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CLASS 12 MATHS · CHAPTER 3

Matricesआव्यूहMatrices

Matrix, order, types of matrices, equality, addition, scalar multiplication, multiplication, transpose, symmetric and skew symmetric matrices, invertible matrices — NCERT Chapter 3, in easy words.आव्यूह, कोटि, आव्यूहों के प्रकार, समानता, योग, अदिश गुणन, आव्यूहों का गुणन, परिवर्त, सममित और विषम सममित आव्यूह, व्युत्क्रमणीय आव्यूह — NCERT अध्याय 3, आसान शब्दों में।Matrix, order, matrices ke types, equality, addition, scalar multiplication, multiplication, transpose, symmetric aur skew symmetric matrices, invertible matrices — NCERT Chapter 3, aasaan shabdon mein.

In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein

Notesनोट्सNotesEasy words, step by stepआसान शब्दों में, क्रम सेAasaan shabdon mein, step by stepSolved examplesहल किए गए उदाहरणSolved examples25 NCERT examples, every step25 NCERT उदाहरण, हर चरण25 NCERT examples, har stepPicturesचित्रPicturesTap a label, it tells its nameलेबल पर टैप कीजिए, नाम बताएगाLabel par tap kijiye, naam batayegaTry it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiyeMove, drag and seeखिसकाइए, खींचिए और देखिएKhiskaiye, kheenchiye aur dekhiyeQuizक्विज़Quiz10 quick questions10 छोटे प्रश्न10 chhote sawaal

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Parts of a matrix: rows, columns, element aᵢⱼ, orderआव्यूह के भाग: पंक्ति, स्तंभ, अवयव aᵢⱼ, कोटिMatrix ke parts: row, column, element aᵢⱼ, order3.2.1A quadrilateral written as a matrixचतुर्भुज को आव्यूह के रूप मेंQuadrilateral ko matrix ki tarah3.2.1Types of matrices: a galleryआव्यूहों के प्रकार: एक गैलरीMatrices ke types: ek gallery3.3Row × column: how one entry of a product is madeपंक्ति × स्तंभ: गुणनफल की एक प्रविष्टि कैसे बनती हैRow × column: product ki ek entry kaise banti hai3.4.5Transpose: rows become columnsपरिवर्त: पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैंTranspose: rows columns ban jaati hain3.5

Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye

Row × column animatorपंक्ति × स्तंभ एनिमेटरRow × column animatorTap a cell of AB, see the row and column that make itAB के खाने पर टैप कीजिए, उसे बनाने वाली पंक्ति और स्तंभ देखिएAB ke khane par tap kijiye, use banane wali row aur column dekhiyeAB vs BA on a shapeआकृति पर AB बनाम BAShape par AB vs BATwo moves in a different order land the shape elsewhereदो चालें अलग क्रम में — आकृति कहीं और पहुँचती हैDo chaalein alag order mein — shape kahin aur pahunchti haiSymmetric + skew splitterसममित + विषम सममित विभाजकSymmetric + skew splitterA = ½(A + A′) + ½(A − A′), checked liveA = ½(A + A′) + ½(A − A′), तुरंत जाँचA = ½(A + A′) + ½(A − A′), turant check
All sections (NCERT order)सभी खंड (NCERT क्रम)Saare sections (NCERT order)
  1. 3.1IntroductionपरिचयIntroduction
  2. 3.2Matrixआव्यूहMatrix
  3. 3.2.1Order of a matrixआव्यूह की कोटिMatrix ka order
  4. 3.3Types of Matricesआव्यूहों के प्रकारMatrices ke types
  5. 3.3.1Equality of matricesआव्यूहों की समानताMatrices ki equality
  6. 3.4Operations on Matricesआव्यूहों पर संक्रियाएँMatrices par operations
  7. 3.4.1Addition of matricesआव्यूहों का योगMatrices ka addition
  8. 3.4.2Multiplication of a matrix by a scalarआव्यूह का एक अदिश से गुणनMatrix ka scalar se multiplication
  9. 3.4.3Properties of matrix additionआव्यूहों के योग के गुणधर्मMatrix addition ke properties
  10. 3.4.4Properties of scalar multiplication of a matrixआव्यूह के अदिश गुणन के गुणधर्मScalar multiplication ke properties
  11. 3.4.5Multiplication of matricesआव्यूहों का गुणनMatrices ka multiplication
  12. 3.4.6Properties of multiplication of matricesआव्यूहों के गुणन के गुणधर्मMatrix multiplication ke properties
  13. 3.5Transpose of a Matrixआव्यूह का परिवर्तMatrix ka transpose
  14. 3.5.1Properties of transpose of the matricesआव्यूहों के परिवर्त के गुणधर्मTranspose ke properties
  15. 3.6Symmetric and Skew Symmetric Matricesसममित तथा विषम सममित आव्यूहSymmetric aur skew symmetric matrices
  16. 3.7Invertible Matricesव्युत्क्रमणीय आव्यूहInvertible matrices
  17. Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous examples
  18. Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet
  19. Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

3.1IntroductionपरिचयIntroduction

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeA matrix is simply a neat box of numbers arranged in rows and columns — like a marks table or a shop's price list. In this chapter you learn how to write such boxes, name their sizes, and add, multiply and "flip" them.आव्यूह बस संख्याओं का एक साफ़-सुथरा डिब्बा है जिसमें संख्याएँ पंक्तियों और स्तंभों में रखी होती हैं — जैसे अंकों की तालिका या दुकान की मूल्य-सूची। इस अध्याय में आप सीखेंगे कि ऐसे डिब्बे कैसे लिखते हैं, उनका आकार कैसे बताते हैं, और उन्हें कैसे जोड़ते, गुणा करते और "पलटते" हैं।Matrix bas numbers ka ek saaf-suthra box hai jismein numbers rows aur columns mein rakhe hote hain — jaise marks ki table ya dukaan ki price list. Is chapter mein aap seekhenge ki aise box kaise likhte hain, unka size kaise batate hain, aur unhe kaise jodte, multiply karte aur "palatte" hain.

Matrices are one of the most powerful tools in mathematics. The idea grew out of the search for compact and simple methods of solving systems of linear equations. Today matrix notation is used in spreadsheet programs (budgeting, sales projection, cost estimation), to describe magnification, rotation and reflection, in cryptography, and in genetics, economics, sociology, psychology and industrial management.आव्यूह गणित के सबसे शक्तिशाली साधनों में से एक हैं। इनका विचार रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की संक्षिप्त और सरल विधियाँ खोजने से निकला। आज आव्यूह-संकेतन का उपयोग स्प्रेडशीट प्रोग्रामों (बजट, बिक्री का अनुमान, लागत का आकलन), आवर्धन, घूर्णन और परावर्तन को दर्शाने, कूटलेखन (cryptography), तथा आनुवंशिकी, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और औद्योगिक प्रबंधन में होता है।Matrices maths ke sabse powerful tools mein se ek hain. Inka idea linear equations ke system ko solve karne ke chhote aur simple tareeke dhoondhne se nikla. Aaj matrix notation spreadsheet programs (budget, sales projection, cost estimation), magnification, rotation aur reflection dikhane, cryptography, aur genetics, economics, sociology, psychology aur industrial management mein use hota hai.

3.2Matrixआव्यूहMatrix

Radha has 15 notebooks and 6 pens, Fauzia has 10 notebooks and 2 pens, and Simran has 13 notebooks and 5 pens. Put this in a table and drop the headings — what remains is a matrix:राधा के पास 15 नोटबुक और 6 पेन हैं, फ़ौज़िया के पास 10 नोटबुक और 2 पेन, और सिमरन के पास 13 नोटबुक और 5 पेन। इसे तालिका में लिखकर शीर्षक हटा दीजिए — जो बचता है, वही आव्यूह है:Radha ke paas 15 notebooks aur 6 pens hain, Fauzia ke paas 10 notebooks aur 2 pens, aur Simran ke paas 13 notebooks aur 5 pens. Ise table mein likhkar headings hata dijiye — jo bachta hai, wahi matrix hai:

\begin{bmatrix} 15 & 6 \\ 10 & 2 \\ 13 & 5 \end{bmatrix} \quad\text{or}\quad \begin{bmatrix} 15 & 10 & 13 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}
Rows = friends, columns = (notebooks, pens) — or the other way roundपंक्तियाँ = सहेलियाँ, स्तंभ = (नोटबुक, पेन) — या इसका उलटाRows = saheliyan, columns = (notebooks, pens) — ya iska ulta

In the first arrangement the first column holds the notebooks of Radha, Fauzia and Simran and the second column their pens. In the second arrangement the first row holds the notebooks and the second row the pens.पहली व्यवस्था में पहले स्तंभ में राधा, फ़ौज़िया और सिमरन की नोटबुक हैं और दूसरे स्तंभ में उनके पेन। दूसरी व्यवस्था में पहली पंक्ति में नोटबुक हैं और दूसरी पंक्ति में पेन।Pehli arrangement mein pehle column mein Radha, Fauzia aur Simran ki notebooks hain aur doosre column mein unke pens. Doosri arrangement mein pehli row mein notebooks hain aur doosri row mein pens.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 1 — MatrixA matrix is an ordered rectangular array of numbers or functions. The numbers or functions are called the elements or the entries of the matrix.परिभाषा 1 — आव्यूहआव्यूह, संख्याओं या फलनों का एक क्रमित आयताकार व्यूह है। इन संख्याओं या फलनों को आव्यूह के अवयव या प्रविष्टियाँ कहते हैं।Definition 1 — MatrixMatrix numbers ya functions ka ek ordered rectangular array hai. In numbers ya functions ko matrix ke elements ya entries kehte hain.

We denote matrices by capital letters. The horizontal lines of elements are the rows and the vertical lines are the columns. For exampleआव्यूहों को हम बड़े (capital) अक्षरों से दर्शाते हैं। अवयवों की क्षैतिज रेखाएँ पंक्तियाँ और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ स्तंभ कहलाती हैं। उदाहरण के लिएMatrices ko hum capital letters se dikhate hain. Elements ki horizontal lines rows (पंक्तियाँ) aur vertical lines columns (स्तंभ) kehlati hain. Jaise

A = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\tfrac12 \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \tfrac57 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 1+x & x^3 & 3 \\ \cos x & \sin x + 2 & \tan x \end{bmatrix}
A: 3 rows, 2 columns · B: 3 rows, 3 columns · C: 2 rows, 3 columnsA: 3 पंक्तियाँ, 2 स्तंभ · B: 3 पंक्तियाँ, 3 स्तंभ · C: 2 पंक्तियाँ, 3 स्तंभA: 3 rows, 2 columns · B: 3 rows, 3 columns · C: 2 rows, 3 columns
Remember the order of words: Rows first, Columns second — think "RC" like "Railway Coach". Rows go across (like rows of seats), columns stand up (like pillars).क्रम याद रखिए: पहले पंक्ति, फिर स्तंभ। पंक्तियाँ आड़ी चलती हैं (जैसे सिनेमा की सीटों की पंक्ति), स्तंभ खड़े होते हैं (जैसे इमारत के खंभे)।Order yaad rakhiye: pehle Row, phir Column — "RC" jaise "Railway Coach". Rows aadi chalti hain (jaise cinema ki seats ki row), columns khade hote hain (jaise building ke pillars).

3.2.1Order of a matrixआव्यूह की कोटिMatrix ka order

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)OrderA matrix having m rows and n columns is called a matrix of order m \times n or simply an m \times n matrix (read as "an m by n matrix").कोटिm पंक्तियों और n स्तंभों वाले आव्यूह को m \times n कोटि का आव्यूह या केवल m \times n आव्यूह कहते हैं (पढ़िए "m बाई n आव्यूह")।Orderm rows aur n columns wale matrix ko m \times n order ka matrix ya sirf m \times n matrix kehte hain (padhiye "m by n matrix").

So A above is 3 \times 2, B is 3 \times 3 and C is 2 \times 3. A has 3 \times 2 = 6 elements; B and C have 9 and 6. In general an m \times n matrix has mn elements and is written A = [a_{ij}]_{m \times n}, where 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n.इसलिए ऊपर A की कोटि 3 \times 2, B की 3 \times 3 और C की 2 \times 3 है। A में 3 \times 2 = 6 अवयव हैं; B और C में क्रमशः 9 और 6। व्यापक रूप में m \times n आव्यूह में mn अवयव होते हैं और इसे A = [a_{ij}]_{m \times n} लिखते हैं, जहाँ 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n।Isliye upar A ka order 3 \times 2, B ka 3 \times 3 aur C ka 2 \times 3 hai. A mein 3 \times 2 = 6 elements hain; B aur C mein 9 aur 6. General roop mein m \times n matrix mein mn elements hote hain aur ise A = [a_{ij}]_{m \times n} likhte hain, jahan 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n.

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}
The general m \times n matrixव्यापक m \times n आव्यूहGeneral m \times n matrix

The ith row is a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in} and the jth column is a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}. In general a_{ij} is the element in the ith row and jth column — the (i, j)th element of A. Tap the picture: every part names itself.iवीं पंक्ति a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in} है और jवाँ स्तंभ a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj} है। व्यापक रूप में a_{ij} वह अवयव है जो iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ में है — A का (i, j)वाँ अवयव। चित्र पर टैप कीजिए: हर भाग अपना नाम बताता है।ith row a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in} hai aur jth column a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj} hai. General roop mein a_{ij} wo element hai jo ith row aur jth column mein hai — A ka (i, j)th element. Picture par tap kijiye: har part apna naam batata hai.

