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Ch 7Binomial Theoremद्विपद प्रमेयBinomial Theorem

Pascal's triangle, the binomial theorem for a positive integer n, special cases like (x − y)ⁿ and (1 + x)ⁿ, and using the theorem to calculate powers and prove divisibility — with every NCERT exercise solved.पास्कल त्रिभुज, धन पूर्णांक n के लिए द्विपद प्रमेय, (x − y)ⁿ और (1 + x)ⁿ जैसी विशेष स्थितियाँ, और प्रमेय से घातें निकालना तथा विभाज्यता सिद्ध करना — NCERT के सभी प्रश्नों के हल के साथ।Pascal triangle, positive integer n ke liye binomial theorem, (x − y)ⁿ aur (1 + x)ⁿ jaise special cases, aur theorem se powers nikalna aur divisibility prove karna — NCERT ke saare questions ke hal ke saath.

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Pascal's triangle: the binomial coefficientsपास्कल त्रिभुज: द्विपद गुणांकPascal's triangle: the binomial coefficientsSection 7.2(a + b)² as an area(a + b)² क्षेत्रफल के रूप में(a + b)² as an areaSection 7.2
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 7.2Binomial Theorem for Positive Integral Indicesधन पूर्णांक घातांकों के लिए द्विपद प्रमेयPositive integer powers ke liye binomial theorem
  2. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  3. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  4. ✎NCERT exercises — solutionsNCERT प्रश्नावली — हलNCERT exercises — solutions
  5. 🎯Quizक्विज़Quiz

7.2Binomial Theorem for Positive Integral Indicesधन पूर्णांक घातांकों के लिए द्विपद प्रमेयPositive integer powers ke liye binomial theorem

Look at the expansions: (a + b)^1 = a + b, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. In each: there are n + 1 terms, the power of a falls from n to 0 while the power of b rises from 0 to n, and in every term the two powers add up to n.विस्तारों को देखिए: (a + b)^1 = a + b, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3। हर एक में: n + 1 पद हैं, a की घात n से 0 तक घटती है और b की 0 से n तक बढ़ती है, और हर पद में दोनों घातों का योग n है।Expansions dekhiye: (a + b)^1 = a + b, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Har ek mein: n + 1 terms hain, a ki power n se 0 tak ghatti hai aur b ki 0 se n tak badhti hai, aur har term mein dono powers ka jod n hai.

(a + b)² as an area(a + b)² क्षेत्रफल के रूप में(a + b)² as an areaSection 7.2 · 4 tappable partsअनुभाग 7.2 · 4 टैप करने लायक हिस्सेSection 7.2 · 4 tappable partsOpen

The coefficients form Pascal's triangle: each number is the sum of the two just above it. Tap the rows.गुणांक पास्कल त्रिभुज बनाते हैं: हर संख्या ठीक ऊपर की दो संख्याओं का योग है। पंक्तियों को छुइए।Coefficients Pascal triangle banate hain: har number theek upar ke do numbers ka jod hai. Rows ko tap kijiye.

Pascal's triangle: the binomial coefficientsपास्कल त्रिभुज: द्विपद गुणांकPascal's triangle: the binomial coefficientsSection 7.2 · 8 tappable partsअनुभाग 7.2 · 8 टैप करने लायक हिस्सेSection 7.2 · 8 tappable partsOpen
Binomial theoremFor any positive integer n: (a + b)^n = {}^nC_0 a^n + {}^nC_1 a^{n-1}b + {}^nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}^nC_{n-1} ab^{n-1} + {}^nC_n b^n. In short: (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k\, a^{n-k} b^k.द्विपद प्रमेयकिसी भी धन पूर्णांक n के लिए: (a + b)^n = {}^nC_0 a^n + {}^nC_1 a^{n-1}b + {}^nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}^nC_{n-1} ab^{n-1} + {}^nC_n b^n। संक्षेप में: (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k\, a^{n-k} b^k।Binomial theoremKisi bhi positive integer n ke liye: (a + b)^n = {}^nC_0 a^n + {}^nC_1 a^{n-1}b + {}^nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}^nC_{n-1} ab^{n-1} + {}^nC_n b^n. Short mein: (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k\, a^{n-k} b^k.

