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Ch 6System of Particles and Rotational Motionकणों के निकाय तथा घूर्णी गतिSystem of Particles and Rotational Motion (kanon ka nikaay aur ghoorni gati)

Centre of mass, vector product, torque, angular momentum, equilibrium, moment of inertia and rotation about a fixed axis — with every NCERT example and exercise solved.द्रव्यमान केंद्र, सदिश गुणनफल, बल आघूर्ण, कोणीय संवेग, साम्यावस्था, जड़त्व आघूर्ण और स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।Centre of mass, vector product, torque, angular momentum, equilibrium, moment of inertia aur fixed axis ke around rotation — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के डायग्रामIs chapter ke diagrams

Centre of mass of three particlesतीन कणों का द्रव्यमान केंद्रCentre of mass of three particlesFig 6.9Vector (cross) product and the right-hand ruleसदिश (क्रॉस) गुणनफल और दाएँ हाथ का नियमVector (cross) product and the right-hand ruleFig 6.15Torque (moment of force) τ = r × Fबल आघूर्ण τ = r × FTorque (moment of force) τ = r × FFig 6.17Ladder against a frictionless wallघर्षणरहित दीवार से टिकी सीढ़ीLadder against a frictionless wallFig 6.27Flywheel turned by a pull on a cordडोरी के खिंचाव से घूमता गतिपालक पहियाFlywheel turned by a pull on a cordFig 6.31
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 6.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 6.2Centre of massद्रव्यमान केंद्रCentre of mass
  3. 6.3Motion of centre of massद्रव्यमान केंद्र की गतिCM ki motion
  4. 6.4Linear momentum of a system of particlesकणों के निकाय का रैखिक संवेगSystem ka linear momentum
  5. 6.5Vector product of two vectorsदो सदिशों का सदिश गुणनफलVector (cross) product
  6. 6.6Angular velocity and its relation with linear velocityकोणीय वेग और रैखिक वेग से उसका संबंधAngular velocity aur linear velocity
  7. 6.7Torque and angular momentumबल आघूर्ण तथा कोणीय संवेगTorque aur angular momentum
  8. 6.8Equilibrium of a rigid bodyदृढ़ पिंड का संतुलनRigid body ka equilibrium
  9. 6.9Moment of inertiaजड़त्व आघूर्णMoment of inertia
  10. 6.10Kinematics of rotational motion about a fixed axisस्थिर अक्ष के परितः घूर्णी गति की शुद्धगतिकीRotational kinematics
  11. 6.11Dynamics of rotational motion about a fixed axisस्थिर अक्ष के परितः घूर्णी गति की गतिकीRotational dynamics
  12. 6.12Angular momentum in case of rotation about a fixed axisस्थिर अक्ष के परितः घूर्णन में कोणीय संवेगFixed axis rotation mein angular momentum
  13. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  14. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  15. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  16. 🎯Quizक्विज़Quiz

6.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Real bodies have size. A rigid body is one in which the distances between all pairs of particles do not change. A rigid body can have (i) pure translation — every particle has the same velocity at every instant (a block sliding down an incline), (ii) rotation about a fixed axis — every particle moves in a circle in a plane perpendicular to the axis with its centre on the axis (a ceiling fan, a potter’s wheel), or (iii) a combination of translation and rotation (a cylinder rolling down an incline). If the body is pivoted at a point instead of an axis (a spinning top), the axis can itself change direction — this is called precession.वास्तविक वस्तुओं का आकार होता है। दृढ़ पिंड वह है जिसके सभी कण-युग्मों के बीच की दूरियाँ नहीं बदलतीं। दृढ़ पिंड में (i) शुद्ध स्थानांतरण — हर क्षण हर कण का वेग समान (आनत तल पर फिसलता गुटका), (ii) स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन — हर कण अक्ष के लंबवत तल में वृत्त पर, जिसका केंद्र अक्ष पर हो (छत का पंखा, कुम्हार का चाक), या (iii) स्थानांतरण और घूर्णन का संयोजन (आनत तल पर लुढ़कता बेलन) हो सकता है। यदि पिंड अक्ष के बजाय किसी बिंदु पर टिका हो (लट्टू), तो अक्ष स्वयं दिशा बदल सकती है — इसे पुरस्सरण कहते हैं।Asli body ka size hota hai. Rigid body woh jismein har do particles ki doori nahi badalti. Rigid body mein (i) pure translation — har particle ki velocity same (incline par fisalta block), (ii) fixed axis ke around rotation — har particle axis ke perpendicular plane mein circle par (pankha, kumhaar ka chaak), ya (iii) dono saath (lurhakta cylinder). Agar body ek point par tiki ho (lattoo) to axis khud ghoomti hai — precession.

6.2Centre of massद्रव्यमान केंद्रCentre of mass

For two particles on the x-axis, the centre of mass (CM) is at X = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂); for equal masses it is the midpoint. For n particles, R = Σmᵢrᵢ/M, i.e. X = Σmᵢxᵢ/M, Y = Σmᵢyᵢ/M, Z = Σmᵢzᵢ/M. For a continuous body, R = (1/M)∫r dm. With the origin at the CM, Σmᵢrᵢ = 0. For a uniform symmetric body (rod, ring, disc, sphere, cube) the CM is at the geometric centre.x-अक्ष पर दो कणों का द्रव्यमान केंद्र (CM) X = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂) पर है; समान द्रव्यमानों के लिए मध्य बिंदु। n कणों के लिए R = Σmᵢrᵢ/M, अर्थात X = Σmᵢxᵢ/M, Y = Σmᵢyᵢ/M, Z = Σmᵢzᵢ/M। सतत पिंड के लिए R = (1/M)∫r dm। मूल बिंदु CM पर हो तो Σmᵢrᵢ = 0। एकसमान सममित पिंड (छड़, वलय, चकती, गोला, घन) का CM उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।Do particles ka centre of mass (CM): X = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂); barabar mass ho to beech mein. n particles: R = Σmᵢrᵢ/M. Continuous body: R = (1/M)∫r dm. Uniform symmetric body (rod, ring, disc, sphere, cube) ka CM geometric centre par.

