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Ch 6Permutations and Combinationsक्रमचय और संचयPermutations aur Combinations

Fundamental principle of counting, permutations of distinct objects, factorial notation, the formula for ⁿPᵣ, permutations when some objects are alike, and combinations ⁿCᵣ — with every NCERT exercise solved.गणना का आधारभूत सिद्धांत, भिन्न वस्तुओं के क्रमचय, क्रमगुणित संकेतन, ⁿPᵣ का सूत्र, समान वस्तुओं वाले क्रमचय, और संचय ⁿCᵣ — NCERT के सभी प्रश्नों के हल के साथ।Counting ka fundamental principle, alag objects ke permutations, factorial notation, ⁿPᵣ ka formula, same objects wale permutations, aur combinations ⁿCᵣ — NCERT ke saare questions ke hal ke saath.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के चित्रIs chapter ke diagrams

Counting principle: tree of pant–shirt choicesगणना का आधारभूत सिद्धांत: पैंट–कमीज़ विकल्पों का वृक्षCounting principle: tree of pant–shirt choicesFig 6.1Permutation vs combination: choosing 2 of X, Y, Zक्रमचय बनाम संचय: X, Y, Z में से 2 चुननाPermutation vs combination: choosing 2 of X, Y, ZSection 6.4
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 6.2Fundamental Principle of Countingगणना का आधारभूत सिद्धांतCounting ka fundamental principle
  2. 6.3Permutationsक्रमचयPermutations
  3. 6.4CombinationsसंचयCombinations
  4. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  5. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  6. ✎NCERT exercises — solutionsNCERT प्रश्नावली — हलNCERT exercises — solutions
  7. 🎯Quizक्विज़Quiz

6.2Fundamental Principle of Countingगणना का आधारभूत सिद्धांतCounting ka fundamental principle

Mohan has 3 pants and 2 shirts. For every pant there are 2 shirts, so he can dress in 3 \times 2 = 6 ways. Tap the branches of the tree.मोहन के पास 3 पैंट और 2 कमीज़ें हैं। हर पैंट के लिए 2 कमीज़ें हैं, अतः वह 3 \times 2 = 6 तरीकों से कपड़े पहन सकता है। वृक्ष की शाखाओं को छुइए।Mohan ke paas 3 pants aur 2 shirts hain. Har pant ke liye 2 shirts hain, isliye wo 3 \times 2 = 6 tareekon se kapde pehen sakta hai. Tree ki branches ko tap kijiye.

Counting principle: tree of pant–shirt choicesगणना का आधारभूत सिद्धांत: पैंट–कमीज़ विकल्पों का वृक्षCounting principle: tree of pant–shirt choicesFig 6.1 · 4 tappable partsचित्र 6.1 · 4 टैप करने लायक हिस्सेFig 6.1 · 4 tappable partsOpen
Multiplication principleIf one event can occur in m ways and, after it, another can occur in n ways, the two together can occur in m \times n ways. It extends to any number of events: m \times n \times p \times \dotsगुणन सिद्धांतयदि एक घटना m तरीकों से और उसके बाद दूसरी n तरीकों से हो सकती है, तो दोनों मिलकर m \times n तरीकों से हो सकती हैं। यह कितनी भी घटनाओं पर लागू होता है: m \times n \times p \times \dotsMultiplication principleAgar ek event m tareekon se aur uske baad doosra n tareekon se ho sakta hai, to dono milkar m \times n tareekon se ho sakte hain. Ye kitne bhi events par lagta hai: m \times n \times p \times \dots
Example 1How many words (with or without meaning) can be formed from the letters of ROSE, no letter repeated?उदाहरण 1ROSE के अक्षरों से (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) कितने शब्द बन सकते हैं, कोई अक्षर दोहराए बिना?Example 1ROSE ke letters se (meaning ho ya na ho) kitne words ban sakte hain, koi letter repeat kiye bina?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

