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Ch 3Motion in a Planeसमतल में गतिMotion in a Plane (Samtal mein gati)

Scalars and vectors, adding and resolving vectors, motion with constant acceleration in a plane, projectile motion and uniform circular motion — with every NCERT example and exercise solved.अदिश और सदिश, सदिशों का योग और वियोजन, समतल में नियत त्वरण से गति, प्रक्षेप्य गति और एकसमान वृत्तीय गति — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।Scalars aur vectors, vectors ka addition aur resolution, plane mein constant acceleration se motion, projectile motion aur uniform circular motion — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के डायग्रामIs chapter ke diagrams

Adding vectors: triangle and parallelogram lawsसदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियमAdding vectors: triangle and parallelogram lawsFig 3.4 & 3.10Resolving a vector into rectangular componentsसदिश का समकोणिक घटकों में वियोजनResolving a vector into rectangular componentsFig 3.9Rain, wind and the umbrellaवर्षा, हवा और छाताRain, wind and the umbrellaExample 3.1Projectile motion: path, height and rangeप्रक्षेप्य गति: पथ, ऊँचाई और परासProjectile motion: path, height and rangeFig 3.16 & 3.17Uniform circular motion and centripetal accelerationएकसमान वृत्तीय गति और अभिकेंद्र त्वरणUniform circular motion and centripetal accelerationFig 3.18
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 3.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 3.2Scalars and vectorsअदिश एवं सदिशScalars aur vectors
  3. 3.3Multiplication of vectors by real numbersसदिशों का वास्तविक संख्याओं से गुणनVectors ka real numbers se multiplication
  4. 3.4Addition and subtraction of vectors — graphical methodसदिशों का योग व व्यवकलन — ग्राफी विधिVectors ka addition/subtraction — graphical method
  5. 3.5Resolution of vectorsसदिशों का वियोजनVectors ka resolution
  6. 3.6Vector addition — analytical methodसदिश योग — विश्लेषणात्मक विधिVector addition — analytical method
  7. 3.7Motion in a planeसमतल में गतिPlane mein motion
  8. 3.8Motion in a plane with constant accelerationनियत त्वरण से समतल में गतिConstant acceleration se plane mein motion
  9. 3.9Projectile motionप्रक्षेप्य गतिProjectile motion
  10. 3.10Uniform circular motionएकसमान वृत्तीय गतिUniform circular motion
  11. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  12. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  13. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  14. 🎯Quizक्विज़Quiz

3.1IntroductionभूमिकाIntroduction

In one dimension, + and − signs were enough for direction. In two dimensions (a plane) or three (space), we need vectors. This chapter builds the language of vectors and then studies motion in a plane: constant acceleration, projectile motion and uniform circular motion.एक विमा में दिशा के लिए + और − चिह्न पर्याप्त थे। दो विमाओं (समतल) या तीन (आकाश) में सदिश चाहिए। यह अध्याय सदिशों की भाषा बनाता है और फिर समतल में गति पढ़ता है: नियत त्वरण, प्रक्षेप्य गति और एकसमान वृत्तीय गति।Ek dimension mein direction ke liye + aur − kaafi the. Do dimension (plane) ya teen (space) mein vectors chahiye. Ye chapter vectors ki language banata hai aur phir plane mein motion: constant acceleration, projectile motion aur uniform circular motion.

3.2Scalars and vectorsअदिश एवं सदिशScalars aur vectors

A scalar has only magnitude (a number with a unit): distance, mass, temperature, time, work. Scalars add like ordinary numbers. A vector has magnitude and direction and obeys the triangle (or parallelogram) law of addition: displacement, velocity, acceleration, force. A vector is printed bold (v) or written with an arrow; its magnitude is |v| or v.अदिश का केवल परिमाण होता है (मात्रक सहित एक संख्या): दूरी, द्रव्यमान, ताप, समय, कार्य। अदिश साधारण संख्याओं की तरह जुड़ते हैं। सदिश का परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और वह योग के त्रिभुज (या समांतर चतुर्भुज) नियम का पालन करता है: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल। सदिश को मोटे अक्षर (v) या तीर से लिखते हैं; परिमाण |v| या v।Scalar mein sirf magnitude (unit ke saath number): distance, mass, temperature, time, work. Scalars normal numbers ki tarah judte hain. Vector mein magnitude aur direction dono, aur ye triangle (ya parallelogram) law follow karta hai: displacement, velocity, acceleration, force. Vector bold (v) ya arrow se; magnitude |v| ya v.

Position vector r = OP joins the origin O to the object’s position P. If the object moves from P to P′, the displacement vector PP′ = r′ − r depends only on the initial and final positions, not on the path. Two vectors are equal if they have the same magnitude and direction — a vector can be shifted parallel to itself without changing it.स्थिति सदिश r = OP मूल बिंदु O को वस्तु की स्थिति P से जोड़ता है। वस्तु P से P′ जाए तो विस्थापन सदिश PP′ = r′ − r केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर है, पथ पर नहीं। दो सदिश बराबर हैं यदि उनका परिमाण और दिशा समान हो — सदिश को स्वयं के समांतर खिसकाने से वह नहीं बदलता।Position vector r = OP origin O ko object ki position P se jodta hai. Object P se P′ jaaye to displacement vector PP′ = r′ − r sirf initial aur final position par depend, path par nahi. Do vectors equal agar magnitude aur direction same — vector ko apne parallel khiskaane se wo nahi badalta.

3.3Multiplication of vectors by real numbersसदिशों का वास्तविक संख्याओं से गुणनVectors ka real numbers se multiplication

λA has magnitude |λ|A; its direction is the same as A if λ > 0 and opposite if λ < 0. The factor λ may carry its own dimension: velocity × time gives a displacement vector. −A has the same magnitude as A but opposite direction.λA का परिमाण |λ|A है; λ > 0 पर दिशा A जैसी और λ < 0 पर विपरीत। λ की अपनी विमा भी हो सकती है: वेग × समय = विस्थापन सदिश। −A का परिमाण A के बराबर पर दिशा विपरीत।λA ka magnitude |λ|A; λ > 0 par direction A jaisi, λ < 0 par ulti. λ ki apni dimension bhi ho sakti: velocity × time = displacement vector. −A ka magnitude A jitna par direction ulti.

3.4Addition and subtraction of vectors — graphical methodसदिशों का योग व व्यवकलन — ग्राफी विधिVectors ka addition/subtraction — graphical method

Triangle (head-to-tail) law: place the tail of B at the head of A; R = A + B runs from the tail of A to the head of B. Parallelogram law: draw A and B from one point; the diagonal from that point is R (diagram). Vector addition is commutative (A + B = B + A) and associative ((A + B) + C = A + (B + C)). A + (−A) = 0, the null vector (zero magnitude, no definite direction). Subtraction: A − B = A + (−B).त्रिभुज (शीर्ष-पुच्छ) नियम: B की पुच्छ को A के शीर्ष पर रखें; R = A + B, A की पुच्छ से B के शीर्ष तक। समांतर चतुर्भुज नियम: A और B को एक बिंदु से खींचें; उस बिंदु से विकर्ण R है (डायग्राम)। सदिश योग क्रमविनिमेय (A + B = B + A) और साहचर्य ((A + B) + C = A + (B + C)) है। A + (−A) = 0, शून्य सदिश (परिमाण शून्य, कोई निश्चित दिशा नहीं)। व्यवकलन: A − B = A + (−B)।Triangle (head-to-tail) law: B ki tail ko A ke head par rakhiye; R = A + B, A ki tail se B ke head tak. Parallelogram law: A aur B ek point se; us point se diagonal R (diagram). Vector addition commutative (A + B = B + A) aur associative. A + (−A) = 0, null vector (magnitude zero, koi fixed direction nahi). Subtraction: A − B = A + (−B).