Parts of a matrix: rows, columns, element aᵢⱼ, orderआव्यूह के भाग: पंक्ति, स्तंभ, अवयव aᵢⱼ, कोटिMatrix ke parts: row, column, element aᵢⱼ, orderNCERT 3.2.1 · 8 tappable partsOpen
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte haina_{23} means row 2, column 3 — not row 3, column 2. Swapping i and j is the most common slip in this chapter, especially in "construct the matrix" questions.a_{23} का अर्थ है पंक्ति 2, स्तंभ 3 — पंक्ति 3, स्तंभ 2 नहीं। i और j की अदला-बदली इस अध्याय की सबसे आम गलती है, ख़ासकर "आव्यूह की रचना कीजिए" वाले प्रश्नों में।a_{23} ka matlab hai row 2, column 3 — row 3, column 2 nahi. i aur j ko ulat dena is chapter ki sabse common galti hai, khaaskar "matrix construct kijiye" wale questions mein.
NoteIn this chapter (1) A = [a_{ij}]_{m \times n} means A is a matrix of order m \times n; (2) we consider only matrices whose elements are real numbers or real-valued functions.नोटइस अध्याय में (1) A = [a_{ij}]_{m \times n} का अर्थ है कि A की कोटि m \times n है; (2) हम केवल वे आव्यूह लेंगे जिनके अवयव वास्तविक संख्याएँ या वास्तविक मान वाले फलन हैं।NoteIs chapter mein (1) A = [a_{ij}]_{m \times n} ka matlab hai ki A ka order m \times n hai; (2) hum sirf wahi matrices lenge jinke elements real numbers ya real-valued functions hain.

A point (x, y) of the plane can be written as a column \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} or a row [x\ \ y]; e.g. P(0, 1) is \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} or [0\ \ 1]. In the same way the vertices of quadrilateral ABCD with A(1, 0), B(3, 2), C(1, 3), D(-1, 2) form a matrix:तल के किसी बिंदु (x, y) को स्तंभ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} या पंक्ति [x\ \ y] के रूप में लिख सकते हैं; जैसे P(0, 1) को \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} या [0\ \ 1]। इसी तरह चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(1, 0), B(3, 2), C(1, 3), D(-1, 2) एक आव्यूह बनाते हैं:Plane ke kisi point (x, y) ko column \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} ya row [x\ \ y] ki tarah likh sakte hain; jaise P(0, 1) ko \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} ya [0\ \ 1]. Isi tarah quadrilateral ABCD ke vertices A(1, 0), B(3, 2), C(1, 3), D(-1, 2) ek matrix banate hain:

X = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}_{2 \times 4} \quad\text{or}\quad Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}_{4 \times 2}
Columns of X (rows of Y) are the vertices A, B, C, DX के स्तंभ (Y की पंक्तियाँ) शीर्ष A, B, C, D हैंX ke columns (Y ki rows) vertices A, B, C, D hain
A quadrilateral written as a matrixचतुर्भुज को आव्यूह के रूप मेंQuadrilateral ko matrix ki tarahNCERT 3.2.1 · 9 tappable partsOpen
Example 1The numbers of men and women workers in three factories I, II and III are: I — 30 men, 25 women; II — 25 men, 31 women; III — 27 men, 26 women. Represent this as a 3 \times 2 matrix. What does the entry in the third row and second column represent?उदाहरण 1तीन कारखानों I, II और III में पुरुष और महिला श्रमिकों की संख्या है: I — 30 पुरुष, 25 महिलाएँ; II — 25 पुरुष, 31 महिलाएँ; III — 27 पुरुष, 26 महिलाएँ। इसे 3 \times 2 आव्यूह के रूप में लिखिए। तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ की प्रविष्टि क्या दर्शाती है?Example 1Teen factories I, II aur III mein men aur women workers: I — 30 men, 25 women; II — 25 men, 31 women; III — 27 men, 26 women. Ise 3 \times 2 matrix ki tarah likhiye. Teesri row aur doosre column ki entry kya batati hai?
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. 3 factories give 3 rows and 2 kinds of workers give 2 columns: order 3 \times 2.3 कारखाने = 3 पंक्तियाँ और 2 प्रकार के श्रमिक = 2 स्तंभ: कोटि 3 \times 2।3 factories = 3 rows aur 2 tarah ke workers = 2 columns: order 3 \times 2.
    \text{rows} = \text{factories I, II, III};\quad \text{columns} = (\text{men}, \text{women})
  2. Fill each row with that factory's (men, women).हर पंक्ति में उस कारखाने के (पुरुष, महिलाएँ) भरिए।Har row mein us factory ke (men, women) bhariye.
    A = \begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix}
  3. Row 3 = factory III, column 2 = women.पंक्ति 3 = कारखाना III, स्तंभ 2 = महिलाएँ।Row 3 = factory III, column 2 = women.
    a_{32} = 26

✔ The entry in the third row and second column (26) is the number of women workers in factory III.तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ की प्रविष्टि (26) कारखाना III में महिला श्रमिकों की संख्या है।Teesri row aur doosre column ki entry (26) factory III mein women workers ki sankhya hai.

Example 2If a matrix has 8 elements, what are the possible orders it can have?उदाहरण 2यदि किसी आव्यूह में 8 अवयव हैं, तो इसकी कौन-कौन सी संभव कोटियाँ हो सकती हैं?Example 2Agar kisi matrix mein 8 elements hain, to uske kaun-kaun se possible orders ho sakte hain?
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. We need all ordered pairs of natural numbers whose product is 8.हमें प्राकृत संख्याओं के वे सभी क्रमित युग्म चाहिए जिनका गुणनफल 8 हो।Humein natural numbers ke wo saare ordered pairs chahiye jinka product 8 ho.
    m \times n \text{ matrix has } mn \text{ elements} \Rightarrow mn = 8
  2. 8 = 1×8 = 2×4; the order of the pair matters (rows first).8 = 1×8 = 2×4; युग्म का क्रम मायने रखता है (पहले पंक्तियाँ)।8 = 1×8 = 2×4; pair ka order matter karta hai (pehle rows).
    (1, 8),\ (8, 1),\ (4, 2),\ (2, 4)

✔ Possible orders: 1 \times 8,\ 8 \times 1,\ 4 \times 2,\ 2 \times 4.संभव कोटियाँ: 1 \times 8,\ 8 \times 1,\ 4 \times 2,\ 2 \times 4।Possible orders: 1 \times 8,\ 8 \times 1,\ 4 \times 2,\ 2 \times 4.

Example 3Construct a 3 \times 2 matrix whose elements are given by a_{ij} = \frac{1}{2}\lvert i - 3j \rvert.उदाहरण 3एक 3 \times 2 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव a_{ij} = \frac{1}{2}\lvert i - 3j \rvert द्वारा प्रदत्त हैं।Example 3Ek 3 \times 2 matrix construct kijiye jiske elements a_{ij} = \frac{1}{2}\lvert i - 3j \rvert se diye gaye hain.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Write the empty 3 \times 2 frame first.पहले खाली 3 \times 2 ढाँचा लिखिए।Pehle khaali 3 \times 2 frame likhiye.
    A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix},\quad i = 1, 2, 3;\ j = 1, 2
  2. Row 1: put i = 1 and j = 1, 2.पंक्ति 1: i = 1 और j = 1, 2 रखिए।Row 1: i = 1 aur j = 1, 2 rakhiye.
    a_{11} = \tfrac12\lvert 1-3 \rvert = 1,\quad a_{12} = \tfrac12\lvert 1-6 \rvert = \tfrac52
  3. Row 2: i = 2.पंक्ति 2: i = 2।Row 2: i = 2.
    a_{21} = \tfrac12\lvert 2-3 \rvert = \tfrac12,\quad a_{22} = \tfrac12\lvert 2-6 \rvert = 2
  4. Row 3: i = 3. The modulus makes every value non-negative.पंक्ति 3: i = 3। मापांक (modulus) के कारण हर मान ऋणेतर है।Row 3: i = 3. Modulus ki wajah se har value non-negative hai.
    a_{31} = \tfrac12\lvert 3-3 \rvert = 0,\quad a_{32} = \tfrac12\lvert 3-6 \rvert = \tfrac32

✔ A = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac52 \\ \tfrac12 & 2 \\ 0 & \tfrac32 \end{bmatrix}A = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac52 \\ \tfrac12 & 2 \\ 0 & \tfrac32 \end{bmatrix}A = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac52 \\ \tfrac12 & 2 \\ 0 & \tfrac32 \end{bmatrix}

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A matrix has 18 elements. What are its possible orders? What if it has 5 elements? (Exercise 3.1, Q3)किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं। इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो? (प्रश्नावली 3.1, प्रश्न 3)Kisi matrix mein 18 elements hain. Uske possible orders kya hain? Agar 5 elements hon to? (Exercise 3.1, Q3)

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1 \times 18,\ 2 \times 9,\ 3 \times 6,\ 6 \times 3,\ 9 \times 2,\ 18 \times 1; for 5 elements: 1 \times 5,\ 5 \times 1.1 \times 18,\ 2 \times 9,\ 3 \times 6,\ 6 \times 3,\ 9 \times 2,\ 18 \times 1; 5 अवयवों के लिए: 1 \times 5,\ 5 \times 1।1 \times 18,\ 2 \times 9,\ 3 \times 6,\ 6 \times 3,\ 9 \times 2,\ 18 \times 1; 5 elements ke liye: 1 \times 5,\ 5 \times 1.

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Construct a 2 \times 2 matrix A = [a_{ij}] with a_{ij} = \dfrac{(i+j)^2}{2}. (Exercise 3.1, Q4 (i))a_{ij} = \dfrac{(i+j)^2}{2} वाले 2 \times 2 आव्यूह A = [a_{ij}] की रचना कीजिए। (प्रश्नावली 3.1, प्रश्न 4 (i))a_{ij} = \dfrac{(i+j)^2}{2} wala 2 \times 2 matrix A = [a_{ij}] construct kijiye. (Exercise 3.1, Q4 (i))

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A = \begin{bmatrix} 2 & \tfrac92 \\ \tfrac92 & 8 \end{bmatrix}A = \begin{bmatrix} 2 & \tfrac92 \\ \tfrac92 & 8 \end{bmatrix}A = \begin{bmatrix} 2 & \tfrac92 \\ \tfrac92 & 8 \end{bmatrix}

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

Construct a 3 \times 4 matrix with a_{ij} = 2i - j. (Exercise 3.1, Q5 (ii))a_{ij} = 2i - j वाले 3 \times 4 आव्यूह की रचना कीजिए। (प्रश्नावली 3.1, प्रश्न 5 (ii))a_{ij} = 2i - j wala 3 \times 4 matrix construct kijiye. (Exercise 3.1, Q5 (ii))

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\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}