Centre of mass of three particlesतीन कणों का द्रव्यमान केंद्रCentre of mass of three particlesNCERT Fig 6.9 · 6 tappable partsNCERT चित्र 6.9 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 6.9 · 6 tappable partsOpen
Solved (NCERT Examples 6.1–6.3)6.1 100 g, 150 g, 200 g at the corners O (0, 0), A (0.5, 0), B (0.25, 0.25√3) m of an equilateral triangle (Fig 6.9): X = (0 + 75 + 50)/450 = 5/18 m, Y = (200 × 0.25√3)/450 = √3/9 m (≈ 0.28 m, 0.19 m). It is not the centroid, since the masses differ. 6.2 A uniform triangular lamina: each strip parallel to a side has its CM at its midpoint, so the CM lies on every median — at the centroid. 6.3 A uniform L-shaped lamina made of three 1 m squares (1 kg each), CMs at (½, ½), (3/2, ½), (½, 3/2): X = Y = (½ + 3/2 + ½)/3 = 5/6 m, on the line of symmetry.हल (NCERT उदाहरण 6.1–6.3)6.1 समबाहु त्रिभुज के कोनों O (0, 0), A (0.5, 0), B (0.25, 0.25√3) m पर 100 g, 150 g, 200 g (चित्र 6.9): X = 125/450 = 5/18 m, Y = √3/9 m। द्रव्यमान भिन्न हैं, अतः यह केंद्रक नहीं है। 6.2 एकसमान त्रिभुजाकार पटल: भुजा के समांतर हर पट्टी का CM उसके मध्य बिंदु पर, अतः CM हर माध्यिका पर — केंद्रक पर। 6.3 तीन 1 m वर्गों (प्रत्येक 1 kg) से बना एकसमान L-आकार पटल: X = Y = 5/6 m।Solved (NCERT Examples 6.1–6.3)6.1 X = 125/450 = 5/18 m, Y = √3/9 m (Fig 6.9); masses alag, to centroid nahi. 6.2 Triangular lamina ka CM centroid par. 6.3 L-shape (teen 1 kg squares): X = Y = 5/6 m.

6.3Motion of centre of massद्रव्यमान केंद्र की गतिCM ki motion

Differentiating MR = Σmᵢrᵢ: MV = Σmᵢvᵢ and MA = F_ext — internal forces cancel in pairs (third law). The centre of mass moves as if all the mass were concentrated there and all external forces acted there. A shell exploding in flight: the fragments fly off, but their CM continues along the same parabola.MR = Σmᵢrᵢ का अवकलन: MV = Σmᵢvᵢ और MA = F_बाह्य — आंतरिक बल युग्मों में निरस्त (तीसरा नियम)। द्रव्यमान केंद्र ऐसे गति करता है मानो सारा द्रव्यमान वहीं केंद्रित हो और सभी बाह्य बल वहीं लगें। उड़ान में फटता गोला: टुकड़े बिखरते हैं, पर उनका CM उसी परवलय पर चलता रहता है।MR = Σmᵢrᵢ se MA = F_ext — internal forces jodiyon mein cancel. CM aise chalta hai maano saara mass wahin ho aur saare external forces wahin lagein. Hawa mein phatta shell: tukde bikharte, par CM wahi parabola.

6.4Linear momentum of a system of particlesकणों के निकाय का रैखिक संवेगSystem ka linear momentum

Total momentum P = Σpᵢ = MV and dP/dt = F_ext. If F_ext = 0, P is constant and the CM moves with constant velocity. Example: a radioactive nucleus at rest decays into two fragments flying apart; the CM stays at rest. In the Earth-Moon system the CM moves in an ellipse round the Sun, while the two bodies wobble about it.कुल संवेग P = Σpᵢ = MV और dP/dt = F_बाह्य। यदि F_बाह्य = 0, तो P नियत और CM नियत वेग से चलता है। उदाहरण: विराम में रेडियोऐक्टिव नाभिक दो टुकड़ों में टूटता है; CM विराम में ही रहता है। पृथ्वी-चंद्रमा निकाय का CM सूर्य के परितः दीर्घवृत्त पर चलता है।P = MV, dP/dt = F_ext. F_ext = 0 to P constant, CM constant velocity. Ruka nucleus do tukdon mein toote — CM ruka hi rahta.

6.5Vector product of two vectorsदो सदिशों का सदिश गुणनफलVector (cross) product

a × b = c, with |c| = ab sin θ, directed perpendicular to the plane of a and b by the right-hand rule (Fig 6.15). Properties: a × b = −b × a (not commutative); a × a = 0; distributive; î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ. In components, a × b = (a_yb_z − a_zb_y)î + (a_zb_x − a_xb_z)ĵ + (a_xb_y − a_yb_x)k̂ — the determinant form.a × b = c, |c| = ab sin θ, दिशा a और b के तल के लंबवत, दाएँ हाथ के नियम से (चित्र 6.15)। गुण: a × b = −b × a (क्रमविनिमेय नहीं); a × a = 0; वितरणात्मक; î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ। घटकों में a × b = (a_yb_z − a_zb_y)î + (a_zb_x − a_xb_z)ĵ + (a_xb_y − a_yb_x)k̂ — सारणिक रूप।a × b = c, |c| = ab sin θ, direction right-hand rule se (Fig 6.15). a × b = −b × a; a × a = 0; î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ. Components: determinant form.

Vector (cross) product and the right-hand ruleसदिश (क्रॉस) गुणनफल और दाएँ हाथ का नियमVector (cross) product and the right-hand ruleNCERT Fig 6.15 · 7 tappable partsNCERT चित्र 6.15 · 7 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 6.15 · 7 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 6.4)a = 3î − 4ĵ + 5k̂, b = −2î + ĵ − 3k̂. a·b = −6 − 4 − 15 = −25. a × b = î(12 − 5) − ĵ(−9 + 10) + k̂(3 − 8) = 7î − ĵ − 5k̂; and b × a = −7î + ĵ + 5k̂.हल (NCERT उदाहरण 6.4)a = 3î − 4ĵ + 5k̂, b = −2î + ĵ − 3k̂। a·b = −25। a × b = î(12 − 5) − ĵ(−9 + 10) + k̂(3 − 8) = 7î − ĵ − 5k̂; b × a = −7î + ĵ + 5k̂।Solved (NCERT Example 6.4)a·b = −25; a × b = 7î − ĵ − 5k̂; b × a = ulta.

6.6Angular velocity and its relation with linear velocityकोणीय वेग और रैखिक वेग से उसका संबंधAngular velocity aur linear velocity

In rotation about a fixed axis every particle has the same angular velocity ω = dθ/dt, a vector along the axis (right-hand rule). A particle at perpendicular distance r from the axis has speed v = ωr; in vector form v = ω × r. Particles on the axis are at rest. Angular acceleration α = dω/dt; for a fixed axis α is also along the axis.स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन में हर कण का कोणीय वेग ω = dθ/dt समान होता है — अक्ष के अनुदिश एक सदिश (दाएँ हाथ का नियम)। अक्ष से लंबवत दूरी r पर कण की चाल v = ωr; सदिश रूप में v = ω × r। अक्ष पर कण विराम में। कोणीय त्वरण α = dω/dt; स्थिर अक्ष के लिए α भी अक्ष के अनुदिश।Fixed axis rotation mein har particle ka angular velocity ω = dθ/dt same — axis ke along vector. r doori par v = ωr; v = ω × r. Angular acceleration α = dω/dt.