Adding vectors: triangle and parallelogram lawsसदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियमAdding vectors: triangle and parallelogram lawsNCERT Fig 3.4 & 3.10 · 7 tappable partsNCERT चित्र 3.4 & 3.10 · 7 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 3.4 & 3.10 · 7 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 3.1)Rain falls vertically at 35 m s⁻¹; wind blows east to west at 12 m s⁻¹. Resultant R = √(35² + 12²) = 37 m s⁻¹ at tan θ = 12/35 = 0.343 → θ ≈ 19° with the vertical. The boy should hold the umbrella in the vertical plane, tilted about 19° from the vertical towards the east (diagram).हल (NCERT उदाहरण 3.1)वर्षा 35 m s⁻¹ से ऊर्ध्वाधर गिर रही है; हवा 12 m s⁻¹ से पूर्व से पश्चिम बहती है। परिणामी R = √(35² + 12²) = 37 m s⁻¹, tan θ = 12/35 = 0.343 → ऊर्ध्वाधर से θ ≈ 19°। लड़के को छाता ऊर्ध्वाधर तल में ऊर्ध्वाधर से लगभग 19° पूर्व की ओर झुकाकर पकड़ना चाहिए (डायग्राम)।Solved (NCERT Example 3.1)Baarish 35 m s⁻¹ se seedhi gir rahi; hawa 12 m s⁻¹ east se west. R = √(35² + 12²) = 37 m s⁻¹, tan θ = 12/35 = 0.343 → vertical se θ ≈ 19°. Ladka chhata vertical plane mein vertical se ~19° east ki taraf jhuka kar pakde (diagram).
Rain, wind and the umbrellaवर्षा, हवा और छाताRain, wind and the umbrellaNCERT Example 3.1 · 5 tappable partsNCERT उदाहरण 3.1 · 5 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Example 3.1 · 5 tappable partsOpen

3.5Resolution of vectorsसदिशों का वियोजनVectors ka resolution

Any vector in a plane can be written as a sum of multiples of two non-parallel vectors: A = λa + μb. With the unit vectors î, ĵ, k̂ (magnitude 1, no unit, along x, y, z), a vector in the x-y plane is A = Aₓî + A_yĵ, where Aₓ = A cos θ and A_y = A sin θ are its components (Fig 3.9). Conversely A = √(Aₓ² + A_y²) and tan θ = A_y/Aₓ. In 3-D, A = Aₓî + A_yĵ + A_zk̂ with A = √(Aₓ² + A_y² + A_z²).समतल का कोई भी सदिश दो असमांतर सदिशों के गुणजों के योग के रूप में लिखा जा सकता है: A = λa + μb। एकांक सदिश î, ĵ, k̂ (परिमाण 1, मात्रक नहीं, x, y, z के अनुदिश) से x-y तल का सदिश A = Aₓî + A_yĵ, जहाँ Aₓ = A cos θ और A_y = A sin θ इसके घटक हैं (चित्र 3.9)। विलोमतः A = √(Aₓ² + A_y²) और tan θ = A_y/Aₓ। 3-D में A = Aₓî + A_yĵ + A_zk̂, A = √(Aₓ² + A_y² + A_z²)।Plane ka koi bhi vector do non-parallel vectors ke multiples ke sum mein likha ja sakta hai: A = λa + μb. Unit vectors î, ĵ, k̂ (magnitude 1, unit nahi, x, y, z ke along) se A = Aₓî + A_yĵ, jahaan Aₓ = A cos θ aur A_y = A sin θ components hain (Fig 3.9). Ulta: A = √(Aₓ² + A_y²), tan θ = A_y/Aₓ. 3-D mein A = Aₓî + A_yĵ + A_zk̂.

Resolving a vector into rectangular componentsसदिश का समकोणिक घटकों में वियोजनResolving a vector into rectangular componentsNCERT Fig 3.9 · 5 tappable partsNCERT चित्र 3.9 · 5 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 3.9 · 5 tappable partsOpen

3.6Vector addition — analytical methodसदिश योग — विश्लेषणात्मक विधिVector addition — analytical method

Add component by component: if R = A + B then Rₓ = Aₓ + Bₓ and R_y = A_y + B_y. For two vectors at angle θ, the parallelogram geometry gives the law of cosines and the direction from the law of sines.घटक-दर-घटक जोड़ें: यदि R = A + B तो Rₓ = Aₓ + Bₓ और R_y = A_y + B_y। θ कोण पर दो सदिशों के लिए समांतर चतुर्भुज की ज्यामिति से कोज्या नियम और दिशा के लिए ज्या नियम मिलता है।Component by component jodiye: R = A + B to Rₓ = Aₓ + Bₓ, R_y = A_y + B_y. θ angle par do vectors ke liye parallelogram geometry se law of cosines aur direction ke liye law of sines.

R = √(A² + B² + 2AB cos θ)
magnitude of the resultant (3.24a)परिणामी का परिमाण (3.24a)resultant ka magnitude (3.24a)
R / sin θ = A / sin β = B / sin α
law of sines; α = angle of R with A (3.24b)ज्या नियम; α = R का A से कोण (3.24b)law of sines; α = R ka A se angle (3.24b)
Solved (NCERT Example 3.3)A boat heads north at 25 km/h; the current flows at 10 km/h, 60° east of south. Angle between them = 120°. R = √(25² + 10² + 2 × 25 × 10 cos 120°) = √475 ≈ 22 km/h. sin φ = (10/21.8) sin 120° = 0.397 → φ ≈ 23.4° east of north.हल (NCERT उदाहरण 3.3)नाव उत्तर की ओर 25 km/h; धारा 10 km/h, दक्षिण से 60° पूर्व। दोनों के बीच कोण = 120°। R = √(25² + 10² + 2 × 25 × 10 cos 120°) = √475 ≈ 22 km/h। sin φ = (10/21.8) sin 120° = 0.397 → उत्तर से φ ≈ 23.4° पूर्व।Solved (NCERT Example 3.3)Boat north 25 km/h; current 10 km/h, south se 60° east. Beech ka angle = 120°. R = √(25² + 10² + 2 × 25 × 10 cos 120°) = √475 ≈ 22 km/h. sin φ = (10/21.8) sin 120° = 0.397 → north se φ ≈ 23.4° east.

3.7Motion in a planeसमतल में गतिPlane mein motion

Position r = xî + yĵ. Displacement Δr = Δxî + Δyĵ. Velocity v = dr/dt = vₓî + v_yĵ with vₓ = dx/dt, v_y = dy/dt; it is always along the tangent to the path. Acceleration a = dv/dt = aₓî + a_yĵ with aₓ = dvₓ/dt, a_y = dv_y/dt. Magnitude v = √(vₓ² + v_y²), direction tan θ = v_y/vₓ.स्थिति r = xî + yĵ। विस्थापन Δr = Δxî + Δyĵ। वेग v = dr/dt = vₓî + v_yĵ, vₓ = dx/dt, v_y = dy/dt; यह सदा पथ की स्पर्श-रेखा के अनुदिश होता है। त्वरण a = dv/dt = aₓî + a_yĵ, aₓ = dvₓ/dt, a_y = dv_y/dt। परिमाण v = √(vₓ² + v_y²), दिशा tan θ = v_y/vₓ।Position r = xî + yĵ. Displacement Δr = Δxî + Δyĵ. Velocity v = dr/dt = vₓî + v_yĵ; ye hamesha path ke tangent ke along. Acceleration a = dv/dt = aₓî + a_yĵ. Magnitude v = √(vₓ² + v_y²), direction tan θ = v_y/vₓ.

Solved (NCERT Example 3.4)r = 3.0t î + 2.0t² ĵ + 5.0 k̂ m. (a) v = dr/dt = 3.0î + 4.0t ĵ m s⁻¹; a = dv/dt = 4.0 ĵ m s⁻² (along y). (b) At t = 1.0 s: v = 3.0î + 4.0ĵ, |v| = 5.0 m s⁻¹, θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53° with the x-axis.हल (NCERT उदाहरण 3.4)r = 3.0t î + 2.0t² ĵ + 5.0 k̂ m। (a) v = dr/dt = 3.0î + 4.0t ĵ m s⁻¹; a = dv/dt = 4.0 ĵ m s⁻² (y के अनुदिश)। (b) t = 1.0 s पर: v = 3.0î + 4.0ĵ, |v| = 5.0 m s⁻¹, θ = tan⁻¹(4/3) ≈ x-अक्ष से 53°।Solved (NCERT Example 3.4)r = 3.0t î + 2.0t² ĵ + 5.0 k̂ m. (a) v = 3.0î + 4.0t ĵ m s⁻¹; a = 4.0 ĵ m s⁻². (b) t = 1.0 s: v = 3.0î + 4.0ĵ, |v| = 5.0 m s⁻¹, θ ≈ x-axis se 53°.

