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Ch 2Motion in a Straight Lineसरल रेखा में गतिMotion in a Straight Line (Saral rekha mein gati)

Position, velocity and acceleration, x–t and v–t graphs, the three equations of uniformly accelerated motion, free fall and stopping distance — with every NCERT example and exercise solved.स्थिति, वेग और त्वरण, x–t और v–t ग्राफ, एकसमान त्वरित गति के तीन समीकरण, मुक्त पतन और अवरोधन दूरी — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।Position, velocity aur acceleration, x–t aur v–t graphs, uniformly accelerated motion ke teen equations, free fall aur stopping distance — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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Velocity from a position–time graphस्थिति–समय ग्राफ से वेगVelocity from a position–time graphFig 2.1x–t graphs for positive, negative and zero accelerationधनात्मक, ऋणात्मक और शून्य त्वरण के x–t ग्राफx–t graphs for positive, negative and zero accelerationFig 2.2Area under the v–t graph (uniform acceleration)v–t ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल (एकसमान त्वरण)Area under the v–t graph (uniform acceleration)Fig 2.5Free fall: acceleration, velocity and position against timeमुक्त पतन: समय के साथ त्वरण, वेग और स्थितिFree fall: acceleration, velocity and position against timeFig 2.7Speed–time graph of a bouncing ball (Exercise 2.8)उछलती गेंद का चाल–समय ग्राफ (अभ्यास 2.8)Speed–time graph of a bouncing ball (Exercise 2.8)Exercise 2.8
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 2.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 2.2Instantaneous velocity and speedतात्क्षणिक वेग एवं चालInstantaneous velocity aur speed
  3. 2.3Accelerationत्वरणAcceleration
  4. 2.4Kinematic equations for uniformly accelerated motionएकसमान त्वरित गति के लिए शुद्धगतिकी संबंधी समीकरणUniformly accelerated motion ke kinematic equations
  5. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  6. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  7. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  8. 🎯Quizक्विज़Quiz

2.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Motion is change in position with time. Here we study rectilinear motion (motion along a straight line) and treat bodies as point objects — fine when the body’s size is much smaller than the distance it moves. Describing motion without asking its cause is kinematics; the causes come in Chapter 4.समय के साथ स्थिति में परिवर्तन गति है। यहाँ हम सरल रेखीय गति (सीधी रेखा में गति) पढ़ते हैं और वस्तुओं को बिंदु-वस्तु मानते हैं — यह तब ठीक है जब वस्तु का आकार उसके द्वारा चली दूरी से बहुत छोटा हो। गति के कारण पूछे बिना गति का वर्णन शुद्धगतिकी है; कारण अध्याय 4 में आएँगे।Time ke saath position badalna motion hai. Yahaan rectilinear motion (seedhi line mein motion) padhte hain aur bodies ko point objects maante hain — tab theek jab body ka size uski chali doori se bahut chhota ho. Cause pooche bina motion describe karna kinematics hai; causes Chapter 4 mein.

Choose an origin and a positive direction on the line. Displacement Δx = x₂ − x₁ can be +, − or zero; path length is the total distance actually covered and is never negative. Average velocity = Δx/Δt; average speed = total path length / total time. Average speed ≥ |average velocity|.रेखा पर एक मूल बिंदु और धनात्मक दिशा चुनें। विस्थापन Δx = x₂ − x₁ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है; पथ-लंबाई वास्तव में तय की गई कुल दूरी है, कभी ऋणात्मक नहीं। औसत वेग = Δx/Δt; औसत चाल = कुल पथ-लंबाई / कुल समय। औसत चाल ≥ |औसत वेग|।Line par ek origin aur positive direction chuniye. Displacement Δx = x₂ − x₁ +, − ya zero ho sakta hai; path length actual kul doori, kabhi negative nahi. Average velocity = Δx/Δt; average speed = kul path length / kul time. Average speed ≥ |average velocity|.

2.2Instantaneous velocity and speedतात्क्षणिक वेग एवं चालInstantaneous velocity aur speed

Average velocity does not tell how fast the body moves at a particular instant. Instantaneous velocity is the limit of the average velocity as Δt → 0, i.e. the derivative of x with respect to t. On an x–t graph it is the slope of the tangent at that instant (Fig 2.1).औसत वेग यह नहीं बताता कि किसी विशेष क्षण वस्तु कितनी तेज़ है। तात्क्षणिक वेग Δt → 0 पर औसत वेग की सीमा है, अर्थात् t के सापेक्ष x का अवकलज। x–t ग्राफ पर यह उस क्षण स्पर्श-रेखा की ढाल है (चित्र 2.1)।Average velocity ye nahi batata ki kisi khaas instant par body kitni tez hai. Instantaneous velocity Δt → 0 par average velocity ki limit hai, yaani x ka t ke respect mein derivative. x–t graph par ye us instant tangent ki slope hai (Fig 2.1).

v = lim (Δt⟶0) Δx/Δt = dx/dt
instantaneous velocity (2.1); speed = |v|तात्क्षणिक वेग (2.1); चाल = |v|instantaneous velocity (2.1); speed = |v|
Velocity from a position–time graphस्थिति–समय ग्राफ से वेगVelocity from a position–time graphNCERT Fig 2.1 · 4 tappable partsNCERT चित्र 2.1 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 2.1 · 4 tappable partsOpen

Instantaneous speed is the magnitude of the instantaneous velocity (for a tiny interval the path length equals |displacement|). Velocity can be negative; speed never is.तात्क्षणिक चाल तात्क्षणिक वेग का परिमाण है (अति सूक्ष्म अंतराल में पथ-लंबाई = |विस्थापन|)। वेग ऋणात्मक हो सकता है; चाल कभी नहीं।Instantaneous speed instantaneous velocity ka magnitude hai (bahut chhote interval mein path length = |displacement|). Velocity negative ho sakti hai; speed kabhi nahi.

Solved (NCERT Example 2.1)x = a + bt², a = 8.5 m, b = 2.5 m s⁻². v = dx/dt = 2bt = 5.0t m s⁻¹. At t = 0: v = 0; at t = 2.0 s: v = 10 m s⁻¹. Average velocity from 2.0 s to 4.0 s = [x(4) − x(2)]/2 = (48.5 − 18.5)/2 = 15 m s⁻¹.हल (NCERT उदाहरण 2.1)x = a + bt², a = 8.5 m, b = 2.5 m s⁻²। v = dx/dt = 2bt = 5.0t m s⁻¹। t = 0 पर: v = 0; t = 2.0 s पर: v = 10 m s⁻¹। 2.0 s से 4.0 s तक औसत वेग = [x(4) − x(2)]/2 = (48.5 − 18.5)/2 = 15 m s⁻¹।Solved (NCERT Example 2.1)x = a + bt², a = 8.5 m, b = 2.5 m s⁻². v = dx/dt = 2bt = 5.0t m s⁻¹. t = 0 par: v = 0; t = 2.0 s par: v = 10 m s⁻¹. 2.0 s se 4.0 s tak average velocity = [x(4) − x(2)]/2 = (48.5 − 18.5)/2 = 15 m s⁻¹.