6.7Torque and angular momentumबल आघूर्ण तथा कोणीय संवेगTorque aur angular momentum

6.7.1Moment of force (torque)बल आघूर्णTorque

The turning effect of a force is its torque (moment of force) about a point: τ = r × F, τ = rF sin θ = r⊥F (r⊥ = moment arm), SI unit N m, dimensions [ML²T⁻²] (Fig 6.17). τ = 0 if r = 0 or if the line of action of F passes through the point.बल का घुमाने वाला प्रभाव किसी बिंदु के परितः उसका बल आघूर्ण है: τ = r × F, τ = rF sin θ = r⊥F (r⊥ = आघूर्ण भुजा), SI मात्रक N m, विमा [ML²T⁻²] (चित्र 6.17)। यदि r = 0 हो या F की क्रिया-रेखा उस बिंदु से गुज़रे तो τ = 0।Force ka ghumaane wala asar torque: τ = r × F, τ = rF sin θ = r⊥F, unit N m (Fig 6.17). Line of action point se guzre to τ = 0.

Torque (moment of force) τ = r × Fबल आघूर्ण τ = r × FTorque (moment of force) τ = r × FNCERT Fig 6.17 · 6 tappable partsNCERT चित्र 6.17 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 6.17 · 6 tappable partsOpen

6.7.2Angular momentum of a particleकण का कोणीय संवेगParticle ka angular momentum

l = r × p, l = rp sin θ = r⊥p. Then dl/dt = τ (since v × mv = 0) — the rotational analogue of dp/dt = F. For a system, dL/dt = τ_ext (internal torques cancel when internal forces are central). If τ_ext = 0, L is conserved.l = r × p, l = rp sin θ = r⊥p। तब dl/dt = τ (क्योंकि v × mv = 0) — dp/dt = F का घूर्णी अनुरूप। निकाय के लिए dL/dt = τ_बाह्य (केंद्रीय आंतरिक बलों के आघूर्ण निरस्त)। यदि τ_बाह्य = 0, तो L संरक्षित।l = r × p; dl/dt = τ — dp/dt = F jaisa. System: dL/dt = τ_ext. τ_ext = 0 to L conserved.

Solved (NCERT Examples 6.5, 6.6)6.5 F = 7î + 3ĵ − 5k̂ acts at r = î − ĵ + k̂. τ = r × F = î[(−1)(−5) − (1)(3)] − ĵ[(1)(−5) − (1)(7)] + k̂[(1)(3) − (−1)(7)] = 2î + 12ĵ + 10k̂ (N m). 6.6 A particle with constant velocity v: l = m r⊥ v, and r⊥ (distance of its straight path from O) does not change, while the direction of r × v stays fixed ⇒ l is constant (no force, no torque).हल (NCERT उदाहरण 6.5, 6.6)6.5 r = î − ĵ + k̂ पर F = 7î + 3ĵ − 5k̂। τ = r × F = 2î + 12ĵ + 10k̂ (N m)। 6.6 नियत वेग v वाला कण: l = m r⊥ v, और r⊥ (O से सीधे पथ की दूरी) नहीं बदलती, r × v की दिशा भी स्थिर ⇒ l नियत (बल नहीं, आघूर्ण नहीं)।Solved (NCERT Examples 6.5, 6.6)6.5 τ = r × F = 2î + 12ĵ + 10k̂. 6.6 l = m r⊥ v, r⊥ same rehta ⇒ l constant.

6.8Equilibrium of a rigid bodyदृढ़ पिंड का संतुलनRigid body ka equilibrium

A rigid body is in mechanical equilibrium when (1) ΣF = 0 (translational equilibrium) and (2) Στ = 0 (rotational equilibrium) — six scalar equations in general. If ΣF = 0, the total torque is the same about every point. A couple is a pair of equal and opposite forces with different lines of action: ΣF = 0, but it produces rotation (opening a bottle cap, a compass needle in the earth’s field).दृढ़ पिंड यांत्रिक संतुलन में है जब (1) ΣF = 0 (स्थानांतरीय संतुलन) और (2) Στ = 0 (घूर्णी संतुलन) — सामान्यतः छह अदिश समीकरण। यदि ΣF = 0, तो कुल बल आघूर्ण हर बिंदु के परितः समान। बल युग्म समान और विपरीत बलों का युग्म है जिनकी क्रिया-रेखाएँ भिन्न हों: ΣF = 0, पर घूर्णन होता है (बोतल का ढक्कन खोलना, पृथ्वी के क्षेत्र में दिक्सूचक सुई)।Mechanical equilibrium: (1) ΣF = 0 aur (2) Στ = 0. ΣF = 0 ho to torque har point ke around same. Couple: barabar-ulte forces, alag lines — ΣF = 0 par ghumaata hai (dhakkan kholna, compass needle).

6.8.1Principle of momentsआघूर्णों का सिद्धांतPrinciple of moments

For a lever in equilibrium about its fulcrum: F₁d₁ = F₂d₂ — load × load arm = effort × effort arm. Mechanical advantage = F₁/F₂ = d₂/d₁; a long effort arm lets a small effort lift a large load (see-saw, crowbar).आलंब के परितः संतुलित उत्तोलक के लिए: F₁d₁ = F₂d₂ — भार × भार भुजा = आयास × आयास भुजा। यांत्रिक लाभ = F₁/F₂ = d₂/d₁; लंबी आयास भुजा से कम आयास बड़ा भार उठाता है (सी-सॉ, सब्बल)।Lever ke liye: F₁d₁ = F₂d₂ — load × load arm = effort × effort arm. Mechanical advantage = d₂/d₁.

6.8.2Centre of gravityगुरुत्व केंद्रCentre of gravity

The centre of gravity (CG) is the point about which the total gravitational torque is zero; a body balances when supported there. If g is the same over the body, CG = CM. For a very large body (a mountain) g varies, and they differ. An irregular lamina’s CG is found by hanging it from two points and drawing the verticals through them — they cross at the CG.गुरुत्व केंद्र (CG) वह बिंदु है जिसके परितः कुल गुरुत्वीय बल आघूर्ण शून्य हो; वहाँ टिकाने पर पिंड संतुलित रहता है। यदि पूरे पिंड पर g समान हो तो CG = CM। बहुत बड़े पिंड (पर्वत) में g बदलता है, और दोनों भिन्न होते हैं। अनियमित पटल को दो बिंदुओं से लटकाकर ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खींचें — उनका कटान बिंदु CG है।Centre of gravity (CG): jiske around gravity ka total torque zero; wahan tikaao to balance. g same ho to CG = CM. Bade pahaad mein alag. Irregular lamina ko do points se latkaakar verticals kheencho — CG mil jaata.