3.8Motion in a plane with constant accelerationनियत त्वरण से समतल में गतिConstant acceleration se plane mein motion

With constant a the 1-D equations hold in vector form, and each component behaves independently: motion along x and along y are two separate straight-line motions linked only by time t.नियत a के साथ एकविमीय समीकरण सदिश रूप में लागू होते हैं, और हर घटक स्वतंत्र रूप से चलता है: x और y के अनुदिश गतियाँ दो अलग सरल रेखीय गतियाँ हैं जो केवल समय t से जुड़ी हैं।Constant a mein 1-D equations vector form mein lagti hain, aur har component independent: x aur y ki motions do alag straight-line motions hain jo sirf time t se judi hain.

v = v₀ + a t
vₓ = v₀ₓ + aₓt, v_y = v₀_y + a_yt (3.33)vₓ = v₀ₓ + aₓt, v_y = v₀_y + a_yt (3.33)vₓ = v₀ₓ + aₓt, v_y = v₀_y + a_yt (3.33)
r = r₀ + v₀ t + ½ a t²
x = x₀ + v₀ₓt + ½aₓt², y = y₀ + v₀_yt + ½a_yt² (3.34)x = x₀ + v₀ₓt + ½aₓt², y = y₀ + v₀_yt + ½a_yt² (3.34)x = x₀ + v₀ₓt + ½aₓt², y = y₀ + v₀_yt + ½a_yt² (3.34)
Solved (NCERT Example 3.5)Starts at the origin with v₀ = 5.0î m/s, a = (3.0î + 2.0ĵ) m/s². x = 5.0t + 1.5t², y = 1.0t². (a) x = 84 m ⇒ 1.5t² + 5t − 84 = 0 ⇒ t = 6 s, so y = 36 m. (b) v = (5 + 3 × 6)î + (2 × 6)ĵ = 23î + 12ĵ, speed = √(23² + 12²) ≈ 26 m s⁻¹.हल (NCERT उदाहरण 3.5)मूल बिंदु से v₀ = 5.0î m/s, a = (3.0î + 2.0ĵ) m/s²। x = 5.0t + 1.5t², y = 1.0t²। (a) x = 84 m ⇒ 1.5t² + 5t − 84 = 0 ⇒ t = 6 s, अतः y = 36 m। (b) v = (5 + 3 × 6)î + (2 × 6)ĵ = 23î + 12ĵ, चाल = √(23² + 12²) ≈ 26 m s⁻¹।Solved (NCERT Example 3.5)Origin se v₀ = 5.0î m/s, a = (3.0î + 2.0ĵ) m/s². x = 5.0t + 1.5t², y = 1.0t². (a) x = 84 m ⇒ t = 6 s, to y = 36 m. (b) v = 23î + 12ĵ, speed ≈ 26 m s⁻¹.

3.9Projectile motionप्रक्षेप्य गतिProjectile motion

A body thrown into the air and moving under gravity alone is a projectile. Launched with v₀ at angle θ₀: horizontally aₓ = 0, so vₓ = v₀ cos θ₀ stays constant; vertically a_y = −g. Eliminating t, the path is y = (tan θ₀)x − gx²/(2v₀² cos²θ₀) — a parabola (Fig 3.16–3.17).हवा में फेंकी गई और केवल गुरुत्व के अधीन चलती वस्तु प्रक्षेप्य है। θ₀ कोण पर v₀ से प्रक्षेपित: क्षैतिज aₓ = 0, अतः vₓ = v₀ cos θ₀ नियत; ऊर्ध्वाधर a_y = −g। t हटाने पर पथ y = (tan θ₀)x − gx²/(2v₀² cos²θ₀) — एक परवलय (चित्र 3.16–3.17)।Hawa mein phenki aur sirf gravity ke under chalti cheez projectile hai. θ₀ angle par v₀ se: horizontal aₓ = 0, to vₓ = v₀ cos θ₀ constant; vertical a_y = −g. t hataane par path y = (tan θ₀)x − gx²/(2v₀² cos²θ₀) — parabola (Fig 3.16–3.17).

Projectile motion: path, height and rangeप्रक्षेप्य गति: पथ, ऊँचाई और परासProjectile motion: path, height and rangeNCERT Fig 3.16 & 3.17 · 8 tappable partsNCERT चित्र 3.16 & 3.17 · 8 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 3.16 & 3.17 · 8 tappable partsOpen

Try it yourself: change the angle and speed in the projectile motion simulator and watch the range peak at 45°.खुद आज़माइए: प्रक्षेप्य गति सिम्युलेटर में कोण और चाल बदलिए और देखिए कि परास 45° पर अधिकतम होता है।Khud try kijiye: projectile motion simulator mein angle aur speed badliye aur dekhiye range 45° par maximum hoti hai.

t_m = v₀ sin θ₀ / g ; T_f = 2v₀ sin θ₀ / g
time to the top; time of flightशीर्ष तक का समय; उड्डयन कालtop tak ka time; time of flight
h_m = (v₀ sin θ₀)² / 2g
maximum heightअधिकतम ऊँचाईmaximum height
R = v₀² sin 2θ₀ / g ; R_max = v₀²/g at θ₀ = 45°
horizontal rangeक्षैतिज परासhorizontal range
Try it in our labChange the angle in the projectile motion simulator: 30° and 60° land at the same spot, and 45° goes farthest.हमारी लैब में करके देखिएप्रक्षेप्य गति सिम्युलेटर में कोण बदलिए: 30° और 60° एक ही जगह गिरते हैं, और 45° सबसे दूर जाता है।Hamari lab mein karke dekhiyeProjectile motion simulator mein angle badaliye: 30° aur 60° ek hi jagah girte hain, aur 45° sabse door jaata hai.
Solved (NCERT Examples 3.6–3.8)3.6 For θ₀ = 45° ± α: R = (v₀²/g) sin(90° ± 2α) = (v₀²/g) cos 2α — equal ranges (Galileo). 3.7 Stone thrown horizontally at 15 m s⁻¹ from a 490 m cliff: 490 = ½(9.8)t² ⇒ t = 10 s; v_y = 98 m s⁻¹, speed = √(15² + 98²) ≈ 99 m s⁻¹. 3.8 Ball at 28 m s⁻¹, 30°: h_m = (14)²/(2 × 9.8) = 10 m; T = 2 × 14/9.8 = 2.9 s; R = 28² sin 60°/9.8 ≈ 69 m.हल (NCERT उदाहरण 3.6–3.8)3.6 θ₀ = 45° ± α के लिए: R = (v₀²/g) sin(90° ± 2α) = (v₀²/g) cos 2α — परास बराबर (गैलीलियो)। 3.7 490 m ऊँची चट्टान से 15 m s⁻¹ से क्षैतिज फेंका पत्थर: 490 = ½(9.8)t² ⇒ t = 10 s; v_y = 98 m s⁻¹, चाल = √(15² + 98²) ≈ 99 m s⁻¹। 3.8 28 m s⁻¹, 30° पर गेंद: h_m = (14)²/(2 × 9.8) = 10 m; T = 2 × 14/9.8 = 2.9 s; R = 28² sin 60°/9.8 ≈ 69 m।Solved (NCERT Examples 3.6–3.8)3.6 θ₀ = 45° ± α: R = (v₀²/g) cos 2α — barabar range (Galileo). 3.7 490 m cliff se 15 m s⁻¹ horizontal: t = 10 s; v_y = 98 m s⁻¹, speed ≈ 99 m s⁻¹. 3.8 28 m s⁻¹, 30°: h_m = 10 m; T = 2.9 s; R ≈ 69 m.

3.10Uniform circular motionएकसमान वृत्तीय गतिUniform circular motion

A body moving on a circle with constant speed is in uniform circular motion. Its velocity changes in direction, so it accelerates. The acceleration always points towards the centre — the centripetal acceleration a_c = v²/R (Fig 3.18). Its magnitude is constant but its direction keeps changing, so it is not a constant vector.वृत्त पर नियत चाल से चलती वस्तु एकसमान वृत्तीय गति में है। उसके वेग की दिशा बदलती है, इसलिए त्वरण है। त्वरण सदा केंद्र की ओर — अभिकेंद्र त्वरण a_c = v²/R (चित्र 3.18)। परिमाण नियत पर दिशा बदलती रहती है, इसलिए यह नियत सदिश नहीं।Circle par constant speed se chalti cheez uniform circular motion mein hai. Velocity ki direction badalti hai, isliye acceleration hai. Acceleration hamesha centre ki taraf — centripetal acceleration a_c = v²/R (Fig 3.18). Magnitude constant par direction badalti hai, isliye constant vector nahi.

