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Ch 5Linear Inequalitiesरैखिक असमिकाएँLinear Inequalities

What an inequality is, the rules for solving linear inequalities in one variable (and the sign flip), showing solutions on the number line, double inequalities, systems of inequalities and word problems — with every NCERT exercise solved.असमिका क्या है, एक चर वाली रैखिक असमिकाओं को हल करने के नियम (और चिह्न का उलटना), संख्या रेखा पर हल दिखाना, दोहरी असमिकाएँ, असमिकाओं के निकाय और शाब्दिक प्रश्न — NCERT के सभी प्रश्नों के हल के साथ।Inequality kya hai, ek variable wali linear inequalities hal karne ke rules (aur sign ulatna), number line par hal dikhana, double inequalities, inequalities ka system aur word problems — NCERT ke saare questions ke hal ke saath.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के चित्रIs chapter ke diagrams

Solutions on the number line: open and filled circlesसंख्या रेखा पर हल: खुला और भरा वृत्तSolutions on the number line: open and filled circlesFig 5.1–5.3System of inequalities: the common partअसमिकाओं का निकाय: उभयनिष्ठ भागSystem of inequalities: the common partExample 11
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 5.2InequalitiesअसमिकाएँInequalities
  2. 5.3Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variableएक चर वाली रैखिक असमिकाओं के बीजीय हलEk variable wali linear inequalities ke algebraic hal
  3. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  4. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  5. ✎NCERT exercises — solutionsNCERT प्रश्नावली — हलNCERT exercises — solutions
  6. 🎯Quizक्विज़Quiz

5.2InequalitiesअसमिकाएँInequalities

Ravi has ₹200 and rice costs ₹30 per packet. If he buys x packets, 30x < 200. This is not an equation but an inequality.रवि के पास ₹200 हैं और चावल का एक पैकेट ₹30 का है। यदि वह x पैकेट खरीदे तो 30x < 200। यह समीकरण नहीं, असमिका है।Ravi ke paas ₹200 hain aur chawal ka ek packet ₹30 ka hai. Agar wo x packet khareede to 30x < 200. Ye equation nahi, inequality hai.

InequalityTwo real numbers or two algebraic expressions related by <, >, \le or \ge. 3 < 5 is a numerical inequality; x < 5, 3x + 4y \le 9 are literal inequalities. 3 < 5 < 7 is a double inequality. ax + b < 0 (a \ne 0) is a linear inequality in one variable.असमिका<, >, \le या \ge से जुड़ी दो वास्तविक संख्याएँ या दो बीजीय व्यंजक। 3 < 5 संख्यात्मक असमिका है; x < 5, 3x + 4y \le 9 शाब्दिक असमिकाएँ हैं। 3 < 5 < 7 दोहरी असमिका है। ax + b < 0 (a \ne 0) एक चर में रैखिक असमिका है।Inequality<, >, \le ya \ge se jude do real numbers ya do algebraic expressions. 3 < 5 numerical inequality hai; x < 5, 3x + 4y \le 9 literal inequalities hain. 3 < 5 < 7 double inequality hai. ax + b < 0 (a \ne 0) ek variable mein linear inequality hai.

The values of x that make an inequality true form its solution set.x के वे मान जो असमिका को सत्य बनाते हैं, उसका हल समुच्चय हैं।x ki wo values jo inequality ko sach banati hain, uska solution set hain.

5.3Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variableएक चर वाली रैखिक असमिकाओं के बीजीय हलEk variable wali linear inequalities ke algebraic hal

The two rulesRule 1: The same number may be added to (or subtracted from) both sides — the sign stays. Rule 2: Both sides may be multiplied (or divided) by the same positive number — the sign stays. But multiplying or dividing by a negative number reverses the sign (< becomes >, \le becomes \ge).दो नियमनियम 1: दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ी (या घटाई) जा सकती है — चिह्न वही रहता है। नियम 2: दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा (या भाग) कर सकते हैं — चिह्न वही रहता है। पर ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है (< का >, \le का \ge)।Do rulesRule 1: Dono taraf same number jod (ya ghata) sakte hain — sign wahi rehta hai. Rule 2: Dono taraf same positive number se guna (ya bhaag) kar sakte hain — sign wahi rehta hai. Par negative number se guna ya bhaag karne par sign ulat jaata hai (< ka >, \le ka \ge).
Example 1Solve 30x < 200 when (i) x is a natural number (ii) x is an integer.उदाहरण 130x < 200 हल कीजिए जब (i) x प्राकृत संख्या है (ii) x पूर्णांक है।Example 130x < 200 hal kijiye jab (i) x natural number hai (ii) x integer hai.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. x < \frac{200}{30} = \frac{20}{3} \approx 6.67