Solved (NCERT Example 6.8)A uniform 70 cm, 4.00 kg bar rests on knife-edges 10 cm from each end (K₁ at 10 cm, K₂ at 60 cm); 6.00 kg hangs at 30 cm. R₁ + R₂ = 10g. Moments about K₁: R₂ × 50 = 4g × 25 + 6g × 20 ⇒ R₂ = 4.4g ≈ 43 N; R₁ = 5.6g ≈ 55 N (g = 9.8).हल (NCERT उदाहरण 6.8)70 cm, 4.00 kg की एकसमान छड़ सिरों से 10 cm दूर क्षुर-धारों पर (K₁ 10 cm, K₂ 60 cm); 6.00 kg 30 cm पर लटका। R₁ + R₂ = 10g। K₁ के परितः आघूर्ण: R₂ × 50 = 4g × 25 + 6g × 20 ⇒ R₂ = 4.4g ≈ 43 N; R₁ = 5.6g ≈ 55 N।Solved (NCERT Example 6.8)R₁ + R₂ = 10g; K₁ ke around: R₂ × 50 = 100g + 120g ⇒ R₂ ≈ 43 N, R₁ ≈ 55 N.
Ladder against a frictionless wallघर्षणरहित दीवार से टिकी सीढ़ीLadder against a frictionless wallNCERT Fig 6.27 · 7 tappable partsNCERT चित्र 6.27 · 7 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 6.27 · 7 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 6.9)A 3 m, 20 kg ladder leans on a frictionless wall, foot 1 m away (Fig 6.27); the top is 2√2 m high. Vertical: N = W = 196 N. Moments about the foot: F₁ × 2√2 = 196 × 0.5 ⇒ F₁ = 34.6 N (wall). Horizontal: floor friction F = 34.6 N. Floor reaction = √(196² + 34.6²) ≈ 199 N, at about 80° to the floor.हल (NCERT उदाहरण 6.9)3 m, 20 kg की सीढ़ी घर्षणरहित दीवार से टिकी, पाद 1 m दूर (चित्र 6.27); शीर्ष 2√2 m ऊँचा। ऊर्ध्वाधर: N = W = 196 N। पाद के परितः आघूर्ण: F₁ × 2√2 = 196 × 0.5 ⇒ F₁ = 34.6 N (दीवार)। क्षैतिज: फर्श का घर्षण F = 34.6 N। फर्श की प्रतिक्रिया ≈ 199 N, फर्श से लगभग 80° पर।Solved (NCERT Example 6.9)N = 196 N; F₁ × 2√2 = 98 ⇒ F₁ = 34.6 N; floor reaction ≈ 199 N at 80° (Fig 6.27).

6.9Moment of inertiaजड़त्व आघूर्णMoment of inertia

Rotational KE of a rigid body: K = ½Σmᵢvᵢ² = ½(Σmᵢrᵢ²)ω² = ½Iω², where I = Σmᵢrᵢ² is the moment of inertia about the axis — the rotational analogue of mass (rotational inertia). It depends on the mass, its distribution about the axis, and the position/orientation of the axis. Unit kg m², dimensions [ML²]. Writing I = Mk², k is the radius of gyration. A flywheel has a large I so that engines run smoothly.दृढ़ पिंड की घूर्णी गतिज ऊर्जा: K = ½(Σmᵢrᵢ²)ω² = ½Iω², जहाँ I = Σmᵢrᵢ² अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है — द्रव्यमान का घूर्णी अनुरूप। यह द्रव्यमान, अक्ष के परितः उसके वितरण, और अक्ष की स्थिति/दिशा पर निर्भर है। मात्रक kg m², विमा [ML²]। I = Mk² लिखने पर k परिभ्रमण त्रिज्या है। गतिपालक पहिये का I बड़ा होता है ताकि इंजन सुचारु चले।Rotational KE: ½Iω², I = Σmᵢrᵢ² = moment of inertia — mass ka rotational roop. Mass, uska distribution aur axis par depend. Unit kg m². I = Mk², k = radius of gyration. Flywheel ka I bada — engine smooth.

6.10Kinematics of rotational motion about a fixed axisस्थिर अक्ष के परितः घूर्णी गति की शुद्धगतिकीRotational kinematics

With θ, ω, α in place of x, v, a, uniform angular acceleration gives: ω = ω₀ + αt, θ = θ₀ + ω₀t + ½αt², ω² = ω₀² + 2α(θ − θ₀).x, v, a के स्थान पर θ, ω, α लेकर, एकसमान कोणीय त्वरण के लिए: ω = ω₀ + αt, θ = θ₀ + ω₀t + ½αt², ω² = ω₀² + 2α(θ − θ₀)।x, v, a ki jagah θ, ω, α: ω = ω₀ + αt, θ = θ₀ + ω₀t + ½αt², ω² = ω₀² + 2α(θ − θ₀).

Solved (NCERT Examples 6.10, 6.11)6.10 dω/dt = α (constant) ⇒ ω = αt + c; at t = 0, ω = ω₀ ⇒ ω = ω₀ + αt. 6.11 A motor wheel goes from 1200 rpm to 3120 rpm in 16 s. ω₀ = 2π × 1200/60 = 40π rad s⁻¹, ω = 104π rad s⁻¹ ⇒ α = 64π/16 = 4π rad s⁻². θ = 40π × 16 + ½ × 4π × 16² = 1152π rad = 576 revolutions.हल (NCERT उदाहरण 6.10, 6.11)6.10 dω/dt = α (नियत) ⇒ ω = αt + c; t = 0 पर ω = ω₀ ⇒ ω = ω₀ + αt। 6.11 मोटर का पहिया 16 s में 1200 rpm से 3120 rpm। ω₀ = 40π, ω = 104π rad s⁻¹ ⇒ α = 4π rad s⁻²। θ = 640π + 512π = 1152π rad = 576 परिक्रमण।Solved (NCERT Examples 6.10, 6.11)6.10 ω = αt + c, c = ω₀. 6.11 ω₀ = 40π, ω = 104π ⇒ α = 4π rad s⁻²; θ = 1152π rad = 576 rev.

6.11Dynamics of rotational motion about a fixed axisस्थिर अक्ष के परितः घूर्णी गति की गतिकीRotational dynamics

Only the torque component along the axis matters, and only force components in the plane perpendicular to the axis contribute. Work done by a torque: dW = τ dθ; power P = τω. Since dK/dt = Iω dω/dt = τω, we get τ = Iα — Newton’s second law for rotation about a fixed axis.केवल अक्ष के अनुदिश बल आघूर्ण का घटक मायने रखता है, और केवल अक्ष के लंबवत तल में स्थित बल घटक योगदान देते हैं। बल आघूर्ण द्वारा कार्य: dW = τ dθ; शक्ति P = τω। dK/dt = Iω dω/dt = τω से τ = Iα — स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम।Sirf axis ke along torque matter karta. Kaam dW = τ dθ; power P = τω. Isse τ = Iα — rotation ka Newton ka doosra niyam.