2.3Accelerationत्वरणAcceleration

Average acceleration = change in velocity / time interval; instantaneous acceleration a = dv/dt = d²x/dt², the slope of the v–t graph. SI unit m s⁻². Acceleration can be positive, negative or zero. On an x–t graph, a > 0 makes the curve bend up, a < 0 bends it down, a = 0 gives a straight line (Fig 2.2).औसत त्वरण = वेग में परिवर्तन / समय अंतराल; तात्क्षणिक त्वरण a = dv/dt = d²x/dt², v–t ग्राफ की ढाल। SI मात्रक m s⁻²। त्वरण धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। x–t ग्राफ पर a > 0 से वक्र ऊपर मुड़ता है, a < 0 से नीचे, a = 0 से सीधी रेखा (चित्र 2.2)।Average acceleration = velocity change / time interval; instantaneous acceleration a = dv/dt = d²x/dt², v–t graph ki slope. SI unit m s⁻². Acceleration +, − ya zero ho sakta hai. x–t graph par a > 0 se curve upar mudta hai, a < 0 se neeche, a = 0 se seedhi line (Fig 2.2).

a = lim (Δt⟶0) Δv/Δt = dv/dt = d²x/dt²
instantaneous acceleration (2.3)तात्क्षणिक त्वरण (2.3)instantaneous acceleration (2.3)
x–t graphs for positive, negative and zero accelerationधनात्मक, ऋणात्मक और शून्य त्वरण के x–t ग्राफx–t graphs for positive, negative and zero accelerationNCERT Fig 2.2 · 3 tappable partsNCERT चित्र 2.2 · 3 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 2.2 · 3 tappable partsOpen

For constant acceleration the v–t graph is a straight line (Fig 2.3). The area under the v–t curve between t₁ and t₂ equals the displacement in that interval (Fig 2.4) — area has units of (m s⁻¹) × s = m.नियत त्वरण के लिए v–t ग्राफ सीधी रेखा है (चित्र 2.3)। t₁ से t₂ के बीच v–t वक्र के नीचे का क्षेत्रफल उस अंतराल के विस्थापन के बराबर है (चित्र 2.4) — क्षेत्रफल का मात्रक (m s⁻¹) × s = m।Constant acceleration mein v–t graph seedhi line hai (Fig 2.3). t₁ se t₂ ke beech v–t curve ke neeche ka area us interval ke displacement ke barabar (Fig 2.4) — area ki unit (m s⁻¹) × s = m.

Signs: a doubt every student hasIf speed increases, a is along v; if speed decreases, a is opposite to v. The sign of a alone does not say speeding up or slowing down — a falling stone has a = −g (upward +) and still speeds up. Zero velocity does not mean zero acceleration (top of a throw).चिह्न: हर छात्र का संदेहचाल बढ़े तो a, v की दिशा में; चाल घटे तो a, v के विपरीत। केवल a का चिह्न यह नहीं बताता कि चाल बढ़ रही है या घट रही है — गिरता पत्थर a = −g (ऊपर +) होते हुए भी तेज़ होता है। शून्य वेग का अर्थ शून्य त्वरण नहीं (उछाल का शीर्ष)।Signs: har student ka doubtSpeed badhe to a, v ki direction mein; ghate to a, v ke ulta. Sirf a ka sign nahi batata speed badh rahi ya ghat rahi — girta patthar a = −g (upar +) hote hue bhi tez hota hai. Zero velocity ka matlab zero acceleration nahi (throw ka top).

2.4Kinematic equations for uniformly accelerated motionएकसमान त्वरित गति के लिए शुद्धगतिकी संबंधी समीकरणUniformly accelerated motion ke kinematic equations

For constant a, from a = (v − v₀)/t we get v = v₀ + at. The displacement is the area under the v–t line (Fig 2.5): rectangle v₀t + triangle ½(v − v₀)t = v₀t + ½at². Eliminating t gives v² = v₀² + 2ax. These are the equations of motion (x = displacement from the starting point; replace x by x − x₀ if the start is at x₀).नियत a के लिए a = (v − v₀)/t से v = v₀ + at। विस्थापन v–t रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है (चित्र 2.5): आयत v₀t + त्रिभुज ½(v − v₀)t = v₀t + ½at²। t हटाने पर v² = v₀² + 2ax। ये गति के समीकरण हैं (x = आरंभ बिंदु से विस्थापन; आरंभ x₀ पर हो तो x की जगह x − x₀)।Constant a ke liye a = (v − v₀)/t se v = v₀ + at. Displacement v–t line ke neeche ka area hai (Fig 2.5): rectangle v₀t + triangle ½(v − v₀)t = v₀t + ½at². t hataane par v² = v₀² + 2ax. Ye equations of motion hain (x = start se displacement; start x₀ par ho to x ki jagah x − x₀).

v = v₀ + at
(2.6)(2.6)(2.6)
x = v₀t + ½ at²
(2.7)(2.7)(2.7)
v² = v₀² + 2ax
(2.8)(2.8)(2.8)
x = ½ (v₀ + v) t
average velocity × time (constant a only)औसत वेग × समय (केवल नियत a में)average velocity × time (sirf constant a)
Area under the v–t graph (uniform acceleration)v–t ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल (एकसमान त्वरण)Area under the v–t graph (uniform acceleration)NCERT Fig 2.5 · 3 tappable partsNCERT चित्र 2.5 · 3 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 2.5 · 3 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 2.2 — by calculus)a = dv/dt ⇒ ∫dv = ∫a dt ⇒ v − v₀ = at. Then v = dx/dt ⇒ ∫dx = ∫(v₀ + at)dt ⇒ x − x₀ = v₀t + ½at². Also a = dv/dt = v dv/dx ⇒ ∫v dv = ∫a dx ⇒ (v² − v₀²)/2 = a(x − x₀). The calculus method works even when a is not constant.हल (NCERT उदाहरण 2.2 — कलन से)a = dv/dt ⇒ ∫dv = ∫a dt ⇒ v − v₀ = at। फिर v = dx/dt ⇒ ∫dx = ∫(v₀ + at)dt ⇒ x − x₀ = v₀t + ½at²। साथ ही a = dv/dt = v dv/dx ⇒ ∫v dv = ∫a dx ⇒ (v² − v₀²)/2 = a(x − x₀)। कलन विधि तब भी काम करती है जब a नियत न हो।Solved (NCERT Example 2.2 — calculus se)a = dv/dt ⇒ ∫dv = ∫a dt ⇒ v − v₀ = at. Phir v = dx/dt ⇒ ∫dx = ∫(v₀ + at)dt ⇒ x − x₀ = v₀t + ½at². Aur a = dv/dt = v dv/dx ⇒ ∫v dv = ∫a dx ⇒ (v² − v₀²)/2 = a(x − x₀). Calculus method tab bhi chalta hai jab a constant na ho.
Solved (NCERT Example 2.3)A ball is thrown up at 20 m s⁻¹ from 25.0 m height; g = 10 m s⁻². Take up as +, origin at the ground: v₀ = +20, a = −10. (a) At the top v = 0: 0 = 20² + 2(−10)(y − y₀) ⇒ rises 20 m above the launch point (45 m above ground). (b) y = y₀ + v₀t + ½at² with y = 0: 0 = 25 + 20t − 5t² ⇒ t² − 4t − 5 = 0 ⇒ t = 5 s (the other root, −1 s, is rejected).हल (NCERT उदाहरण 2.3)25.0 m ऊँचाई से गेंद 20 m s⁻¹ से ऊपर फेंकी गई; g = 10 m s⁻²। ऊपर +, मूल बिंदु धरातल पर: v₀ = +20, a = −10। (a) शीर्ष पर v = 0: 0 = 20² + 2(−10)(y − y₀) ⇒ प्रक्षेप बिंदु से 20 m ऊपर (धरातल से 45 m)। (b) y = 0 रखकर: 0 = 25 + 20t − 5t² ⇒ t² − 4t − 5 = 0 ⇒ t = 5 s (दूसरा मूल −1 s अस्वीकार)।Solved (NCERT Example 2.3)25.0 m height se ball 20 m s⁻¹ se upar; g = 10 m s⁻². Upar +, origin zameen par: v₀ = +20, a = −10. (a) Top par v = 0: 0 = 20² + 2(−10)(y − y₀) ⇒ launch se 20 m upar (zameen se 45 m). (b) y = 0: 0 = 25 + 20t − 5t² ⇒ t² − 4t − 5 = 0 ⇒ t = 5 s (doosra root −1 s reject).