✔ (i) {1, 2, 3, 4, 5, 6} (ii) {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Example 2Solve 5x - 3 < 3x + 1 when (i) x is an integer (ii) x is real.उदाहरण 25x - 3 < 3x + 1 हल कीजिए जब (i) x पूर्णांक है (ii) x वास्तविक है।Example 25x - 3 < 3x + 1 hal kijiye jab (i) x integer hai (ii) x real hai.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. 5x - 3x < 1 + 3 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2

✔ (i) {…, −2, −1, 0, 1} (ii) (-\infty, 2)

On the number line, a strict sign (<, >) is drawn with an open circle (end point not included) and \le, \ge with a filled circle (end point included). Tap the lines in the picture.संख्या रेखा पर सख्त चिह्न (<, >) खुले वृत्त से (अंत-बिंदु शामिल नहीं) और \le, \ge भरे वृत्त से (अंत-बिंदु शामिल) दिखाते हैं। चित्र में रेखाओं को छुइए।Number line par strict sign (<, >) open circle se (end point shaamil nahi) aur \le, \ge filled circle se (end point shaamil) dikhate hain. Picture mein lines ko tap kijiye.

Solutions on the number line: open and filled circlesसंख्या रेखा पर हल: खुला और भरा वृत्तSolutions on the number line: open and filled circlesFig 5.1–5.3 · 3 tappable partsचित्र 5.1–5.3 · 3 टैप करने लायक हिस्सेFig 5.1–5.3 · 3 tappable partsOpen
Example 6Solve \frac{3x - 4}{2} \ge \frac{x + 1}{4} - 1 and show the solutions on the number line.उदाहरण 6\frac{3x - 4}{2} \ge \frac{x + 1}{4} - 1 हल कीजिए और हल संख्या रेखा पर दिखाइए।Example 6\frac{3x - 4}{2} \ge \frac{x + 1}{4} - 1 hal kijiye aur hal number line par dikhaiye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Multiply both sides by 4 (positive, so the sign stays).दोनों पक्षों को 4 से गुणा कीजिए (धनात्मक, चिह्न वही)।Dono taraf 4 se guna kijiye (positive, sign wahi).
    2(3x - 4) \ge x + 1 - 4 \Rightarrow 6x - 8 \ge x - 3 \Rightarrow 5x \ge 5 \Rightarrow x \ge 1

✔ [1, \infty) — filled circle at 1, shade to the right.[1, \infty) — 1 पर भरा वृत्त, दाईं ओर छायांकन।[1, \infty) — 1 par filled circle, right side shade.

Example 7Marks in two terminal exams are 62 and 48. Find the minimum marks in the annual exam for an average of at least 60.उदाहरण 7दो सत्र परीक्षाओं में अंक 62 और 48 हैं। कम से कम 60 औसत के लिए वार्षिक परीक्षा में न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए।Example 7Do terminal exams mein marks 62 aur 48 hain. Kam se kam 60 average ke liye annual exam mein minimum marks nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \frac{62 + 48 + x}{3} \ge 60 \Rightarrow 110 + x \ge 180 \Rightarrow x \ge 70
Example 9Solve -8 \le 5x - 3 < 7.उदाहरण 9-8 \le 5x - 3 < 7 हल कीजिए।Example 9-8 \le 5x - 3 < 7 hal kijiye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Do the same step to all three parts.तीनों भागों पर एक ही क्रिया कीजिए।Teeno parts par same step kijiye.
    -5 \le 5x < 10 \Rightarrow -1 \le x < 2
Example 10Solve -5 \le \frac{5 - 3x}{2} \le 8.उदाहरण 10-5 \le \frac{5 - 3x}{2} \le 8 हल कीजिए।Example 10-5 \le \frac{5 - 3x}{2} \le 8 hal kijiye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. -10 \le 5 - 3x \le 16 \Rightarrow -15 \le -3x \le 11
  2. \text{divide by } -3 \text{ (signs flip)}: \ 5 \ge x \ge -\frac{11}{3}-3 \text{ से भाग (चिह्न उलटते हैं)}: \ 5 \ge x \ge -\frac{11}{3}-3 \text{ se divide (sign ulat jaate hain)}: \ 5 \ge x \ge -\frac{11}{3}