F = ma ↔ τ = Iα
force ↔ torque, mass ↔ moment of inertiaबल ↔ बल आघूर्ण, द्रव्यमान ↔ जड़त्व आघूर्णforce ↔ torque, mass ↔ MI
½mv² ↔ ½Iω²; p = mv ↔ L = Iω
kinetic energy and momentumगतिज ऊर्जा और संवेगKE aur momentum
P = Fv ↔ P = τω; W = ∫F dx ↔ W = ∫τ dθ
power and work (Table 6.2)शक्ति और कार्य (सारणी 6.2)power aur work (Table 6.2)
Flywheel turned by a pull on a cordडोरी के खिंचाव से घूमता गतिपालक पहियाFlywheel turned by a pull on a cordNCERT Fig 6.31 · 6 tappable partsNCERT चित्र 6.31 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 6.31 · 6 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 6.12)A 25 N pull on a cord wound round a 20 kg, 20 cm-radius flywheel (Fig 6.31). (a) τ = 25 × 0.2 = 5 N m; I = ½MR² = 0.4 kg m² ⇒ α = 12.5 rad s⁻². (b) Work for 2 m of cord = 25 × 2 = 50 J. (c) θ = 2/0.2 = 10 rad; ω² = 2 × 12.5 × 10 = 250 ⇒ K = ½ × 0.4 × 250 = 50 J. (d) The answers agree: with frictionless bearings all the work becomes rotational KE.हल (NCERT उदाहरण 6.12)20 kg, 20 cm त्रिज्या के गतिपालक पर लिपटी डोरी पर 25 N का खिंचाव (चित्र 6.31)। (a) τ = 5 N m; I = 0.4 kg m² ⇒ α = 12.5 rad s⁻²। (b) 2 m डोरी के लिए कार्य = 50 J। (c) θ = 10 rad; ω² = 250 ⇒ K = 50 J। (d) उत्तर समान: घर्षणरहित धुरी में सारा कार्य घूर्णी गतिज ऊर्जा बनता है।Solved (NCERT Example 6.12)(a) τ = 5 N m, I = 0.4 ⇒ α = 12.5 rad s⁻². (b) 50 J. (c) ω² = 250 ⇒ K = 50 J. (d) Barabar — saara kaam rotational KE (Fig 6.31).

6.12Angular momentum in case of rotation about a fixed axisस्थिर अक्ष के परितः घूर्णन में कोणीय संवेगFixed axis rotation mein angular momentum

The component of angular momentum along the fixed axis is L = Iω, and dL/dt = τ_ext (along the axis). For a rigid body I is constant, so this is again τ = Iα.स्थिर अक्ष के अनुदिश कोणीय संवेग का घटक L = Iω है, और dL/dt = τ_बाह्य (अक्ष के अनुदिश)। दृढ़ पिंड के लिए I नियत, अतः यह फिर τ = Iα है।Axis ke along L = Iω, dL/dt = τ_ext. Rigid body mein I constant ⇒ τ = Iα.

6.12.1Conservation of angular momentumकोणीय संवेग का संरक्षणAngular momentum ka sanrakshan

If the external torque is zero, Iω = constant: if I decreases, ω increases. A person on a freely rotating chair pulls the arms in and spins faster; a diver or acrobat tucks in to spin faster and opens out to slow down before entering the water.यदि बाह्य बल आघूर्ण शून्य हो, तो Iω = नियत: I घटे तो ω बढ़ता है। स्वतंत्र रूप से घूमती कुर्सी पर बैठा व्यक्ति बाँहें समेटता है तो तेज़ घूमता है; गोताखोर या कलाबाज़ शरीर सिकोड़कर तेज़ घूमता है और पानी में घुसने से पहले फैलकर धीमा होता है।External torque zero to Iω = constant: I ghate to ω badhe. Ghoomti kursi par baahein samet lo — tez ghoomoge; diver sikudkar tez ghoomta.

★ Yaad rakho — quick revision★ याद रखो — झटपट दोहराव★ Yaad rakho — quick revision

  1. CM: R = Σmᵢrᵢ/M; MA = F_ext; P = MV, dP/dt = F_ext.CM: R = Σmᵢrᵢ/M; MA = F_बाह्य; P = MV, dP/dt = F_बाह्य।CM: R = Σmᵢrᵢ/M; MA = F_ext; P = MV.
  2. a × b = ab sin θ n̂ (right-hand rule); a × b = −b × a; î × ĵ = k̂.a × b = ab sin θ n̂ (दाएँ हाथ का नियम); a × b = −b × a; î × ĵ = k̂।a × b = ab sin θ n̂; a × b = −b × a; î × ĵ = k̂.
  3. Torque τ = r × F = r⊥F; angular momentum l = r × p; dL/dt = τ_ext.बल आघूर्ण τ = r × F = r⊥F; कोणीय संवेग l = r × p; dL/dt = τ_बाह्य।τ = r × F = r⊥F; l = r × p; dL/dt = τ_ext.
  4. Equilibrium: ΣF = 0 and Στ = 0. Lever: F₁d₁ = F₂d₂.संतुलन: ΣF = 0 और Στ = 0। उत्तोलक: F₁d₁ = F₂d₂।Equilibrium: ΣF = 0, Στ = 0. Lever: F₁d₁ = F₂d₂.
  5. I = Σmr² = Mk²; ring MR², disc MR²/2, rod ML²/12, solid sphere 2MR²/5.I = Σmr² = Mk²; वलय MR², चकती MR²/2, छड़ ML²/12, ठोस गोला 2MR²/5।I = Σmr² = Mk²; ring MR², disc MR²/2, rod ML²/12, sphere 2MR²/5.
  6. τ = Iα, K = ½Iω², L = Iω, P = τω; ω = ω₀ + αt etc.τ = Iα, K = ½Iω², L = Iω, P = τω; ω = ω₀ + αt आदि।τ = Iα, K = ½Iω², L = Iω, P = τω.
  7. No external torque ⇒ Iω = constant (pull arms in → spin faster).बाह्य बल आघूर्ण शून्य ⇒ Iω = नियत (बाँहें समेटो → तेज़ घूर्णन)।τ_ext = 0 ⇒ Iω = constant.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Assuming the CM must lie inside the body. For a ring or a hollow sphere it is at the centre, where there is no material.मानना कि CM पिंड के अंदर ही होगा। वलय या खोखले गोले में यह केंद्र पर है जहाँ पदार्थ नहीं।CM body ke andar hi maanna. Ring mein centre par — wahan material nahi.
  • Writing a × b = b × a. The cross product changes sign when the order is reversed.a × b = b × a लिखना। क्रम बदलने पर चिह्न बदलता है।a × b = b × a likhna. Order badlo to sign badalta.
  • Taking torque = force × distance to the point of application. Use the perpendicular distance to the line of action (r sin θ).बल आघूर्ण = बल × लगने के बिंदु तक दूरी लेना। क्रिया-रेखा तक लंबवत दूरी (r sin θ) लीजिए।Torque = force × point tak doori lena. Line of action tak perpendicular doori lo.
  • Thinking moment of inertia depends only on mass. It depends on how the mass is distributed and on the axis.सोचना कि जड़त्व आघूर्ण केवल द्रव्यमान पर निर्भर है। वितरण और अक्ष पर भी निर्भर है।MI sirf mass par depend maanna. Distribution aur axis par bhi.
  • Thinking a couple has zero effect because ΣF = 0. It has a net torque and causes rotation.सोचना कि बल युग्म का प्रभाव शून्य है क्योंकि ΣF = 0। इसका कुल बल आघूर्ण है और यह घुमाता है।Couple ka asar zero maanna. Torque hai, ghumaata hai.
  • Assuming rotational KE is conserved when a spinning skater pulls in her arms. L is conserved; KE increases (she does work).मानना कि बाँहें समेटने पर घूर्णी गतिज ऊर्जा संरक्षित है। L संरक्षित है; गतिज ऊर्जा बढ़ती है (वह कार्य करती है)।Baahein sametne par KE conserved maanna. L conserved; KE badhti.