Free fall: an object falling under gravity alone (air resistance neglected) has a constant acceleration g = 9.8 m s⁻² downward. With upward as positive and starting from rest: a = −g, v = −gt, y = −½gt², v² = −2gy (Fig 2.7).मुक्त पतन: केवल गुरुत्व के अधीन गिरती वस्तु (वायु प्रतिरोध नगण्य) का त्वरण g = 9.8 m s⁻² नीचे की ओर, नियत रहता है। ऊपर को धनात्मक लेकर और विराम से: a = −g, v = −gt, y = −½gt², v² = −2gy (चित्र 2.7)।Free fall: sirf gravity ke under girti cheez (air resistance neglect) ka acceleration g = 9.8 m s⁻² neeche, constant. Upar + aur rest se: a = −g, v = −gt, y = −½gt², v² = −2gy (Fig 2.7).

Free fall: acceleration, velocity and position against timeमुक्त पतन: समय के साथ त्वरण, वेग और स्थितिFree fall: acceleration, velocity and position against timeNCERT Fig 2.7 · 3 tappable partsNCERT चित्र 2.7 · 3 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 2.7 · 3 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 2.5 — Galileo’s law of odd numbers)From rest, distance fallen in time t is ½gt². After τ, 2τ, 3τ … the totals are ½gτ² × (1, 4, 9, 16 …). Distances in successive equal intervals = differences = ½gτ² × (1, 3, 5, 7 …) — in the ratio 1 : 3 : 5 : 7.हल (NCERT उदाहरण 2.5 — गैलीलियो का विषम अंक नियम)विराम से t समय में गिरी दूरी ½gt²। τ, 2τ, 3τ … के बाद कुल दूरियाँ ½gτ² × (1, 4, 9, 16 …)। क्रमागत समान अंतरालों की दूरियाँ = अंतर = ½gτ² × (1, 3, 5, 7 …) — अनुपात 1 : 3 : 5 : 7।Solved (NCERT Example 2.5 — Galileo ka odd numbers niyam)Rest se t time mein giri doori ½gt². τ, 2τ, 3τ … ke baad kul ½gτ² × (1, 4, 9, 16 …). Lagataar barabar intervals ki dooriyaan = difference = ½gτ² × (1, 3, 5, 7 …) — ratio 1 : 3 : 5 : 7.
Solved (NCERT Example 2.6 — stopping distance)With deceleration a and final v = 0: 0 = v₀² − 2a·ds ⇒ ds = v₀²/2a. Stopping distance ∝ (initial speed)²: doubling the speed makes it four times — why speed limits matter near schools.हल (NCERT उदाहरण 2.6 — अवरोधन दूरी)मंदन a और अंतिम v = 0 के साथ: 0 = v₀² − 2a·ds ⇒ ds = v₀²/2a। अवरोधन दूरी ∝ (प्रारंभिक चाल)²: चाल दोगुनी करने पर दूरी चार गुनी — इसलिए स्कूलों के पास गति-सीमा ज़रूरी है।Solved (NCERT Example 2.6 — stopping distance)Deceleration a aur final v = 0: 0 = v₀² − 2a·ds ⇒ ds = v₀²/2a. Stopping distance ∝ (initial speed)²: speed double → doori chaar guna — isliye school ke paas speed limit.
Solved (NCERT Example 2.7 — reaction time)A friend drops a ruler; you catch it after it falls d = 21.0 cm. It falls freely from rest: d = ½g tr² ⇒ tr = √(2d/g) = √(2 × 0.21/9.8) ≈ 0.21 s.हल (NCERT उदाहरण 2.7 — प्रतिक्रिया काल)मित्र एक पैमाना गिराता है; आप उसे d = 21.0 cm गिरने के बाद पकड़ते हैं। विराम से मुक्त पतन: d = ½g tr² ⇒ tr = √(2d/g) = √(2 × 0.21/9.8) ≈ 0.21 s।Solved (NCERT Example 2.7 — reaction time)Dost ruler girata hai; aap use d = 21.0 cm girne ke baad pakadte ho. Rest se free fall: d = ½g tr² ⇒ tr = √(2d/g) = √(2 × 0.21/9.8) ≈ 0.21 s.
Relative velocity (needed for Exercise 2.14)For two bodies moving along the same line with velocities vA and vB, the velocity of B as seen from A is vBA = vB − vA. Same direction → speeds subtract; opposite directions → they add. (The rationalised book lists “2.5 Relative velocity” but has no text for it; the idea is used in Ex 2.14.)आपेक्षिक वेग (अभ्यास 2.14 के लिए आवश्यक)एक ही रेखा पर vA और vB वेग से चलती दो वस्तुओं में A के सापेक्ष B का वेग vBA = vB − vA। एक ही दिशा → चालें घटती हैं; विपरीत दिशा → जुड़ती हैं। (युक्तिसंगत पुस्तक में “2.5 आपेक्षिक वेग” सूची में है पर उसका पाठ नहीं है; यह विचार अभ्यास 2.14 में प्रयुक्त है।)Relative velocity (Exercise 2.14 ke liye zaroori)Ek hi line par vA aur vB velocity se chalti do bodies mein A ke respect B ki velocity vBA = vB − vA. Same direction → speeds ghatti hain; opposite → judti hain. (Rationalised book mein “2.5 Relative velocity” list mein hai par text nahi; Ex 2.14 mein use hota hai.)