6.3Permutationsक्रमचयPermutations

PermutationAn arrangement in a definite order of some or all of a number of objects. The number of permutations of n different objects taken r at a time (0 < r \le n, no repetition) is written ^nP_r.क्रमचयकुछ या सभी वस्तुओं की एक निश्चित क्रम में व्यवस्था। n भिन्न वस्तुओं में से एक समय में r लेकर (0 < r \le n, बिना दोहराव) क्रमचयों की संख्या ^nP_r लिखी जाती है।PermutationKuch ya saare objects ka ek fixed order mein arrangement. n alag objects mein se ek baar mein r lekar (0 < r \le n, bina repeat) permutations ki sankhya ^nP_r likhi jaati hai.
n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n
Factorialक्रमगुणितFactorial
0! = 1
^nP_r = n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)
^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}
r distinct objects from n, no repetitionn में से r भिन्न वस्तुएँ, बिना दोहरावn mein se r alag objects, bina repeat
n^r
arrangements when repetition IS allowedजब दोहराव की अनुमति होjab repeat allowed ho
\frac{n!}{p_1!\,p_2!\dots p_k!}
all n objects, p_1 alike of one kind, p_2 of another, …सभी n वस्तुएँ, p_1 एक प्रकार की समान, p_2 दूसरी प्रकार की, …saare n objects, p_1 ek type ke same, p_2 doosre type ke, …
Example 5Evaluate (i) 5! (ii) 7! (iii) 7! − 5!.उदाहरण 5मान ज्ञात कीजिए (i) 5! (ii) 7! (iii) 7! − 5!।Example 5Value nikaliye (i) 5! (ii) 7! (iii) 7! − 5!.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. 5! = 120,\quad 7! = 5040,\quad 7! - 5! = 4920
Example 9Find the number of permutations of the letters of ALLAHABAD.उदाहरण 9ALLAHABAD के अक्षरों के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।Example 9ALLAHABAD ke letters ke permutations ki sankhya nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. 9 letters: A four times, L twice, H, B, D once.9 अक्षर: A चार बार, L दो बार, H, B, D एक-एक बार।9 letters: A chaar baar, L do baar, H, B, D ek-ek baar.
    \frac{9!}{4!\,2!} = \frac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}{2} = 7560
Example 11How many numbers between 100 and 1000 can be formed with 0, 1, 2, 3, 4, 5, no digit repeated?उदाहरण 11अंकों 0, 1, 2, 3, 4, 5 से 100 और 1000 के बीच कितनी संख्याएँ बन सकती हैं, बिना दोहराव?Example 11Digits 0, 1, 2, 3, 4, 5 se 100 aur 1000 ke beech kitne numbers ban sakte hain, bina repeat?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. 3-digit numbers: the hundreds place cannot be 0.3-अंकीय संख्याएँ: सैकड़े के स्थान पर 0 नहीं।3-digit numbers: hundreds place par 0 nahi.
    5 \times {}^5P_2 = 5 \times 20 = 100
Example 15In how many ways can 4 red, 3 yellow and 2 green discs be arranged in a row if discs of the same colour are alike?उदाहरण 154 लाल, 3 पीली और 2 हरी चकतियाँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से रखी जा सकती हैं यदि एक रंग की चकतियाँ समान हैं?Example 154 laal, 3 peeli aur 2 hari discs ek line mein kitne tareekon se rakhi ja sakti hain agar ek rang ki discs same hain?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \frac{9!}{4!\,3!\,2!} = 1260

6.4CombinationsसंचयCombinations

If order does not matter (a team, a committee, a hand of cards), each choice is a combination (selection). Tap the picture: the 6 arrangements of 2 out of X, Y, Z pair up into only 3 selections.यदि क्रम मायने नहीं रखता (टीम, समिति, ताश के पत्ते), तो हर चयन एक संचय है। चित्र छुइए: X, Y, Z में से 2 की 6 व्यवस्थाएँ केवल 3 चयन बनाती हैं।Agar order matter nahi karta (team, committee, cards), to har choice ek combination (selection) hai. Picture tap kijiye: X, Y, Z mein se 2 ke 6 arrangements sirf 3 selections banate hain.