Uniform circular motion and centripetal accelerationएकसमान वृत्तीय गति और अभिकेंद्र त्वरणUniform circular motion and centripetal accelerationNCERT Fig 3.18 · 6 tappable partsNCERT चित्र 3.18 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 3.18 · 6 tappable partsOpen
ω = Δθ/Δt ; v = Rω
angular speed and linear speed (3.44, 3.45)कोणीय चाल और रैखिक चाल (3.44, 3.45)angular speed aur linear speed (3.44, 3.45)
a_c = v²/R = ω²R = 4π²ν²R
centripetal acceleration; ν = frequency, T = 1/νअभिकेंद्र त्वरण; ν = आवृत्ति, T = 1/νcentripetal acceleration; ν = frequency, T = 1/ν
Solved (NCERT Example 3.9)An insect in a circular groove of radius 12 cm makes 7 revolutions in 100 s. (a) ω = 2π × 7/100 = 0.44 rad s⁻¹; v = ωR = 0.44 × 12 = 5.3 cm s⁻¹. (b) The acceleration points to the centre and changes direction, so it is not a constant vector; magnitude a = ω²R = (0.44)² × 12 = 2.3 cm s⁻².हल (NCERT उदाहरण 3.9)12 cm त्रिज्या के वृत्तीय खाँचे में कीड़ा 100 s में 7 चक्कर लगाता है। (a) ω = 2π × 7/100 = 0.44 rad s⁻¹; v = ωR = 0.44 × 12 = 5.3 cm s⁻¹। (b) त्वरण केंद्र की ओर है और दिशा बदलती है, अतः यह नियत सदिश नहीं; परिमाण a = ω²R = (0.44)² × 12 = 2.3 cm s⁻²।Solved (NCERT Example 3.9)12 cm radius ke groove mein keeda 100 s mein 7 chakkar. (a) ω = 2π × 7/100 = 0.44 rad s⁻¹; v = ωR = 5.3 cm s⁻¹. (b) Acceleration centre ki taraf, direction badalti hai, to constant vector nahi; magnitude a = ω²R = 2.3 cm s⁻².

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  1. A vector has magnitude and direction and adds by the triangle/parallelogram law; a scalar adds by ordinary algebra.सदिश में परिमाण और दिशा होती है और यह त्रिभुज/समांतर चतुर्भुज नियम से जुड़ता है; अदिश सामान्य बीजगणित से जुड़ता है।Vector mein magnitude aur direction hoti hai, triangle/parallelogram law se judta hai; scalar normal algebra se.
  2. Components: Aₓ = A cos θ, A_y = A sin θ; A = √(Aₓ² + A_y²), tan θ = A_y/Aₓ.घटक: Aₓ = A cos θ, A_y = A sin θ; A = √(Aₓ² + A_y²), tan θ = A_y/Aₓ।Components: Aₓ = A cos θ, A_y = A sin θ; A = √(Aₓ² + A_y²), tan θ = A_y/Aₓ.
  3. Resultant of A and B at angle θ: R = √(A² + B² + 2AB cos θ); tan α = B sin θ/(A + B cos θ).θ कोण पर A और B का परिणामी: R = √(A² + B² + 2AB cos θ); tan α = B sin θ/(A + B cos θ)।θ angle par A aur B ka resultant: R = √(A² + B² + 2AB cos θ); tan α = B sin θ/(A + B cos θ).
  4. Projectile: T_f = 2v₀ sin θ₀/g, h_m = v₀² sin²θ₀/2g, R = v₀² sin 2θ₀/g; R is maximum (v₀²/g) at θ₀ = 45°.प्रक्षेप्य: T_f = 2v₀ sin θ₀/g, h_m = v₀² sin²θ₀/2g, R = v₀² sin 2θ₀/g; θ₀ = 45° पर R अधिकतम (v₀²/g)।Projectile: T_f = 2v₀ sin θ₀/g, h_m = v₀² sin²θ₀/2g, R = v₀² sin 2θ₀/g; θ₀ = 45° par R maximum (v₀²/g).
  5. Angles θ and (90° − θ) give the same range (Example 3.6).θ और (90° − θ) कोण समान परास देते हैं (उदाहरण 3.6)।θ aur (90° − θ) angle same range dete hain (Example 3.6).
  6. Uniform circular motion: v = Rω, a_c = v²/R = ω²R = 4π²ν²R, always towards the centre.एकसमान वृत्तीय गति: v = Rω, a_c = v²/R = ω²R = 4π²ν²R, सदा केंद्र की ओर।Uniform circular motion: v = Rω, a_c = v²/R = ω²R = 4π²ν²R, hamesha centre ki taraf.
  7. Constant acceleration in a plane: v = v₀ + at, r = r₀ + v₀t + ½at² — apply to x and y separately.समतल में नियत त्वरण: v = v₀ + at, r = r₀ + v₀t + ½at² — x और y पर अलग-अलग लगाइए।Plane mein constant acceleration: v = v₀ + at, r = r₀ + v₀t + ½at² — x aur y par alag-alag lagaiye.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Adding magnitudes of vectors directly (3 N + 4 N = 7 N). That is true only if they point the same way; at 90° the resultant is 5 N.सदिशों के परिमाण सीधे जोड़ देना (3 N + 4 N = 7 N)। यह तभी सही जब दोनों एक ही दिशा में हों; 90° पर परिणामी 5 N है।Vectors ke magnitude seedhe jod dena (3 N + 4 N = 7 N). Ye tabhi sahi jab dono same direction mein hon; 90° par resultant 5 N.
  • Thinking the velocity is zero at the top of a projectile’s path. Only the vertical part is zero; vₓ = v₀ cos θ₀ remains.प्रक्षेप्य के शीर्ष पर वेग शून्य मान लेना। केवल ऊर्ध्वाधर भाग शून्य होता है; vₓ = v₀ cos θ₀ बना रहता है।Projectile ke top par velocity zero maan lena. Sirf vertical part zero hota hai; vₓ = v₀ cos θ₀ bana rehta hai.
  • Calling uniform circular motion “unaccelerated” because the speed is constant. The direction changes, so a_c = v²/R exists.नियत चाल के कारण एकसमान वृत्तीय गति को “अत्वरित” कहना। दिशा बदलती है, इसलिए a_c = v²/R होता है।Constant speed ki wajah se uniform circular motion ko “bina acceleration” kehna. Direction badalti hai, isliye a_c = v²/R hai.
  • Using degrees per second in v = Rω. ω must be in rad s⁻¹ (1 rev = 2π rad).v = Rω में डिग्री प्रति सेकंड लगाना। ω rad s⁻¹ में होना चाहिए (1 चक्कर = 2π rad)।v = Rω mein degree per second lagana. ω rad s⁻¹ mein hona chahiye (1 chakkar = 2π rad).
  • Taking the range formula R = v₀² sin 2θ₀/g for a body thrown from a height. It holds only when launch and landing are at the same level.ऊँचाई से फेंकी वस्तु के लिए भी R = v₀² sin 2θ₀/g लगाना। यह तभी मान्य जब प्रक्षेपण और गिरने का तल समान हो।Height se phenki cheez ke liye bhi R = v₀² sin 2θ₀/g lagana. Ye tabhi sahi jab launch aur landing same level par ho.
  • Mixing up −A with a “negative magnitude”. −A has the same magnitude as A, opposite direction.−A को “ऋणात्मक परिमाण” समझना। −A का परिमाण A जितना ही है, दिशा उलटी।−A ko “negative magnitude” samajhna. −A ka magnitude A jitna hi, direction ulti.