★ Yaad rakho — quick revision★ याद रखो — झटपट दोहराव★ Yaad rakho — quick revision

  1. v = dx/dt (slope of x–t); a = dv/dt (slope of v–t); displacement = area under v–t.v = dx/dt (x–t की ढाल); a = dv/dt (v–t की ढाल); विस्थापन = v–t के नीचे का क्षेत्रफल।v = dx/dt (x–t ki slope); a = dv/dt (v–t ki slope); displacement = v–t ke neeche ka area.
  2. Constant a only: v = v₀ + at, x = v₀t + ½at², v² = v₀² + 2ax, x = ½(v₀ + v)t.केवल नियत a: v = v₀ + at, x = v₀t + ½at², v² = v₀² + 2ax, x = ½(v₀ + v)t।Sirf constant a: v = v₀ + at, x = v₀t + ½at², v² = v₀² + 2ax, x = ½(v₀ + v)t.
  3. Average speed ≥ |average velocity|; equal only if the body moves in one direction without turning back.औसत चाल ≥ |औसत वेग|; बराबर तभी जब वस्तु बिना लौटे एक ही दिशा में चले।Average speed ≥ |average velocity|; barabar tabhi jab body bina lautey ek hi direction mein chale.
  4. Free fall from rest: v = gt, h = ½gt², v² = 2gh. Thrown up with u: H = u²/2g, time up = u/g, total time = 2u/g.विराम से मुक्त पतन: v = gt, h = ½gt², v² = 2gh। u से ऊपर फेंकने पर: H = u²/2g, ऊपर जाने का समय = u/g, कुल समय = 2u/g।Rest se free fall: v = gt, h = ½gt², v² = 2gh. u se upar: H = u²/2g, upar jaane ka time = u/g, kul time = 2u/g.
  5. Galileo: distances in successive equal intervals from rest are 1 : 3 : 5 : 7 …गैलीलियो: विराम से क्रमागत समान अंतरालों में दूरियाँ 1 : 3 : 5 : 7 …Galileo: rest se lagataar barabar intervals ki dooriyaan 1 : 3 : 5 : 7 …
  6. Stopping distance = v₀²/2a ∝ v₀². Reaction time t = √(2d/g).अवरोधन दूरी = v₀²/2a ∝ v₀²। प्रतिक्रिया काल t = √(2d/g)।Stopping distance = v₀²/2a ∝ v₀². Reaction time t = √(2d/g).
  7. Relative velocity on a line: v_BA = v_B − v_A.रेखा पर आपेक्षिक वेग: v_BA = v_B − v_A।Line par relative velocity: v_BA = v_B − v_A.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Treating “zero velocity” as “zero acceleration”. At the top of a throw v = 0 but a = g downward.“शून्य वेग” को “शून्य त्वरण” मान लेना। उछाल के शीर्ष पर v = 0 पर a = g नीचे की ओर।“Zero velocity” ko “zero acceleration” maan lena. Throw ke top par v = 0 par a = g neeche.
  • Mixing sign conventions in one problem. Fix the + direction first; then g is −9.8 (up +) or +9.8 (down +) throughout.एक ही प्रश्न में चिह्न परिपाटी बदलना। पहले + दिशा तय करें; फिर पूरे प्रश्न में g = −9.8 (ऊपर +) या +9.8 (नीचे +)।Ek hi question mein sign convention badalna. Pehle + direction fix kijiye; phir poore question mein g = −9.8 (upar +) ya +9.8 (neeche +).
  • Using v = v₀ + at etc. when acceleration is not constant. Use calculus (a = dv/dt, v = dx/dt) instead.त्वरण नियत न होने पर भी v = v₀ + at आदि लगाना। तब कलन (a = dv/dt, v = dx/dt) लगाएँ।Acceleration constant na ho tab bhi v = v₀ + at lagana. Tab calculus (a = dv/dt, v = dx/dt) lagaiye.
  • Calling the x–t graph the path of the body. It is a graph of position against time, not a trajectory.x–t ग्राफ को वस्तु का पथ समझना। यह समय के साथ स्थिति का ग्राफ है, प्रक्षेप-पथ नहीं।x–t graph ko body ka raasta samajhna. Ye time ke saath position ka graph hai, trajectory nahi.
  • Forgetting to convert km h⁻¹ to m s⁻¹ (× 5/18) before using SI equations: 126 km h⁻¹ = 35 m s⁻¹.SI समीकरण लगाने से पहले km h⁻¹ को m s⁻¹ (× 5/18) में न बदलना: 126 km h⁻¹ = 35 m s⁻¹।SI equation se pehle km h⁻¹ ko m s⁻¹ (× 5/18) mein na badalna: 126 km h⁻¹ = 35 m s⁻¹.
  • Taking the negative root of a time equation. Time cannot be negative (t = −1 s is rejected in Ex 2.3).समय के समीकरण का ऋणात्मक मूल ले लेना। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता (उदाहरण 2.3 में t = −1 s अस्वीकार)।Time equation ka negative root le lena. Time negative nahi ho sakta (Ex 2.3 mein t = −1 s reject).