Permutation vs combination: choosing 2 of X, Y, Zक्रमचय बनाम संचय: X, Y, Z में से 2 चुननाPermutation vs combination: choosing 2 of X, Y, ZSection 6.4 · 5 tappable partsअनुभाग 6.4 · 5 टैप करने लायक हिस्सेSection 6.4 · 5 tappable partsOpen
^nC_r = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}
selections of r from n different objectsn भिन्न वस्तुओं में से r के चयनn alag objects mein se r ke selections
0 \le r \le n
^nP_r = {}^nC_r \times r!
choose, then arrangeचुनिए, फिर व्यवस्थित कीजिएchuniye, phir arrange kijiye
^nC_r = {}^nC_{n-r}
choosing r = leaving out n − rr चुनना = n − r छोड़नाr chunna = n − r chhodna
^nC_0 = {}^nC_n = 1
^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r
Pascal's ruleपास्कल का नियमPascal ka niyam
If $^nC_a = {}^nC_b$ then $a = b$ or $a + b = n$.यदि $^nC_a = {}^nC_b$ तो $a = b$ या $a + b = n$।Agar $^nC_a = {}^nC_b$ to $a = b$ ya $a + b = n$.
Example 17If ^nC_9 = {}^nC_8, find ^nC_{17}.उदाहरण 17यदि ^nC_9 = {}^nC_8, तो ^nC_{17} ज्ञात कीजिए।Example 17Agar ^nC_9 = {}^nC_8, to ^nC_{17} nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. 9 + 8 = n \Rightarrow n = 17 \Rightarrow {}^{17}C_{17} = 1
Example 19In how many ways can 4 cards be chosen from 52? In how many of these are (i) all of one suit (ii) of four different suits (iii) all face cards (iv) two red, two black (v) all of the same colour?उदाहरण 1952 पत्तों में से 4 पत्ते कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं? इनमें से कितनों में (i) सभी एक ही सूट के (ii) चारों अलग सूट के (iii) सभी तस्वीर वाले (iv) दो लाल, दो काले (v) सभी एक ही रंग के?Example 1952 cards mein se 4 cards kitne tareekon se chune ja sakte hain? Inme se kitno mein (i) saare ek suit ke (ii) chaaron alag suit ke (iii) saare face cards (iv) do laal, do kaale (v) saare ek rang ke?
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. ^{52}C_4 = 270725
  2. (i)\ 4 \times {}^{13}C_4 = 2860 \quad (ii)\ 13^4 = 28561 \quad (iii)\ {}^{12}C_4 = 495
  3. (iv)\ {}^{26}C_2 \times {}^{26}C_2 = 105625 \quad (v)\ 2 \times {}^{26}C_4 = 29900
Example 22How many words can be made from all the letters of AGAIN? If they are listed as in a dictionary, what is the 50th word?उदाहरण 22AGAIN के सभी अक्षरों से कितने शब्द बन सकते हैं? यदि शब्दकोश क्रम में लिखें तो 50वाँ शब्द क्या होगा?Example 22AGAIN ke saare letters se kitne words ban sakte hain? Dictionary order mein likhein to 50th word kya hoga?
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. \frac{5!}{2!} = 60
  2. Starting with A: 4! = 24; with G: 4!/2! = 12 (total 36); with I: 12 (total 48). Then N: NAAGI is 49th, NAAIG is 50th.A से आरंभ: 4! = 24; G से: 4!/2! = 12 (कुल 36); I से: 12 (कुल 48)। फिर N: NAAGI 49वाँ, NAAIG 50वाँ।A se shuru: 4! = 24; G se: 4!/2! = 12 (kul 36); I se: 12 (kul 48). Phir N: NAAGI 49th, NAAIG 50th.

✔ 60 words; 50th word = NAAIG60 शब्द; 50वाँ शब्द = NAAIG60 words; 50th word = NAAIG

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Order matters → permutation ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}. Order does not matter → combination ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}.क्रम मायने रखता है → क्रमचय ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}। क्रम मायने नहीं रखता → संचय ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}।Order matter karta hai → permutation ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}. Order matter nahi karta → combination ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}.
  2. "AND" → multiply; "OR" (separate cases) → add."और" → गुणा; "या" (अलग स्थितियाँ) → जोड़।"AND" → guna; "OR" (alag cases) → jod.
  3. 0! = 1, ^nP_n = n!, ^nC_0 = {}^nC_n = 1, ^nC_r = {}^nC_{n-r}.0! = 1, ^nP_n = n!, ^nC_0 = {}^nC_n = 1, ^nC_r = {}^nC_{n-r}।0! = 1, ^nP_n = n!, ^nC_0 = {}^nC_n = 1, ^nC_r = {}^nC_{n-r}.
  4. Alike objects: \frac{n!}{p_1!p_2!\dots}. Items that must be together: tie them into one unit, then multiply by their inner arrangements.समान वस्तुएँ: \frac{n!}{p_1!p_2!\dots}। जो साथ रहें: उन्हें एक इकाई मानिए, फिर उनकी आंतरिक व्यवस्थाओं से गुणा कीजिए।Same objects: \frac{n!}{p_1!p_2!\dots}. Jo saath rahein: unhe ek unit maaniye, phir unki andar ki arrangements se guna kijiye.
  5. "Not together" = total − together."साथ नहीं" = कुल − साथ।"Saath nahi" = kul − saath.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Using ^nC_r for arrangements (like captain and vice-captain) — that is ^nP_r.व्यवस्थाओं (जैसे कप्तान और उपकप्तान) के लिए ^nC_r लेना — वहाँ ^nP_r है।Arrangements (jaise captain aur vice-captain) ke liye ^nC_r lena — wahan ^nP_r hai.
  • Allowing 0 in the first place of a number.संख्या के पहले स्थान पर 0 रखने देना।Number ke pehle place par 0 rakhne dena.
  • Forgetting to divide by p! for repeated letters (MISSISSIPPI has \frac{11!}{4!\,4!\,2!} arrangements, not 11!).दोहराए अक्षरों के लिए p! से भाग देना भूलना (MISSISSIPPI की व्यवस्थाएँ \frac{11!}{4!\,4!\,2!} हैं, 11! नहीं)।Repeat letters ke liye p! se bhaag dena bhoolna (MISSISSIPPI ke arrangements \frac{11!}{4!\,4!\,2!} hain, 11! nahi).
  • 3! + 4! = 7! — wrong: (a + b)! \ne a! + b!.3! + 4! = 7! — गलत: (a + b)! \ne a! + b!।3! + 4! = 7! — galat: (a + b)! \ne a! + b!.
  • "At least" problems: count each case separately and add, instead of a single product."कम से कम" वाले प्रश्न: हर स्थिति अलग गिनकर जोड़िए, एक ही गुणनफल नहीं।"Kam se kam" wale questions: har case alag ginkar jodiye, ek hi product nahi.