✔ -\frac{11}{3} \le x \le 5, i.e. \left[-\frac{11}{3}, 5\right]

Example 11Solve the system 3x - 7 < 5 + x, 11 - 5x \le 1 and show it on the number line.उदाहरण 11निकाय 3x - 7 < 5 + x, 11 - 5x \le 1 हल कीजिए और संख्या रेखा पर दिखाइए।Example 11System 3x - 7 < 5 + x, 11 - 5x \le 1 hal kijiye aur number line par dikhaiye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. 3x - 7 < 5 + x \Rightarrow 2x < 12 \Rightarrow x < 6
  2. 11 - 5x \le 1 \Rightarrow -5x \le -10 \Rightarrow x \ge 2

✔ Common part: 2 \le x < 6.उभयनिष्ठ भाग: 2 \le x < 6।Common part: 2 \le x < 6.

System of inequalities: the common partअसमिकाओं का निकाय: उभयनिष्ठ भागSystem of inequalities: the common partExample 11 · 3 tappable partsउदाहरण 11 · 3 टैप करने लायक हिस्सेExample 11 · 3 tappable partsOpen
Example 13600 litres of a 12% acid solution. How much 30% acid solution must be added so that the mixture is more than 15% but less than 18% acid?उदाहरण 1312% अम्ल का 600 लीटर विलयन है। 30% अम्ल वाला कितना विलयन मिलाएँ कि मिश्रण में अम्ल 15% से अधिक पर 18% से कम हो?Example 1312% acid ka 600 litre solution hai. 30% acid wala kitna solution milayein ki mixture mein acid 15% se zyada par 18% se kam ho?
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. 0.30x + 72 > 0.15(x + 600) \Rightarrow 0.15x > 18 \Rightarrow x > 120
  2. 0.30x + 72 < 0.18(x + 600) \Rightarrow 0.12x < 36 \Rightarrow x < 300

✔ More than 120 litres but less than 300 litres.120 लीटर से अधिक पर 300 लीटर से कम।120 litre se zyada par 300 litre se kam.

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Add/subtract anything: sign stays. Multiply/divide by a positive number: sign stays.कुछ भी जोड़ें/घटाएँ: चिह्न वही। धनात्मक संख्या से गुणा/भाग: चिह्न वही।Kuch bhi jodein/ghatayein: sign wahi. Positive number se guna/bhaag: sign wahi.
  2. Multiply/divide by a negative number: reverse the sign.ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग: चिह्न उलटिए।Negative number se guna/bhaag: sign ulatiye.
  3. <, > → open circle, round bracket ( ); \le, \ge → filled circle, square bracket [ ].<, > → खुला वृत्त, गोल कोष्ठक ( ); \le, \ge → भरा वृत्त, वर्ग कोष्ठक [ ]।<, > → open circle, round bracket ( ); \le, \ge → filled circle, square bracket [ ].
  4. \infty and -\infty always take a round bracket.\infty और -\infty के साथ हमेशा गोल कोष्ठक।\infty aur -\infty ke saath hamesha round bracket.
  5. System of inequalities: solve each, then take the common part.असमिकाओं का निकाय: हर एक हल कीजिए, फिर उभयनिष्ठ भाग लीजिए।Inequalities ka system: har ek hal kijiye, phir common part lijiye.
  6. Check the domain in word problems: natural number, integer or real.शाब्दिक प्रश्नों में प्रांत देखिए: प्राकृत, पूर्णांक या वास्तविक।Word problems mein domain dekhiye: natural, integer ya real.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Forgetting to flip the sign after dividing by a negative number: -3x < 6 \Rightarrow x > -2, not x < -2.ऋणात्मक संख्या से भाग देकर चिह्न उलटना भूलना: -3x < 6 \Rightarrow x > -2, न कि x < -2।Negative number se bhaag dekar sign ulatna bhoolna: -3x < 6 \Rightarrow x > -2, na ki x < -2.
  • Writing (-\infty, 3] for x < 3. Strict < needs a round bracket: (-\infty, 3).x < 3 के लिए (-\infty, 3] लिखना। सख्त < के लिए गोल कोष्ठक: (-\infty, 3)।x < 3 ke liye (-\infty, 3] likhna. Strict < ke liye round bracket: (-\infty, 3).
  • Giving a real interval when x must be a natural number or an integer — list the allowed values.जब x प्राकृत या पूर्णांक हो तब वास्तविक अंतराल देना — अनुमत मान सूचीबद्ध कीजिए।Jab x natural ya integer ho tab real interval dena — allowed values list kijiye.
  • In a system, taking the union instead of the common part.निकाय में उभयनिष्ठ भाग की जगह सम्मिलन लेना।System mein common part ki jagah union lena.
  • Multiplying by an expression like (x - 2) whose sign is unknown — the direction of the sign then cannot be fixed.(x - 2) जैसे व्यंजक से गुणा करना जिसका चिह्न अज्ञात है — तब चिह्न की दिशा तय नहीं हो सकती।(x - 2) jaise expression se guna karna jiska sign pata nahi — tab sign ki direction tay nahi ho sakti.