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

6.1 Give the location of the CM of a uniform (i) sphere (ii) cylinder (iii) ring (iv) cube. Does the CM necessarily lie inside the body?6.1 एकसमान (i) गोले (ii) बेलन (iii) वलय (iv) घन का CM कहाँ है? क्या CM सदा पिंड के अंदर होता है?6.1 Uniform sphere, cylinder, ring, cube ka CM? Kya hamesha andar?
At the geometric centre in all four cases (by symmetry). No — for a ring (or a hollow sphere/cylinder) the CM is at the centre, where there is no mass.चारों में ज्यामितीय केंद्र पर (सममिति)। नहीं — वलय (या खोखले गोले/बेलन) का CM केंद्र पर है, जहाँ द्रव्यमान नहीं।Chaaron mein geometric centre. Nahi — ring ka CM khaali centre mein.
6.2 In HCl the nuclei are 1.27 Å apart; Cl is about 35.5 times as massive as H. Find the approximate location of the CM.6.2 HCl में नाभिकों की दूरी 1.27 Å; Cl, H से लगभग 35.5 गुना भारी। CM की लगभग स्थिति?6.2 HCl, 1.27 Å, Cl = 35.5 H. CM kahaan?
With H at the origin: x = (m × 0 + 35.5m × 1.27)/(36.5m) = 1.24 Å from the H nucleus (only about 0.035 Å from the Cl nucleus) on the line joining them.H मूल बिंदु पर: x = 35.5 × 1.27/36.5 = H नाभिक से 1.24 Å (Cl नाभिक से केवल ~0.035 Å), दोनों को मिलाने वाली रेखा पर।x = 35.5 × 1.27/36.5 = H se 1.24 Å.
6.3 A child sits at one end of a long trolley moving uniformly at V on a smooth floor. If the child gets up and runs about, what is the speed of the CM of (trolley + child)?6.3 चिकने फर्श पर V से एकसमान चलती लंबी ट्रॉली के सिरे पर बच्चा बैठा है। बच्चा उठकर किसी भी तरह दौड़े, तो (ट्रॉली + बच्चा) के CM की चाल?6.3 Trolley V se, bachcha daude to CM ki speed?
Unchanged, V. The child’s forces on the trolley are internal; no external horizontal force acts, so the CM velocity does not change.अपरिवर्तित, V। बच्चे के बल आंतरिक हैं; कोई क्षैतिज बाह्य बल नहीं, अतः CM का वेग नहीं बदलता।V hi — internal forces, CM velocity same.
6.4 Show that the area of the triangle contained between vectors a and b is half of |a × b|.6.4 दिखाइए कि सदिशों a और b के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल |a × b| का आधा है।6.4 Triangle ka area = ½|a × b| dikhaiye.
Draw a and b from O to A and B, angle θ. Height of B above OA = b sin θ, so area = ½ × a × b sin θ = ½|a × b|. (|a × b| itself is the area of the parallelogram on a and b.)a और b को O से A और B तक, कोण θ। OA से B की ऊँचाई = b sin θ, अतः क्षेत्रफल = ½ ab sin θ = ½|a × b|।Height = b sin θ ⇒ area = ½ab sin θ = ½|a × b|.
6.5 Show that a·(b × c) equals in magnitude the volume of the parallelepiped formed on a, b and c.6.5 दिखाइए कि a·(b × c) का परिमाण a, b, c पर बने समांतर षट्फलक के आयतन के बराबर है।6.5 a·(b × c) = parallelepiped ka volume dikhaiye.
|b × c| = bc sin θ = area of the base parallelogram, and b × c is along the normal n̂ to the base. a·(b × c) = (base area) × a cos φ, where a cos φ is the height of the parallelepiped (φ = angle between a and n̂). So |a·(b × c)| = base area × height = volume.|b × c| = आधार समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, और b × c आधार के अभिलंब n̂ के अनुदिश। a·(b × c) = (आधार क्षेत्रफल) × a cos φ, जहाँ a cos φ ऊँचाई है। अतः |a·(b × c)| = आयतन।|b × c| = base area; a cos φ = height ⇒ volume.
6.6 Find the x, y, z components of l = r × p for r = (x, y, z), p = (pₓ, p_y, p_z). Show that motion in the x-y plane gives only a z-component.6.6 r = (x, y, z), p = (pₓ, p_y, p_z) के लिए l = r × p के घटक ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि x-y तल में गति हो तो केवल z-घटक होता है।6.6 l ke components; x-y plane mein sirf z component.
Determinant: lₓ = yp_z − zp_y, l_y = zpₓ − xp_z, l_z = xp_y − ypₓ. In the x-y plane z = 0 and p_z = 0, so lₓ = l_y = 0 and l = (xp_y − ypₓ)k̂.सारणिक से: lₓ = yp_z − zp_y, l_y = zpₓ − xp_z, l_z = xp_y − ypₓ। x-y तल में z = 0, p_z = 0 ⇒ lₓ = l_y = 0, l = (xp_y − ypₓ)k̂।lₓ = yp_z − zp_y, l_y = zpₓ − xp_z, l_z = xp_y − ypₓ; z = p_z = 0 ⇒ sirf l_z.
6.7 Two particles, each of mass m and speed v, move in opposite directions along parallel lines a distance d apart. Show that their total angular momentum is the same about any point.6.7 m द्रव्यमान और v चाल के दो कण d दूरी पर समांतर रेखाओं पर विपरीत दिशाओं में चलते हैं। दिखाइए कि कुल कोणीय संवेग हर बिंदु के परितः समान है।6.7 Do particles ulti disha, d doori. Total L har point ke around same dikhaiye.
About any point O: L = r₁ × mv + r₂ × (−mv) = (r₁ − r₂) × mv. r₁ − r₂ joins the two particles and does not depend on O; its component perpendicular to v is d. So L = mvd, the same about every point (it is a “couple” of momenta).किसी बिंदु O के परितः: L = r₁ × mv + r₂ × (−mv) = (r₁ − r₂) × mv। r₁ − r₂ दोनों कणों को जोड़ता है और O पर निर्भर नहीं; v के लंबवत उसका घटक d है। अतः L = mvd, हर बिंदु के परितः समान।L = (r₁ − r₂) × mv; r₁ − r₂ O par depend nahi ⇒ L = mvd.
6.8 A non-uniform 2 m bar of weight W hangs at rest from two light strings making 36.9° and 53.1° with the vertical (Fig 6.33). Find the distance d of its CG from the left end.6.8 W भार की 2 m लंबी असमान छड़ ऊर्ध्वाधर से 36.9° और 53.1° बनाती दो हल्की डोरियों से लटकी है (चित्र 6.33)। बाएँ सिरे से CG की दूरी d?6.8 2 m bar, strings 36.9° aur 53.1°. CG ki doori d?
Horizontal: T₁ sin 36.9° = T₂ sin 53.1° ⇒ 0.6T₁ = 0.8T₂ ⇒ T₁ = (4/3)T₂. Vertical: W = 0.8T₁ + 0.6T₂ = (5/3)T₂. Moments about the left end: W d = (T₂ cos 53.1°) × 2 = 1.2T₂ ⇒ d = 1.2/(5/3) = 0.72 m = 72 cm.क्षैतिज: 0.6T₁ = 0.8T₂ ⇒ T₁ = (4/3)T₂। ऊर्ध्वाधर: W = 0.8T₁ + 0.6T₂ = (5/3)T₂। बाएँ सिरे के परितः: W d = 0.6T₂ × 2 ⇒ d = 0.72 m = 72 cm।T₁ = (4/3)T₂, W = (5/3)T₂; W d = 1.2T₂ ⇒ d = 72 cm.