✎ NCERT exercises — solutions✎ NCERT प्रश्नावली — हल✎ NCERT exercises — solutions

All 42 questions of the NCERT exercises. Tap a question to see the solution — try it yourself first!NCERT प्रश्नावली के सभी 42 प्रश्न। हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें — पहले स्वयं हल करके देखें!NCERT exercises ke saare 42 questions. Hal dekhne ke liye question par tap kijiye — pehle khud try kijiye!

Exercise 6.1प्रश्नावली 6.1Exercise 6.1 · 6 Q

Q1. How many 3-digit numbers can be formed from 1, 2, 3, 4, 5 if (i) repetition is allowed (ii) not allowed?अंकों 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं यदि (i) दोहराव की अनुमति है (ii) अनुमति नहीं है?How many 3-digit numbers can be formed from 1, 2, 3, 4, 5 if (i) repetition is allowed (ii) not allowed?
  1. (i)\ 5 \times 5 \times 5 = 125 \qquad (ii)\ 5 \times 4 \times 3 = 60
Q2. How many 3-digit even numbers from 1, 2, 3, 4, 5, 6 if digits can be repeated?1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ, अंकों के दोहराव सहित?How many 3-digit even numbers from 1, 2, 3, 4, 5, 6 if digits can be repeated?
  1. \text{units: } 2, 4, 6 \to 3 \text{ ways} \Rightarrow 6 \times 6 \times 3 = 108\text{इकाई: } 2, 4, 6 \to 3 \text{ तरीके} \Rightarrow 6 \times 6 \times 3 = 108\text{units: } 2, 4, 6 \to 3 \text{ tarike} \Rightarrow 6 \times 6 \times 3 = 108
Q3. How many 4-letter codes from the first 10 letters of the alphabet, no letter repeated?अंग्रेज़ी वर्णमाला के पहले 10 अक्षरों से कितने 4-अक्षर कोड, बिना दोहराव?How many 4-letter codes from the first 10 letters of the alphabet, no letter repeated?
  1. 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040
Q4. How many 5-digit telephone numbers from 0–9 start with 67, no digit repeated?0–9 से 67 से आरंभ होने वाली कितनी 5-अंकीय टेलीफ़ोन संख्याएँ, कोई अंक दोहराए बिना?How many 5-digit telephone numbers from 0–9 start with 67, no digit repeated?
  1. 6\,7\,\_\,\_\,\_ :\ 8 \times 7 \times 6 = 336
Q5. A coin is tossed 3 times. How many outcomes?एक सिक्का 3 बार उछाला जाता है। कितने परिणाम?A coin is tossed 3 times. How many outcomes?
  1. 2 \times 2 \times 2 = 8
Q6. 5 flags of different colours; how many signals using 2 flags, one below the other?5 अलग रंगों के झंडे; एक के नीचे दूसरा, 2 झंडों से कितने संकेत?5 flags of different colours; how many signals using 2 flags, one below the other?
  1. 5 \times 4 = 20

Exercise 6.2प्रश्नावली 6.2Exercise 6.2 · 5 Q

Q1. Evaluate (i) 8! (ii) 4! − 3!.मान ज्ञात कीजिए (i) 8! (ii) 4! − 3!।Evaluate (i) 8! (ii) 4! − 3!.
  1. (i)\ 8! = 40320 \qquad (ii)\ 24 - 6 = 18
Q2. Is 3! + 4! = 7!?क्या 3! + 4! = 7!?Is 3! + 4! = 7!?
  1. 3! + 4! = 6 + 24 = 30,\quad 7! = 5040

✔ No.नहीं।Nahi.