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

2.1 Which can be treated as a point object: (a) a railway carriage moving without jerks between two stations (b) a monkey sitting on a man cycling smoothly on a circular track (c) a spinning cricket ball turning sharply on hitting the ground (d) a tumbling beaker slipped off a table?2.1 किसे बिंदु-वस्तु माना जा सकता है: (a) दो स्टेशनों के बीच बिना झटके चलता रेल डिब्बा (b) वृत्ताकार पथ पर सरलता से साइकिल चलाते व्यक्ति पर बैठा बंदर (c) ज़मीन से टकराकर तेज़ी से मुड़ती घूमती क्रिकेट गेंद (d) मेज़ के किनारे से फिसलकर लुढ़कता बीकर?2.1 Kise point object maan sakte hain: (a) do stations ke beech bina jhatke chalta rail dibba (b) gol track par cycle chalate aadmi par baitha bandar (c) zameen se takra kar mudti ghoomti cricket ball (d) table se gir kar ludhakta beaker?
(a) and (b) — the size is tiny compared with the distance travelled. In (c) and (d) the body’s rotation and size matter over the short distance involved.(a) और (b) — तय दूरी की तुलना में आकार नगण्य है। (c) और (d) में छोटी दूरी में घूर्णन और आकार महत्त्वपूर्ण हैं।(a) aur (b) — chali doori ke saamne size bahut chhota. (c) aur (d) mein chhoti doori mein rotation aur size matter karte hain.
2.2 From the x–t graphs of children A and B (Fig 2.9) choose: (a) (A/B) lives closer to school (b) (A/B) starts earlier (c) (A/B) walks faster (d) they reach home at the (same/different) time (e) (A/B) overtakes (B/A) (once/twice).2.2 बच्चों A और B के x–t ग्राफ (चित्र 2.9) से चुनिए: (a) (A/B) स्कूल के निकट रहता है (b) (A/B) पहले चलता है (c) (A/B) तेज़ चलता है (d) दोनों (एक ही/भिन्न) समय घर पहुँचते हैं (e) (A/B), (B/A) से (एक बार/दो बार) आगे निकलता है।2.2 A aur B ke x–t graph (Fig 2.9) se chuniye: (a) (A/B) school ke paas rehta (b) (A/B) pehle nikalta (c) (A/B) tez chalta (d) (same/different) time ghar (e) (A/B), (B/A) se (once/twice) aage nikalta.
(a) A lives closer than B (OP < OQ). (b) A starts earlier (B starts later). (c) B walks faster (steeper line). (d) Same time (both lines end at the same t). (e) B overtakes A once (the lines cross once).(a) A, B से निकट रहता है (OP < OQ)। (b) A पहले चलता है। (c) B तेज़ चलता है (अधिक ढाल)। (d) एक ही समय (दोनों रेखाएँ एक ही t पर समाप्त)। (e) B, A से एक बार आगे निकलता है (रेखाएँ एक बार काटती हैं)।(a) A, B se paas rehta (OP < OQ). (b) A pehle nikalta. (c) B tez (zyada slope). (d) Same time. (e) B, A se ek baar aage nikalta (lines ek baar katti hain).
2.3 A woman leaves home at 9.00 am, walks at 5 km h⁻¹ to her office 2.5 km away, stays till 5.00 pm and returns by auto at 25 km h⁻¹. Plot her x–t graph.2.3 एक महिला 9.00 am पर घर से 5 km h⁻¹ से 2.5 km दूर दफ़्तर जाती है, 5.00 pm तक रुकती है और 25 km h⁻¹ से ऑटो द्वारा लौटती है। x–t ग्राफ खींचिए।2.3 Mahila 9.00 am par 5 km h⁻¹ se 2.5 km door office jaati, 5.00 pm tak rukti, 25 km h⁻¹ auto se lautti. x–t graph banaiye.
Walk: 2.5/5 = 0.5 h → straight line from (9.00 am, 0) to (9.30 am, 2.5 km). Office: horizontal line at x = 2.5 km from 9.30 am to 5.00 pm. Return: 2.5/25 = 0.1 h = 6 min → steep straight line down to (5.06 pm, 0). Scale e.g. 1 cm = 1 h, 1 cm = 0.5 km.पैदल: 2.5/5 = 0.5 h → (9.00 am, 0) से (9.30 am, 2.5 km) तक सीधी रेखा। दफ़्तर: 9.30 am से 5.00 pm तक x = 2.5 km पर क्षैतिज रेखा। वापसी: 2.5/25 = 0.1 h = 6 min → (5.06 pm, 0) तक तीव्र ढाल वाली सीधी रेखा। पैमाना जैसे 1 cm = 1 h, 1 cm = 0.5 km।Walk: 2.5/5 = 0.5 h → (9.00 am, 0) se (9.30 am, 2.5 km) tak seedhi line. Office: 9.30 am se 5.00 pm tak x = 2.5 km par horizontal line. Wapas: 2.5/25 = 0.1 h = 6 min → (5.06 pm, 0) tak steep line. Scale jaise 1 cm = 1 h, 1 cm = 0.5 km.
2.4 A drunkard takes 5 steps forward and 3 back, repeatedly; each step is 1 m and takes 1 s. How long does he take to fall into a pit 13 m away?2.4 एक शराबी 5 कदम आगे और 3 कदम पीछे बार-बार चलता है; हर कदम 1 m का और 1 s का। 13 m दूर गड्ढे में गिरने में कितना समय लगेगा?2.4 Sharaabi 5 kadam aage, 3 peeche baar-baar; har kadam 1 m aur 1 s. 13 m door gadde mein kitne time mein girega?
Each 8-s cycle gives a net 2 m. After 4 cycles (32 s) he is at 8 m. Then 5 forward steps take him to 13 m in 5 s → t = 37 s. (On the x–t graph: a zig-zag rising 5 m, falling 3 m; it first touches x = 13 m at t = 37 s.)हर 8 s के चक्र में कुल 2 m आगे। 4 चक्र (32 s) बाद वह 8 m पर है। फिर 5 कदम आगे 5 s में 13 m → t = 37 s। (x–t ग्राफ: 5 m चढ़ता, 3 m उतरता टेढ़ा-मेढ़ा ग्राफ; x = 13 m को पहली बार t = 37 s पर छूता है।)Har 8 s cycle mein net 2 m. 4 cycles (32 s) baad 8 m par. Phir 5 kadam aage 5 s mein 13 m → t = 37 s. (x–t graph zig-zag; x = 13 m ko pehli baar t = 37 s par chhoota hai.)
2.5 A car at 126 km h⁻¹ stops within 200 m. Find the (uniform) retardation and the time to stop.2.5 126 km h⁻¹ से चलती कार 200 m में रुकती है। (एकसमान) मंदन और रुकने का समय ज्ञात कीजिए।2.5 126 km h⁻¹ wali car 200 m mein rukti hai. Retardation aur rukne ka time?
v₀ = 126 × 5/18 = 35 m s⁻¹, v = 0, x = 200 m. 0 = 35² − 2a(200) ⇒ a = 1225/400 = 3.06 m s⁻². t = v₀/a = 35/3.0625 = 11.4 s.v₀ = 126 × 5/18 = 35 m s⁻¹, v = 0, x = 200 m। 0 = 35² − 2a(200) ⇒ a = 1225/400 = 3.06 m s⁻²। t = v₀/a = 35/3.0625 = 11.4 s।v₀ = 126 × 5/18 = 35 m s⁻¹, v = 0, x = 200 m. 0 = 35² − 2a(200) ⇒ a = 1225/400 = 3.06 m s⁻². t = v₀/a = 35/3.0625 = 11.4 s.
2.6 A ball is thrown up at 29.4 m s⁻¹. (a) Direction of acceleration going up? (b) Velocity and acceleration at the top? (c) With x = 0, t = 0 at the top and downward positive, signs of x, v, a going up and coming down? (d) Height reached and time to return (g = 9.8 m s⁻²)?2.6 गेंद 29.4 m s⁻¹ से ऊपर फेंकी गई। (a) ऊपर जाते समय त्वरण की दिशा? (b) शीर्ष पर वेग और त्वरण? (c) शीर्ष पर x = 0, t = 0 और नीचे को धनात्मक लेकर ऊपर जाते और नीचे आते x, v, a के चिह्न? (d) अधिकतम ऊँचाई और लौटने का समय (g = 9.8 m s⁻²)?2.6 Ball 29.4 m s⁻¹ se upar. (a) Upar jaate acceleration ki direction? (b) Top par velocity aur acceleration? (c) Top par x = 0, t = 0, neeche +: upar aur neeche aate x, v, a ke sign? (d) Height aur lautne ka time?
(a) Vertically downward. (b) v = 0, a = 9.8 m s⁻² downward. (c) x > 0 in both parts (the ball is always below the top); going up v < 0, coming down v > 0; a > 0 throughout. (d) H = u²/2g = 29.4²/19.6 = 44.1 m; time up = 29.4/9.8 = 3 s, so it returns after 6 s.(a) ऊर्ध्वाधर नीचे। (b) v = 0, a = 9.8 m s⁻² नीचे। (c) दोनों भागों में x > 0 (गेंद सदा शीर्ष से नीचे); ऊपर जाते v < 0, नीचे आते v > 0; a हर समय > 0। (d) H = u²/2g = 29.4²/19.6 = 44.1 m; ऊपर का समय = 29.4/9.8 = 3 s, अतः 6 s बाद लौटती है।(a) Seedha neeche. (b) v = 0, a = 9.8 m s⁻² neeche. (c) Dono parts mein x > 0; upar jaate v < 0, neeche aate v > 0; a hamesha > 0. (d) H = u²/2g = 29.4²/19.6 = 44.1 m; upar ka time 3 s, to 6 s baad wapas.