The numbers {}^nC_r are called binomial coefficients. Since {}^nC_r = {}^nC_{n-r}, coefficients equally far from the two ends are equal.संख्याएँ {}^nC_r द्विपद गुणांक कहलाती हैं। चूँकि {}^nC_r = {}^nC_{n-r}, दोनों सिरों से बराबर दूरी वाले गुणांक बराबर होते हैं।Numbers {}^nC_r binomial coefficients kehlate hain. Kyunki {}^nC_r = {}^nC_{n-r}, dono ends se barabar doori wale coefficients barabar hote hain.

7.2.2Some special casesकुछ विशेष स्थितियाँKuch special cases

(x - y)^n = x^n - {}^nC_1 x^{n-1}y + \dots + (-y)^n
signs alternateचिह्न बारी-बारी बदलते हैंsigns baari-baari badalte hain
(1 + x)^n = 1 + {}^nC_1 x + {}^nC_2 x^2 + \dots + x^n
put a = 1, b = xa = 1, b = x रखिएa = 1, b = x rakhiye
{}^nC_0 + {}^nC_1 + \dots + {}^nC_n = 2^n
put x = 1x = 1 रखिएx = 1 rakhiye
{}^nC_0 - {}^nC_1 + {}^nC_2 - \dots + (-1)^n\,{}^nC_n = 0
put x = −1 in (1 + x)ⁿ(1 + x)ⁿ में x = −1 रखिए(1 + x)ⁿ mein x = −1 rakhiye
Example 1Expand \left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^4, x \ne 0.उदाहरण 1\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^4 का प्रसार कीजिए, x \ne 0।Example 1\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^4 ka expansion kijiye, x \ne 0.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. = (x^2)^4 + 4(x^2)^3\frac{3}{x} + 6(x^2)^2\frac{9}{x^2} + 4x^2\frac{27}{x^3} + \frac{81}{x^4}
  2. = x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \frac{108}{x} + \frac{81}{x^4}
Example 2Compute (98)^5.उदाहरण 2(98)^5 की गणना कीजिए।Example 2(98)^5 calculate kijiye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. (100 - 2)^5 = 100^5 - 5 \cdot 100^4 \cdot 2 + 10 \cdot 100^3 \cdot 4 - 10 \cdot 100^2 \cdot 8 + 5 \cdot 100 \cdot 16 - 32
  2. = 10000000000 - 1000000000 + 40000000 - 800000 + 8000 - 32 = 9039207968
Example 3Which is larger, (1.01)^{1000000} or 10,000?उदाहरण 3कौन बड़ा है, (1.01)^{1000000} या 10,000?Example 3Kaun bada hai, (1.01)^{1000000} ya 10,000?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. (1 + 0.01)^{1000000} = 1 + 1000000 \times 0.01 + (\text{positive terms}) = 1 + 10000 + \dots > 10000(1 + 0.01)^{1000000} = 1 + 1000000 \times 0.01 + (\text{धनात्मक पद}) = 1 + 10000 + \dots > 10000(1 + 0.01)^{1000000} = 1 + 1000000 \times 0.01 + (\text{positive terms}) = 1 + 10000 + \dots > 10000
Example 4Prove that 6^n - 5n always leaves remainder 1 when divided by 25.उदाहरण 4सिद्ध कीजिए कि 6^n - 5n को 25 से भाग देने पर शेषफल हमेशा 1 बचता है।Example 4Prove kijiye ki 6^n - 5n ko 25 se bhaag dene par remainder hamesha 1 bachta hai.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. 6^n = (1 + 5)^n = 1 + 5n + {}^nC_2 5^2 + {}^nC_3 5^3 + \dots + 5^n
  2. 6^n - 5n = 1 + 25\left({}^nC_2 + {}^nC_3 \cdot 5 + \dots + 5^{n-2}\right) = 25k + 1
Rationalised bookThe current NCERT book has only Section 7.2 (no general/middle term section), one exercise (7.1) and the Miscellaneous Exercise.संशोधित पुस्तकवर्तमान NCERT पुस्तक में केवल खंड 7.2 है (व्यापक/मध्य पद वाला खंड नहीं), एक प्रश्नावली (7.1) और विविध प्रश्नावली।Rationalised bookCurrent NCERT book mein sirf Section 7.2 hai (general/middle term wala section nahi), ek exercise (7.1) aur Miscellaneous Exercise.