3.3Types of Matricesआव्यूहों के प्रकारMatrices ke types

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeMatrices get special names from their shape (one row, one column, square) or from what sits inside (zeros off the diagonal, equal diagonal numbers, all 1s on the diagonal, all zeros). Tap each one in the gallery below.आव्यूहों को विशेष नाम उनके आकार से (एक पंक्ति, एक स्तंभ, वर्ग) या उनके भीतर के अवयवों से (विकर्ण के बाहर शून्य, विकर्ण पर बराबर संख्याएँ, विकर्ण पर सब 1, सब शून्य) मिलते हैं। नीचे की गैलरी में हर एक पर टैप कीजिए।Matrices ko special naam unke shape se (ek row, ek column, square) ya andar kya hai usse (diagonal ke bahar zero, diagonal par barabar numbers, diagonal par sab 1, sab zero) milte hain. Neeche gallery mein har ek par tap kijiye.
Types of matrices: a galleryआव्यूहों के प्रकार: एक गैलरीMatrices ke types: ek galleryNCERT 3.3 · 13 tappable partsOpen
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(i) Column matrixA matrix is said to be a column matrix if it has only one column. In general, A = [a_{ij}]_{m \times 1} is a column matrix of order m \times 1; e.g. \begin{bmatrix} 0 \\ \sqrt3 \\ -1 \\ 1/2 \end{bmatrix} is of order 4 \times 1.(i) स्तंभ आव्यूहकोई आव्यूह स्तंभ आव्यूह कहलाता है यदि उसमें केवल एक स्तंभ हो। व्यापक रूप में A = [a_{ij}]_{m \times 1} कोटि m \times 1 का स्तंभ आव्यूह है; जैसे \begin{bmatrix} 0 \\ \sqrt3 \\ -1 \\ 1/2 \end{bmatrix} की कोटि 4 \times 1 है।(i) Column matrixKoi matrix column matrix kehlata hai agar usmein sirf ek column ho. General roop mein A = [a_{ij}]_{m \times 1} order m \times 1 ka column matrix hai; jaise \begin{bmatrix} 0 \\ \sqrt3 \\ -1 \\ 1/2 \end{bmatrix} ka order 4 \times 1 hai.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(ii) Row matrixA matrix is said to be a row matrix if it has only one row. In general, B = [b_{ij}]_{1 \times n} is a row matrix of order 1 \times n; e.g. \begin{bmatrix} -\tfrac12 & \sqrt5 & 2 & 3 \end{bmatrix}_{1 \times 4}.(ii) पंक्ति आव्यूहकोई आव्यूह पंक्ति आव्यूह कहलाता है यदि उसमें केवल एक पंक्ति हो। व्यापक रूप में B = [b_{ij}]_{1 \times n} कोटि 1 \times n का पंक्ति आव्यूह है; जैसे \begin{bmatrix} -\tfrac12 & \sqrt5 & 2 & 3 \end{bmatrix}_{1 \times 4}।(ii) Row matrixKoi matrix row matrix kehlata hai agar usmein sirf ek row ho. General roop mein B = [b_{ij}]_{1 \times n} order 1 \times n ka row matrix hai; jaise \begin{bmatrix} -\tfrac12 & \sqrt5 & 2 & 3 \end{bmatrix}_{1 \times 4}.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(iii) Square matrixA matrix in which the number of rows is equal to the number of columns is said to be a square matrix. An m \times n matrix is square if m = n, and is known as a square matrix of order n.(iii) वर्ग आव्यूहवह आव्यूह जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो, वर्ग आव्यूह कहलाता है। m \times n आव्यूह वर्ग आव्यूह है यदि m = n, और इसे n कोटि का वर्ग आव्यूह कहते हैं।(iii) Square matrixJis matrix mein rows ki sankhya columns ki sankhya ke barabar ho, wo square matrix kehlata hai. m \times n matrix square hai agar m = n, aur ise order n ka square matrix kehte hain.
Note — the diagonalIf A = [a_{ij}] is a square matrix of order n, the elements a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn} form the diagonal of A. For A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix} the diagonal elements are 1, 4, 6.नोट — विकर्णयदि A = [a_{ij}] कोटि n का वर्ग आव्यूह है, तो अवयव a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}, A का विकर्ण बनाते हैं। A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix} के विकर्ण के अवयव 1, 4, 6 हैं।Note — diagonalAgar A = [a_{ij}] order n ka square matrix hai, to elements a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}, A ka diagonal banate hain. A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix} ke diagonal elements 1, 4, 6 hain.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(iv) Diagonal matrixA square matrix B = [b_{ij}]_{m \times m} is said to be a diagonal matrix if all its non-diagonal elements are zero, that is, b_{ij} = 0 when i \ne j. E.g. [4], \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.(iv) विकर्ण आव्यूहवर्ग आव्यूह B = [b_{ij}]_{m \times m} विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि विकर्ण के अतिरिक्त इसके सभी अवयव शून्य हों, अर्थात् b_{ij} = 0 जब i \ne j। जैसे [4], \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}।(iv) Diagonal matrixSquare matrix B = [b_{ij}]_{m \times m} diagonal matrix kehlata hai agar diagonal ke alawa uske saare elements zero hon, yaani b_{ij} = 0 jab i \ne j. Jaise [4], \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(v) Scalar matrixA diagonal matrix is said to be a scalar matrix if its diagonal elements are equal: b_{ij} = 0 when i \ne j and b_{ij} = k when i = j, for some constant k. E.g. [3], \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sqrt3 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt3 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt3 \end{bmatrix}.(v) अदिश आव्यूहविकर्ण आव्यूह अदिश आव्यूह कहलाता है यदि इसके विकर्ण के अवयव बराबर हों: b_{ij} = 0 जब i \ne j और b_{ij} = k जब i = j, किसी अचर k के लिए। जैसे [3], \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sqrt3 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt3 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt3 \end{bmatrix}।(v) Scalar matrixDiagonal matrix scalar matrix kehlata hai agar uske diagonal elements barabar hon: b_{ij} = 0 jab i \ne j aur b_{ij} = k jab i = j, kisi constant k ke liye. Jaise [3], \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sqrt3 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt3 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt3 \end{bmatrix}.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(vi) Identity matrixA square matrix in which elements in the diagonal are all 1 and the rest are all zero is called an identity matrix: a_{ij} = 1 if i = j and a_{ij} = 0 if i \ne j. The identity matrix of order n is denoted by I_n (or simply I).(vi) तत्समक आव्यूहवह वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 हों और शेष सभी शून्य हों, तत्समक आव्यूह कहलाता है: a_{ij} = 1 यदि i = j और a_{ij} = 0 यदि i \ne j। n कोटि के तत्समक आव्यूह को I_n (या केवल I) से दर्शाते हैं।(vi) Identity matrixWo square matrix jiske diagonal ke saare elements 1 hon aur baaki sab zero, identity matrix kehlata hai: a_{ij} = 1 agar i = j aur a_{ij} = 0 agar i \ne j. Order n ke identity matrix ko I_n (ya sirf I) se dikhate hain.

[1], \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} and \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} are identity matrices of order 1, 2 and 3. A scalar matrix is an identity matrix when k = 1; and every identity matrix is clearly a scalar matrix.[1], \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} और \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} क्रमशः कोटि 1, 2 और 3 के तत्समक आव्यूह हैं। k = 1 होने पर अदिश आव्यूह तत्समक आव्यूह बन जाता है; और हर तत्समक आव्यूह स्पष्टतः एक अदिश आव्यूह है।[1], \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} aur \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} order 1, 2 aur 3 ke identity matrices hain. k = 1 hone par scalar matrix identity matrix ban jaata hai; aur har identity matrix saaf taur par ek scalar matrix hai.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)(vii) Zero matrixA matrix is said to be a zero matrix or null matrix if all its elements are zero. E.g. [0], \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, [0,\ 0]. We denote it by O; its order is clear from the context.(vii) शून्य आव्यूहकोई आव्यूह शून्य आव्यूह या रिक्त आव्यूह कहलाता है यदि उसके सभी अवयव शून्य हों। जैसे [0], \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, [0,\ 0]। इसे O से दर्शाते हैं; इसकी कोटि संदर्भ से स्पष्ट होती है।(vii) Zero matrixKoi matrix zero matrix ya null matrix kehlata hai agar uske saare elements zero hon. Jaise [0], \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, [0,\ 0]. Ise O se dikhate hain; iska order context se pata chalta hai.
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxThe types nest like boxes: every identity matrix is scalar, every scalar matrix is diagonal, every diagonal matrix is square. The reverse is false: \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} is diagonal but not scalar. A zero matrix need not be square, but a square zero matrix is also diagonal (and scalar with k = 0).ये प्रकार डिब्बों की तरह एक-दूसरे में समाए हैं: हर तत्समक आव्यूह अदिश है, हर अदिश आव्यूह विकर्ण है, हर विकर्ण आव्यूह वर्ग है। उलटा सच नहीं: \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} विकर्ण है पर अदिश नहीं। शून्य आव्यूह का वर्ग होना ज़रूरी नहीं, पर वर्ग शून्य आव्यूह विकर्ण भी है (और k = 0 वाला अदिश भी)।Ye types dabbon ki tarah ek-doosre mein samaaye hain: har identity matrix scalar hai, har scalar matrix diagonal hai, har diagonal matrix square hai. Ulta sach nahi: \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} diagonal hai par scalar nahi. Zero matrix ka square hona zaroori nahi, par square zero matrix diagonal bhi hai (aur k = 0 wala scalar bhi).
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainDiagonal, scalar and identity matrices must be square. \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} is NOT an identity matrix — it is 2 \times 3. Also, in a diagonal matrix the diagonal entries may themselves be 0; only the off-diagonal ones are forced to be 0.विकर्ण, अदिश और तत्समक आव्यूह वर्ग होने चाहिए। \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} तत्समक आव्यूह नहीं है — यह 2 \times 3 है। और विकर्ण आव्यूह में विकर्ण के अवयव स्वयं 0 हो सकते हैं; केवल विकर्ण के बाहर वाले अवयव 0 होने ज़रूरी हैं।Diagonal, scalar aur identity matrices square hone chahiye. \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} identity matrix NAHI hai — ye 2 \times 3 hai. Aur diagonal matrix mein diagonal ke elements khud 0 ho sakte hain; sirf diagonal ke bahar wale 0 hone zaroori hain.

3.3.1Equality of matricesआव्यूहों की समानताMatrices ki equality

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 2 — Equal matricesTwo matrices A = [a_{ij}] and B = [b_{ij}] are said to be equal if (i) they are of the same order, and (ii) each element of A is equal to the corresponding element of B, that is, a_{ij} = b_{ij} for all i and j.परिभाषा 2 — समान आव्यूहदो आव्यूह A = [a_{ij}] और B = [b_{ij}] समान कहलाते हैं यदि (i) वे समान कोटि के हों, और (ii) A का प्रत्येक अवयव B के संगत अवयव के बराबर हो, अर्थात् सभी i और j के लिए a_{ij} = b_{ij}।Definition 2 — Equal matricesDo matrices A = [a_{ij}] aur B = [b_{ij}] equal kehlate hain agar (i) unka order same ho, aur (ii) A ka har element B ke corresponding element ke barabar ho, yaani saare i aur j ke liye a_{ij} = b_{ij}.

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} and \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} are equal, but \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} and \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} are not. If \begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt6 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, then x = -1.5,\ y = 0,\ z = 2,\ a = \sqrt6,\ b = 3,\ c = 2. One matrix equation = as many ordinary equations as there are elements.\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} और \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} समान हैं, पर \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} और \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} समान नहीं। यदि \begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt6 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, तो x = -1.5,\ y = 0,\ z = 2,\ a = \sqrt6,\ b = 3,\ c = 2। एक आव्यूह-समीकरण = उतने साधारण समीकरण जितने अवयव हैं।\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} aur \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} equal hain, par \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} aur \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} nahi. Agar \begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt6 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, to x = -1.5,\ y = 0,\ z = 2,\ a = \sqrt6,\ b = 3,\ c = 2. Ek matrix equation = utne normal equations jitne elements hain.

Example 4If \begin{bmatrix} x+3 & z+4 & 2y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 3y-2 \\ -6 & -3 & 2c+2 \\ 2b+4 & -21 & 0 \end{bmatrix}, find the values of a, b, c, x, y and z.उदाहरण 4यदि \begin{bmatrix} x+3 & z+4 & 2y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 3y-2 \\ -6 & -3 & 2c+2 \\ 2b+4 & -21 & 0 \end{bmatrix} है, तो a, b, c, x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।Example 4Agar \begin{bmatrix} x+3 & z+4 & 2y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 3y-2 \\ -6 & -3 & 2c+2 \\ 2b+4 & -21 & 0 \end{bmatrix} hai, to a, b, c, x, y aur z ki values nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Both matrices are 3 \times 3, so we equate corresponding elements. Row 1 first.दोनों आव्यूह 3 \times 3 हैं, इसलिए संगत अवयवों को बराबर रखते हैं। पहले पंक्ति 1।Dono matrices 3 \times 3 hain, isliye corresponding elements ko barabar rakhte hain. Pehle row 1.
    x + 3 = 0,\quad z + 4 = 6,\quad 2y - 7 = 3y - 2
  2. The remaining places that contain unknowns.बाकी वे स्थान जिनमें अज्ञात हैं।Baaki wo jagah jinmein unknowns hain.
    a - 1 = -3,\quad 0 = 2c + 2,\quad b - 3 = 2b + 4
  3. Solve each simple equation: e.g. 2y - 7 = 3y - 2 \Rightarrow y = -5; b - 3 = 2b + 4 \Rightarrow b = -7.हर सरल समीकरण हल कीजिए: जैसे 2y - 7 = 3y - 2 \Rightarrow y = -5; b - 3 = 2b + 4 \Rightarrow b = -7।Har simple equation solve kijiye: jaise 2y - 7 = 3y - 2 \Rightarrow y = -5; b - 3 = 2b + 4 \Rightarrow b = -7.
    x = -3,\ z = 2,\ y = -5,\ a = -2,\ c = -1,\ b = -7

✔ a = -2,\ b = -7,\ c = -1,\ x = -3,\ y = -5,\ z = 2a = -2,\ b = -7,\ c = -1,\ x = -3,\ y = -5,\ z = 2a = -2,\ b = -7,\ c = -1,\ x = -3,\ y = -5,\ z = 2

Example 5Find the values of a, b, c and d from the equation \begin{bmatrix} 2a+b & a-2b \\ 5c-d & 4c+3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix}.उदाहरण 5समीकरण \begin{bmatrix} 2a+b & a-2b \\ 5c-d & 4c+3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} से a, b, c और d के मान ज्ञात कीजिए।Example 5Equation \begin{bmatrix} 2a+b & a-2b \\ 5c-d & 4c+3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} se a, b, c aur d ki values nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Equal matrices → equal corresponding elements: four equations.समान आव्यूह → संगत अवयव बराबर: चार समीकरण।Equal matrices → corresponding elements barabar: chaar equations.
    2a + b = 4,\quad a - 2b = -3,\quad 5c - d = 11,\quad 4c + 3d = 24
  2. Double the second equation and subtract it from the first.दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करके पहले में से घटाइए।Doosri equation ko 2 se multiply karke pehli mein se ghataiye.
    2a + b = 4,\ \ 2a - 4b = -6 \Rightarrow 5b = 10 \Rightarrow b = 2,\ a = 1
  3. Multiply 5c - d = 11 by 3 and add 4c + 3d = 24.5c - d = 11 को 3 से गुणा करके 4c + 3d = 24 में जोड़िए।5c - d = 11 ko 3 se multiply karke 4c + 3d = 24 mein jodiye.
    15c - 3d = 33,\ \ 4c + 3d = 24 \Rightarrow 19c = 57 \Rightarrow c = 3,\ d = 4