2.7 True or false, with reasons, for a particle in 1-D motion: (a) zero speed at an instant may have non-zero acceleration (b) zero speed may have non-zero velocity (c) constant speed must have zero acceleration (d) positive acceleration must be speeding up.2.7 एकविमीय गति में कण के लिए सत्य/असत्य, कारण सहित: (a) किसी क्षण शून्य चाल पर अशून्य त्वरण हो सकता है (b) शून्य चाल पर अशून्य वेग हो सकता है (c) नियत चाल पर त्वरण शून्य होना चाहिए (d) धनात्मक त्वरण पर चाल अवश्य बढ़ती है।2.7 1-D motion mein True/False: (a) zero speed par non-zero acceleration ho sakta (b) zero speed par non-zero velocity ho sakti (c) constant speed par acceleration zero hona chahiye (d) positive acceleration par speed badhni hi chahiye.
(a) True — top of a vertical throw. (b) False — speed = |velocity|. (c) True in one dimension (a ball rebounding instantly with the same speed would need infinite acceleration, which is unphysical). (d) False — true only if the positive direction is the direction of motion; a body moving in −x with +a slows down.(a) सत्य — ऊर्ध्वाधर उछाल का शीर्ष। (b) असत्य — चाल = |वेग|। (c) एक विमा में सत्य (उसी चाल से तत्क्षण लौटती गेंद के लिए अनंत त्वरण चाहिए, जो अभौतिक है)। (d) असत्य — तभी सत्य जब धनात्मक दिशा गति की दिशा हो; −x में चलती वस्तु +a से धीमी होती है।(a) True — vertical throw ka top. (b) False — speed = |velocity|. (c) 1-D mein True (usi speed se turant laut-ti ball ke liye infinite acceleration chahiye — unphysical). (d) False — tabhi sahi jab + direction motion ki direction ho; −x mein chalti body +a se dheemi hoti hai.
2.8 A ball dropped from 90 m loses one-tenth of its speed at each collision with the floor. Plot its speed–time graph from t = 0 to 12 s.2.8 90 m से गिराई गई गेंद हर टक्कर पर अपनी चाल का दसवाँ भाग खोती है। t = 0 से 12 s तक चाल–समय ग्राफ खींचिए।2.8 90 m se giraayi ball har takkar par speed ka dasvaan hissa khoti hai. t = 0 se 12 s tak speed–time graph.
Fall: t = √(2 × 90/9.8) = 4.29 s, speed rises linearly to 42 m s⁻¹. Bounce: speed drops to 37.8 m s⁻¹. Up: falls linearly to 0 in 3.86 s (t = 8.14 s). Down again: rises to 37.8 m s⁻¹ at t = 12.0 s. See the [[dg:b11p-bounce-vt|graph]].पतन: t = √(2 × 90/9.8) = 4.29 s, चाल रैखिक रूप से 42 m s⁻¹ तक। टक्कर: चाल 37.8 m s⁻¹। ऊपर: 3.86 s में रैखिक रूप से 0 (t = 8.14 s)। फिर नीचे: t = 12.0 s पर 37.8 m s⁻¹। [[dg:b11p-bounce-vt|ग्राफ]] देखें।Fall: t = √(2 × 90/9.8) = 4.29 s, speed linear 42 m s⁻¹ tak. Bounce: 37.8 m s⁻¹. Upar: 3.86 s mein 0 (t = 8.14 s). Phir neeche: t = 12.0 s par 37.8 m s⁻¹. [[dg:b11p-bounce-vt|Graph]] dekhiye.
2.9 Distinguish, with examples: (a) magnitude of displacement and total path length over an interval (b) magnitude of average velocity and average speed. Show the second is ≥ the first; when are they equal?2.9 उदाहरण सहित अंतर बताइए: (a) किसी अंतराल में विस्थापन का परिमाण और कुल पथ-लंबाई (b) औसत वेग का परिमाण और औसत चाल। दिखाइए कि दूसरा ≥ पहला; बराबर कब?2.9 Udaharan ke saath fark: (a) displacement ka magnitude aur kul path length (b) average velocity ka magnitude aur average speed. Doosra ≥ pehla dikhaiye; barabar kab?
(a) Walk 5 m east then 3 m west: path length 8 m, |displacement| 2 m. The straight line is the shortest path, so path length ≥ |displacement|. (b) Dividing both by the same time: average speed (8 m/t) ≥ |average velocity| (2 m/t). Equality holds when the particle moves along a straight line without reversing direction.(a) 5 m पूर्व फिर 3 m पश्चिम: पथ-लंबाई 8 m, |विस्थापन| 2 m। सीधी रेखा सबसे छोटा पथ है, अतः पथ-लंबाई ≥ |विस्थापन|। (b) दोनों को एक ही समय से भाग देने पर: औसत चाल (8 m/t) ≥ |औसत वेग| (2 m/t)। बराबर तब जब कण सीधी रेखा में दिशा बदले बिना चले।(a) 5 m east phir 3 m west: path length 8 m, |displacement| 2 m. Seedhi line sabse chhota raasta, to path length ≥ |displacement|. (b) Same time se divide: average speed (8 m/t) ≥ |average velocity| (2 m/t). Barabar tab jab particle seedhi line mein direction badle bina chale.
2.10 A man walks 2.5 km to a market at 5 km h⁻¹, finds it closed and walks back at 7.5 km h⁻¹. Find (a) magnitude of average velocity (b) average speed over (i) 0–30 min (ii) 0–50 min (iii) 0–40 min.2.10 एक व्यक्ति 5 km h⁻¹ से 2.5 km दूर बाज़ार जाता है, बंद पाकर 7.5 km h⁻¹ से लौटता है। (i) 0–30 min (ii) 0–50 min (iii) 0–40 min में (a) औसत वेग का परिमाण (b) औसत चाल?2.10 Aadmi 5 km h⁻¹ se 2.5 km market, band paake 7.5 km h⁻¹ se wapas. (i) 0–30 min (ii) 0–50 min (iii) 0–40 min mein (a) average velocity (b) average speed?
Going takes 30 min; return takes 2.5/7.5 h = 20 min. (i) 2.5 km in ½ h: 5 km h⁻¹ and 5 km h⁻¹. (ii) Back home: displacement 0 → 0; path 5 km in 5/6 h → 6 km h⁻¹. (iii) In 10 min of return he covers 1.25 km, so displacement 1.25 km, path 3.75 km, time 2/3 h: 15/8 = 1.875 km h⁻¹ and 45/8 = 5.625 km h⁻¹.जाने में 30 min; लौटने में 2.5/7.5 h = 20 min। (i) ½ h में 2.5 km: 5 km h⁻¹ और 5 km h⁻¹। (ii) घर वापस: विस्थापन 0 → 0; पथ 5 km, 5/6 h में → 6 km h⁻¹। (iii) लौटते 10 min में 1.25 km, अतः विस्थापन 1.25 km, पथ 3.75 km, समय 2/3 h: 15/8 = 1.875 km h⁻¹ और 45/8 = 5.625 km h⁻¹।Jaane mein 30 min; lautne mein 20 min. (i) ½ h mein 2.5 km: 5 aur 5 km h⁻¹. (ii) Ghar wapas: displacement 0 → 0; path 5 km, 5/6 h → 6 km h⁻¹. (iii) Lautte 10 min mein 1.25 km: displacement 1.25 km, path 3.75 km, time 2/3 h: 1.875 km h⁻¹ aur 5.625 km h⁻¹.
2.11 Why is instantaneous speed always equal to the magnitude of instantaneous velocity?2.11 तात्क्षणिक चाल सदा तात्क्षणिक वेग के परिमाण के बराबर क्यों होती है?2.11 Instantaneous speed hamesha instantaneous velocity ke magnitude ke barabar kyon?
For an arbitrarily small interval the particle cannot turn back, so the path length equals the magnitude of displacement; dividing by the same tiny Δt gives speed = |velocity|.अति सूक्ष्म अंतराल में कण लौट नहीं सकता, अतः पथ-लंबाई = विस्थापन का परिमाण; उसी Δt से भाग देने पर चाल = |वेग|।Bahut chhote interval mein particle laut nahi sakta, to path length = displacement ka magnitude; same Δt se divide → speed = |velocity|.
2.12 Which of the graphs (a)–(d) in Fig 2.10 cannot represent 1-D motion of a particle?2.12 चित्र 2.10 के ग्राफ (a)–(d) में से कौन-से एकविमीय गति नहीं दर्शा सकते?2.12 Fig 2.10 ke graph (a)–(d) mein kaun 1-D motion nahi dikha sakte?