6.9 A 1800 kg car has axles 1.8 m apart; its CG is 1.05 m behind the front axle. Find the force of the ground on each front and each back wheel.6.9 1800 kg की कार के धुरों की दूरी 1.8 m; CG अगले धुरे से 1.05 m पीछे। हर अगले और हर पिछले पहिये पर भूमि का बल?6.9 Car 1800 kg, axles 1.8 m, CG 1.05 m peeche. Har wheel par force?
W = 1800 × 9.8 = 17640 N. Moments about the back axle: R_f × 1.8 = W × 0.75 ⇒ R_f = 7350 N ⇒ 3675 N on each front wheel. R_b = 17640 − 7350 = 10290 N ⇒ 5145 N on each back wheel.W = 17640 N। पिछले धुरे के परितः: R_f × 1.8 = W × 0.75 ⇒ R_f = 7350 N ⇒ हर अगले पहिये पर 3675 N। R_b = 10290 N ⇒ हर पिछले पहिये पर 5145 N।R_f = 7350 N ⇒ 3675 N each front; R_b = 10290 N ⇒ 5145 N each back.
6.10 Equal torques act on a hollow cylinder (about its axis) and a solid sphere (about a diameter) of the same mass and radius. Which gains greater angular speed in a given time?6.10 समान द्रव्यमान और त्रिज्या के खोखले बेलन (अक्ष के परितः) और ठोस गोले (व्यास के परितः) पर समान बल आघूर्ण। दिए समय में किसकी कोणीय चाल अधिक?6.10 Hollow cylinder vs solid sphere, same torque. Kiski ω zyada?
I_cyl = MR², I_sph = (2/5)MR². α = τ/I, so α_sph/α_cyl = 5/2. The solid sphere gains the greater angular speed (2.5 times).I_बेलन = MR², I_गोला = (2/5)MR²। α = τ/I ⇒ α_गोला/α_बेलन = 5/2। ठोस गोला (2.5 गुना)।I chhota sphere ka ⇒ solid sphere, 2.5 guna.
6.11 A 20 kg solid cylinder of radius 0.25 m rotates about its axis at 100 rad s⁻¹. Rotational KE? Angular momentum?6.11 0.25 m त्रिज्या का 20 kg ठोस बेलन अपनी अक्ष के परितः 100 rad s⁻¹ से घूमता है। घूर्णी गतिज ऊर्जा? कोणीय संवेग?6.11 Solid cylinder 20 kg, 0.25 m, 100 rad/s. KE? L?
I = ½ × 20 × 0.25² = 0.625 kg m². K = ½ × 0.625 × 100² = 3125 J; L = Iω = 62.5 J s.I = 0.625 kg m²। K = 3125 J; L = 62.5 J s।I = 0.625; K = 3125 J; L = 62.5 J s.
6.12 (a) A child at the centre of a turntable (40 rev/min) folds his arms, reducing I to 2/5 of its value. New angular speed? (b) Show that the rotational KE increases and explain why.6.12 (a) घूर्णी मंच (40 rev/min) के केंद्र पर खड़ा बच्चा बाँहें मोड़कर I को 2/5 कर देता है। नई कोणीय चाल? (b) दिखाइए कि घूर्णी गतिज ऊर्जा बढ़ती है; कारण?6.12 (a) Turntable 40 rpm, I → 2/5 I. Naya ω? (b) KE badhti kyon?
(a) Iω = I′ω′ ⇒ ω′ = 40 × 5/2 = 100 rev/min. (b) K′/K = (I′ω′²)/(Iω²) = (2/5)(5/2)² = 2.5. The extra energy comes from the child’s internal (muscular) energy — he does work pulling his arms in.(a) Iω = I′ω′ ⇒ ω′ = 100 rev/min। (b) K′/K = (2/5)(5/2)² = 2.5। अतिरिक्त ऊर्जा बच्चे की आंतरिक (पेशीय) ऊर्जा से — बाँहें समेटने में वह कार्य करता है।(a) 100 rpm. (b) K′/K = 2.5 — bachche ki muscular energy se.
6.13 A light rope is wound round a 3 kg hollow cylinder of radius 40 cm and pulled with 30 N. Angular acceleration? Linear acceleration of the rope?6.13 3 kg, 40 cm त्रिज्या के खोखले बेलन पर लिपटी हल्की रस्सी को 30 N से खींचा जाता है। कोणीय त्वरण? रस्सी का रैखिक त्वरण?6.13 Hollow cylinder 3 kg, 40 cm, 30 N. α? a?
I = MR² = 3 × 0.4² = 0.48 kg m²; τ = 30 × 0.4 = 12 N m ⇒ α = 25 rad s⁻²; a = Rα = 10 m s⁻².I = 0.48 kg m²; τ = 12 N m ⇒ α = 25 rad s⁻²; a = Rα = 10 m s⁻²।I = 0.48, τ = 12 ⇒ α = 25 rad s⁻², a = 10 m s⁻².
6.14 To keep a rotor at 200 rad s⁻¹ an engine transmits a torque of 180 N m. Power required (100% efficiency)?6.14 रोटर को 200 rad s⁻¹ पर रखने के लिए इंजन 180 N m बल आघूर्ण देता है। आवश्यक शक्ति (100% दक्षता)?6.14 200 rad/s, 180 N m. Power?
P = τω = 180 × 200 = 36 kW (this torque balances friction).P = τω = 36 kW (यह बल आघूर्ण घर्षण को संतुलित करता है)।P = τω = 36 kW.
6.15 From a uniform disc of radius R, a circular hole of radius R/2 is cut, its centre R/2 from the disc’s centre. Locate the CG of the remaining body.6.15 R त्रिज्या की एकसमान चकती से R/2 त्रिज्या का वृत्ताकार छेद काटा गया, जिसका केंद्र मूल केंद्र से R/2 पर है। शेष भाग का CG?6.15 Disc R se R/2 ka hole (centre R/2 par). Bache hisse ka CG?
Mass ∝ area: the hole has M/4, the rest 3M/4. With the origin at the centre and the hole at x = R/2: (3M/4)x + (M/4)(R/2) = M × 0 ⇒ x = −R/6. The CG is R/6 from the centre, on the side opposite the hole.द्रव्यमान ∝ क्षेत्रफल: छेद M/4, शेष 3M/4। केंद्र मूल बिंदु, छेद x = R/2 पर: (3M/4)x + (M/4)(R/2) = 0 ⇒ x = −R/6। CG केंद्र से R/6, छेद के विपरीत ओर।Hole M/4, baaki 3M/4 ⇒ x = −R/6: centre se R/6, hole ke ulti taraf.
6.16 A metre stick balances at its centre. With two 5 g coins stacked at the 12.0 cm mark it balances at 45.0 cm. Mass of the stick?6.16 मीटर छड़ केंद्र पर संतुलित है। 12.0 cm चिह्न पर 5 g के दो सिक्के रखने पर यह 45.0 cm पर संतुलित होती है। छड़ का द्रव्यमान?6.16 Metre stick, 10 g at 12 cm, balance 45 cm. Mass?
The stick’s weight acts at 50 cm. Moments about 45 cm: 10 × (45 − 12) = m × (50 − 45) ⇒ m = 330/5 = 66 g.छड़ का भार 50 cm पर। 45 cm के परितः: 10 × 33 = m × 5 ⇒ m = 66 g।10 × 33 = m × 5 ⇒ 66 g.
6.17 An O₂ molecule (5.30 × 10⁻²⁶ kg, I = 1.94 × 10⁻⁴⁶ kg m²) moves at 500 m s⁻¹, and its rotational KE is 2/3 of its translational KE. Average angular velocity?6.17 O₂ अणु (5.30 × 10⁻²⁶ kg, I = 1.94 × 10⁻⁴⁶ kg m²) 500 m s⁻¹ से चलता है, और उसकी घूर्णी गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय की 2/3 है। औसत कोणीय वेग?6.17 O₂, 500 m/s, rotational KE = 2/3 translational. ω?
K_t = ½ × 5.30 × 10⁻²⁶ × 500² = 6.63 × 10⁻²¹ J; K_r = (2/3)K_t = 4.42 × 10⁻²¹ J = ½Iω² ⇒ ω² = 4.55 × 10²⁵ ⇒ ω ≈ 6.75 × 10¹² rad s⁻¹.K_t = 6.63 × 10⁻²¹ J; K_r = 4.42 × 10⁻²¹ J = ½Iω² ⇒ ω ≈ 6.75 × 10¹² rad s⁻¹।K_r = 4.42 × 10⁻²¹ J ⇒ ω ≈ 6.75 × 10¹² rad s⁻¹.