✔ a = 1,\ b = 2,\ c = 3,\ d = 4a = 1,\ b = 2,\ c = 3,\ d = 4a = 1,\ b = 2,\ c = 3,\ d = 4

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

Find x, y, z if \begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}. (Exercise 3.1, Q6 (ii))यदि \begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} हो, तो x, y, z ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.1, प्रश्न 6 (ii))Agar \begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} ho, to x, y, z nikaliye. (Exercise 3.1, Q6 (ii))

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x = 4,\ y = 2,\ z = 0 or x = 2,\ y = 4,\ z = 0x = 4,\ y = 2,\ z = 0 या x = 2,\ y = 4,\ z = 0x = 4,\ y = 2,\ z = 0 ya x = 2,\ y = 4,\ z = 0

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

Find a, b, c, d if \begin{bmatrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix}. (Exercise 3.1, Q7)यदि \begin{bmatrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} हो, तो a, b, c, d ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.1, प्रश्न 7)Agar \begin{bmatrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} ho, to a, b, c, d nikaliye. (Exercise 3.1, Q7)

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a = 1,\ b = 2,\ c = 3,\ d = 4a = 1,\ b = 2,\ c = 3,\ d = 4a = 1,\ b = 2,\ c = 3,\ d = 4

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainTwo matrices of different orders can never be equal — so first check the orders match. In \begin{bmatrix} 3x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}, 3x + 7 = 0 gives x = -\tfrac73 while 2 - 3x = 4 gives x = -\tfrac23: no value works, so finding the values is not possible (Exercise 3.1, Q9: answer (B)).अलग कोटि के दो आव्यूह कभी समान नहीं हो सकते — इसलिए पहले कोटि मिलाइए। \begin{bmatrix} 3x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} में 3x + 7 = 0 से x = -\tfrac73 और 2 - 3x = 4 से x = -\tfrac23 आता है: कोई एक मान दोनों को संतुष्ट नहीं करता, इसलिए मान ज्ञात करना संभव नहीं (प्रश्नावली 3.1, प्रश्न 9: उत्तर (B))।Alag order ke do matrices kabhi equal nahi ho sakte — isliye pehle order milaiye. \begin{bmatrix} 3x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} mein 3x + 7 = 0 se x = -\tfrac73 aur 2 - 3x = 4 se x = -\tfrac23 aata hai: koi ek value dono ko satisfy nahi karti, isliye values nikalna possible nahi (Exercise 3.1, Q9: answer (B)).

3.4Operations on Matricesआव्यूहों पर संक्रियाएँMatrices par operations

Now we learn the operations: addition of matrices, multiplication of a matrix by a scalar, difference, and multiplication of matrices.अब हम संक्रियाएँ सीखेंगे: आव्यूहों का योग, किसी आव्यूह का अदिश से गुणन, अंतर, और आव्यूहों का गुणन।Ab hum operations seekhenge: matrices ka addition, matrix ka scalar se multiplication, difference, aur matrices ka multiplication.

3.4.1Addition of matricesआव्यूहों का योगMatrices ka addition

Fatima has two factories at places A and B. Each makes sport shoes for boys and girls in three price categories 1, 2 and 3. The productions (rows = categories, columns = boys, girls) are A = \begin{bmatrix} 80 & 60 \\ 75 & 65 \\ 90 & 85 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 90 & 50 \\ 70 & 55 \\ 75 & 75 \end{bmatrix}. The total production in each category is found by adding place by place:फ़ातिमा के दो कारखाने स्थान A और B पर हैं। दोनों तीन मूल्य-श्रेणियों 1, 2 और 3 में लड़कों और लड़कियों के खेल के जूते बनाते हैं। उत्पादन (पंक्तियाँ = श्रेणियाँ, स्तंभ = लड़के, लड़कियाँ) A = \begin{bmatrix} 80 & 60 \\ 75 & 65 \\ 90 & 85 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 90 & 50 \\ 70 & 55 \\ 75 & 75 \end{bmatrix} हैं। हर श्रेणी का कुल उत्पादन स्थान-दर-स्थान जोड़कर मिलता है:Fatima ki do factories jagah A aur B par hain. Dono teen price categories 1, 2 aur 3 mein ladkon aur ladkiyon ke sport shoes banati hain. Production (rows = categories, columns = boys, girls) A = \begin{bmatrix} 80 & 60 \\ 75 & 65 \\ 90 & 85 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 90 & 50 \\ 70 & 55 \\ 75 & 75 \end{bmatrix} hai. Har category ka total production jagah-dar-jagah jodkar milta hai:

A + B = \begin{bmatrix} 80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 170 & 110 \\ 145 & 120 \\ 165 & 160 \end{bmatrix}
Fatima's total productionफ़ातिमा का कुल उत्पादनFatima ka total production
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Sum of matricesIf A = [a_{ij}] and B = [b_{ij}] are two matrices of the same order m \times n, their sum is A + B = [c_{ij}]_{m \times n}, where c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} for all possible values of i and j.आव्यूहों का योगयदि A = [a_{ij}] और B = [b_{ij}] समान कोटि m \times n के दो आव्यूह हैं, तो उनका योग A + B = [c_{ij}]_{m \times n} है, जहाँ i और j के सभी संभव मानों के लिए c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}।Matrices ka sumAgar A = [a_{ij}] aur B = [b_{ij}] same order m \times n ke do matrices hain, to unka sum A + B = [c_{ij}]_{m \times n} hai, jahan i aur j ki saari possible values ke liye c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.
Example 6Given A = \begin{bmatrix} \sqrt3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 2 & \sqrt5 & 1 \\ -2 & 3 & \tfrac12 \end{bmatrix}, find A + B.उदाहरण 6A = \begin{bmatrix} \sqrt3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 2 & \sqrt5 & 1 \\ -2 & 3 & \tfrac12 \end{bmatrix} दिए हैं, तो A + B ज्ञात कीजिए।Example 6A = \begin{bmatrix} \sqrt3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 2 & \sqrt5 & 1 \\ -2 & 3 & \tfrac12 \end{bmatrix} diye hain, to A + B nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Addition needs the same order — check first.योग के लिए समान कोटि चाहिए — पहले जाँचिए।Addition ke liye same order chahiye — pehle check kijiye.
    A, B \text{ are both } 2 \times 3 \Rightarrow A + B \text{ is defined}
  2. Add element by element.अवयव-दर-अवयव जोड़िए।Element-by-element jodiye.
    A + B = \begin{bmatrix} \sqrt3 + 2 & 1 + \sqrt5 & -1 + 1 \\ 2 - 2 & 3 + 3 & 0 + \tfrac12 \end{bmatrix}

✔ A + B = \begin{bmatrix} 2 + \sqrt3 & 1 + \sqrt5 & 0 \\ 0 & 6 & \tfrac12 \end{bmatrix}A + B = \begin{bmatrix} 2 + \sqrt3 & 1 + \sqrt5 & 0 \\ 0 & 6 & \tfrac12 \end{bmatrix}A + B = \begin{bmatrix} 2 + \sqrt3 & 1 + \sqrt5 & 0 \\ 0 & 6 & \tfrac12 \end{bmatrix}

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainAddition is defined only for matrices of the same order. \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} is not defined — do not "fill in zeros".योग केवल समान कोटि वाले आव्यूहों का परिभाषित है। \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} परिभाषित नहीं है — "शून्य भरकर" मत जोड़िए।Addition sirf same order wale matrices ka defined hai. \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} defined nahi hai — "zero bharkar" mat jodiye.

3.4.2Multiplication of a matrix by a scalarआव्यूह का एक अदिश से गुणनMatrix ka scalar se multiplication

If Fatima doubles the production at A in all categories, every entry of A is doubled: 2A = \begin{bmatrix} 160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170 \end{bmatrix}.यदि फ़ातिमा A पर सभी श्रेणियों में उत्पादन दोगुना कर दे, तो A की हर प्रविष्टि दोगुनी हो जाती है: 2A = \begin{bmatrix} 160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170 \end{bmatrix}।Agar Fatima A par saari categories mein production double kar de, to A ki har entry double ho jaati hai: 2A = \begin{bmatrix} 160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170 \end{bmatrix}.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Scalar multipleIf A = [a_{ij}]_{m \times n} and k is a scalar, then kA is obtained by multiplying each element of A by k: kA = k[a_{ij}]_{m \times n} = [k(a_{ij})]_{m \times n}.अदिश गुणजयदि A = [a_{ij}]_{m \times n} और k एक अदिश है, तो A के प्रत्येक अवयव को k से गुणा करके kA मिलता है: kA = k[a_{ij}]_{m \times n} = [k(a_{ij})]_{m \times n}।Scalar multipleAgar A = [a_{ij}]_{m \times n} aur k ek scalar hai, to A ke har element ko k se multiply karke kA milta hai: kA = k[a_{ij}]_{m \times n} = [k(a_{ij})]_{m \times n}.

For example, if A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt5 & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix} then 3A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3\sqrt5 & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}. The negative of a matrix is -A = (-1)A, and the difference is A - B = A + (-1)B, defined for matrices of the same order: D = [d_{ij}] with d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}.उदाहरण के लिए, यदि A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt5 & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix} तो 3A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3\sqrt5 & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}। किसी आव्यूह का ऋण -A = (-1)A है, और अंतर A - B = A + (-1)B है, जो समान कोटि के आव्यूहों के लिए परिभाषित है: D = [d_{ij}], जहाँ d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}।Jaise, agar A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt5 & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix} to 3A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3\sqrt5 & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}. Matrix ka negative -A = (-1)A hai, aur difference A - B = A + (-1)B hai, jo same order ke matrices ke liye defined hai: D = [d_{ij}], jahan d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}.

Example 7If A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}, then find 2A - B.उदाहरण 7यदि A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} हैं, तो 2A - B ज्ञात कीजिए।Example 7Agar A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} hain, to 2A - B nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Double every element of A; change every sign of B.A का हर अवयव दोगुना कीजिए; B का हर चिह्न बदलिए।A ka har element double kijiye; B ka har sign badliye.
    2A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix},\quad -B = \begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}
  2. Add 2A and -B place by place.2A और -B को स्थान-दर-स्थान जोड़िए।2A aur -B ko jagah-dar-jagah jodiye.
    2A - B = \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}

✔ 2A - B = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}2A - B = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}2A - B = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}

3.4.3Properties of matrix additionआव्यूहों के योग के गुणधर्मMatrix addition ke properties

For matrices A = [a_{ij}],\ B = [b_{ij}],\ C = [c_{ij}] of the same order m \times n:समान कोटि m \times n के आव्यूहों A = [a_{ij}],\ B = [b_{ij}],\ C = [c_{ij}] के लिए:Same order m \times n ke matrices A = [a_{ij}],\ B = [b_{ij}],\ C = [c_{ij}] ke liye:

  1. Commutative law: A + B = B + A, because a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij} (addition of numbers is commutative).क्रमविनिमेय नियम: A + B = B + A, क्योंकि a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij} (संख्याओं का योग क्रमविनिमेय है)।Commutative law: A + B = B + A, kyunki a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij} (numbers ka addition commutative hai).
  2. Associative law: (A + B) + C = A + (B + C).साहचर्य नियम: (A + B) + C = A + (B + C)।Associative law: (A + B) + C = A + (B + C).
  3. Existence of additive identity: the zero matrix O of order m \times n satisfies A + O = O + A = A.योज्य तत्समक का अस्तित्व: m \times n कोटि का शून्य आव्यूह O ऐसा है कि A + O = O + A = A।Additive identity ka existence: order m \times n ka zero matrix O aisa hai ki A + O = O + A = A.
  4. Existence of additive inverse: -A = [-a_{ij}] satisfies A + (-A) = (-A) + A = O; -A is the additive inverse (negative) of A.योज्य प्रतिलोम का अस्तित्व: -A = [-a_{ij}] ऐसा है कि A + (-A) = (-A) + A = O; -A, आव्यूह A का योज्य प्रतिलोम (ऋण) है।Additive inverse ka existence: -A = [-a_{ij}] aisa hai ki A + (-A) = (-A) + A = O; -A, A ka additive inverse (negative) hai.

3.4.4Properties of scalar multiplication of a matrixआव्यूह के अदिश गुणन के गुणधर्मScalar multiplication ke properties

If A = [a_{ij}] and B = [b_{ij}] are matrices of the same order and k, l are scalars, then (i) k(A + B) = kA + kB and (ii) (k + l)A = kA + lA. Both follow element by element: k(a_{ij} + b_{ij}) = ka_{ij} + kb_{ij} and (k + l)a_{ij} = ka_{ij} + la_{ij}.यदि A = [a_{ij}] और B = [b_{ij}] समान कोटि के आव्यूह हैं और k, l अदिश हैं, तो (i) k(A + B) = kA + kB और (ii) (k + l)A = kA + lA। दोनों अवयव-दर-अवयव सिद्ध होते हैं: k(a_{ij} + b_{ij}) = ka_{ij} + kb_{ij} और (k + l)a_{ij} = ka_{ij} + la_{ij}।Agar A = [a_{ij}] aur B = [b_{ij}] same order ke matrices hain aur k, l scalars hain, to (i) k(A + B) = kA + kB aur (ii) (k + l)A = kA + lA. Dono element-by-element sabit hote hain: k(a_{ij} + b_{ij}) = ka_{ij} + kb_{ij} aur (k + l)a_{ij} = ka_{ij} + la_{ij}.