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Exercise 5.1प्रश्नावली 5.1Exercise 5.1 · 26 Q

Exercises 17–20: solve and show on the number line.प्रश्न 17–20: हल कीजिए और संख्या रेखा पर दिखाइए।Exercises 17–20: solve and show on the number line.

Q1. Solve 24x < 100 when (i) x is a natural number (ii) x is an integer.24x < 100 हल कीजिए जब (i) x प्राकृत संख्या है (ii) x पूर्णांक है।Solve 24x < 100 when (i) x is a natural number (ii) x is an integer.
  1. x < \frac{100}{24} = \frac{25}{6} \approx 4.17

✔ (i) {1, 2, 3, 4} (ii) {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}

Q2. Solve -12x > 30 when (i) x is a natural number (ii) x is an integer.-12x > 30 हल कीजिए जब (i) x प्राकृत संख्या है (ii) x पूर्णांक है।Solve -12x > 30 when (i) x is a natural number (ii) x is an integer.
  1. \text{divide by } -12 \text{ (flip)}: x < -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2}-12 \text{ से भाग (चिह्न उलटा)}: x < -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2}-12 \text{ se divide (sign ulta)}: x < -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2}

✔ (i) No solution (no natural number is less than −2.5). (ii) {…, −5, −4, −3}(i) कोई हल नहीं (कोई प्राकृत संख्या −2.5 से छोटी नहीं)। (ii) {…, −5, −4, −3}(i) Koi hal nahi (koi natural number −2.5 se chhota nahi). (ii) {…, −5, −4, −3}

Q3. Solve 5x - 3 < 7 when (i) x is an integer (ii) x is real.5x - 3 < 7 हल कीजिए जब (i) x पूर्णांक है (ii) x वास्तविक है।Solve 5x - 3 < 7 when (i) x is an integer (ii) x is real.
  1. 5x < 10 \Rightarrow x < 2

✔ (i) {…, −2, −1, 0, 1} (ii) (-\infty, 2)

Q4. Solve 3x + 8 > 2 when (i) x is an integer (ii) x is real.3x + 8 > 2 हल कीजिए जब (i) x पूर्णांक है (ii) x वास्तविक है।Solve 3x + 8 > 2 when (i) x is an integer (ii) x is real.
  1. 3x > -6 \Rightarrow x > -2

✔ (i) {−1, 0, 1, 2, 3, …} (ii) (-2, \infty)

Q5. 4x + 3 < 5x + 7
  1. 3 - 7 < 5x - 4x \Rightarrow -4 < x

✔ (-4, \infty)

Q6. 3x - 7 > 5x - 1
  1. -2x > 6 \Rightarrow x < -3

✔ (-\infty, -3)

Q7. 3(x - 1) \le 2(x - 3)
  1. 3x - 3 \le 2x - 6 \Rightarrow x \le -3

✔ (-\infty, -3]

Q8. 3(2 - x) \ge 2(1 - x)
  1. 6 - 3x \ge 2 - 2x \Rightarrow 4 \ge x

✔ (-\infty, 4]

Q9. x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 11
  1. \frac{11x}{6} < 11 \Rightarrow x < 6

✔ (-\infty, 6)

Q10. \frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1
  1. \times 6:\ 2x > 3x + 6 \Rightarrow -x > 6 \Rightarrow x < -6

✔ (-\infty, -6)