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

3.1 State whether scalar or vector: volume, mass, speed, acceleration, density, number of moles, velocity, angular frequency, displacement, angular velocity.3.1 बताइए अदिश है या सदिश: आयतन, द्रव्यमान, चाल, त्वरण, घनत्व, मोलों की संख्या, वेग, कोणीय आवृत्ति, विस्थापन, कोणीय वेग।3.1 Scalar ya vector: volume, mass, speed, acceleration, density, moles ki sankhya, velocity, angular frequency, displacement, angular velocity.
Scalars: volume, mass, speed, density, number of moles, angular frequency. Vectors: acceleration, velocity, displacement, angular velocity.अदिश: आयतन, द्रव्यमान, चाल, घनत्व, मोलों की संख्या, कोणीय आवृत्ति। सदिश: त्वरण, वेग, विस्थापन, कोणीय वेग।Scalar: volume, mass, speed, density, moles ki sankhya, angular frequency. Vector: acceleration, velocity, displacement, angular velocity.
3.2 Pick the two scalars: force, angular momentum, work, current, linear momentum, electric field, average velocity, magnetic moment, relative velocity.3.2 दो अदिश चुनिए: बल, कोणीय संवेग, कार्य, धारा, रैखिक संवेग, विद्युत क्षेत्र, औसत वेग, चुंबकीय आघूर्ण, आपेक्षिक वेग।3.2 Do scalar chuniye: force, angular momentum, work, current, linear momentum, electric field, average velocity, magnetic moment, relative velocity.
Work and current. (Current has a direction of flow but does not add by the vector law, so it is a scalar.)कार्य और धारा। (धारा की प्रवाह-दिशा होती है पर वह सदिश नियम से नहीं जुड़ती, अतः अदिश है।)Work aur current. (Current ki flow direction hoti hai par vector law se nahi judta, isliye scalar.)
3.3 Pick the only vector: temperature, pressure, impulse, time, power, total path length, energy, gravitational potential, coefficient of friction, charge.3.3 एकमात्र सदिश चुनिए: ताप, दाब, आवेग, समय, शक्ति, कुल पथ-लंबाई, ऊर्जा, गुरुत्वीय विभव, घर्षण गुणांक, आवेश।3.3 Akela vector chuniye: temperature, pressure, impulse, time, power, total path length, energy, gravitational potential, coefficient of friction, charge.
Impulse (= change in momentum, a vector).आवेग (= संवेग में परिवर्तन, सदिश)।Impulse (= momentum mein badlav, vector).
3.4 Which are meaningful? (a) adding any two scalars (b) adding a scalar to a vector of the same dimensions (c) multiplying any vector by any scalar (d) multiplying any two scalars (e) adding any two vectors (f) adding a component of a vector to the same vector.3.4 कौन-सी संक्रियाएँ अर्थपूर्ण हैं? (a) कोई दो अदिश जोड़ना (b) समान विमा के अदिश को सदिश में जोड़ना (c) किसी सदिश को किसी अदिश से गुणा करना (d) कोई दो अदिश गुणा करना (e) कोई दो सदिश जोड़ना (f) सदिश के घटक को उसी सदिश में जोड़ना।3.4 Kaun si meaningful? (a) koi do scalar jodna (b) same dimension ka scalar vector mein jodna (c) vector ko scalar se guna (d) do scalar guna (e) koi do vector jodna (f) vector ka component usi vector mein jodna.
(a) No — only scalars of the same dimensions can be added (mass + time is meaningless). (b) No — a scalar has no direction. (c) Yes — gives a vector (e.g. F = ma). (d) Yes — e.g. power × time = energy. (e) No — only vectors of the same kind/dimensions add. (f) No — a component is not a vector of the same kind in general. NCERT: only (c) and (d) are always permissible.(a) नहीं — केवल समान विमा के अदिश जुड़ते हैं (द्रव्यमान + समय अर्थहीन)। (b) नहीं — अदिश की दिशा नहीं होती। (c) हाँ — सदिश मिलता है (जैसे F = ma)। (d) हाँ — जैसे शक्ति × समय = ऊर्जा। (e) नहीं — केवल समान प्रकार/विमा के सदिश जुड़ते हैं। (f) नहीं। NCERT: केवल (c) और (d) सदा मान्य।(a) Nahi — sirf same dimension ke scalar judte hain. (b) Nahi — scalar ki direction nahi. (c) Haan — vector milta hai (F = ma). (d) Haan — power × time = energy. (e) Nahi — sirf same type ke vector. (f) Nahi. NCERT: sirf (c) aur (d).
3.5 True or false, with reasons: (a) the magnitude of a vector is always a scalar (b) each component of a vector is always a scalar (c) total path length always equals the magnitude of displacement (d) average speed ≥ magnitude of average velocity (e) three vectors not in a plane can never add up to a null vector.3.5 सत्य या असत्य, कारण सहित: (a) सदिश का परिमाण सदा अदिश है (b) सदिश का हर घटक सदा अदिश है (c) कुल पथ-लंबाई सदा विस्थापन के परिमाण के बराबर है (d) औसत चाल ≥ औसत वेग का परिमाण (e) एक तल में न पड़े तीन सदिश कभी शून्य सदिश नहीं बना सकते।3.5 True ya false: (a) vector ka magnitude hamesha scalar (b) vector ka har component hamesha scalar (c) total path length hamesha displacement ke magnitude ke barabar (d) average speed ≥ |average velocity| (e) ek plane mein na pade teen vector kabhi null vector nahi bana sakte.
(a) True — a magnitude is just a number with units. (b) False — components Aₓî, A_yĵ are vectors (the numbers Aₓ, A_y alone can be + or −). (c) False — path length ≥ |displacement|; equal only for straight motion without turning back. (d) True — follows from (c). (e) True — any two of them define a plane; their sum lies in it, so it cannot cancel a third vector outside that plane.(a) सत्य — परिमाण केवल मात्रक सहित संख्या है। (b) असत्य — घटक Aₓî, A_yĵ सदिश हैं। (c) असत्य — पथ-लंबाई ≥ |विस्थापन|; बराबर केवल सीधी, बिना लौटे गति में। (d) सत्य — (c) से। (e) सत्य — दो सदिश एक तल बनाते हैं, उनका योग उसी तल में रहता है, इसलिए तल से बाहर का तीसरा सदिश उसे निरस्त नहीं कर सकता।(a) True — magnitude bas unit ke saath number hai. (b) False — components Aₓî, A_yĵ vector hain. (c) False — path length ≥ |displacement|. (d) True — (c) se. (e) True — do vector ek plane banate hain, sum usi plane mein; bahar wala teesra vector use cancel nahi kar sakta.
3.6 Establish: (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (b) |a + b| ≥ ||a| − |b|| (c) |a − b| ≤ |a| + |b| (d) |a − b| ≥ ||a| − |b||. When does equality hold?3.6 सिद्ध कीजिए: (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (b) |a + b| ≥ ||a| − |b|| (c) |a − b| ≤ |a| + |b| (d) |a − b| ≥ ||a| − |b||। समता कब होती है?3.6 Prove kijiye: (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (b) |a + b| ≥ ||a| − |b|| (c) |a − b| ≤ |a| + |b| (d) |a − b| ≥ ||a| − |b||. Barabari kab?
Draw a, b head-to-tail: a, b and a + b form a triangle. In a triangle one side is never more than the sum and never less than the difference of the other two → (a) and (b). For a − b use the triangle of a and −b (|−b| = |b|) → (c) and (d). Algebraically: |a ± b|² = a² + b² ± 2ab cos θ with −1 ≤ cos θ ≤ 1. Equality holds when a and b are collinear (θ = 0° or 180°), i.e. the triangle flattens into a line.a, b को सिर-से-पूँछ रखिए: a, b और a + b त्रिभुज बनाते हैं। त्रिभुज की एक भुजा अन्य दो के योग से अधिक नहीं और अंतर से कम नहीं होती → (a), (b)। a − b के लिए a और −b का त्रिभुज (|−b| = |b|) → (c), (d)। बीजगणित से: |a ± b|² = a² + b² ± 2ab cos θ, −1 ≤ cos θ ≤ 1। समता तब जब a और b संरेखी हों (θ = 0° या 180°)।a, b ko head-to-tail rakhiye: triangle banta hai. Triangle ki ek side baaki do ke sum se zyada nahi aur difference se kam nahi → (a), (b). a − b ke liye a aur −b ka triangle → (c), (d). Algebra: |a ± b|² = a² + b² ± 2ab cos θ. Barabari tab jab a, b collinear hon (θ = 0° ya 180°).
3.7 Given a + b + c + d = 0, which are correct? (a) each must be a null vector (b) |a + c| = |b + d| (c) |a| can never exceed |b| + |c| + |d| (d) b + c must lie in the plane of a and d if they are not collinear, and on their line if collinear.3.7 a + b + c + d = 0 दिया है; कौन-से कथन सही? (a) प्रत्येक शून्य सदिश होना चाहिए (b) |a + c| = |b + d| (c) |a| कभी |b| + |c| + |d| से अधिक नहीं हो सकता (d) b + c, a और d के तल में होना चाहिए यदि वे संरेखी न हों, और संरेखी हों तो उनकी रेखा में।3.7 a + b + c + d = 0; kaun sahi? (a) har ek null vector (b) |a + c| = |b + d| (c) |a| kabhi |b| + |c| + |d| se zyada nahi (d) b + c, a aur d ke plane mein (collinear hon to unki line mein).
