.
12.5 An air bubble of volume 1.0 cm³ rises from the bottom of a lake 40 m deep at 12 °C. To what volume does it grow at the surface, where the temperature is 35 °C?12.5 1.0 cm³ आयतन का वायु बुलबुला 40 m गहरी झील की तली (12 °C) से ऊपर उठता है। सतह पर (35 °C) इसका आयतन कितना होगा?12.5 Bubble 1 cm³, 40 m gehri jheel (12 °C) se surface (35 °C). Volume?
P₁ = P_atm + ρgh = 1.013 × 10⁵ + 1000 × 9.8 × 40 = 4.93 × 10⁵ Pa, T₁ = 285 K; P₂ = 1.013 × 10⁵ Pa, T₂ = 308 K.
V₂ = V₁(P₁/P₂)(T₂/T₁) = 1.0 × 4.87 × 1.081 ≈ 5.3 cm³ (5.3 × 10⁻⁶ m³).P₁ = 4.93 × 10⁵ Pa, T₁ = 285 K; P₂ = 1.013 × 10⁵ Pa, T₂ = 308 K।
V₂ = V₁(P₁/P₂)(T₂/T₁) ≈ 5.3 cm³।V₂ = 1.0 × (4.93/1.013) × (308/285) ≈ 5.3 cm³.
12.6 Estimate the total number of air molecules in a room of capacity 25.0 m³ at 27 °C and 1 atm.12.6 27 °C और 1 atm पर 25.0 m³ धारिता के कमरे में वायु के कुल अणुओं की संख्या आकलित कीजिए।12.6 25 m³ room, 27 °C, 1 atm. Kitne molecules?
N = PV/(k_BT) = 1.013 × 10⁵ × 25.0/(1.38 × 10⁻²³ × 300) ≈ 6.1 × 10²⁶.N = PV/(k_BT) = 1.013 × 10⁵ × 25.0/(1.38 × 10⁻²³ × 300) ≈ 6.1 × 10²⁶।N = PV/k_BT ≈ 6.1 × 10²⁶.
12.7 Estimate the average thermal energy of a helium atom at (i) room temperature (27 °C), (ii) the Sun’s surface (6000 K), (iii) 10 million kelvin (a star’s core).12.7 हीलियम परमाणु की औसत तापीय ऊर्जा आकलित कीजिए (i) कक्ष ताप (27 °C) (ii) सूर्य की सतह (6000 K) (iii) 1 करोड़ केल्विन (तारे का क्रोड) पर।12.7 He atom ki average energy at 300 K, 6000 K, 10⁷ K.
Helium is monatomic: E = (3/2)k_BT.
(i) 1.5 × 1.38 × 10⁻²³ × 300 = 6.2 × 10⁻²¹ J; (ii) at 6000 K: 1.24 × 10⁻¹⁹ J; (iii) at 10⁷ K: 2.1 × 10⁻¹⁶ J.एकपरमाणुक: E = (3/2)k_BT।
(i) 6.2 × 10⁻²¹ J; (ii) 1.24 × 10⁻¹⁹ J; (iii) 2.1 × 10⁻¹⁶ J।E = 3k_BT/2: 6.2 × 10⁻²¹, 1.24 × 10⁻¹⁹, 2.1 × 10⁻¹⁶ J.
12.8 Three vessels of equal capacity hold gases at the same temperature and pressure: neon (monatomic), chlorine (diatomic) and uranium hexafluoride (polyatomic). Do they contain equal numbers of molecules? Is v_rms the same? If not, where is it largest?12.8 समान धारिता के तीन पात्रों में समान ताप और दाब पर नियॉन (एकपरमाणुक), क्लोरीन (द्विपरमाणुक) और यूरेनियम हेक्साफ़्लुओराइड (बहुपरमाणुक) हैं। क्या अणुओं की संख्या समान है? क्या v_rms समान है? नहीं तो किसमें सबसे अधिक?12.8 Ne, Cl₂, UF₆ same V, P, T. Molecules equal? v_rms?
Yes, equal numbers (Avogadro’s law: N = PV/k_BT). No, v_rms ∝ 1/√M is not the same; it is largest for the lightest gas, neon (M = 20.2).हाँ, संख्या समान (आवोगाद्रो)। v_rms ∝ 1/√M समान नहीं; सबसे हल्की गैस नियॉन में सबसे अधिक।Haan equal; v_rms neon mein sabse zyada.
12.9 At what temperature is the rms speed of an argon atom equal to that of a helium atom at −20 °C? (Ar = 39.9 u, He = 4.0 u)12.9 किस ताप पर आर्गन परमाणु की v_rms −20 °C पर हीलियम परमाणु की v_rms के बराबर होगी? (Ar = 39.9 u, He = 4.0 u)12.9 Argon ka v_rms = He ka (−20 °C)? T?
Equal v_rms ⇒ T/M equal: T_Ar = 253 × 39.9/4.0 = 2.52 × 10³ K.v_rms समान ⇒ T/M समान: T_Ar = 253 × 39.9/4.0 = 2.52 × 10³ K।T_Ar = 253 × 39.9/4 = 2.52 × 10³ K.
12.10 Estimate the mean free path and collision frequency of a nitrogen molecule in a cylinder of nitrogen at 2.0 atm and 17 °C. Take the radius of a molecule as about 1.0 Å. Compare the collision time with the time between two successive collisions. (M(N₂) = 28.0 u)12.10 2.0 atm और 17 °C पर नाइट्रोजन से भरे सिलिंडर में नाइट्रोजन अणु का माध्य मुक्त पथ और संघट्ट आवृत्ति आकलित कीजिए। अणु की त्रिज्या लगभग 1.0 Å लीजिए। संघट्ट काल की तुलना दो क्रमागत संघट्टों के बीच के समय से कीजिए।12.10 N₂ at 2 atm, 17 °C, r = 1 Å. Mean free path, collision frequency, compare times.
n = P/(k_BT) = 2.026 × 10⁵/(1.38 × 10⁻²³ × 290) = 5.1 × 10²⁵ m⁻³; d = 2.0 × 10⁻¹⁰ m.
l = 1/(√2 π d² n) = 1/(1.414 × 3.14 × 4 × 10⁻²⁰ × 5.1 × 10²⁵) ≈ 1.1 × 10⁻⁷ m (key: 1.0 × 10⁻⁷ m).
v_rms = √(3RT/M) = √(3 × 8.31 × 290/0.028) ≈ 5.1 × 10² m s⁻¹; collision frequency = v/l ≈ 4.6 × 10⁹ s⁻¹.
Collision time ≈ d/v ≈ 4 × 10⁻¹³ s; time between collisions ≈ l/v ≈ 2 × 10⁻¹⁰ s — about 500 times longer, so molecules move freely almost all the time.n = 5.1 × 10²⁵ m⁻³, d = 2.0 × 10⁻¹⁰ m ⇒ l ≈ 1.1 × 10⁻⁷ m।
v_rms ≈ 5.1 × 10² m s⁻¹; संघट्ट आवृत्ति ≈ 4.6 × 10⁹ s⁻¹।
संघट्ट काल ≈ 4 × 10⁻¹³ s; दो संघट्टों के बीच ≈ 2 × 10⁻¹⁰ s — लगभग 500 गुना अधिक।l ≈ 1.1 × 10⁻⁷ m; v_rms ≈ 510 m/s; frequency ≈ 4.6 × 10⁹ s⁻¹; free time collision time ka ≈ 500 guna.