None of the four is possible. (a) x–t loops back: one instant, two positions. (b) v–t: two velocities in opposite directions at the same instant. (c) Speed shown negative — speed is never negative. (d) Total path length shown decreasing — it can never decrease.चारों में से कोई संभव नहीं। (a) x–t पीछे मुड़ता है: एक क्षण पर दो स्थितियाँ। (b) v–t: एक ही क्षण पर विपरीत दिशाओं में दो वेग। (c) चाल ऋणात्मक दिखाई गई — चाल कभी ऋणात्मक नहीं। (d) कुल पथ-लंबाई घटती दिखाई गई — यह कभी नहीं घटती।Chaaron mein se koi possible nahi. (a) x–t peeche mudta: ek instant par do positions. (b) Ek instant par opposite directions mein do velocities. (c) Speed negative — kabhi nahi. (d) Kul path length ghatti dikhai — kabhi nahi ghatti.
2.13 Fig 2.11 shows an x–t plot. Does the particle move in a straight line for t < 0 and on a parabola for t > 0? If not, suggest a context.2.13 चित्र 2.11 का x–t आलेख देखें। क्या कण t < 0 पर सीधी रेखा में और t > 0 पर परवलय पर चलता है? यदि नहीं, तो उपयुक्त स्थिति बताइए।2.13 Fig 2.11 ka x–t plot. Kya particle t < 0 par seedhi line aur t > 0 par parabola par chalta hai? Nahi to context?
No — an x–t graph does not show the path. The particle stays on a straight line throughout: at rest for t < 0, then x ∝ t² (uniform acceleration). Context: a body dropped from a tower at t = 0 (x = 0 at the top, downward +).नहीं — x–t ग्राफ पथ नहीं दिखाता। कण पूरे समय सीधी रेखा पर है: t < 0 पर विराम, फिर x ∝ t² (एकसमान त्वरण)। स्थिति: t = 0 पर मीनार से गिराई गई वस्तु (शीर्ष पर x = 0, नीचे +)।Nahi — x–t graph raasta nahi dikhata. Particle poore time seedhi line par: t < 0 par rest, phir x ∝ t² (uniform acceleration). Context: t = 0 par tower se giraayi cheez.
2.14 A police van at 30 km h⁻¹ fires a bullet (muzzle speed 150 m s⁻¹) at a thief’s car moving away at 192 km h⁻¹ in the same direction. With what speed does the bullet hit the car?2.14 30 km h⁻¹ से चलती पुलिस वैन 192 km h⁻¹ से उसी दिशा में भागती चोर की कार पर गोली (नालमुख चाल 150 m s⁻¹) चलाती है। गोली कार से किस चाल से टकराएगी?2.14 30 km h⁻¹ wali police van, 192 km h⁻¹ se usi direction mein bhaagti car par goli (muzzle speed 150 m s⁻¹) chalaati hai. Goli car se kis speed se takrayegi?
Van 30 km h⁻¹ = 8.33 m s⁻¹, so bullet’s ground speed = 150 + 8.33 = 158.33 m s⁻¹. Car = 192 km h⁻¹ = 53.33 m s⁻¹. Relevant (relative) speed = 158.33 − 53.33 = 105 m s⁻¹.वैन 30 km h⁻¹ = 8.33 m s⁻¹, अतः गोली की भू-चाल = 150 + 8.33 = 158.33 m s⁻¹। कार = 192 km h⁻¹ = 53.33 m s⁻¹। प्रासंगिक (आपेक्षिक) चाल = 158.33 − 53.33 = 105 m s⁻¹।Van 30 km h⁻¹ = 8.33 m s⁻¹, to goli ki ground speed = 158.33 m s⁻¹. Car = 53.33 m s⁻¹. Relative speed = 158.33 − 53.33 = 105 m s⁻¹.
2.15 Suggest a physical situation for each graph in Fig 2.12.2.15 चित्र 2.12 के प्रत्येक ग्राफ के लिए उपयुक्त भौतिक स्थिति बताइए।2.15 Fig 2.12 ke har graph ke liye physical situation batाइये.
(a) A ball at rest on a smooth floor is kicked, rebounds from a wall with reduced speed and is stopped by the opposite wall. (b) A ball thrown up that rebounds from the floor with reduced speed after each hit. (c) A uniformly moving cricket ball turned back by a bat in a very short time.(a) चिकने फ़र्श पर रुकी गेंद को किक, दीवार से कम चाल से लौटती है और सामने की दीवार उसे रोक देती है। (b) ऊपर फेंकी गेंद जो हर टक्कर पर कम चाल से फ़र्श से लौटती है। (c) एकसमान चलती क्रिकेट गेंद जिसे बल्ला बहुत कम समय में लौटा देता है।(a) Smooth floor par ruki ball ko kick, deewar se kam speed se lautti, saamne ki deewar rok deti. (b) Upar phenki ball jo har takkar par kam speed se lautti. (c) Uniform chalti cricket ball jise bat bahut kam time mein lauta deta.
2.16 For the SHM x–t plot of Fig 2.13, give the signs of x, v and a at t = 0.3 s, 1.2 s and −1.2 s.2.16 चित्र 2.13 के सरल आवर्त गति x–t आलेख के लिए t = 0.3 s, 1.2 s और −1.2 s पर x, v, a के चिह्न बताइए।2.16 Fig 2.13 ke SHM x–t plot mein t = 0.3 s, 1.2 s, −1.2 s par x, v, a ke sign?
In SHM a = −ω²x, so a always has the opposite sign to x. t = 0.3 s: x < 0, v < 0, a > 0. t = 1.2 s: x > 0, v > 0, a < 0. t = −1.2 s: x < 0, v > 0, a > 0 (v from the slope at that point).SHM में a = −ω²x, अतः a का चिह्न सदा x के विपरीत। t = 0.3 s: x < 0, v < 0, a > 0। t = 1.2 s: x > 0, v > 0, a < 0। t = −1.2 s: x < 0, v > 0, a > 0 (v उस बिंदु की ढाल से)।SHM mein a = −ω²x, to a ka sign hamesha x ke ulta. t = 0.3 s: x < 0, v < 0, a > 0. t = 1.2 s: x > 0, v > 0, a < 0. t = −1.2 s: x < 0, v > 0, a > 0 (v slope se).
2.17 In Fig 2.14 (x–t), in which of three equal intervals is the average speed greatest and least? Sign of average velocity in each?2.17 चित्र 2.14 (x–t) के तीन समान अंतरालों में औसत चाल कहाँ अधिकतम और कहाँ न्यूनतम है? हर अंतराल में औसत वेग का चिह्न?2.17 Fig 2.14 (x–t) ke teen barabar intervals mein average speed kahaan sabse zyada aur kam? Average velocity ka sign?
Average speed is greatest in interval 3 (steepest) and least in interval 2. Average velocity is positive in 1 and 2 (x increasing) and negative in 3 (x decreasing).औसत चाल अंतराल 3 में अधिकतम (सबसे अधिक ढाल) और अंतराल 2 में न्यूनतम। औसत वेग 1 और 2 में धनात्मक (x बढ़ रहा) और 3 में ऋणात्मक (x घट रहा)।Average speed interval 3 mein sabse zyada, interval 2 mein sabse kam. Average velocity 1 aur 2 mein +, 3 mein −.
2.18 Fig 2.15 is a speed–time graph for motion in a constant direction. In which interval is |average acceleration| greatest? average speed greatest? Signs of v and a in each? Acceleration at A, B, C, D?2.18 चित्र 2.15 एक नियत दिशा में गति का चाल–समय ग्राफ है। |औसत त्वरण| किस अंतराल में अधिकतम? औसत चाल अधिकतम? हर अंतराल में v और a के चिह्न? A, B, C, D पर त्वरण?2.18 Fig 2.15 speed–time graph (ek hi direction). |Average acceleration| kahaan max? Average speed max? v aur a ke sign? A, B, C, D par acceleration?
|Average acceleration| is greatest in interval 2 (largest change of speed); average speed is greatest in interval 3 (highest curve). v > 0 in 1, 2 and 3. a > 0 in 1 and 3, a < 0 in 2. At A, B, C, D the tangent is horizontal, so a = 0.|औसत त्वरण| अंतराल 2 में अधिकतम (चाल में सबसे बड़ा परिवर्तन); औसत चाल अंतराल 3 में अधिकतम। v > 0 1, 2, 3 में। a > 0 1 और 3 में, a < 0 2 में। A, B, C, D पर स्पर्श-रेखा क्षैतिज, अतः a = 0।|Average acceleration| interval 2 mein max; average speed interval 3 mein max. v > 0 1, 2, 3 mein. a > 0 1 aur 3 mein, a < 0 2 mein. A, B, C, D par tangent horizontal, to a = 0.