Q3. Compute \frac{8!}{6! \times 2!}.\frac{8!}{6! \times 2!} का मान ज्ञात कीजिए।Compute \frac{8!}{6! \times 2!}.
  1. \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times 2} = 28
Q4. If \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}, find x.यदि \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}, तो x ज्ञात कीजिए।If \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}, find x.
  1. \times 8!:\ \frac{8!}{6!} + \frac{8!}{7!} = x \Rightarrow 56 + 8 = 64
Q5. Evaluate \frac{n!}{(n - r)!} when (i) n = 6, r = 2 (ii) n = 9, r = 5.\frac{n!}{(n - r)!} का मान ज्ञात कीजिए जब (i) n = 6, r = 2 (ii) n = 9, r = 5।Evaluate \frac{n!}{(n - r)!} when (i) n = 6, r = 2 (ii) n = 9, r = 5.
  1. (i)\ \frac{6!}{4!} = 30 \qquad (ii)\ \frac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120

Exercise 6.3प्रश्नावली 6.3Exercise 6.3 · 11 Q

Q1. How many 3-digit numbers from 1–9, no digit repeated?1–9 से कितनी 3-अंकीय संख्याएँ, बिना दोहराव?How many 3-digit numbers from 1–9, no digit repeated?
  1. ^9P_3 = 9 \times 8 \times 7 = 504
Q2. How many 4-digit numbers have no digit repeated?कितनी 4-अंकीय संख्याओं में कोई अंक दोहराया नहीं गया?How many 4-digit numbers have no digit repeated?
  1. 9 \text{ (no 0 first)} \times 9 \times 8 \times 7 = 4536
Q3. How many 3-digit even numbers from 1, 2, 3, 4, 6, 7, no digit repeated?1, 2, 3, 4, 6, 7 से कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ, बिना दोहराव?How many 3-digit even numbers from 1, 2, 3, 4, 6, 7, no digit repeated?
  1. \text{units: } 2, 4, 6 \to 3;\ \text{then } 5 \times 4 \Rightarrow 3 \times 20 = 60\text{इकाई: } 2, 4, 6 \to 3;\ \text{फिर } 5 \times 4 \Rightarrow 3 \times 20 = 60\text{units: } 2, 4, 6 \to 3;\ \text{phir } 5 \times 4 \Rightarrow 3 \times 20 = 60
Q4. How many 4-digit numbers from 1, 2, 3, 4, 5, no digit repeated? How many are even?1, 2, 3, 4, 5 से कितनी 4-अंकीय संख्याएँ, बिना दोहराव? इनमें कितनी सम हैं?How many 4-digit numbers from 1, 2, 3, 4, 5, no digit repeated? How many are even?
  1. ^5P_4 = 120;\quad \text{even: units } 2 \text{ or } 4 \Rightarrow 2 \times {}^4P_3 = 48^5P_4 = 120;\quad \text{सम: इकाई } 2 \text{ या } 4 \Rightarrow 2 \times {}^4P_3 = 48^5P_4 = 120;\quad \text{even: units } 2 \text{ ya } 4 \Rightarrow 2 \times {}^4P_3 = 48
Q5. From a committee of 8, in how many ways can a chairman and vice chairman be chosen (different persons)?8 व्यक्तियों की समिति से अध्यक्ष और उपाध्यक्ष कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं (अलग व्यक्ति)?From a committee of 8, in how many ways can a chairman and vice chairman be chosen (different persons)?
  1. ^8P_2 = 8 \times 7 = 56
Q6. Find n if ^{n-1}P_3 : {}^nP_4 = 1 : 9.n ज्ञात कीजिए यदि ^{n-1}P_3 : {}^nP_4 = 1 : 9।Find n if ^{n-1}P_3 : {}^nP_4 = 1 : 9.
  1. ^nP_4 = n(n-1)(n-2)(n-3) = n \cdot {}^{n-1}P_3 \Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{9} \Rightarrow n = 9
Q7. Find r if (i) ^5P_r = 2\,{}^6P_{r-1} (ii) ^5P_r = {}^6P_{r-1}.r ज्ञात कीजिए यदि (i) ^5P_r = 2\,{}^6P_{r-1} (ii) ^5P_r = {}^6P_{r-1}।Find r if (i) ^5P_r = 2\,{}^6P_{r-1} (ii) ^5P_r = {}^6P_{r-1}.
  1. \frac{5!}{(5-r)!} = k\,\frac{6!}{(7-r)!} \Rightarrow (7 - r)(6 - r) = 6k
  2. (i)\ k = 2: (7 - r)(6 - r) = 12 = 4 \times 3 \Rightarrow r = 3
  3. (ii)\ k = 1: (7 - r)(6 - r) = 6 = 3 \times 2 \Rightarrow r = 4
Q8. How many words using all letters of EQUATION once each?EQUATION के सभी अक्षरों को एक-एक बार लेकर कितने शब्द?How many words using all letters of EQUATION once each?
  1. 8! = 40320
Q9. Words from MONDAY, no letter repeated, if (i) 4 letters at a time (ii) all letters (iii) all letters, first a vowel?MONDAY से शब्द, बिना दोहराव, यदि (i) एक बार में 4 अक्षर (ii) सभी अक्षर (iii) सभी अक्षर, पहला स्वर हो?Words from MONDAY, no letter repeated, if (i) 4 letters at a time (ii) all letters (iii) all letters, first a vowel?
  1. (i)\ ^6P_4 = 360 \quad (ii)\ 6! = 720 \quad (iii)\ \text{vowels O, A}: 2 \times 5! = 240(i)\ ^6P_4 = 360 \quad (ii)\ 6! = 720 \quad (iii)\ \text{स्वर O, A}: 2 \times 5! = 240(i)\ ^6P_4 = 360 \quad (ii)\ 6! = 720 \quad (iii)\ \text{vowels O, A}: 2 \times 5! = 240
Q10. In how many distinct permutations of MISSISSIPPI do the four I's not come together?MISSISSIPPI के कितने भिन्न क्रमचयों में चारों I साथ नहीं आते?In how many distinct permutations of MISSISSIPPI do the four I's not come together?
  1. \text{Total} = \frac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34650
  2. \text{IIII as one unit: } \frac{8!}{4!\,2!} = 840\text{IIII को एक इकाई मानकर: } \frac{8!}{4!\,2!} = 840\text{IIII ko ek unit maankar: } \frac{8!}{4!\,2!} = 840
  3. 34650 - 840 = 33810
Q11. Arrangements of PERMUTATIONS if (i) they start with P and end with S (ii) vowels are all together (iii) there are always 4 letters between P and S.PERMUTATIONS की व्यवस्थाएँ यदि (i) P से आरंभ और S पर अंत (ii) सभी स्वर साथ (iii) P और S के बीच हमेशा 4 अक्षर।Arrangements of PERMUTATIONS if (i) they start with P and end with S (ii) vowels are all together (iii) there are always 4 letters between P and S.
  1. 12 letters, T appears twice; vowels E, U, A, I, O.12 अक्षर, T दो बार; स्वर E, U, A, I, O।12 letters, T do baar; vowels E, U, A, I, O.
    (i)\ \frac{10!}{2!} = 1814400
  2. (ii)\ \frac{8!}{2!} \times 5! = 20160 \times 120 = 2419200
  3. (iii)\ \text{positions of (P, S): 7 pairs} \times 2 = 14;\ 14 \times \frac{10!}{2!} = 25401600(iii)\ \text{(P, S) के स्थान: 7 युग्म} \times 2 = 14;\ 14 \times \frac{10!}{2!} = 25401600(iii)\ \text{(P, S) ki positions: 7 pairs} \times 2 = 14;\ 14 \times \frac{10!}{2!} = 25401600

