Class 11 · Physics · Ch 12 Kinetic Theoryकक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 12 अणुगति सिद्धांतClass 11 · Physics · Ch 12 Kinetic Theory

Degrees of Freedom & Equipartition of Energyस्वातंत्र्य कोटियाँ और ऊर्जा का समविभाजनDegrees of Freedom aur Energy ka Equipartition

½ kBT per mode · Cv = (f/2)R · γ = 5/3, 7/5, 9/7प्रति विधा ½ kBT · Cv = (f/2)R · γ = 5/3, 7/5, 9/7Har mode ½ kBT · Cv = (f/2)R · γ = 5/3, 7/5, 9/7

Key points ✍️मुख्य बातें ✍️Key points ✍️

• Degrees of freedom — number of independent coordinates needed to describe motion: 1 on a line, 2 in a plane, 3 in space (translation).स्वातंत्र्य कोटियाँ — गति बताने के लिए आवश्यक स्वतंत्र निर्देशांकों की संख्या: रेखा पर 1, तल में 2, आकाश में 3 (स्थानांतरण)।Degrees of freedom — motion batane ke liye zaroori independent coordinates ki sankhya: line par 1, plane mein 2, space mein 3 (translation).
• Equipartition law — in thermal equilibrium the total energy is equally distributed among all energy modes, each with average ½ kBT.ऊर्जा समविभाजन नियम — तापीय साम्य में कुल ऊर्जा सभी ऊर्जा विधाओं में बराबर बँटती है, प्रत्येक का औसत ½ kBT।Equipartition law — thermal equilibrium mein total energy saare energy modes mein barabar bantti hai, har ek ka average ½ kBT.
• Squared terms — each translational or rotational degree of freedom gives one squared term (½ kBT); a vibrational mode gives two (KE + PE) = kBT.वर्ग पद — प्रत्येक स्थानांतरीय या घूर्णी कोटि एक वर्ग पद (½ kBT) देती है; कंपन विधा दो (KE + PE) = kBT।Squared terms — har translational ya rotational degree ek squared term (½ kBT) deti hai; vibration mode do (KE + PE) = kBT.
• Monatomic — f = 3: U = (3/2)RT, Cv = (3/2)R, Cp = (5/2)R, γ = 5/3.एकपरमाणुक — f = 3: U = (3/2)RT, Cv = (3/2)R, Cp = (5/2)R, γ = 5/3।Monatomic — f = 3: U = (3/2)RT, Cv = (3/2)R, Cp = (5/2)R, γ = 5/3.
• Rigid diatomic — f = 5 (3 + 2): U = (5/2)RT, Cv = (5/2)R, Cp = (7/2)R, γ = 7/5.दृढ़ द्विपरमाणुक — f = 5 (3 + 2): U = (5/2)RT, Cv = (5/2)R, Cp = (7/2)R, γ = 7/5।Rigid diatomic — f = 5 (3 + 2): U = (5/2)RT, Cv = (5/2)R, Cp = (7/2)R, γ = 7/5.
• Diatomic with vibration — U = (7/2)RT, Cv = (7/2)R, Cp = (9/2)R, γ = 9/7.कंपन सहित द्विपरमाणुक — U = (7/2)RT, Cv = (7/2)R, Cp = (9/2)R, γ = 9/7।Vibration ke saath diatomic — U = (7/2)RT, Cv = (7/2)R, Cp = (9/2)R, γ = 9/7.
• Rigid rotator — O₂ at moderate temperatures does not vibrate; CO has a vibrational mode even at moderate temperatures.दृढ़ घूर्णक — मध्यम ताप पर O₂ कंपन नहीं करता; CO में मध्यम ताप पर भी कंपन विधा होती है।Rigid rotator — moderate temperature par O₂ vibrate nahi karta; CO mein moderate temperature par bhi vibration mode hota hai.
• Polyatomic — 3 translational + 3 rotational + f vibrational modes: Cv = (3 + f)R, Cp = (4 + f)R, γ = (4 + f)/(3 + f).बहुपरमाणुक — 3 स्थानांतरीय + 3 घूर्णी + f कंपन विधाएँ: Cv = (3 + f)R, Cp = (4 + f)R, γ = (4 + f)/(3 + f)।Polyatomic — 3 translational + 3 rotational + f vibration modes: Cv = (3 + f)R, Cp = (4 + f)R, γ = (4 + f)/(3 + f).
• Mayer’s relation — Cp − Cv = R for any ideal gas: mono, di or polyatomic.मेयर संबंध — किसी भी आदर्श गैस के लिए Cp − Cv = R: एक, द्वि या बहुपरमाणुक।Mayer’s relation — kisi bhi ideal gas ke liye Cp − Cv = R: mono, di ya polyatomic.
• Solids — 3 kBT per atom → C = 3R per mole.ठोस — प्रति परमाणु 3 kBT → प्रति मोल C = 3R।Solids — per atom 3 kBT → per mole C = 3R.
• Example 12.8 — 2 mol helium at fixed volume, 15 °C rise: heat = 2 × (3/2)R × 15 = 45R ≈ 374 J.उदाहरण 12.8 — स्थिर आयतन पर 2 mol हीलियम, 15 °C वृद्धि: ऊष्मा = 2 × (3/2)R × 15 = 45R ≈ 374 J।Example 12.8 — fixed volume par 2 mol helium, 15 °C rise: heat = 2 × (3/2)R × 15 = 45R ≈ 374 J.
• Trend — more degrees of freedom → larger Cv and smaller γ (1.67 → 1.40 → 1.33).प्रवृत्ति — अधिक स्वातंत्र्य कोटियाँ → बड़ा Cv और छोटा γ (1.67 → 1.40 → 1.33)।Trend — zyada degrees of freedom → bada Cv aur chhota γ (1.67 → 1.40 → 1.33).

Source: NCERT Physics Class 11, Ch 12 Kinetic Theory (Fig 12.6 The two independent axes of rotation of a diatomic molecule; Sections 12.5–12.6; Table 12.1). Notes and drawing: original work by Simple Learning Hub.स्रोत: NCERT भौतिकी कक्षा 11, अध्याय 12 अणुगति सिद्धांत (चित्र 12.6 द्विपरमाणुक अणु के घूर्णन के दो स्वतंत्र अक्ष; अनुभाग 12.5–12.6; सारणी 12.1)। नोट्स और चित्र: Simple Learning Hub का मौलिक कार्य।Source: NCERT Physics Class 11, Ch 12 Kinetic Theory (Fig 12.6 The two independent axes of rotation of a diatomic molecule; Sections 12.5–12.6; Table 12.1). Notes aur drawing: Simple Learning Hub ka original kaam.