🎯 Quiz — 12 questions🎯 क्विज़ — 12 प्रश्न🎯 Quiz — 12 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The slope of a position–time graph givesस्थिति–समय ग्राफ की ढाल देती हैPosition–time graph ki slope deti hai

2. The area under a velocity–time graph givesवेग–समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल देता हैVelocity–time graph ke neeche ka area deta hai

3. x = 8.5 + 2.5t² (m). Velocity at t = 2 s isx = 8.5 + 2.5t² (m)। t = 2 s पर वेगx = 8.5 + 2.5t² (m). t = 2 s par velocity

4. A ball thrown up has, at its highest point,ऊपर फेंकी गेंद के उच्चतम बिंदु परUpar phenki ball ke highest point par

5. A body starts from rest with uniform acceleration. Distances in the 1st, 2nd and 3rd seconds are in the ratioविराम से एकसमान त्वरण से चलती वस्तु द्वारा पहले, दूसरे, तीसरे सेकंड में तय दूरियों का अनुपातRest se uniform acceleration: 1st, 2nd, 3rd second ki dooriyon ka ratio

6. If the speed of a car is doubled, its stopping distance (same braking) becomesकार की चाल दोगुनी करने पर (समान ब्रेक) अवरोधन दूरी हो जाती हैCar ki speed double karne par (same brake) stopping distance

7. A car at 126 km h⁻¹ stops in 200 m. Its retardation is about126 km h⁻¹ की कार 200 m में रुकती है। मंदन लगभग126 km h⁻¹ wali car 200 m mein rukti. Retardation lagbhag

8. A ball is thrown up at 29.4 m s⁻¹ (g = 9.8 m s⁻²). It returns to the hand afterगेंद 29.4 m s⁻¹ से ऊपर फेंकी गई (g = 9.8 m s⁻²)। यह हाथ में लौटती हैBall 29.4 m s⁻¹ se upar (g = 9.8). Haath mein wapas

9. An x–t graph that curves downward showsनीचे की ओर मुड़ता x–t ग्राफ दर्शाता हैNeeche mudta x–t graph dikhata hai

10. Average speed and magnitude of average velocity are equal when the bodyऔसत चाल और औसत वेग का परिमाण बराबर होते हैं जब वस्तुAverage speed aur |average velocity| barabar jab body

11. A ruler caught after falling 21 cm gives a reaction time of about21 cm गिरने के बाद पकड़े गए पैमाने से प्रतिक्रिया काल लगभग21 cm girne ke baad pakda ruler → reaction time lagbhag

12. Two cars move in the same direction at 72 km h⁻¹ and 54 km h⁻¹. The speed of the faster as seen from the slower isदो कारें एक ही दिशा में 72 km h⁻¹ और 54 km h⁻¹ से चल रही हैं। धीमी कार से तेज़ कार की चाल दिखेगीDo cars same direction 72 aur 54 km h⁻¹. Dheemi se tez wali ki speed

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.