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k\, a^{n-k} b^k — n + 1 terms.(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k\, a^{n-k} b^k — n + 1 पद।(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k\, a^{n-k} b^k — n + 1 terms.
  2. In each term the powers of a and b add up to n.हर पद में a और b की घातों का योग n है।Har term mein a aur b ki powers ka jod n hai.
  3. (x - y)^n: signs +, −, +, −, …(x - y)^n: चिह्न +, −, +, −, …(x - y)^n: signs +, −, +, −, …
  4. Sum of coefficients = 2^n (put a = b = 1).गुणांकों का योग = 2^n (a = b = 1 रखिए)।Coefficients ka jod = 2^n (a = b = 1 rakhiye).
  5. Pascal rows: 1 4 6 4 1 · 1 5 10 10 5 1 · 1 6 15 20 15 6 1.पास्कल पंक्तियाँ: 1 4 6 4 1 · 1 5 10 10 5 1 · 1 6 15 20 15 6 1।Pascal rows: 1 4 6 4 1 · 1 5 10 10 5 1 · 1 6 15 20 15 6 1.
  6. Big powers like (102)^5: write 102 = 100 + 2 and expand.(102)^5 जैसी बड़ी घातें: 102 = 100 + 2 लिखकर प्रसार कीजिए।(102)^5 jaisi badi powers: 102 = 100 + 2 likhkar expand kijiye.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • (a + b)^n = a^n + b^n — wrong (except n = 1).(a + b)^n = a^n + b^n — गलत (n = 1 के अलावा)।(a + b)^n = a^n + b^n — galat (n = 1 ke alawa).
  • Forgetting to raise the coefficient: in (2x - 3)^6 the term {}^6C_1 (2x)^5(-3) needs 2^5 = 32, not 2.गुणांक की घात लगाना भूलना: (2x - 3)^6 में {}^6C_1 (2x)^5(-3) में 2^5 = 32 चाहिए, 2 नहीं।Coefficient ki power lagana bhoolna: (2x - 3)^6 mein {}^6C_1 (2x)^5(-3) mein 2^5 = 32 chahiye, 2 nahi.
  • Losing the alternate minus signs in (x - y)^n.(x - y)^n में बारी-बारी के ऋण चिह्न छोड़ देना।(x - y)^n mein baari-baari ke minus signs chhod dena.
  • Counting n terms instead of n + 1.n + 1 की जगह n पद गिनना।n + 1 ki jagah n terms ginna.
  • In (a + b)^4 - (a - b)^4 the even-position terms cancel — keep only the odd powers of b (doubled).(a + b)^4 - (a - b)^4 में सम स्थान वाले पद कट जाते हैं — केवल b की विषम घातें (दोगुनी) बचती हैं।(a + b)^4 - (a - b)^4 mein even position wale terms kat jaate hain — sirf b ki odd powers (double) bachti hain.

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Exercise 7.1प्रश्नावली 7.1Exercise 7.1 · 14 Q

Exercises 6–9: evaluate using the binomial theorem.प्रश्न 6–9: द्विपद प्रमेय से मान ज्ञात कीजिए।Exercises 6–9: evaluate using the binomial theorem.