Q11. \frac{3(x - 2)}{5} \le \frac{5(2 - x)}{3}
  1. \times 15:\ 9(x - 2) \le 25(2 - x) \Rightarrow 9x - 18 \le 50 - 25x \Rightarrow 34x \le 68 \Rightarrow x \le 2

✔ (-\infty, 2]

Q12. \frac{1}{2}\left(\frac{3x}{5} + 4\right) \ge \frac{1}{3}(x - 6)
  1. \times 30:\ 15\left(\frac{3x}{5} + 4\right) \ge 10(x - 6) \Rightarrow 9x + 60 \ge 10x - 60 \Rightarrow x \le 120

✔ (-\infty, 120]

Q13. 2(2x + 3) - 10 < 6(x - 2)
  1. 4x - 4 < 6x - 12 \Rightarrow 8 < 2x \Rightarrow x > 4

✔ (4, \infty)

Q14. 37 - (3x + 5) > 9x - 8(x - 3)
  1. 32 - 3x > x + 24 \Rightarrow 8 > 4x \Rightarrow x < 2

✔ (-\infty, 2). (The NCERT answer key prints (-\infty, 2], which is the answer if the sign is \ge.)(-\infty, 2)। (NCERT उत्तरमाला में (-\infty, 2] छपा है, जो चिह्न \ge होने पर उत्तर है।)(-\infty, 2). (NCERT answer key mein (-\infty, 2] chhapa hai, jo sign \ge hone par answer hai.)

Q15. \frac{x}{4} < \frac{5x - 2}{3} - \frac{7x - 3}{5}
  1. \times 60:\ 15x < 20(5x - 2) - 12(7x - 3) = 16x - 4 \Rightarrow x > 4

✔ (4, \infty)

Q16. \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{3x - 2}{4} - \frac{2 - x}{5}
  1. \times 60:\ 40x - 20 \ge 45x - 30 - 24 + 12x = 57x - 54 \Rightarrow 34 \ge 17x \Rightarrow x \le 2

✔ (-\infty, 2]

Q17. 3x - 2 < 2x + 1
  1. x < 3

✔ (-\infty, 3) — open circle at 3, shade left.(-\infty, 3) — 3 पर खुला वृत्त, बाईं ओर छायांकन।(-\infty, 3) — 3 par open circle, left side shade.

Q18. 5x - 3 > 3x - 5
  1. 2x > -2 \Rightarrow x > -1

✔ (-1, \infty) — open circle at −1, shade right. (Answer key: [-1, \infty), i.e. for \ge.)(-1, \infty) — −1 पर खुला वृत्त, दाईं ओर छायांकन। (उत्तरमाला: [-1, \infty), अर्थात् \ge के लिए।)(-1, \infty) — −1 par open circle, right side shade. (Answer key: [-1, \infty), yaani \ge ke liye.)

Q19. 3(1 - x) < 2(x + 4)
  1. 3 - 3x < 2x + 8 \Rightarrow -5 < 5x \Rightarrow x > -1

✔ (-1, \infty) — open circle at −1, shade right.(-1, \infty) — −1 पर खुला वृत्त, दाईं ओर छायांकन।(-1, \infty) — −1 par open circle, right side shade.

Q20. \frac{x}{2} \ge \frac{5x - 2}{3} - \frac{7x - 3}{5}
  1. \times 30:\ 15x \ge 10(5x - 2) - 6(7x - 3) = 8x - 2 \Rightarrow 7x \ge -2 \Rightarrow x \ge -\frac{2}{7}

✔ \left[-\frac{2}{7}, \infty\right) — filled circle at −2/7, shade right.\left[-\frac{2}{7}, \infty\right) — −2/7 पर भरा वृत्त, दाईं ओर छायांकन।\left[-\frac{2}{7}, \infty\right) — −2/7 par filled circle, right side shade.