🎯 Quiz — 13 questions🎯 क्विज़ — 13 प्रश्न🎯 Quiz — 13 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The centre of mass of a uniform ring liesएकसमान वलय का द्रव्यमान केंद्र होता हैUniform ring ka CM

2. A shell explodes in mid-air. The centre of mass of the fragmentsहवा में गोला फटता है। टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्रShell phata. Tukdon ka CM

3. î × ĵ equalsî × ĵ बराबर हैî × ĵ =

4. The SI unit of torque isबल आघूर्ण का SI मात्रकTorque ki SI unit

5. Torque about a point is zero when the forceकिसी बिंदु के परितः बल आघूर्ण शून्य होता है जब बलTorque zero jab force

6. A couple producesबल युग्म उत्पन्न करता हैCouple deta hai

7. Moment of inertia of a thin rod (mass M, length L) about a perpendicular axis through its midpoint:M द्रव्यमान, L लंबाई की पतली छड़ का मध्य बिंदु से लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्णRod ka MI (midpoint, perpendicular)

8. Which has the largest moment of inertia about its own axis for the same M and R?समान M और R के लिए अपनी अक्ष के परितः किसका जड़त्व आघूर्ण सबसे अधिक?Same M, R: sabse zyada MI?

9. Newton’s second law for rotation about a fixed axis isस्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियमRotation ka doosra niyam

10. A wheel speeds up from 1200 rpm to 3120 rpm in 16 s. Its angular acceleration isपहिया 16 s में 1200 rpm से 3120 rpm। कोणीय त्वरण1200 → 3120 rpm, 16 s. α?

11. A skater pulls her arms in while spinning. Her angular speedघूमती स्केटर बाँहें समेटती है। उसकी कोणीय चालSkater baahein sameti. ω

12. Power delivered by a torque τ at angular speed ω isकोणीय चाल ω पर बल आघूर्ण τ की शक्तिTorque ki power

13. If no external torque acts on a system, which is conserved?निकाय पर बाह्य बल आघूर्ण न हो, तो क्या संरक्षित है?External torque zero to kya conserved?

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.