(a) False — four non-zero vectors can form a closed polygon. (b) True — a + c = −(b + d), equal magnitudes. (c) True — a = −(b + c + d), and |b + c + d| ≤ |b| + |c| + |d|. (d) True — b + c = −(a + d), which lies in the plane (or line) of a and d. So all except (a) are correct.(a) असत्य — चार अशून्य सदिश बंद बहुभुज बना सकते हैं। (b) सत्य — a + c = −(b + d), परिमाण बराबर। (c) सत्य — a = −(b + c + d) और |b + c + d| ≤ |b| + |c| + |d|। (d) सत्य — b + c = −(a + d), जो a और d के तल (या रेखा) में है। अतः (a) को छोड़ सब सही।(a) False — chaar non-zero vector closed polygon bana sakte hain. (b) True — a + c = −(b + d). (c) True — a = −(b + c + d). (d) True — b + c = −(a + d), a aur d ke plane mein. (a) chhod sab sahi.
3.8 Three girls skate on a circular ground of radius 200 m from P to the diametrically opposite point Q by different paths (Fig 3.19). Magnitude of displacement of each? For which girl does it equal the path length?3.8 तीन लड़कियाँ 200 m त्रिज्या के वृत्ताकार मैदान पर P से व्यासतः विपरीत बिंदु Q तक अलग-अलग पथों से स्केट करती हैं (चित्र 3.19)। प्रत्येक के विस्थापन का परिमाण? किसके लिए यह पथ-लंबाई के बराबर है?3.8 Teen ladkiyaan 200 m radius ke ground par P se diametrically opposite Q tak alag raaston se (Fig 3.19). Har ek ka displacement? Kiske liye path length ke barabar?
Displacement depends only on the end points: PQ = diameter = 2 × 200 = 400 m for each girl. It equals the path length only for girl B, who skates straight along the diameter.विस्थापन केवल आरंभ और अंत बिंदु पर निर्भर: PQ = व्यास = 2 × 200 = प्रत्येक के लिए 400 m। यह पथ-लंबाई के बराबर केवल लड़की B के लिए, जो सीधे व्यास पर चलती है।Displacement sirf start aur end point par: PQ = diameter = har ek ke liye 400 m. Path length ke barabar sirf girl B ke liye, jo seedha diameter par chalti hai.
3.9 A cyclist goes from the centre O of a circular park (radius 1 km) to the edge P, cycles along the circumference to Q (a quarter circle, Fig 3.20) and returns along QO in 10 min. Find (a) net displacement (b) average velocity (c) average speed.3.9 साइकिल सवार 1 km त्रिज्या के वृत्ताकार पार्क के केंद्र O से किनारे P तक जाता है, परिधि पर Q तक (चौथाई वृत्त, चित्र 3.20) चलता है और QO से लौटता है; कुल 10 min। ज्ञात कीजिए (a) कुल विस्थापन (b) औसत वेग (c) औसत चाल।3.9 Cyclist 1 km radius ke park ke centre O se P tak, circumference par Q tak (quarter circle, Fig 3.20), phir QO se wapas; 10 min. (a) net displacement (b) average velocity (c) average speed?
(a) He ends where he started: displacement = 0. (b) Average velocity = 0/t = 0. (c) Path = OP + arc PQ + QO = 1 + (2π × 1)/4 + 1 = 3.571 km; t = 10 min = 1/6 h; average speed = 3.571 × 6 = 21.4 km h⁻¹.(a) वह वहीं लौटता है जहाँ से चला: विस्थापन = 0। (b) औसत वेग = 0। (c) पथ = OP + चाप PQ + QO = 1 + (2π × 1)/4 + 1 = 3.571 km; t = 10 min = 1/6 h; औसत चाल = 3.571 × 6 = 21.4 km h⁻¹।(a) Wahi lautta hai jahaan se chala: displacement = 0. (b) Average velocity = 0. (c) Path = 1 + (2π × 1)/4 + 1 = 3.571 km; t = 1/6 h; average speed = 21.4 km h⁻¹.
3.10 A motorist turns left by 60° after every 500 m. Starting from a turn, give the displacement at the third, sixth and eighth turn and compare with the path length.3.10 एक मोटर चालक हर 500 m के बाद 60° बाईं ओर मुड़ता है। किसी मोड़ से शुरू करके तीसरे, छठे और आठवें मोड़ पर विस्थापन बताइए और पथ-लंबाई से तुलना कीजिए।3.10 Motorist har 500 m baad 60° left mudta hai. Teesre, chhathe aur aathve mod par displacement aur path length?
The path is a regular hexagon of side 500 m. 3rd turn: he is at the opposite vertex: |d| = 2 × 500 = 1 km, at 60° to the initial direction; path = 1.5 km. 6th turn: back at the start: d = 0; path = 3 km. 8th turn: same as 2 sides: |d| = 2 × 500 cos 30° = 866 m at 30° to the initial direction; path = 4 km. Displacement is always less than the path length here.पथ 500 m भुजा का नियमित षट्भुज है। तीसरा मोड़: विपरीत शीर्ष पर: |d| = 2 × 500 = 1 km, आरंभिक दिशा से 60° पर; पथ = 1.5 km। छठा मोड़: वापस आरंभ पर: d = 0; पथ = 3 km। आठवाँ मोड़: दो भुजाओं जैसा: |d| = 2 × 500 cos 30° = 866 m, 30° पर; पथ = 4 km। विस्थापन सदा पथ से कम।Raasta 500 m side ka regular hexagon hai. 3rd: |d| = 1 km, initial direction se 60°; path 1.5 km. 6th: d = 0; path 3 km. 8th: |d| = 2 × 500 cos 30° = 866 m, 30° par; path 4 km.
3.11 A hotel is 10 km by straight road from the station. A cabman takes a 23 km circuitous path in 28 min. Find (a) the average speed (b) the magnitude of average velocity. Are they equal?3.11 होटल स्टेशन से सीधी सड़क पर 10 km दूर है। टैक्सी वाला 23 km का घुमावदार रास्ता 28 min में तय करता है। (a) औसत चाल (b) औसत वेग का परिमाण ज्ञात कीजिए। क्या दोनों बराबर हैं?3.11 Hotel station se seedhi sadak par 10 km. Taxi 23 km ghuma ke 28 min mein. (a) average speed (b) |average velocity|? Barabar?
t = 28/60 h = 0.467 h. (a) Average speed = 23/0.467 = 49.3 km h⁻¹. (b) |Average velocity| = 10/0.467 = 21.4 km h⁻¹. Not equal — they are equal only for a straight path without turning back.t = 28/60 h = 0.467 h। (a) औसत चाल = 23/0.467 = 49.3 km h⁻¹। (b) |औसत वेग| = 10/0.467 = 21.4 km h⁻¹। बराबर नहीं — केवल सीधे पथ पर बराबर होते हैं।t = 0.467 h. (a) Average speed = 49.3 km h⁻¹. (b) |Average velocity| = 21.4 km h⁻¹. Barabar nahi — sirf seedhe raaste par barabar.
3.12 A hall’s ceiling is 25 m high. What is the maximum horizontal distance a ball thrown at 40 m s⁻¹ can go without hitting the ceiling?3.12 एक हॉल की छत 25 m ऊँची है। 40 m s⁻¹ से फेंकी गेंद छत से टकराए बिना अधिकतम कितनी क्षैतिज दूरी तय कर सकती है?3.12 Hall ki chhat 25 m oonchi. 40 m s⁻¹ se phenki ball chhat chhue bina maximum kitni horizontal doori?
Max height must be 25 m: v₀² sin²θ/2g = 25 ⇒ sin²θ = 2 × 9.8 × 25/1600 = 0.306 ⇒ sin θ = 0.553, θ = 33.6°. R = v₀² sin 2θ/g = 1600 × sin 67.2°/9.8 = 1600 × 0.922/9.8 = 150.5 m.अधिकतम ऊँचाई 25 m: v₀² sin²θ/2g = 25 ⇒ sin²θ = 2 × 9.8 × 25/1600 = 0.306 ⇒ sin θ = 0.553, θ = 33.6°। R = v₀² sin 2θ/g = 1600 × sin 67.2°/9.8 = 150.5 m।Max height 25 m: sin²θ = 2 × 9.8 × 25/1600 = 0.306 ⇒ θ = 33.6°. R = 1600 × sin 67.2°/9.8 = 150.5 m.
3.13 A cricketer can throw a ball a maximum horizontal distance of 100 m. How high can he throw the same ball?3.13 एक क्रिकेटर गेंद को अधिकतम 100 m क्षैतिज दूरी तक फेंक सकता है। वह उसी गेंद को कितनी ऊँचाई तक फेंक सकता है?3.13 Cricketer ball ko maximum 100 m door phenk sakta hai. Usi ball ko kitna ooncha?
R_max = v₀²/g = 100 m (at 45°). Thrown straight up with the same speed: H = v₀²/2g = 100/2 = 50 m.R_max = v₀²/g = 100 m (45° पर)। उसी चाल से सीधे ऊपर: H = v₀²/2g = 100/2 = 50 m।R_max = v₀²/g = 100 m. Same speed se seedha upar: H = v₀²/2g = 50 m.
3.14 A stone on an 80 cm string is whirled in a horizontal circle at constant speed, making 14 revolutions in 25 s. Magnitude and direction of its acceleration?3.14 80 cm लंबी डोरी से बँधा पत्थर नियत चाल से क्षैतिज वृत्त में घुमाया जाता है और 25 s में 14 चक्कर लगाता है। त्वरण का परिमाण और दिशा?3.14 80 cm string wala pathar horizontal circle mein, 25 s mein 14 chakkar. Acceleration ka magnitude aur direction?
ν = 14/25 = 0.56 s⁻¹; ω = 2πν = 3.52 rad s⁻¹; a = ω²R = (3.52)² × 0.80 = 9.9 m s⁻², directed along the string towards the centre at every point.ν = 14/25 = 0.56 s⁻¹; ω = 2πν = 3.52 rad s⁻¹; a = ω²R = (3.52)² × 0.80 = 9.9 m s⁻², हर बिंदु पर डोरी के अनुदिश केंद्र की ओर।ν = 0.56 s⁻¹; ω = 3.52 rad s⁻¹; a = ω²R = 9.9 m s⁻², har point par centre ki taraf.