Q21. Ravi got 70 and 75 in two unit tests. Find the minimum marks in the third for an average of at least 60.रवि को दो इकाई परीक्षाओं में 70 और 75 अंक मिले। कम से कम 60 औसत के लिए तीसरी में न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए।Ravi got 70 and 75 in two unit tests. Find the minimum marks in the third for an average of at least 60.
  1. \frac{70 + 75 + x}{3} \ge 60 \Rightarrow 145 + x \ge 180 \Rightarrow x \ge 35

✔ 35 marks35 अंक35 marks

Q22. Grade A needs an average of at least 90 in five exams (100 each). Sunita has 87, 92, 94, 95. Minimum marks in the fifth?ग्रेड A के लिए पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 अंक) में कम से कम 90 औसत चाहिए। सुनीता के 87, 92, 94, 95 अंक हैं। पाँचवीं में न्यूनतम अंक?Grade A needs an average of at least 90 in five exams (100 each). Sunita has 87, 92, 94, 95. Minimum marks in the fifth?
  1. \frac{87 + 92 + 94 + 95 + x}{5} \ge 90 \Rightarrow 368 + x \ge 450 \Rightarrow x \ge 82

✔ 82 marks82 अंक82 marks

Q23. Find all pairs of consecutive odd positive integers, both smaller than 10, whose sum is more than 11.सभी क्रमागत विषम धन पूर्णांक युग्म ज्ञात कीजिए, दोनों 10 से छोटे, जिनका योग 11 से अधिक हो।Find all pairs of consecutive odd positive integers, both smaller than 10, whose sum is more than 11.
  1. x + 2 < 10 \Rightarrow x < 8;\quad x + (x + 2) > 11 \Rightarrow x > 4.5
  2. Odd x with 4.5 < x < 8: x = 5, 7.विषम x जहाँ 4.5 < x < 8: x = 5, 7।Odd x jahan 4.5 < x < 8: x = 5, 7.

✔ (5, 7) and (7, 9)(5, 7) और (7, 9)(5, 7) aur (7, 9)

Q24. Find all pairs of consecutive even positive integers, both larger than 5, whose sum is less than 23.सभी क्रमागत सम धन पूर्णांक युग्म ज्ञात कीजिए, दोनों 5 से बड़े, जिनका योग 23 से कम हो।Find all pairs of consecutive even positive integers, both larger than 5, whose sum is less than 23.
  1. x > 5;\quad 2x + 2 < 23 \Rightarrow x < 10.5
  2. Even x with 5 < x < 10.5: x = 6, 8, 10.सम x जहाँ 5 < x < 10.5: x = 6, 8, 10।Even x jahan 5 < x < 10.5: x = 6, 8, 10.

✔ (6, 8), (8, 10), (10, 12)

Q25. The longest side of a triangle is 3 times the shortest and the third side is 2 cm shorter than the longest. If the perimeter is at least 61 cm, find the minimum length of the shortest side.त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा सबसे छोटी की 3 गुनी है और तीसरी भुजा सबसे लंबी से 2 cm छोटी है। परिमाप कम से कम 61 cm हो तो सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए।The longest side of a triangle is 3 times the shortest and the third side is 2 cm shorter than the longest. If the perimeter is at least 61 cm, find the minimum length of the shortest side.
  1. x + 3x + (3x - 2) \ge 61 \Rightarrow 7x \ge 63 \Rightarrow x \ge 9

✔ 9 cm

Q26. A board 91 cm long is cut into three pieces: the second is 3 cm longer than the shortest, the third is twice the shortest. Possible lengths of the shortest if the third is at least 5 cm longer than the second?91 cm लंबे तख्ते के तीन टुकड़े: दूसरा सबसे छोटे से 3 cm लंबा, तीसरा सबसे छोटे का दोगुना। यदि तीसरा दूसरे से कम से कम 5 cm लंबा हो, तो सबसे छोटे की संभव लंबाइयाँ?A board 91 cm long is cut into three pieces: the second is 3 cm longer than the shortest, the third is twice the shortest. Possible lengths of the shortest if the third is at least 5 cm longer than the second?
  1. x + (x + 3) + 2x \le 91 \Rightarrow 4x \le 88 \Rightarrow x \le 22
  2. 2x \ge (x + 3) + 5 \Rightarrow x \ge 8

✔ 8 \le x \le 22 cm

Miscellaneous Exercise on Chapter 5अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावलीMiscellaneous Exercise on Chapter 5 · 14 Q

Exercises 7–10: solve and show on the number line.प्रश्न 7–10: हल कीजिए और संख्या रेखा पर दिखाइए।Exercises 7–10: solve and show on the number line.