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1. At the same temperature, the average kinetic energy of molecules of H₂ and O₂ isसमान ताप पर H₂ और O₂ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जाSame T par H₂ aur O₂ ki KE

2. v_rms of a gas is proportional toगैस की v_rms अनुक्रमानुपाती हैv_rms ∝

3. If the absolute temperature of a gas is made four times, v_rms becomesगैस का परम ताप चार गुना करने पर v_rmsT 4 guna ⇒ v_rms

4. Pressure of an ideal gas in terms of molecular motion isआण्विक गति के पदों में आदर्श गैस का दाबPressure =

5. Boltzmann constant k_B equalsबोल्ट्ज़मान नियतांक k_B बराबर हैk_B =

6. A rigid diatomic molecule has how many degrees of freedom?दृढ़ द्विपरमाणुक अणु की स्वातंत्र्य कोटियाँRigid diatomic ki degrees

7. γ = C_p/C_v for a monatomic gas isएकपरमाणुक गैस के लिए γMonatomic γ

8. Each vibrational mode, by equipartition, gets an average energy ofसमविभाजन से प्रत्येक कंपन विधा की औसत ऊर्जाVibration mode ki energy

9. Molar specific heat of a solid by the law of equipartition is aboutसमविभाजन नियम से ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा लगभगSolid ki molar specific heat

10. Mean free path of a gas molecule is inversely proportional toगैस अणु का माध्य मुक्त पथ व्युत्क्रमानुपाती हैMean free path ∝ 1/

11. Equal volumes of all gases at the same temperature and pressure contain equal numbers of molecules. This isसमान ताप-दाब पर सभी गैसों के समान आयतन में समान अणु — यह हैSame V, T, P ⇒ same molecules

12. Real gases behave most like an ideal gas atवास्तविक गैसें आदर्श गैस जैसा सबसे अधिक व्यवहार करती हैंReal gas ideal jaisi kab

13. For a mixture of non-reacting ideal gases, total pressure isअक्रियाशील आदर्श गैसों के मिश्रण का कुल दाबMixture ka total pressure

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These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.