3.15 An aircraft makes a horizontal loop of radius 1.00 km at a steady 900 km h⁻¹. Compare its centripetal acceleration with g.3.15 एक विमान 900 km h⁻¹ की स्थिर चाल से 1.00 km त्रिज्या का क्षैतिज लूप बनाता है। इसके अभिकेंद्र त्वरण की तुलना g से कीजिए।3.15 Aircraft 900 km h⁻¹ par 1.00 km radius ka horizontal loop. Centripetal acceleration ko g se compare kijiye.
v = 900 × 5/18 = 250 m s⁻¹; a_c = v²/R = 62500/1000 = 62.5 m s⁻²; a_c/g = 62.5/9.8 = 6.4, i.e. a_c ≈ 6.4 g.v = 900 × 5/18 = 250 m s⁻¹; a_c = v²/R = 62500/1000 = 62.5 m s⁻²; a_c/g = 62.5/9.8 = 6.4, अर्थात a_c ≈ 6.4 g।v = 250 m s⁻¹; a_c = 62500/1000 = 62.5 m s⁻²; a_c/g = 6.4.
3.16 True or false: (a) the net acceleration in circular motion is always along the radius towards the centre (b) the velocity at a point is always along the tangent to the path (c) the acceleration in uniform circular motion averaged over one cycle is a null vector.3.16 सत्य या असत्य: (a) वृत्तीय गति में कुल त्वरण सदा त्रिज्या के अनुदिश केंद्र की ओर (b) किसी बिंदु पर वेग सदा पथ की स्पर्श-रेखा के अनुदिश (c) एकसमान वृत्तीय गति में एक चक्र का औसत त्वरण शून्य सदिश।3.16 True/false: (a) circular motion mein net acceleration hamesha centre ki taraf (b) velocity hamesha tangent ke along (c) uniform circular motion mein ek cycle ka average acceleration null vector.
(a) False — true only for uniform circular motion; if the speed changes there is also a tangential component. (b) True. (c) True — over a full cycle the velocity returns to its initial value, so Δv = 0 and average acceleration = 0.(a) असत्य — केवल एकसमान वृत्तीय गति में सत्य; चाल बदले तो स्पर्शरेखीय घटक भी होता है। (b) सत्य। (c) सत्य — पूरे चक्र में वेग अपने आरंभिक मान पर लौट आता है, Δv = 0।(a) False — sirf uniform circular motion mein true; speed badle to tangential component bhi. (b) True. (c) True — poore cycle mein Δv = 0.
3.17 r = 3.0t î − 2.0t² ĵ + 4.0 k̂ m. (a) Find v and a. (b) Magnitude and direction of v at t = 2.0 s.3.17 r = 3.0t î − 2.0t² ĵ + 4.0 k̂ m। (a) v और a ज्ञात कीजिए। (b) t = 2.0 s पर v का परिमाण और दिशा।3.17 r = 3.0t î − 2.0t² ĵ + 4.0 k̂ m. (a) v aur a (b) t = 2.0 s par v ka magnitude aur direction.
(a) v = dr/dt = 3.0 î − 4.0t ĵ m s⁻¹; a = dv/dt = −4.0 ĵ m s⁻². (b) At t = 2 s: v = 3.0 î − 8.0 ĵ; |v| = √(9 + 64) = √73 = 8.54 m s⁻¹; tan θ = 8/3 ⇒ θ = 69.4° ≈ 70° below the x-axis.(a) v = dr/dt = 3.0 î − 4.0t ĵ m s⁻¹; a = dv/dt = −4.0 ĵ m s⁻²। (b) t = 2 s पर: v = 3.0 î − 8.0 ĵ; |v| = √73 = 8.54 m s⁻¹; tan θ = 8/3 ⇒ θ = 69.4° ≈ 70°, x-अक्ष से नीचे।(a) v = 3.0 î − 4.0t ĵ m s⁻¹; a = −4.0 ĵ m s⁻². (b) t = 2 s: v = 3.0 î − 8.0 ĵ; |v| = 8.54 m s⁻¹; θ = ≈ 70° x-axis ke neeche.
3.18 A particle starts from the origin at t = 0 with velocity 10.0 ĵ m s⁻¹ and constant acceleration (8.0 î + 2.0 ĵ) m s⁻². (a) When is x = 16 m, and what is y then? (b) What is its speed then?3.18 एक कण t = 0 पर मूल बिंदु से 10.0 ĵ m s⁻¹ वेग और नियत त्वरण (8.0 î + 2.0 ĵ) m s⁻² से चलता है। (a) x = 16 m कब होगा और तब y क्या होगा? (b) तब चाल?3.18 Particle origin se 10.0 ĵ m s⁻¹ aur acceleration (8.0 î + 2.0 ĵ) m s⁻². (a) x = 16 m kab, tab y? (b) tab speed?
(a) x = ½aₓt² = 4t² = 16 ⇒ t = 2 s; y = v₀t + ½a_yt² = 10 × 2 + ½ × 2 × 4 = 24 m. (b) vₓ = 8 × 2 = 16, v_y = 10 + 2 × 2 = 14 m s⁻¹; speed = √(256 + 196) = √452 = 21.26 m s⁻¹.(a) x = ½aₓt² = 4t² = 16 ⇒ t = 2 s; y = 10 × 2 + ½ × 2 × 4 = 24 m। (b) vₓ = 16, v_y = 14 m s⁻¹; चाल = √452 = 21.26 m s⁻¹।(a) 4t² = 16 ⇒ t = 2 s; y = 20 + 4 = 24 m. (b) vₓ = 16, v_y = 14; speed = √452 = 21.26 m s⁻¹.
3.19 Find the magnitude and direction of î + ĵ and î − ĵ. What are the components of A = 2î + 3ĵ along these two directions?3.19 î + ĵ और î − ĵ का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए। A = 2î + 3ĵ के इन दोनों दिशाओं में घटक क्या हैं?3.19 î + ĵ aur î − ĵ ka magnitude aur direction? A = 2î + 3ĵ ke in dono directions mein components?
|î + ĵ| = √2, at 45° to the x-axis; |î − ĵ| = √2, at −45°. Unit vectors: (î ± ĵ)/√2. Component of A along î + ĵ = A·(î + ĵ)/√2 = (2 + 3)/√2 = 5/√2; along î − ĵ = (2 − 3)/√2 = −1/√2.|î + ĵ| = √2, x-अक्ष से 45°; |î − ĵ| = √2, −45°। एकांक सदिश: (î ± ĵ)/√2। î + ĵ के अनुदिश A का घटक = (2 + 3)/√2 = 5/√2; î − ĵ के अनुदिश = (2 − 3)/√2 = −1/√2।|î + ĵ| = √2, 45°; |î − ĵ| = √2, −45°. Component along î + ĵ = 5/√2; along î − ĵ = −1/√2.
3.20 For arbitrary motion, which are true? (a) v_avg = ½[v(t₁) + v(t₂)] (b) v_avg = [r(t₂) − r(t₁)]/(t₂ − t₁) (c) v(t) = v(0) + at (d) r(t) = r(0) + v(0)t + ½at² (e) a_avg = [v(t₂) − v(t₁)]/(t₂ − t₁).3.20 किसी भी गति के लिए कौन-से सत्य हैं? (a) v_औसत = ½[v(t₁) + v(t₂)] (b) v_औसत = [r(t₂) − r(t₁)]/(t₂ − t₁) (c) v(t) = v(0) + at (d) r(t) = r(0) + v(0)t + ½at² (e) a_औसत = [v(t₂) − v(t₁)]/(t₂ − t₁)।3.20 Kisi bhi motion ke liye kaun true? (a) v_avg = ½[v(t₁) + v(t₂)] (b) v_avg = Δr/Δt (c) v = v(0) + at (d) r = r(0) + v(0)t + ½at² (e) a_avg = Δv/Δt.
(b) and (e) are true — they are the definitions. (a), (c), (d) hold only for constant acceleration, not for arbitrary motion.(b) और (e) सत्य — ये परिभाषाएँ हैं। (a), (c), (d) केवल नियत त्वरण पर मान्य।(b) aur (e) true — ye definitions hain. (a), (c), (d) sirf constant acceleration par.
3.21 True or false, with reasons and examples. A scalar is one that (a) is conserved in a process (b) can never be negative (c) must be dimensionless (d) does not vary from point to point in space (e) has the same value for observers with differently oriented axes.3.21 सत्य या असत्य, कारण और उदाहरण सहित। अदिश वह है जो (a) किसी प्रक्रम में संरक्षित रहे (b) कभी ऋणात्मक न हो (c) विमाहीन हो (d) आकाश में बिंदु-बिंदु पर न बदले (e) अक्षों के भिन्न अभिविन्यास वाले प्रेक्षकों के लिए समान मान रखे।3.21 True/false. Scalar wo hai jo (a) process mein conserved (b) kabhi negative nahi (c) dimensionless (d) space mein point-point par na badle (e) alag orientation ke axes wale observers ke liye same value.
(a) False — kinetic energy is a scalar but not conserved in an inelastic collision. (b) False — temperature (−5 °C) or potential energy can be negative. (c) False — mass, speed have dimensions. (d) False — temperature or gravitational potential varies from place to place. (e) True — a scalar does not change when the axes are rotated. Only (e) is true.(a) असत्य — गतिज ऊर्जा अदिश है पर अप्रत्यास्थ संघट्ट में संरक्षित नहीं। (b) असत्य — ताप (−5 °C) या स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक हो सकती है। (c) असत्य — द्रव्यमान, चाल की विमाएँ हैं। (d) असत्य — ताप या गुरुत्वीय विभव स्थान के साथ बदलता है। (e) सत्य — अक्ष घुमाने पर अदिश नहीं बदलता। केवल (e) सत्य।(a) False — KE scalar hai par inelastic collision mein conserved nahi. (b) False — temperature (−5 °C) negative ho sakta hai. (c) False — mass ki dimension hai. (d) False — temperature jagah ke saath badalta hai. (e) True. Sirf (e).
3.22 An aircraft flies at a height of 3400 m. Two positions 10.0 s apart subtend 30° at a ground observer. Find the speed.3.22 एक विमान 3400 m ऊँचाई पर उड़ रहा है। 10.0 s के अंतर पर उसकी दो स्थितियाँ भूमि पर एक प्रेक्षक पर 30° का कोण बनाती हैं। विमान की चाल?3.22 Aircraft 3400 m height par. 10.0 s ke antar ki do positions ground observer par 30° banati hain. Speed?
Take the positions symmetric about the vertical through the observer: each half-angle = 15°. Distance = 2h tan 15° = 2 × 3400 × 0.2679 = 1822 m. Speed = 1822/10 = 182 m s⁻¹.स्थितियाँ प्रेक्षक के ऊपर की ऊर्ध्वाधर रेखा के सममित लें: अर्धकोण = 15°। दूरी = 2h tan 15° = 2 × 3400 × 0.2679 = 1822 m। चाल = 1822/10 = 182 m s⁻¹।Positions symmetric lijiye: half-angle 15°. Doori = 2h tan 15° = 1822 m. Speed = 182 m s⁻¹.