Q1. 2 \le 3x - 4 \le 5
  1. 6 \le 3x \le 9 \Rightarrow 2 \le x \le 3

✔ [2, 3]

Q2. 6 \le -3(2x - 4) < 12
  1. \div(-3) \text{ (flip both)}: -2 \ge 2x - 4 > -4 \Rightarrow 2 \ge 2x > 0 \Rightarrow 0 < x \le 1\div(-3) \text{ (दोनों चिह्न उलटे)}: -2 \ge 2x - 4 > -4 \Rightarrow 2 \ge 2x > 0 \Rightarrow 0 < x \le 1\div(-3) \text{ (dono sign ulte)}: -2 \ge 2x - 4 > -4 \Rightarrow 2 \ge 2x > 0 \Rightarrow 0 < x \le 1

✔ (0, 1]

Q3. -3 \le 4 - \frac{7x}{2} \le 18
  1. -7 \le -\frac{7x}{2} \le 14 \Rightarrow \times\left(-\frac{2}{7}\right):\ 2 \ge x \ge -4

✔ [-4, 2]

Q4. -15 < \frac{3(x - 2)}{5} \le 0
  1. -75 < 3(x - 2) \le 0 \Rightarrow -25 < x - 2 \le 0 \Rightarrow -23 < x \le 2

✔ (-23, 2]

Q5. -12 < 4 - \frac{3x}{-5} \le 2
  1. 4 - \frac{3x}{-5} = 4 + \frac{3x}{5} \Rightarrow -16 < \frac{3x}{5} \le -2 \Rightarrow -\frac{80}{3} < x \le -\frac{10}{3}

✔ \left(-\frac{80}{3}, -\frac{10}{3}\right]

Q6. 7 \le \frac{3x + 11}{2} \le 11
  1. 14 \le 3x + 11 \le 22 \Rightarrow 3 \le 3x \le 11 \Rightarrow 1 \le x \le \frac{11}{3}

✔ \left[1, \frac{11}{3}\right]

Q7. 5x + 1 > -24, 5x - 1 < 24
  1. 5x > -25 \Rightarrow x > -5;\quad 5x < 25 \Rightarrow x < 5

✔ (-5, 5) — open circles at −5 and 5.(-5, 5) — −5 और 5 पर खुले वृत्त।(-5, 5) — −5 aur 5 par open circles.

Q8. 2(x - 1) < x + 5, 3(x + 2) > 2 - x
  1. 2x - 2 < x + 5 \Rightarrow x < 7;\quad 3x + 6 > 2 - x \Rightarrow 4x > -4 \Rightarrow x > -1

✔ (-1, 7)

Q9. 3x - 7 > 2(x - 6), 6 - x > 11 - 2x
  1. 3x - 7 > 2x - 12 \Rightarrow x > -5;\quad x > 5

✔ Common part (5, \infty)उभयनिष्ठ भाग (5, \infty)Common part (5, \infty)

Q10. 5(2x - 7) - 3(2x + 3) \le 0, 2x + 19 \le 6x + 47
  1. 4x - 44 \le 0 \Rightarrow x \le 11;\quad -28 \le 4x \Rightarrow x \ge -7

✔ [-7, 11] — filled circles at −7 and 11.[-7, 11] — −7 और 11 पर भरे वृत्त।[-7, 11] — −7 aur 11 par filled circles.

Q11. A solution must be kept between 68°F and 77°F. Find the range in °C, if F = \frac{9}{5}C + 32.एक विलयन को 68°F और 77°F के बीच रखना है। °C में परास ज्ञात कीजिए, यदि F = \frac{9}{5}C + 32।A solution must be kept between 68°F and 77°F. Find the range in °C, if F = \frac{9}{5}C + 32.
  1. 68 < \frac{9}{5}C + 32 < 77 \Rightarrow 36 < \frac{9}{5}C < 45 \Rightarrow 20 < C < 25

✔ Between 20°C and 25°C20°C और 25°C के बीच20°C aur 25°C ke beech

Q12. 640 litres of 8% boric acid is diluted with 2% solution so that the mixture is more than 4% but less than 6%. How many litres of the 2% solution?8% बोरिक अम्ल के 640 लीटर में 2% विलयन मिलाकर मिश्रण 4% से अधिक पर 6% से कम करना है। 2% विलयन कितने लीटर?640 litres of 8% boric acid is diluted with 2% solution so that the mixture is more than 4% but less than 6%. How many litres of the 2% solution?
  1. \text{acid} = 0.08 \times 640 + 0.02x = 51.2 + 0.02x
  2. 51.2 + 0.02x > 0.04(640 + x) \Rightarrow 25.6 > 0.02x \Rightarrow x < 1280
  3. 51.2 + 0.02x < 0.06(640 + x) \Rightarrow 12.8 < 0.04x \Rightarrow x > 320

✔ More than 320 litres but less than 1280 litres.320 लीटर से अधिक पर 1280 लीटर से कम।320 litre se zyada par 1280 litre se kam.