Q1. (1 - 2x)^5
  1. 1 - 5(2x) + 10(2x)^2 - 10(2x)^3 + 5(2x)^4 - (2x)^5
  2. = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5
Q2. \left(\frac{2}{x} - \frac{x}{2}\right)^5
  1. \frac{32}{x^5} - 5\cdot\frac{16}{x^4}\cdot\frac{x}{2} + 10\cdot\frac{8}{x^3}\cdot\frac{x^2}{4} - 10\cdot\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x^3}{8} + 5\cdot\frac{2}{x}\cdot\frac{x^4}{16} - \frac{x^5}{32}
  2. = \frac{32}{x^5} - \frac{40}{x^3} + \frac{20}{x} - 5x + \frac{5}{8}x^3 - \frac{x^5}{32}
Q3. (2x - 3)^6
  1. \sum_{k=0}^{6} {}^6C_k (2x)^{6-k}(-3)^k
  2. = 64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729
Q4. \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5
  1. = \frac{x^5}{243} + 5\cdot\frac{x^4}{81}\cdot\frac{1}{x} + 10\cdot\frac{x^3}{27}\cdot\frac{1}{x^2} + 10\cdot\frac{x^2}{9}\cdot\frac{1}{x^3} + 5\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^5}
  2. = \frac{x^5}{243} + \frac{5x^3}{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{3x^3} + \frac{1}{x^5}
Q5. \left(x + \frac{1}{x}\right)^6
  1. = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6}
Q6. (96)^3
  1. (100 - 4)^3 = 1000000 - 3(10000)(4) + 3(100)(16) - 64 = 1000000 - 120000 + 4800 - 64 = 884736
Q7. (102)^5
  1. (100 + 2)^5 = 10^{10} + 5 \cdot 10^8 \cdot 2 + 10 \cdot 10^6 \cdot 4 + 10 \cdot 10^4 \cdot 8 + 5 \cdot 100 \cdot 16 + 32
  2. = 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32 = 11040808032
Q8. (101)^4
  1. (100 + 1)^4 = 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1 = 104060401
Q9. (99)^5
  1. (100 - 1)^5 = 10^{10} - 5 \cdot 10^8 + 10 \cdot 10^6 - 10 \cdot 10^4 + 5 \cdot 100 - 1
  2. = 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1 = 9509900499
Q10. Which is larger: (1.1)^{10000} or 1000?कौन बड़ा है: (1.1)^{10000} या 1000?Which is larger: (1.1)^{10000} or 1000?
  1. (1 + 0.1)^{10000} = 1 + 10000 \times 0.1 + (\text{positive terms}) = 1001 + \dots > 1000(1 + 0.1)^{10000} = 1 + 10000 \times 0.1 + (\text{धनात्मक पद}) = 1001 + \dots > 1000(1 + 0.1)^{10000} = 1 + 10000 \times 0.1 + (\text{positive terms}) = 1001 + \dots > 1000

✔ (1.1)^{10000} is larger.(1.1)^{10000} बड़ा है।(1.1)^{10000} bada hai.