Example 8If A = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}, then find the matrix X such that 2A + 3X = 5B.उदाहरण 8यदि A = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} हैं, तो वह आव्यूह X ज्ञात कीजिए कि 2A + 3X = 5B।Example 8Agar A = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} hain, to wo matrix X nikaliye jisse 2A + 3X = 5B.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Treat it like an ordinary equation: add -2A to both sides (additive inverse), then multiply by \tfrac13.इसे साधारण समीकरण की तरह हल कीजिए: दोनों ओर -2A जोड़िए (योज्य प्रतिलोम), फिर \tfrac13 से गुणा कीजिए।Ise normal equation ki tarah solve kijiye: dono taraf -2A jodiye (additive inverse), phir \tfrac13 se multiply kijiye.
    2A + 3X - 2A = 5B - 2A \Rightarrow 3X = 5B - 2A \Rightarrow X = \tfrac13(5B - 2A)
  2. 5B multiplies each element of B by 5; -2A multiplies each element of A by -2.5B में B का हर अवयव 5 से गुणा; -2A में A का हर अवयव -2 से गुणा।5B mein B ka har element 5 se multiply; -2A mein A ka har element -2 se multiply.
    5B - 2A = \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -16 & 0 \\ -8 & 4 \\ -6 & -12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}
  3. Divide every element by 3.हर अवयव को 3 से भाग दीजिए।Har element ko 3 se divide kijiye.
    X = \tfrac13 \begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}

✔ X = \begin{bmatrix} -2 & -\tfrac{10}{3} \\ 4 & \tfrac{14}{3} \\ -\tfrac{31}{3} & -\tfrac73 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -2 & -\tfrac{10}{3} \\ 4 & \tfrac{14}{3} \\ -\tfrac{31}{3} & -\tfrac73 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -2 & -\tfrac{10}{3} \\ 4 & \tfrac{14}{3} \\ -\tfrac{31}{3} & -\tfrac73 \end{bmatrix}

Example 9Find X and Y, if X + Y = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} and X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}.उदाहरण 9यदि X + Y = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} और X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} हैं, तो X और Y ज्ञात कीजिए।Example 9Agar X + Y = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} aur X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} hain, to X aur Y nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Add the two equations: Y cancels, exactly as with numbers.दोनों समीकरण जोड़िए: Y कट जाता है, ठीक संख्याओं की तरह।Dono equations jodiye: Y cancel ho jaata hai, bilkul numbers ki tarah.
    (X + Y) + (X - Y) = 2X = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow X = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}
  2. Subtract the equations: X cancels.समीकरण घटाइए: X कट जाता है।Equations ghataiye: X cancel ho jaata hai.
    (X + Y) - (X - Y) = 2Y = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix} \Rightarrow Y = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}

✔ X = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix},\ Y = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix},\ Y = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix},\ Y = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}

Example 10Find the values of x and y from the equation 2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}.उदाहरण 10समीकरण 2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} से x और y के मान ज्ञात कीजिए।Example 10Equation 2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} se x aur y ki values nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Multiply by 2, then add.2 से गुणा कीजिए, फिर जोड़िए।2 se multiply kijiye, phir jodiye.
    \begin{bmatrix} 2x & 10 \\ 14 & 2y-6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+3 & 6 \\ 15 & 2y-4 \end{bmatrix}
  2. Equate with \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} (the entries 6 and 15 already match).\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} से बराबर रखिए (प्रविष्टियाँ 6 और 15 पहले से मेल खाती हैं)।\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} se barabar rakhiye (entries 6 aur 15 pehle se match karti hain).
    2x + 3 = 7,\quad 2y - 4 = 14

✔ x = 2,\ y = 9x = 2,\ y = 9x = 2,\ y = 9

Example 11Two farmers Ramkishan and Gurcharan Singh cultivate only three varieties of rice: Basmati, Permal and Naura. The sale (in Rupees) in September is A = \begin{bmatrix} 10000 & 20000 & 30000 \\ 50000 & 30000 & 10000 \end{bmatrix} and in October is B = \begin{bmatrix} 5000 & 10000 & 6000 \\ 20000 & 10000 & 10000 \end{bmatrix} (row 1 = Ramkishan, row 2 = Gurcharan Singh; columns Basmati, Permal, Naura). (i) Find the combined sales in September and October for each farmer in each variety. (ii) Find the change in sales from September to October. (iii) If both farmers receive 2% profit on gross sales, compute the profit for each farmer and each variety sold in October.उदाहरण 11दो किसान रामकिशन और गुरचरन सिंह केवल तीन प्रकार के चावल उगाते हैं: बासमती, परमल और नौरा। सितंबर की बिक्री (रुपयों में) A = \begin{bmatrix} 10000 & 20000 & 30000 \\ 50000 & 30000 & 10000 \end{bmatrix} और अक्टूबर की B = \begin{bmatrix} 5000 & 10000 & 6000 \\ 20000 & 10000 & 10000 \end{bmatrix} है (पंक्ति 1 = रामकिशन, पंक्ति 2 = गुरचरन सिंह; स्तंभ बासमती, परमल, नौरा)। (i) हर किसान की हर किस्म की सितंबर और अक्टूबर की संयुक्त बिक्री ज्ञात कीजिए। (ii) सितंबर से अक्टूबर तक बिक्री में परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (iii) यदि दोनों किसानों को सकल बिक्री पर 2% लाभ मिलता है, तो अक्टूबर में हर किसान को हर किस्म पर मिला लाभ परिकलित कीजिए।Example 11Do kisan Ramkishan aur Gurcharan Singh sirf teen tarah ke chawal ugaate hain: Basmati, Permal aur Naura. September ki sale (Rupees mein) A = \begin{bmatrix} 10000 & 20000 & 30000 \\ 50000 & 30000 & 10000 \end{bmatrix} aur October ki B = \begin{bmatrix} 5000 & 10000 & 6000 \\ 20000 & 10000 & 10000 \end{bmatrix} hai (row 1 = Ramkishan, row 2 = Gurcharan Singh; columns Basmati, Permal, Naura). (i) Har kisan ki har variety ki September aur October ki combined sale nikaliye. (ii) September se October tak sale mein change nikaliye. (iii) Agar dono ko gross sale par 2% profit milta hai, to October mein har kisan ko har variety par profit nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. (i) Combined sales = add the two months place by place.(i) संयुक्त बिक्री = दोनों महीनों को स्थान-दर-स्थान जोड़िए।(i) Combined sale = dono mahinon ko jagah-dar-jagah jodiye.
    A + B = \begin{bmatrix} 15000 & 30000 & 36000 \\ 70000 & 40000 & 20000 \end{bmatrix}
  2. (ii) Change = September − October (every entry is a decrease).(ii) परिवर्तन = सितंबर − अक्टूबर (हर प्रविष्टि एक कमी है)।(ii) Change = September − October (har entry ek kami hai).
    A - B = \begin{bmatrix} 5000 & 10000 & 24000 \\ 30000 & 20000 & 0 \end{bmatrix}
  3. (iii) A scalar multiple: multiply every October sale by 0.02.(iii) अदिश गुणज: अक्टूबर की हर बिक्री को 0.02 से गुणा कीजिए।(iii) Scalar multiple: October ki har sale ko 0.02 se multiply kijiye.
    2\%\ \text{of } B = \tfrac{2}{100} \times B = 0.02 \times B = \begin{bmatrix} 100 & 200 & 120 \\ 400 & 200 & 200 \end{bmatrix}

✔ October profit: Ramkishan ₹100 (Basmati), ₹200 (Permal), ₹120 (Naura); Gurcharan Singh ₹400, ₹200, ₹200.अक्टूबर का लाभ: रामकिशन ₹100 (बासमती), ₹200 (परमल), ₹120 (नौरा); गुरचरन सिंह ₹400, ₹200, ₹200।October ka profit: Ramkishan ₹100 (Basmati), ₹200 (Permal), ₹120 (Naura); Gurcharan Singh ₹400, ₹200, ₹200.

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Find X and Y if X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} and X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}. (Exercise 3.2, Q7 (i))यदि X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} और X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} हैं, तो X और Y ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 7 (i))Agar X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} aur X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} hain, to X aur Y nikaliye. (Exercise 3.2, Q7 (i))

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X = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix},\ Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix},\ Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix},\ Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

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Find X if Y = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} and 2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}. (Exercise 3.2, Q8)यदि Y = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} और 2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} है, तो X ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 8)Agar Y = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} aur 2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} hai, to X nikaliye. (Exercise 3.2, Q8)

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X = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}

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Find x and y if 2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}. (Exercise 3.2, Q9)यदि 2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} है, तो x और y ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 9)Agar 2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} hai, to x aur y nikaliye. (Exercise 3.2, Q9)

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x = 3,\ y = 3x = 3,\ y = 3x = 3,\ y = 3

3.4.5Multiplication of matricesआव्यूहों का गुणनMatrices ka multiplication

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeMeera wants 2 pens and 5 story books; Nadeem wants 8 pens and 10 story books. In shop 1 a pen costs ₹5 and a book ₹50; in shop 2 a pen costs ₹4 and a book ₹40. Meera's bill in shop 1 is 2 \times 5 + 5 \times 50 = 260 — her row (2, 5) meets the shop's price column (5, 50): multiply partner by partner and add. That one idea is all of matrix multiplication.मीरा को 2 पेन और 5 कहानी की किताबें चाहिए; नदीम को 8 पेन और 10 किताबें। दुकान 1 में पेन ₹5 और किताब ₹50 की है; दुकान 2 में पेन ₹4 और किताब ₹40 की। दुकान 1 में मीरा का बिल 2 \times 5 + 5 \times 50 = 260 है — उसकी पंक्ति (2, 5) दुकान के मूल्य वाले स्तंभ (5, 50) से मिलती है: जोड़ी-दर-जोड़ी गुणा कीजिए और जोड़िए। आव्यूह-गुणन बस यही एक विचार है।Meera ko 2 pens aur 5 story books chahiye; Nadeem ko 8 pens aur 10 books. Shop 1 mein pen ₹5 aur book ₹50 ki hai; shop 2 mein pen ₹4 aur book ₹40 ki. Shop 1 mein Meera ka bill 2 \times 5 + 5 \times 50 = 260 hai — uski row (2, 5) shop ke price wale column (5, 50) se milti hai: jodi-dar-jodi multiply kijiye aur jodiye. Matrix multiplication bas yahi ek idea hai.
\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 50 & 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(5)+5(50) & 2(4)+5(40) \\ 8(5)+10(50) & 8(4)+10(40) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 260 & 208 \\ 540 & 432 \end{bmatrix}
Rows = Meera, Nadeem · columns = shop 1, shop 2 (bills in ₹)पंक्तियाँ = मीरा, नदीम · स्तंभ = दुकान 1, दुकान 2 (बिल ₹ में)Rows = Meera, Nadeem · columns = shop 1, shop 2 (bills ₹ mein)
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Product of matricesThe product of two matrices A and B is defined if the number of columns of A is equal to the number of rows of B. Let A = [a_{ij}] be an m \times n matrix and B = [b_{jk}] an n \times p matrix. Then AB is the m \times p matrix C = [c_{ik}], where c_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \dots + a_{in}b_{nk} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}.आव्यूहों का गुणनफलदो आव्यूहों A और B का गुणनफल परिभाषित है यदि A में स्तंभों की संख्या B में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। मान लीजिए A = [a_{ij}] एक m \times n आव्यूह और B = [b_{jk}] एक n \times p आव्यूह है। तब AB एक m \times p आव्यूह C = [c_{ik}] है, जहाँ c_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \dots + a_{in}b_{nk} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}।Matrices ka productDo matrices A aur B ka product defined hai agar A ke columns ki sankhya B ki rows ki sankhya ke barabar ho. Maan lijiye A = [a_{ij}] ek m \times n matrix aur B = [b_{jk}] ek n \times p matrix hai. Tab AB ek m \times p matrix C = [c_{ik}] hai, jahan c_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \dots + a_{in}b_{nk} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}.
(m \times \underbrace{n) \cdot (n}_{\text{must match}} \times p) \;\Rightarrow\; AB \text{ is } m \times p
The "inner numbers match, outer numbers give the order" rule"भीतर की संख्याएँ बराबर, बाहर की संख्याएँ कोटि देती हैं" नियम"Andar ke numbers match, bahar ke numbers order dete hain" rule

For example, with C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} (2 \times 3) and D = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4 \end{bmatrix} (3 \times 2), CD is 2 \times 2. Its (2, 1) entry is row 2 of C times column 1 of D: 0(2) + 3(-1) + 4(5) = 17. Altogether CD = \begin{bmatrix} 13 & -2 \\ 17 & -13 \end{bmatrix}. Tap the picture and then play with the animator.उदाहरण के लिए C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} (2 \times 3) और D = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4 \end{bmatrix} (3 \times 2) के लिए CD की कोटि 2 \times 2 है। इसकी (2, 1) प्रविष्टि = C की पंक्ति 2 × D का स्तंभ 1: 0(2) + 3(-1) + 4(5) = 17। पूरा CD = \begin{bmatrix} 13 & -2 \\ 17 & -13 \end{bmatrix}। चित्र पर टैप कीजिए, फिर एनिमेटर से खेलिए।Jaise C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} (2 \times 3) aur D = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4 \end{bmatrix} (3 \times 2) ke liye CD ka order 2 \times 2 hai. Iski (2, 1) entry = C ki row 2 × D ka column 1: 0(2) + 3(-1) + 4(5) = 17. Poora CD = \begin{bmatrix} 13 & -2 \\ 17 & -13 \end{bmatrix}. Picture par tap kijiye, phir animator se kheliye.