Q13. How much water must be added to 1125 litres of a 45% acid solution so that the mixture has more than 25% but less than 30% acid?45% अम्ल के 1125 लीटर विलयन में कितना पानी मिलाएँ कि मिश्रण में अम्ल 25% से अधिक पर 30% से कम हो?How much water must be added to 1125 litres of a 45% acid solution so that the mixture has more than 25% but less than 30% acid?
  1. \text{acid} = 0.45 \times 1125 = 506.25 \text{ L}
  2. 506.25 > 0.25(1125 + x) \Rightarrow 2025 > 1125 + x \Rightarrow x < 900
  3. 506.25 < 0.30(1125 + x) \Rightarrow 1687.5 < 1125 + x \Rightarrow x > 562.5

✔ More than 562.5 litres but less than 900 litres.562.5 लीटर से अधिक पर 900 लीटर से कम।562.5 litre se zyada par 900 litre se kam.

Q14. IQ = \frac{MA}{CA} \times 100. If 80 \le IQ \le 140 for 12-year-olds, find the range of mental age.IQ = \frac{MA}{CA} \times 100। यदि 12 वर्ष के बच्चों के लिए 80 \le IQ \le 140, तो मानसिक आयु का परास ज्ञात कीजिए।IQ = \frac{MA}{CA} \times 100. If 80 \le IQ \le 140 for 12-year-olds, find the range of mental age.
  1. 80 \le \frac{MA}{12} \times 100 \le 140 \Rightarrow 960 \le 100\,MA \le 1680 \Rightarrow 9.6 \le MA \le 16.8

✔ 9.6 \le MA \le 16.8 years9.6 \le MA \le 16.8 वर्ष9.6 \le MA \le 16.8 saal

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Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. If −3x < 12, thenयदि −3x < 12, तोAgar −3x < 12, to

2. The solution of 2x − 5 ≤ 3 in interval form is2x − 5 ≤ 3 का हल अंतराल रूप में है2x − 5 ≤ 3 ka hal interval form mein hai

3. On a number line, x > 2 is shown withसंख्या रेखा पर x > 2 दिखाया जाता हैNumber line par x > 2 dikhaya jaata hai

4. Natural number solutions of 24x < 100 are24x < 100 के प्राकृत संख्या हल हैं24x < 100 ke natural number hal hain

5. Solve −8 ≤ 5x − 3 < 7.−8 ≤ 5x − 3 < 7 हल कीजिए।−8 ≤ 5x − 3 < 7 hal kijiye.

6. Integer solutions of −12x > 30 that are natural numbers:−12x > 30 के ऐसे हल जो प्राकृत संख्याएँ हों:−12x > 30 ke aise hal jo natural numbers hon:

7. The system x < 6 and x ≥ 2 has solutionनिकाय x < 6 और x ≥ 2 का हल हैSystem x < 6 aur x ≥ 2 ka hal hai

8. Marks 70 and 75 in two tests. Minimum in the third for an average of at least 60?दो परीक्षाओं में 70 और 75 अंक। कम से कम 60 औसत के लिए तीसरी में न्यूनतम?Do tests mein 70 aur 75 marks. Kam se kam 60 average ke liye teesre mein minimum?

9. Solve x/3 > x/2 + 1.x/3 > x/2 + 1 हल कीजिए।x/3 > x/2 + 1 hal kijiye.

10. 68 < F < 77 with F = 9C/5 + 32 givesF = 9C/5 + 32 के साथ 68 < F < 77 से मिलता हैF = 9C/5 + 32 ke saath 68 < F < 77 se milta hai

11. Which is the interval for −2 < x ≤ 3?−2 < x ≤ 3 का अंतराल कौन-सा है?−2 < x ≤ 3 ka interval kaun sa hai?

12. 6 ≤ −3(2x − 4) < 12 gives6 ≤ −3(2x − 4) < 12 से मिलता है6 ≤ −3(2x − 4) < 12 se milta hai

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 11 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 गणित की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Maths ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.