Q11. Find (a + b)^4 - (a - b)^4. Hence evaluate (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4.(a + b)^4 - (a - b)^4 ज्ञात कीजिए। इससे (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 का मान निकालिए।Find (a + b)^4 - (a - b)^4. Hence evaluate (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4.
  1. (a + b)^4 - (a - b)^4 = 2(4a^3b + 4ab^3) = 8(a^3b + ab^3)
  2. a = \sqrt{3},\ b = \sqrt{2}:\ 8\left(3\sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}\right) = 8 \cdot 5\sqrt{6} = 40\sqrt{6}
Q12. Find (x + 1)^6 + (x - 1)^6. Hence evaluate (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6.(x + 1)^6 + (x - 1)^6 ज्ञात कीजिए। इससे (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 का मान निकालिए।Find (x + 1)^6 + (x - 1)^6. Hence evaluate (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6.
  1. = 2\left(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1\right)
  2. x = \sqrt{2}:\ 2(8 + 15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 + 1) = 2 \times 99 = 198
Q13. Show that 9^{n+1} - 8n - 9 is divisible by 64 for every positive integer n.दर्शाइए कि हर धन पूर्णांक n के लिए 9^{n+1} - 8n - 9, 64 से विभाज्य है।Show that 9^{n+1} - 8n - 9 is divisible by 64 for every positive integer n.
  1. 9^{n+1} = (1 + 8)^{n+1} = 1 + (n + 1)8 + {}^{n+1}C_2\, 8^2 + {}^{n+1}C_3\, 8^3 + \dots
  2. 9^{n+1} - 8n - 9 = 64\left[{}^{n+1}C_2 + {}^{n+1}C_3 \cdot 8 + \dots + 8^{n-1}\right] = 64k
Q14. Prove that \sum_{r=0}^{n} 3^r\,{}^nC_r = 4^n.सिद्ध कीजिए कि \sum_{r=0}^{n} 3^r\,{}^nC_r = 4^n।Prove that \sum_{r=0}^{n} 3^r\,{}^nC_r = 4^n.
  1. \sum_{r=0}^{n} {}^nC_r\, 1^{n-r}\, 3^r = (1 + 3)^n = 4^n

Miscellaneous Exercise on Chapter 7अध्याय 7 पर विविध प्रश्नावलीMiscellaneous Exercise on Chapter 7 · 6 Q

Q1. If a and b are distinct integers, prove that a - b is a factor of a^n - b^n for every positive integer n.यदि a और b भिन्न पूर्णांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि हर धन पूर्णांक n के लिए a - b, a^n - b^n का एक गुणनखंड है।If a and b are distinct integers, prove that a - b is a factor of a^n - b^n for every positive integer n.
  1. a^n = (a - b + b)^n = (a - b)^n + {}^nC_1 (a - b)^{n-1} b + \dots + {}^nC_{n-1}(a - b)b^{n-1} + b^n
  2. a^n - b^n = (a - b)\left[(a - b)^{n-1} + {}^nC_1 (a - b)^{n-2}b + \dots + {}^nC_{n-1} b^{n-1}\right]
Q2. Evaluate (\sqrt{3} + \sqrt{2})^6 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^6.(\sqrt{3} + \sqrt{2})^6 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^6 का मान ज्ञात कीजिए।Evaluate (\sqrt{3} + \sqrt{2})^6 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^6.
  1. (a + b)^6 - (a - b)^6 = 2\left[6a^5b + 20a^3b^3 + 6ab^5\right]
  2. a = \sqrt{3},\ b = \sqrt{2}:\ 2\left[6 \cdot 9\sqrt{3}\sqrt{2} + 20 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} + 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2}\right]
  3. = 2\sqrt{6}\,(54 + 120 + 24) = 396\sqrt{6}
Q3. Find the value of \left(a^2 + \sqrt{a^2 - 1}\right)^4 + \left(a^2 - \sqrt{a^2 - 1}\right)^4.\left(a^2 + \sqrt{a^2 - 1}\right)^4 + \left(a^2 - \sqrt{a^2 - 1}\right)^4 का मान ज्ञात कीजिए।Find the value of \left(a^2 + \sqrt{a^2 - 1}\right)^4 + \left(a^2 - \sqrt{a^2 - 1}\right)^4.
  1. (x + y)^4 + (x - y)^4 = 2(x^4 + 6x^2y^2 + y^4),\quad x = a^2,\ y^2 = a^2 - 1
  2. = 2\left[a^8 + 6a^4(a^2 - 1) + (a^2 - 1)^2\right] = 2a^8 + 12a^6 - 10a^4 - 4a^2 + 2
Q4. Approximate (0.99)^5 using the first three terms.प्रसार के पहले तीन पदों से (0.99)^5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।Approximate (0.99)^5 using the first three terms.
  1. (1 - 0.01)^5 \approx 1 - 5(0.01) + 10(0.01)^2 = 1 - 0.05 + 0.001 = 0.951
Q5. Expand \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^4, x \ne 0.\left(1 + \frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^4 का प्रसार कीजिए, x \ne 0।Expand \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^4, x \ne 0.
  1. Treat it as (1 + y)^4 with y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}, expand, then expand each power of y and collect.इसे (1 + y)^4 मानिए जहाँ y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}, प्रसार कीजिए, फिर y की हर घात खोलकर समान पद जोड़िए।Ise (1 + y)^4 maaniye jahan y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}, expand kijiye, phir y ki har power kholkar same terms jodiye.
    (1 + y)^4 = 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4
  2. = \frac{16}{x^4} - \frac{32}{x^3} + \frac{8}{x^2} + \frac{16}{x} - 5 - 4x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16}
Q6. Expand (3x^2 - 2ax + 3a^2)^3.(3x^2 - 2ax + 3a^2)^3 का प्रसार कीजिए।Expand (3x^2 - 2ax + 3a^2)^3.
  1. Group as [(3x^2 - 2ax) + 3a^2]^3 and use the theorem twice.[(3x^2 - 2ax) + 3a^2]^3 के रूप में समूहित कर प्रमेय दो बार लगाइए।[(3x^2 - 2ax) + 3a^2]^3 ke roop mein group karke theorem do baar lagaiye.
    = 27x^6 - 54ax^5 + 117a^2x^4 - 116a^3x^3 + 117a^4x^2 - 54a^5x + 27a^6