Row × column: how one entry of a product is madeपंक्ति × स्तंभ: गुणनफल की एक प्रविष्टि कैसे बनती हैRow × column: product ki ek entry kaise banti haiNCERT 3.4.5 · 9 tappable partsOpen
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Example 12Find AB, if A = \begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8 \end{bmatrix}.उदाहरण 12यदि A = \begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8 \end{bmatrix} हैं, तो AB ज्ञात कीजिए।Example 12Agar A = \begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8 \end{bmatrix} hain, to AB nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Columns of A (2) = rows of B (2).A के स्तंभ (2) = B की पंक्तियाँ (2)।A ke columns (2) = B ki rows (2).
    A: 2 \times 2,\ B: 2 \times 3 \Rightarrow AB \text{ is defined and is } 2 \times 3
  2. Row 1 of A with each of the 3 columns of B.A की पंक्ति 1, B के तीनों स्तंभों के साथ।A ki row 1, B ke teeno columns ke saath.
    \text{Row 1: } 6(2)+9(7) = 75,\ \ 6(6)+9(9) = 117,\ \ 6(0)+9(8) = 72
  3. Row 2 of A with each column of B.A की पंक्ति 2, B के हर स्तंभ के साथ।A ki row 2, B ke har column ke saath.
    \text{Row 2: } 2(2)+3(7) = 25,\ \ 2(6)+3(9) = 39,\ \ 2(0)+3(8) = 24

✔ AB = \begin{bmatrix} 75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24 \end{bmatrix}AB = \begin{bmatrix} 75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24 \end{bmatrix}AB = \begin{bmatrix} 75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24 \end{bmatrix}

RemarkIf AB is defined, BA need not be defined. In Example 12, A is 2 \times 2 and B is 2 \times 3, so AB is defined but BA is not. If A is m \times n and B is k \times l, then both AB and BA are defined if and only if n = k and l = m; in particular, if A and B are both square of the same order, both are defined.टिप्पणीयदि AB परिभाषित है, तो आवश्यक नहीं कि BA भी परिभाषित हो। उदाहरण 12 में A की कोटि 2 \times 2 और B की 2 \times 3 है, इसलिए AB परिभाषित है पर BA नहीं। यदि A की कोटि m \times n और B की k \times l है, तो AB और BA दोनों परिभाषित हैं यदि और केवल यदि n = k और l = m; विशेष रूप से, यदि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं, तो दोनों परिभाषित हैं।RemarkAgar AB defined hai, to zaroori nahi ki BA bhi defined ho. Example 12 mein A 2 \times 2 aur B 2 \times 3 hai, isliye AB defined hai par BA nahi. Agar A m \times n aur B k \times l hai, to AB aur BA dono defined hain agar aur sirf agar n = k aur l = m; khaas taur par same order ke square matrices ke liye dono defined hain.

Non-commutativity. Even when both AB and BA are defined, they need not be equal.अक्रमविनिमेयता। जब AB और BA दोनों परिभाषित हों, तब भी ज़रूरी नहीं कि वे बराबर हों।Non-commutativity. Jab AB aur BA dono defined hon, tab bhi zaroori nahi ki wo barabar hon.

Example 13If A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, then find AB and BA. Show that AB \ne BA.उदाहरण 13यदि A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} हैं, तो AB और BA ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि AB \ne BA।Example 13Agar A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} hain, to AB aur BA nikaliye. Dikhaiye ki AB \ne BA.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Both products are defined, but they don't even have the same order.दोनों गुणनफल परिभाषित हैं, पर उनकी कोटि भी अलग है।Dono products defined hain, par unka order bhi alag hai.
    A: 2 \times 3,\ B: 3 \times 2 \Rightarrow AB: 2 \times 2,\quad BA: 3 \times 3
  2. Each entry: a row of A (3 numbers) times a column of B (3 numbers).हर प्रविष्टि: A की एक पंक्ति (3 संख्याएँ) × B का एक स्तंभ (3 संख्याएँ)।Har entry: A ki ek row (3 numbers) × B ka ek column (3 numbers).
    AB = \begin{bmatrix} 2-8+6 & 3-10+3 \\ -8+8+10 & -12+10+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}
  3. Now a row of B (2 numbers) times a column of A (2 numbers).अब B की एक पंक्ति (2 संख्याएँ) × A का एक स्तंभ (2 संख्याएँ)।Ab B ki ek row (2 numbers) × A ka ek column (2 numbers).
    BA = \begin{bmatrix} 2-12 & -4+6 & 6+15 \\ 4-20 & -8+10 & 12+25 \\ 2-4 & -4+2 & 6+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{bmatrix}

✔ AB is 2 \times 2 and BA is 3 \times 3, so AB \ne BA.AB की कोटि 2 \times 2 और BA की 3 \times 3 है, इसलिए AB \ne BA।AB 2 \times 2 aur BA 3 \times 3 hai, isliye AB \ne BA.

Example 14If A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, show that AB \ne BA (both are of the same order).उदाहरण 14यदि A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} हैं, तो दिखाइए कि AB \ne BA (दोनों समान कोटि के हैं)।Example 14Agar A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} hain, to dikhaiye ki AB \ne BA (dono ka order same hai).
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Row of A times column of B.A की पंक्ति × B का स्तंभ।A ki row × B ka column.
    AB = \begin{bmatrix} 1(0)+0(1) & 1(1)+0(0) \\ 0(0)+(-1)(1) & 0(1)+(-1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
  2. Now row of B times column of A.अब B की पंक्ति × A का स्तंभ।Ab B ki row × A ka column.
    BA = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

✔ AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = BAAB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = BAAB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = BA

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxWhy is AB \ne BA in Example 14? Think of each 2 \times 2 matrix as a move of the plane: A reflects in the x-axis, B reflects in the line y = x. AB means "do B first, then A" — the result is a quarter turn clockwise; BA ("do A first, then B") is a quarter turn anticlockwise. Order of moves matters, so order of multiplication matters. See it in the sim below. (This picture is extra insight; the book itself only computes the products.)उदाहरण 14 में AB \ne BA क्यों? हर 2 \times 2 आव्यूह को तल की एक चाल समझिए: A, x-अक्ष में परावर्तन करता है, B रेखा y = x में। AB का अर्थ है "पहले B, फिर A" — परिणाम घड़ी की दिशा में चौथाई चक्कर है; BA ("पहले A, फिर B") घड़ी की उलटी दिशा में चौथाई चक्कर है। चालों का क्रम मायने रखता है, इसलिए गुणन का क्रम भी। नीचे के सिम में देखिए। (यह अतिरिक्त समझ है; पुस्तक केवल गुणनफल निकालती है।)Example 14 mein AB \ne BA kyun? Har 2 \times 2 matrix ko plane ki ek chaal samajhiye: A x-axis mein reflection karta hai, B line y = x mein. AB ka matlab "pehle B, phir A" — result clockwise quarter turn hai; BA ("pehle A, phir B") anticlockwise quarter turn hai. Chaalon ka order matter karta hai, isliye multiplication ka order bhi. Neeche sim mein dekhiye. (Ye extra samajh hai; book sirf products nikalti hai.)
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NoteThis does not mean AB \ne BA for every pair. For A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} we get AB = BA = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}. Observe that multiplication of diagonal matrices of the same order is commutative.नोटइसका अर्थ यह नहीं कि हर युग्म के लिए AB \ne BA। A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} के लिए AB = BA = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}। ध्यान दीजिए कि समान कोटि के विकर्ण आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय होता है।NoteIska matlab ye nahi ki har pair ke liye AB \ne BA. A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} ke liye AB = BA = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}. Dhyaan dijiye ki same order ke diagonal matrices ka multiplication commutative hota hai.

Zero matrix as the product of two non-zero matrices. For real numbers, ab = 0 means a = 0 or b = 0. Matrices break this rule:दो शून्येतर आव्यूहों का गुणनफल शून्य आव्यूह। वास्तविक संख्याओं में ab = 0 का अर्थ है a = 0 या b = 0। आव्यूह यह नियम तोड़ते हैं:Do non-zero matrices ka product zero matrix. Real numbers mein ab = 0 ka matlab hai a = 0 ya b = 0. Matrices ye rule todte hain:

Example 15Find AB, if A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.उदाहरण 15यदि A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} हैं, तो AB ज्ञात कीजिए।Example 15Agar A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} hain, to AB nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. The first column of A is zero and the second row of B is zero, so every product pair contains a 0.A का पहला स्तंभ शून्य है और B की दूसरी पंक्ति शून्य है, इसलिए हर गुणन-जोड़ी में एक 0 है।A ka pehla column zero hai aur B ki doosri row zero hai, isliye har product-pair mein ek 0 hai.
    AB = \begin{bmatrix} 0(3)+(-1)(0) & 0(5)+(-1)(0) \\ 0(3)+2(0) & 0(5)+2(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

✔ AB = O, although A \ne O and B \ne O.AB = O, जबकि A \ne O और B \ne O।AB = O, jabki A \ne O aur B \ne O.

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainThree habits from numbers that FAIL for matrices: (1) AB = BA — false in general; (2) AB = O \Rightarrow A = O or B = O — false (Example 15); (3) (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 — true only when AB = BA; in general (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.संख्याओं की तीन आदतें जो आव्यूहों में गलत हैं: (1) AB = BA — व्यापक रूप में गलत; (2) AB = O \Rightarrow A = O या B = O — गलत (उदाहरण 15); (3) (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 — केवल तब सही जब AB = BA; व्यापक रूप में (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2।Numbers ki teen aadatein jo matrices mein galat hain: (1) AB = BA — general mein galat; (2) AB = O \Rightarrow A = O ya B = O — galat (Example 15); (3) (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 — sirf tab sahi jab AB = BA; general mein (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.

3.4.6Properties of multiplication of matricesआव्यूहों के गुणन के गुणधर्मMatrix multiplication ke properties

  1. Associative law: (AB)C = A(BC), whenever both sides are defined.साहचर्य नियम: (AB)C = A(BC), जब भी दोनों पक्ष परिभाषित हों।Associative law: (AB)C = A(BC), jab bhi dono sides defined hon.
  2. Distributive law: (i) A(B + C) = AB + AC and (ii) (A + B)C = AC + BC, whenever both sides are defined.वितरण नियम: (i) A(B + C) = AB + AC और (ii) (A + B)C = AC + BC, जब भी दोनों पक्ष परिभाषित हों।Distributive law: (i) A(B + C) = AB + AC aur (ii) (A + B)C = AC + BC, jab bhi dono sides defined hon.
  3. Existence of multiplicative identity: for every square matrix A there is an identity matrix I of the same order with IA = AI = A.गुणनात्मक तत्समक का अस्तित्व: हर वर्ग आव्यूह A के लिए उसी कोटि का तत्समक आव्यूह I होता है कि IA = AI = A।Multiplicative identity ka existence: har square matrix A ke liye usi order ka identity matrix I hota hai ki IA = AI = A.
Example 16If A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} and C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}, find A(BC), (AB)C and show that (AB)C = A(BC).उदाहरण 16यदि A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} और C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} हैं, तो A(BC), (AB)C ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि (AB)C = A(BC)।Example 16Agar A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} aur C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} hain, to A(BC), (AB)C nikaliye aur dikhaiye ki (AB)C = A(BC).
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. 3 \times 3 times 3 \times 2 gives 3 \times 2.3 \times 3 गुणा 3 \times 2 से 3 \times 2 मिलता है।3 \times 3 into 3 \times 2 se 3 \times 2 milta hai.
    AB = \begin{bmatrix} 1+0+1 & 3+2-4 \\ 2+0-3 & 6+0+12 \\ 3+0-2 & 9-2+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15 \end{bmatrix}
  2. 3 \times 2 times 2 \times 4 gives 3 \times 4. E.g. row 2 · column 1: -1(1) + 18(2) = 35.3 \times 2 गुणा 2 \times 4 से 3 \times 4। जैसे पंक्ति 2 · स्तंभ 1: -1(1) + 18(2) = 35।3 \times 2 into 2 \times 4 se 3 \times 4. Jaise row 2 · column 1: -1(1) + 18(2) = 35.
    (AB)C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix}
  3. Now the other grouping: 3 \times 2 times 2 \times 4.अब दूसरा समूहन: 3 \times 2 गुणा 2 \times 4।Ab doosra grouping: 3 \times 2 into 2 \times 4.
    BC = \begin{bmatrix} 1+6 & 2+0 & 3-6 & -4+3 \\ 0+4 & 0+0 & 0-4 & 0+2 \\ -1+8 & -2+0 & -3-8 & 4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8 \end{bmatrix}
  4. 3 \times 3 times 3 \times 4 gives 3 \times 4 — the same matrix.3 \times 3 गुणा 3 \times 4 से 3 \times 4 — वही आव्यूह।3 \times 3 into 3 \times 4 se 3 \times 4 — wahi matrix.
    A(BC) = \begin{bmatrix} 7+4-7 & 2+0+2 & -3-4+11 & -1+2-8 \\ 14+0+21 & 4+0-6 & -6+0-33 & -2+0+24 \\ 21-4+14 & 6+0-4 & -9+4-22 & -3-2+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix}