Exercise 6.4प्रश्नावली 6.4Exercise 6.4 · 9 Q

Q1. If ^nC_8 = {}^nC_2, find ^nC_2.यदि ^nC_8 = {}^nC_2, तो ^nC_2 ज्ञात कीजिए।If ^nC_8 = {}^nC_2, find ^nC_2.
  1. n = 8 + 2 = 10 \Rightarrow {}^{10}C_2 = 45
Q2. Find n if (i) ^{2n}C_3 : {}^nC_3 = 12 : 1 (ii) ^{2n}C_3 : {}^nC_3 = 11 : 1.n ज्ञात कीजिए यदि (i) ^{2n}C_3 : {}^nC_3 = 12 : 1 (ii) ^{2n}C_3 : {}^nC_3 = 11 : 1।Find n if (i) ^{2n}C_3 : {}^nC_3 = 12 : 1 (ii) ^{2n}C_3 : {}^nC_3 = 11 : 1.
  1. \frac{^{2n}C_3}{^nC_3} = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = \frac{4(2n-1)}{n-2}
  2. (i)\ 8n - 4 = 12n - 24 \Rightarrow n = 5 \qquad (ii)\ 8n - 4 = 11n - 22 \Rightarrow n = 6
Q3. How many chords through 21 points on a circle?वृत्त पर 21 बिंदुओं से कितनी जीवाएँ?How many chords through 21 points on a circle?
  1. ^{21}C_2 = 210
Q4. Ways to select 3 boys and 3 girls from 5 boys and 4 girls?5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियाँ चुनने के तरीके?Ways to select 3 boys and 3 girls from 5 boys and 4 girls?
  1. ^5C_3 \times {}^4C_3 = 10 \times 4 = 40
Q5. Select 9 balls from 6 red, 5 white, 5 blue with 3 of each colour.6 लाल, 5 सफ़ेद, 5 नीली गेंदों में से 9 गेंदें, हर रंग की 3।Select 9 balls from 6 red, 5 white, 5 blue with 3 of each colour.
  1. ^6C_3 \times {}^5C_3 \times {}^5C_3 = 20 \times 10 \times 10 = 2000
Q6. 5-card combinations from 52 with exactly one ace.52 में से 5 पत्तों के संचय जिनमें ठीक एक इक्का हो।5-card combinations from 52 with exactly one ace.
  1. ^4C_1 \times {}^{48}C_4 = 4 \times 194580 = 778320
Q7. Cricket team of 11 from 17 players, of whom only 5 can bowl, with exactly 4 bowlers.17 खिलाड़ियों (केवल 5 गेंदबाज़) में से 11 की टीम जिसमें ठीक 4 गेंदबाज़ हों।Cricket team of 11 from 17 players, of whom only 5 can bowl, with exactly 4 bowlers.
  1. ^5C_4 \times {}^{12}C_7 = 5 \times 792 = 3960
Q8. A bag has 5 black and 6 red balls. Ways to select 2 black and 3 red?थैले में 5 काली और 6 लाल गेंदें। 2 काली और 3 लाल चुनने के तरीके?A bag has 5 black and 6 red balls. Ways to select 2 black and 3 red?
  1. ^5C_2 \times {}^6C_3 = 10 \times 20 = 200
Q9. Choose 5 courses from 9 if 2 specific courses are compulsory.9 पाठ्यक्रमों में से 5, यदि 2 विशेष पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं।Choose 5 courses from 9 if 2 specific courses are compulsory.
  1. ^7C_3 = 35