🎯 Quiz — 13 questions🎯 क्विज़ — 13 प्रश्न🎯 Quiz — 13 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. Which of these is a vector?इनमें से सदिश कौन-सा है?Inmein vector kaun sa hai?

2. Two forces of 3 N and 4 N act at 90°. The resultant is3 N और 4 N के दो बल 90° पर लगते हैं। परिणामी है3 N aur 4 N 90° par. Resultant

3. The resultant of two vectors of magnitudes A and B can lie betweenA और B परिमाण वाले दो सदिशों का परिणामी किसके बीच हो सकता है?A aur B ka resultant kiske beech?

4. A vector of 10 units makes 30° with the x-axis. Its y-component is10 मात्रक का सदिश x-अक्ष से 30° बनाता है। उसका y-घटक10 units ka vector x-axis se 30°. y-component

5. At the highest point of a projectile’s path (launched at θ₀ ≠ 90°), the velocity isप्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर (θ₀ ≠ 90°) वेगProjectile ke highest point par velocity

6. For a given speed, the horizontal range is maximum at an angle ofदी गई चाल के लिए क्षैतिज परास अधिकतम किस कोण पर?Given speed par range maximum kis angle par?

7. A projectile thrown at 30° has the same range as one thrown (same speed) at30° पर फेंके प्रक्षेप्य का परास (समान चाल) किस कोण के बराबर होगा?30° wale projectile jaisa range kis angle par?

8. Maximum range of a ball is 100 m. The maximum height it can reach (same speed, thrown up) isगेंद का अधिकतम परास 100 m है। उसी चाल से ऊपर फेंकने पर अधिकतम ऊँचाईMax range 100 m. Same speed se upar max height

9. In uniform circular motion the acceleration isएकसमान वृत्तीय गति में त्वरणUniform circular motion mein acceleration

10. A car moves at 20 m s⁻¹ on a circle of radius 100 m. Its centripetal acceleration isकार 100 m त्रिज्या के वृत्त पर 20 m s⁻¹ से चलती है। अभिकेंद्र त्वरणCar 20 m s⁻¹, radius 100 m. Centripetal acceleration

11. r = 3t î − 2t² ĵ (m). The acceleration isr = 3t î − 2t² ĵ (m)। त्वरणr = 3t î − 2t² ĵ. Acceleration

12. Rain falls vertically at 35 m s⁻¹ and wind blows from east to west at 12 m s⁻¹. The umbrella should be tiltedवर्षा 35 m s⁻¹ से ऊर्ध्वाधर गिरती है और हवा 12 m s⁻¹ से पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है। छाता झुकाना चाहिएBaarish 35 m s⁻¹ se seedhi neeche, hawa 12 m s⁻¹ east se west. Chhata jhukaiye

13. Which relation is true for any motion (not only constant acceleration)?कौन-सा संबंध किसी भी गति के लिए सत्य है (केवल नियत त्वरण नहीं)?Kaun sa relation har motion ke liye true?

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.