✔ (AB)C = A(BC) = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix}(AB)C = A(BC) = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix}(AB)C = A(BC) = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix}

Example 17If A = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}, calculate AC, BC and (A + B)C. Also verify that (A + B)C = AC + BC.उदाहरण 17यदि A = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} हैं, तो AC, BC और (A + B)C परिकलित कीजिए। सत्यापित भी कीजिए कि (A + B)C = AC + BC।Example 17Agar A = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} hain, to AC, BC aur (A + B)C nikaliye. Ye bhi verify kijiye ki (A + B)C = AC + BC.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Add first, then multiply by the column C.पहले जोड़िए, फिर स्तंभ C से गुणा कीजिए।Pehle jodiye, phir column C se multiply kijiye.
    A + B = \begin{bmatrix} 0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow (A + B)C = \begin{bmatrix} 0-14+24 \\ -10+0+30 \\ 16+12+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 28 \end{bmatrix}
  2. Multiply separately.अलग-अलग गुणा कीजिए।Alag-alag multiply kijiye.
    AC = \begin{bmatrix} 0-12+21 \\ -12+0+24 \\ 14+16+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 12 \\ 30 \end{bmatrix},\quad BC = \begin{bmatrix} 0-2+3 \\ 2+0+6 \\ 2-4+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ -2 \end{bmatrix}
  3. Add the two columns.दोनों स्तंभ जोड़िए।Dono columns jodiye.
    AC + BC = \begin{bmatrix} 9+1 \\ 12+8 \\ 30-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 28 \end{bmatrix}

✔ (A + B)C = AC + BC = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 28 \end{bmatrix} — verified.(A + B)C = AC + BC = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 28 \end{bmatrix} — सत्यापित।(A + B)C = AC + BC = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 28 \end{bmatrix} — verified.

Example 18If A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}, then show that A^3 - 23A - 40I = O.उदाहरण 18यदि A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} है, तो दिखाइए कि A^3 - 23A - 40I = O।Example 18Agar A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} hai, to dikhaiye ki A^3 - 23A - 40I = O.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. E.g. row 1 · column 1 = 1 + 6 + 12 = 19.जैसे पंक्ति 1 · स्तंभ 1 = 1 + 6 + 12 = 19।Jaise row 1 · column 1 = 1 + 6 + 12 = 19.
    A^2 = AA = \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}
  2. E.g. row 1 · column 1 = 19 + 12 + 32 = 63.जैसे पंक्ति 1 · स्तंभ 1 = 19 + 12 + 32 = 63।Jaise row 1 · column 1 = 19 + 12 + 32 = 63.
    A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}
  3. Scalar multiples.अदिश गुणज।Scalar multiples.
    23A = \begin{bmatrix} 23 & 46 & 69 \\ 69 & -46 & 23 \\ 92 & 46 & 23 \end{bmatrix},\quad 40I = \begin{bmatrix} 40 & 0 & 0 \\ 0 & 40 & 0 \\ 0 & 0 & 40 \end{bmatrix}
  4. Subtract place by place.स्थान-दर-स्थान घटाइए।Jagah-dar-jagah ghataiye.
    A^3 - 23A - 40I = \begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46-0 & 69-69-0 \\ 69-69-0 & -6+46-40 & 23-23-0 \\ 92-92-0 & 46-46-0 & 63-23-40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

✔ A^3 - 23A - 40I = OA^3 - 23A - 40I = OA^3 - 23A - 40I = O

Example 19In a legislative assembly election, a political group hired a public relations firm to promote its candidate in three ways: telephone, house calls and letters. The cost per contact (in paise) is: telephone 40, house call 100, letter 50. The number of contacts of each type made in two cities X and Y is: X — 1000, 500, 5000; Y — 3000, 1000, 10000. Find the total amount spent by the group in the two cities X and Y.उदाहरण 19एक विधानसभा चुनाव में एक राजनीतिक दल ने अपने उम्मीदवार के प्रचार के लिए एक जनसंपर्क फ़र्म को तीन तरीकों के लिए रखा: टेलीफ़ोन, घर-घर संपर्क और पत्र। प्रति संपर्क लागत (पैसों में): टेलीफ़ोन 40, घर-घर संपर्क 100, पत्र 50। दो शहरों X और Y में संपर्कों की संख्या: X — 1000, 500, 5000; Y — 3000, 1000, 10000। दोनों शहरों X और Y में दल द्वारा खर्च की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए।Example 19Ek vidhan sabha election mein ek political group ne apne candidate ke prachar ke liye ek PR firm ko teen tareekon ke liye rakha: telephone, house calls aur letters. Per contact cost (paise mein): telephone 40, house call 100, letter 50. Do shehron X aur Y mein contacts: X — 1000, 500, 5000; Y — 3000, 1000, 10000. Dono shehron X aur Y mein group ka total kharch nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Contacts as a 2 \times 3 matrix (columns telephone, house call, letter); costs as a 3 \times 1 column in the same order.संपर्क 2 \times 3 आव्यूह में (स्तंभ टेलीफ़ोन, घर-घर, पत्र); लागत उसी क्रम में 3 \times 1 स्तंभ में।Contacts 2 \times 3 matrix mein (columns telephone, house call, letter); cost usi order mein 3 \times 1 column mein.
    B = \begin{bmatrix} 1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \leftarrow X \\ \leftarrow Y \end{matrix},\qquad A = \begin{bmatrix} 40 \\ 100 \\ 50 \end{bmatrix}
  2. Each city's row times the cost column = that city's total in paise.हर शहर की पंक्ति × लागत स्तंभ = उस शहर का कुल खर्च पैसों में।Har shehar ki row × cost column = us shehar ka total paise mein.
    BA = \begin{bmatrix} 40000 + 50000 + 250000 \\ 120000 + 100000 + 500000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 340000 \\ 720000 \end{bmatrix}

✔ City X: 340000 paise = ₹3400; city Y: 720000 paise = ₹7200.शहर X: 340000 पैसे = ₹3400; शहर Y: 720000 पैसे = ₹7200।City X: 340000 paise = ₹3400; city Y: 720000 paise = ₹7200.

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If A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}, find AB and BA. (Exercise 3.2, Q1)यदि A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} हैं, तो AB और BA ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 1)Agar A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} hain, to AB aur BA nikaliye. (Exercise 3.2, Q1)

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AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix},\ BA = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix},\ BA = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix},\ BA = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}

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If A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}, find A^2 - 5A + 6I. (Exercise 3.2, Q15)यदि A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} है, तो A^2 - 5A + 6I ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 15)Agar A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} hai, to A^2 - 5A + 6I nikaliye. (Exercise 3.2, Q15)

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\begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4 \end{bmatrix}

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For what value of k is A^2 = kA - 2I, where A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}? (Exercise 3.2, Q17)A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} के लिए k के किस मान पर A^2 = kA - 2I होगा? (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 17)A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} ke liye k ki kis value par A^2 = kA - 2I hoga? (Exercise 3.2, Q17)

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k = 1k = 1k = 1

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Find x and y if x\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}. (Exercise 3.2, Q11)यदि x\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix} है, तो x और y ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.2, प्रश्न 11)Agar x\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix} hai, to x aur y nikaliye. (Exercise 3.2, Q11)

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x = 3,\ y = -4x = 3,\ y = -4x = 3,\ y = -4

3.5Transpose of a Matrixआव्यूह का परिवर्तMatrix ka transpose

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeTranspose = flip the matrix over its diagonal: the first row becomes the first column, the second row becomes the second column, and so on. A 3 \times 2 matrix becomes 2 \times 3.परिवर्त = आव्यूह को उसके विकर्ण पर पलटना: पहली पंक्ति पहला स्तंभ बन जाती है, दूसरी पंक्ति दूसरा स्तंभ, इत्यादि। 3 \times 2 आव्यूह 2 \times 3 बन जाता है।Transpose = matrix ko uske diagonal par palatna: pehli row pehla column ban jaati hai, doosri row doosra column, aur aise hi. 3 \times 2 matrix 2 \times 3 ban jaata hai.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 3 — TransposeIf A = [a_{ij}] is an m \times n matrix, then the matrix obtained by interchanging the rows and columns of A is called the transpose of A. It is denoted by A' or A^T. If A = [a_{ij}]_{m \times n}, then A' = [a_{ji}]_{n \times m}.परिभाषा 3 — परिवर्तयदि A = [a_{ij}] एक m \times n आव्यूह है, तो A की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर बदलने से प्राप्त आव्यूह, A का परिवर्त कहलाता है। इसे A' या A^T से दर्शाते हैं। यदि A = [a_{ij}]_{m \times n}, तो A' = [a_{ji}]_{n \times m}।Definition 3 — TransposeAgar A = [a_{ij}] ek m \times n matrix hai, to A ki rows aur columns ko aapas mein badalne se mila matrix A ka transpose kehlata hai. Ise A' ya A^T se dikhate hain. Agar A = [a_{ij}]_{m \times n}, to A' = [a_{ji}]_{n \times m}.

For example, if A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ \sqrt3 & 1 \\ 0 & \tfrac{-1}{5} \end{bmatrix}_{3 \times 2}, then A' = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 0 \\ 5 & 1 & \tfrac{-1}{5} \end{bmatrix}_{2 \times 3}. Tap the picture to follow each row as it becomes a column.उदाहरण के लिए, यदि A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ \sqrt3 & 1 \\ 0 & \tfrac{-1}{5} \end{bmatrix}_{3 \times 2}, तो A' = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 0 \\ 5 & 1 & \tfrac{-1}{5} \end{bmatrix}_{2 \times 3}। चित्र पर टैप करके देखिए कि हर पंक्ति कैसे स्तंभ बनती है।Jaise, agar A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ \sqrt3 & 1 \\ 0 & \tfrac{-1}{5} \end{bmatrix}_{3 \times 2}, to A' = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 0 \\ 5 & 1 & \tfrac{-1}{5} \end{bmatrix}_{2 \times 3}. Picture par tap karke dekhiye ki har row kaise column banti hai.

Transpose: rows become columnsपरिवर्त: पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैंTranspose: rows columns ban jaati hainNCERT 3.5 · 8 tappable partsOpen

3.5.1Properties of transpose of the matricesआव्यूहों के परिवर्त के गुणधर्मTranspose ke properties

For any matrices A and B of suitable orders (stated without proof in the book, verified by examples):उपयुक्त कोटि के किन्हीं आव्यूहों A और B के लिए (पुस्तक में बिना उपपत्ति के, उदाहरणों से सत्यापित):Suitable order ke kinhi matrices A aur B ke liye (book mein bina proof ke, examples se verified):

(\text{i})\ (A')' = A \qquad (\text{ii})\ (kA)' = kA' \qquad (\text{iii})\ (A + B)' = A' + B' \qquad (\text{iv})\ (AB)' = B'A'
Properties of transpose (k any constant)परिवर्त के गुणधर्म (k कोई अचर)Transpose ke properties (k koi constant)
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(AB)' = B'A' — the order reverses. Writing (AB)' = A'B' is wrong (often it is not even defined, and even when it is, the order can differ: in Example 21, A' is 1 \times 3 and B' is 3 \times 1, so A'B' is 1 \times 1 while (AB)' is 3 \times 3). Think of socks and shoes: put on socks then shoes, take off shoes then socks.(AB)' = B'A' — क्रम उलट जाता है। (AB)' = A'B' लिखना गलत है (अक्सर यह परिभाषित भी नहीं होता, और परिभाषित हो तब भी कोटि अलग हो सकती है: उदाहरण 21 में A' की कोटि 1 \times 3 और B' की 3 \times 1 है, इसलिए A'B' की कोटि 1 \times 1 जबकि (AB)' की 3 \times 3)। मोज़े और जूते सोचिए: पहले मोज़े फिर जूते पहनते हैं, उतारते समय पहले जूते फिर मोज़े।(AB)' = B'A' — order ulta ho jaata hai. (AB)' = A'B' likhna galat hai (aksar ye defined bhi nahi hota, aur defined ho tab bhi order alag ho sakta hai: Example 21 mein A' 1 \times 3 aur B' 3 \times 1 hai, isliye A'B' 1 \times 1 jabki (AB)' 3 \times 3). Moze aur joote sochiye: pehle moze phir joote pehente hain, utaarte waqt pehle joote phir moze.
Example 20If A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}, verify that (i) (A')' = A, (ii) (A + B)' = A' + B', (iii) (kB)' = kB', where k is any constant.उदाहरण 20यदि A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} हैं, तो सत्यापित कीजिए कि (i) (A')' = A, (ii) (A + B)' = A' + B', (iii) (kB)' = kB', जहाँ k कोई अचर है।Example 20Agar A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} hain, to verify kijiye ki (i) (A')' = A, (ii) (A + B)' = A' + B', (iii) (kB)' = kB', jahan k koi constant hai.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. (i) Flip twice and you are back where you started.(i) दो बार पलटिए तो वापस वहीं आ जाते हैं।(i) Do baar palatiye to wapas wahin aa jaate hain.
    A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt3 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow (A')' = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} = A
  2. (ii) Left side: add first, then transpose.(ii) बायाँ पक्ष: पहले जोड़िए, फिर परिवर्त।(ii) Left side: pehle jodiye, phir transpose.
    A + B = \begin{bmatrix} 5 & \sqrt3 - 1 & 4 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow (A + B)' = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ \sqrt3 - 1 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}
  3. Right side: transpose first, then add — the same matrix.दायाँ पक्ष: पहले परिवर्त, फिर जोड़िए — वही आव्यूह।Right side: pehle transpose, phir jodiye — wahi matrix.
    A' + B' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt3 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ \sqrt3 - 1 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = (A + B)'
  4. (iii) Multiplying by k and flipping can be done in either order.(iii) k से गुणा और पलटना किसी भी क्रम में कर सकते हैं।(iii) k se multiply aur palatna kisi bhi order mein kar sakte hain.
    kB = \begin{bmatrix} 2k & -k & 2k \\ k & 2k & 4k \end{bmatrix} \Rightarrow (kB)' = \begin{bmatrix} 2k & k \\ -k & 2k \\ 2k & 4k \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = kB'

✔ All three properties hold: (A')' = A, (A + B)' = A' + B', (kB)' = kB'.तीनों गुणधर्म सत्य हैं: (A')' = A, (A + B)' = A' + B', (kB)' = kB'।Teeno properties sahi hain: (A')' = A, (A + B)' = A' + B', (kB)' = kB'.