Miscellaneous Exercise on Chapter 6अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावलीMiscellaneous Exercise on Chapter 6 · 11 Q

Q1. Words with 2 vowels and 3 consonants from the letters of DAUGHTER.DAUGHTER के अक्षरों से 2 स्वर और 3 व्यंजन वाले शब्द।Words with 2 vowels and 3 consonants from the letters of DAUGHTER.
  1. \text{vowels A, U, E; consonants D, G, H, T, R}:\ {}^3C_2 \times {}^5C_3 \times 5! = 3 \times 10 \times 120 = 3600\text{स्वर A, U, E; व्यंजन D, G, H, T, R}:\ {}^3C_2 \times {}^5C_3 \times 5! = 3 \times 10 \times 120 = 3600\text{vowels A, U, E; consonants D, G, H, T, R}:\ {}^3C_2 \times {}^5C_3 \times 5! = 3 \times 10 \times 120 = 3600
Q2. Words using all letters of EQUATION so that vowels and consonants occur together.EQUATION के सभी अक्षरों से शब्द जिनमें स्वर साथ और व्यंजन साथ हों।Words using all letters of EQUATION so that vowels and consonants occur together.
  1. \text{2 blocks: } 2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440
Q3. A committee of 7 from 9 boys and 4 girls with (i) exactly 3 girls (ii) at least 3 girls (iii) at most 3 girls.9 लड़कों और 4 लड़कियों से 7 की समिति जिसमें (i) ठीक 3 लड़कियाँ (ii) कम से कम 3 लड़कियाँ (iii) अधिक से अधिक 3 लड़कियाँ।A committee of 7 from 9 boys and 4 girls with (i) exactly 3 girls (ii) at least 3 girls (iii) at most 3 girls.
  1. (i)\ {}^4C_3 \times {}^9C_4 = 4 \times 126 = 504
  2. (ii)\ 504 + {}^4C_4 \times {}^9C_3 = 504 + 84 = 588
  3. (iii)\ {}^9C_7 + {}^4C_1\,{}^9C_6 + {}^4C_2\,{}^9C_5 + {}^4C_3\,{}^9C_4 = 36 + 336 + 756 + 504 = 1632
Q4. Permutations of EXAMINATION listed as in a dictionary: how many words before the first word starting with E?EXAMINATION के क्रमचय शब्दकोश क्रम में: E से आरंभ होने वाले पहले शब्द से पहले कितने शब्द?Permutations of EXAMINATION listed as in a dictionary: how many words before the first word starting with E?
  1. Only words starting with A come before E. The other 10 letters have I, N twice each.E से पहले केवल A से आरंभ होने वाले शब्द आते हैं। शेष 10 अक्षरों में I, N दो-दो बार।E se pehle sirf A se shuru hone wale words aate hain. Baaki 10 letters mein I, N do-do baar.
    \frac{10!}{2!\,2!} = 907200
Q5. 6-digit numbers from 0, 1, 3, 5, 7, 9 divisible by 10, no digit repeated.0, 1, 3, 5, 7, 9 से 10 से विभाज्य 6-अंकीय संख्याएँ, बिना दोहराव।6-digit numbers from 0, 1, 3, 5, 7, 9 divisible by 10, no digit repeated.
  1. \text{units} = 0;\ \text{others: } 5! = 120\text{इकाई} = 0;\ \text{शेष: } 5! = 120\text{units} = 0;\ \text{baaki: } 5! = 120
Q6. The alphabet has 5 vowels and 21 consonants. Words with two different vowels and two different consonants?वर्णमाला में 5 स्वर और 21 व्यंजन। दो भिन्न स्वर और दो भिन्न व्यंजन वाले शब्द?The alphabet has 5 vowels and 21 consonants. Words with two different vowels and two different consonants?
  1. ^5C_2 \times {}^{21}C_2 \times 4! = 10 \times 210 \times 24 = 50400
Q7. 12 questions: Part I has 5, Part II has 7. Attempt 8 with at least 3 from each part.12 प्रश्न: भाग I में 5, भाग II में 7। 8 प्रश्न, हर भाग से कम से कम 3।12 questions: Part I has 5, Part II has 7. Attempt 8 with at least 3 from each part.
  1. (3, 5): {}^5C_3\,{}^7C_5 = 210;\ (4, 4): {}^5C_4\,{}^7C_4 = 175;\ (5, 3): {}^5C_5\,{}^7C_3 = 35