🎯 Quiz — 12 questions🎯 क्विज़ — 12 प्रश्न🎯 Quiz — 12 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. Number of terms in the expansion of (a + b)⁸ is(a + b)⁸ के प्रसार में पदों की संख्या है(a + b)⁸ ke expansion mein terms ki sankhya hai

2. Sum of the coefficients in (1 + x)⁶ is(1 + x)⁶ में गुणांकों का योग है(1 + x)⁶ mein coefficients ka jod hai

3. The row of Pascal's triangle for n = 5 isn = 5 के लिए पास्कल त्रिभुज की पंक्ति हैn = 5 ke liye Pascal triangle ki row hai

4. The coefficient of x² in (1 − 2x)⁵ is(1 − 2x)⁵ में x² का गुणांक है(1 − 2x)⁵ mein x² ka coefficient hai

5. (101)⁴ =

6. (a + b)⁴ − (a − b)⁴ equals(a + b)⁴ − (a − b)⁴ बराबर है(a + b)⁴ − (a − b)⁴ barabar hai

7. Which is larger: (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ or 1000?कौन बड़ा है: (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000?Kaun bada hai: (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ ya 1000?

8. In (x − y)⁵ the sign of the term containing x²y³ is(x − y)⁵ में x²y³ वाले पद का चिह्न है(x − y)⁵ mein x²y³ wale term ka sign hai

9. Σ ⁿCᵣ 3ʳ (r = 0 to n) equalsΣ ⁿCᵣ 3ʳ (r = 0 से n) बराबर हैΣ ⁿCᵣ 3ʳ (r = 0 se n) barabar hai

10. The constant term in (x + 1/x)⁶ is(x + 1/x)⁶ में अचर पद है(x + 1/x)⁶ mein constant term hai

11. (0.99)⁵ to three terms is aboutतीन पदों तक (0.99)⁵ लगभग हैTeen terms tak (0.99)⁵ lagbhag hai

12. 9ⁿ⁺¹ − 8n − 9 is always divisible by9ⁿ⁺¹ − 8n − 9 हमेशा विभाज्य है9ⁿ⁺¹ − 8n − 9 hamesha divisible hai

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 11 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 गणित की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Maths ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.