✔ 210 + 175 + 35 = 420

Q8. 5-card combinations from 52 with exactly one king.52 में से 5 पत्तों के संचय जिनमें ठीक एक बादशाह हो।5-card combinations from 52 with exactly one king.
  1. ^4C_1 \times {}^{48}C_4 = 778320
Q9. Seat 5 men and 4 women in a row so that the women occupy the even places.5 पुरुष और 4 महिलाएँ एक पंक्ति में ऐसे बैठें कि महिलाएँ सम स्थानों पर हों।Seat 5 men and 4 women in a row so that the women occupy the even places.
  1. \text{even places 2, 4, 6, 8}: 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880
Q10. 10 of 25 students go on an excursion; 3 students go all together or none. In how many ways?25 में से 10 विद्यार्थी भ्रमण पर; 3 विद्यार्थी या तो सब जाएँगे या कोई नहीं। कितने तरीके?10 of 25 students go on an excursion; 3 students go all together or none. In how many ways?
  1. \text{3 join: } {}^{22}C_7 = 170544;\quad \text{none: } {}^{22}C_{10} = 646646

✔ {}^{22}C_7 + {}^{22}C_{10} = 817190

Q11. Arrangements of ASSASSINATION with all the S's together.ASSASSINATION की व्यवस्थाएँ जिनमें सभी S साथ हों।Arrangements of ASSASSINATION with all the S's together.
  1. 13 letters: S × 4, A × 3, I × 2, N × 2, T, O. Tie the 4 S's into one unit: 10 units.13 अक्षर: S × 4, A × 3, I × 2, N × 2, T, O। चारों S को एक इकाई मानें: 10 इकाइयाँ।13 letters: S × 4, A × 3, I × 2, N × 2, T, O. Chaaron S ko ek unit maanein: 10 units.
    \frac{10!}{3!\,2!\,2!} = 151200

🎯 Quiz — 12 questions🎯 क्विज़ — 12 प्रश्न🎯 Quiz — 12 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The value of ⁶P₂ is⁶P₂ का मान है⁶P₂ ki value hai

2. The value of ⁸C₆ is⁸C₆ का मान है⁸C₆ ki value hai

3. 0! equals0! बराबर है0! barabar hai

4. How many arrangements of the letters of BOOK?BOOK के अक्षरों की कितनी व्यवस्थाएँ?BOOK ke letters ke kitne arrangements?

5. A coin is tossed 4 times. Number of outcomes:एक सिक्का 4 बार उछाला गया। परिणामों की संख्या:Ek coin 4 baar uchhala gaya. Outcomes ki sankhya:

6. If ⁿC₁₀ = ⁿC₁₂, then n =यदि ⁿC₁₀ = ⁿC₁₂, तो n =Agar ⁿC₁₀ = ⁿC₁₂, to n =

7. Number of chords through 10 points on a circle:वृत्त पर 10 बिंदुओं से जीवाओं की संख्या:Circle par 10 points se chords ki sankhya:

8. Choosing a captain and a vice-captain from 11 players is a11 खिलाड़ियों में से कप्तान और उपकप्तान चुनना है11 players mein se captain aur vice-captain chunna hai

9. How many 3-digit numbers with no repeated digit can be formed from 1–9?1–9 से बिना दोहराव कितनी 3-अंकीय संख्याएँ?1–9 se bina repeat kitne 3-digit numbers?

10. 1/6! + 1/7! = x/8!. Then x =1/6! + 1/7! = x/8!। तो x =1/6! + 1/7! = x/8!. To x =

11. ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ equalsⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ बराबर हैⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ barabar hai

12. Ways to select 3 boys and 3 girls from 5 boys and 4 girls:5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियाँ चुनने के तरीके:5 ladkon aur 4 ladkiyon mein se 3 ladke aur 3 ladkiyan chunne ke tareeke:

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 11 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 गणित की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Maths ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.