Example 21If A = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix}, verify that (AB)' = B'A'.उदाहरण 21यदि A = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} हैं, तो सत्यापित कीजिए कि (AB)' = B'A'।Example 21Agar A = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} hain, to verify kijiye ki (AB)' = B'A'.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. 3 \times 1 times 1 \times 3 gives 3 \times 3: each entry is one product.3 \times 1 गुणा 1 \times 3 से 3 \times 3: हर प्रविष्टि एक गुणनफल है।3 \times 1 into 1 \times 3 se 3 \times 3: har entry ek product hai.
    AB = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 & 12 \\ 4 & 12 & -24 \\ 5 & 15 & -30 \end{bmatrix}
  2. Flip it.इसे पलटिए।Ise palatiye.
    (AB)' = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}
  3. B' is 3 \times 1 and A' is 1 \times 3 — note the reversed order.B' की कोटि 3 \times 1 और A' की 1 \times 3 — उलटा क्रम देखिए।B' 3 \times 1 aur A' 1 \times 3 hai — ulta order dekhiye.
    B'A' = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}

✔ (AB)' = B'A' — verified.(AB)' = B'A' — सत्यापित।(AB)' = B'A' — verified.

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If A' = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, find (A + 2B)'. (Exercise 3.3, Q4)यदि A' = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} है, तो (A + 2B)' ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.3, प्रश्न 4)Agar A' = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} hai, to (A + 2B)' nikaliye. (Exercise 3.3, Q4)

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\begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}

3.6Symmetric and Skew Symmetric Matricesसममित तथा विषम सममित आव्यूहSymmetric aur skew symmetric matrices

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 4 — Symmetric matrixA square matrix A = [a_{ij}] is said to be symmetric if A' = A, that is, [a_{ij}] = [a_{ji}] for all possible values of i and j.परिभाषा 4 — सममित आव्यूहवर्ग आव्यूह A = [a_{ij}] सममित कहलाता है यदि A' = A, अर्थात् i और j के सभी संभव मानों के लिए [a_{ij}] = [a_{ji}]।Definition 4 — Symmetric matrixSquare matrix A = [a_{ij}] symmetric kehlata hai agar A' = A, yaani i aur j ki saari possible values ke liye [a_{ij}] = [a_{ji}].

For example A = \begin{bmatrix} \sqrt3 & 2 & 3 \\ 2 & -1.5 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} is symmetric, since A' = A.उदाहरण के लिए A = \begin{bmatrix} \sqrt3 & 2 & 3 \\ 2 & -1.5 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} सममित है, क्योंकि A' = A।Jaise A = \begin{bmatrix} \sqrt3 & 2 & 3 \\ 2 & -1.5 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} symmetric hai, kyunki A' = A.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 5 — Skew symmetric matrixA square matrix A = [a_{ij}] is said to be a skew symmetric matrix if A' = -A, that is, a_{ji} = -a_{ij} for all possible values of i and j. Putting i = j gives a_{ii} = -a_{ii}, i.e. 2a_{ii} = 0: all the diagonal elements of a skew symmetric matrix are zero.परिभाषा 5 — विषम सममित आव्यूहवर्ग आव्यूह A = [a_{ij}] विषम सममित आव्यूह कहलाता है यदि A' = -A, अर्थात् i और j के सभी संभव मानों के लिए a_{ji} = -a_{ij}। i = j रखने पर a_{ii} = -a_{ii} अर्थात् 2a_{ii} = 0: विषम सममित आव्यूह के विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं।Definition 5 — Skew symmetric matrixSquare matrix A = [a_{ij}] skew symmetric kehlata hai agar A' = -A, yaani i aur j ki saari possible values ke liye a_{ji} = -a_{ij}. i = j rakhne par a_{ii} = -a_{ii} yaani 2a_{ii} = 0: skew symmetric matrix ke diagonal ke saare elements zero hote hain.

For example B = \begin{bmatrix} 0 & e & f \\ -e & 0 & g \\ -f & -g & 0 \end{bmatrix} is skew symmetric, as B' = -B.उदाहरण के लिए B = \begin{bmatrix} 0 & e & f \\ -e & 0 & g \\ -f & -g & 0 \end{bmatrix} विषम सममित है, क्योंकि B' = -B।Jaise B = \begin{bmatrix} 0 & e & f \\ -e & 0 & g \\ -f & -g & 0 \end{bmatrix} skew symmetric hai, kyunki B' = -B.

📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 1For any square matrix A with real number entries, A + A' is a symmetric matrix and A - A' is a skew symmetric matrix.प्रमेय 1वास्तविक संख्या प्रविष्टियों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए A + A' एक सममित आव्यूह है और A - A' एक विषम सममित आव्यूह है।Theorem 1Real number entries wale kisi bhi square matrix A ke liye A + A' ek symmetric matrix hai aur A - A' ek skew symmetric matrix hai.

Proof (i): use (X + Y)' = X' + Y', (A')' = A and commutativity of addition. So B is symmetric. B = A + A' \Rightarrow B' = (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A' = Bउपपत्ति (i): (X + Y)' = X' + Y', (A')' = A और योग की क्रमविनिमेयता लगाइए। अतः B सममित है। B = A + A' \Rightarrow B' = (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A' = BProof (i): (X + Y)' = X' + Y', (A')' = A aur addition ki commutativity lagaiye. Isliye B symmetric hai. B = A + A' \Rightarrow B' = (A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A' = B

Proof (ii): so C is skew symmetric. C = A - A' \Rightarrow C' = (A - A')' = A' - (A')' = A' - A = -(A - A') = -Cउपपत्ति (ii): अतः C विषम सममित है। C = A - A' \Rightarrow C' = (A - A')' = A' - (A')' = A' - A = -(A - A') = -CProof (ii): isliye C skew symmetric hai. C = A - A' \Rightarrow C' = (A - A')' = A' - (A')' = A' - A = -(A - A') = -C

Hence proved.अतः सिद्ध हुआ।Isliye proved.

📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 2Any square matrix can be expressed as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix: A = \tfrac12(A + A') + \tfrac12(A - A').प्रमेय 2किसी भी वर्ग आव्यूह को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: A = \tfrac12(A + A') + \tfrac12(A - A')।Theorem 2Kisi bhi square matrix ko ek symmetric aur ek skew symmetric matrix ke sum ki tarah likha ja sakta hai: A = \tfrac12(A + A') + \tfrac12(A - A').

The first part is symmetric (Theorem 1 and (kA)' = kA'). \left(\tfrac12(A + A')\right)' = \tfrac12(A' + A) = \tfrac12(A + A')पहला भाग सममित है (प्रमेय 1 और (kA)' = kA')। \left(\tfrac12(A + A')\right)' = \tfrac12(A' + A) = \tfrac12(A + A')Pehla part symmetric hai (Theorem 1 aur (kA)' = kA'). \left(\tfrac12(A + A')\right)' = \tfrac12(A' + A) = \tfrac12(A + A')

The second part is skew symmetric. And the two halves add back to A, because the A' terms cancel. \left(\tfrac12(A - A')\right)' = \tfrac12(A' - A) = -\tfrac12(A - A')दूसरा भाग विषम सममित है। और दोनों आधे भाग जुड़कर फिर A बनाते हैं, क्योंकि A' वाले पद कट जाते हैं। \left(\tfrac12(A - A')\right)' = \tfrac12(A' - A) = -\tfrac12(A - A')Doosra part skew symmetric hai. Aur dono half jud kar phir A banate hain, kyunki A' wale terms cancel ho jaate hain. \left(\tfrac12(A - A')\right)' = \tfrac12(A' - A) = -\tfrac12(A - A')

Hence proved.अतः सिद्ध हुआ।Isliye proved.

Example 22Express the matrix B = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix.उदाहरण 22आव्यूह B = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।Example 22Matrix B = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} ko ek symmetric aur ek skew symmetric matrix ke sum ki tarah likhiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Flip B over its diagonal.B को विकर्ण पर पलटिए।B ko diagonal par palatiye.
    B' = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3 \end{bmatrix}
  2. Symmetric part: P' = P (check: the -\tfrac32s and the 1s mirror each other).सममित भाग: P' = P (जाँच: -\tfrac32 और 1 एक-दूसरे के दर्पण में हैं)।Symmetric part: P' = P (check: -\tfrac32 aur 1 ek-doosre ke mirror mein hain).
    P = \tfrac12(B + B') = \tfrac12\begin{bmatrix} 4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -\tfrac32 & -\tfrac32 \\ -\tfrac32 & 3 & 1 \\ -\tfrac32 & 1 & -3 \end{bmatrix}
  3. Skew symmetric part: zeros on the diagonal and Q' = -Q.विषम सममित भाग: विकर्ण पर शून्य और Q' = -Q।Skew symmetric part: diagonal par zero aur Q' = -Q.
    Q = \tfrac12(B - B') = \tfrac12\begin{bmatrix} 0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac12 & -\tfrac52 \\ \tfrac12 & 0 & 3 \\ \tfrac52 & -3 & 0 \end{bmatrix}
  4. Add to check: e.g. -\tfrac32 - \tfrac12 = -2 and -\tfrac32 + \tfrac12 = -1.जोड़कर जाँचिए: जैसे -\tfrac32 - \tfrac12 = -2 और -\tfrac32 + \tfrac12 = -1।Jodkar check kijiye: jaise -\tfrac32 - \tfrac12 = -2 aur -\tfrac32 + \tfrac12 = -1.
    P + Q = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} = B

✔ B = P + Q with P = \begin{bmatrix} 2 & -\tfrac32 & -\tfrac32 \\ -\tfrac32 & 3 & 1 \\ -\tfrac32 & 1 & -3 \end{bmatrix} (symmetric) and Q = \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac12 & -\tfrac52 \\ \tfrac12 & 0 & 3 \\ \tfrac52 & -3 & 0 \end{bmatrix} (skew symmetric).B = P + Q, जहाँ P = \begin{bmatrix} 2 & -\tfrac32 & -\tfrac32 \\ -\tfrac32 & 3 & 1 \\ -\tfrac32 & 1 & -3 \end{bmatrix} (सममित) और Q = \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac12 & -\tfrac52 \\ \tfrac12 & 0 & 3 \\ \tfrac52 & -3 & 0 \end{bmatrix} (विषम सममित)।B = P + Q, jahan P = \begin{bmatrix} 2 & -\tfrac32 & -\tfrac32 \\ -\tfrac32 & 3 & 1 \\ -\tfrac32 & 1 & -3 \end{bmatrix} (symmetric) aur Q = \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac12 & -\tfrac52 \\ \tfrac12 & 0 & 3 \\ \tfrac52 & -3 & 0 \end{bmatrix} (skew symmetric).

Loading experiment…
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxThe split in Theorem 2 is unique: if A = P + Q with P symmetric and Q skew symmetric, then A' = P - Q, so P = \tfrac12(A + A') and Q = \tfrac12(A - A') are forced. Also: a matrix that is both symmetric and skew symmetric must be the zero matrix (A = A' = -A \Rightarrow A = O) (Miscellaneous Exercise, Q10: answer (B)). And a matrix that is already symmetric has skew part O — see Exercise 3.3, Q10 (ii).प्रमेय 2 का विभाजन अद्वितीय है: यदि A = P + Q, जहाँ P सममित और Q विषम सममित है, तो A' = P - Q, अतः P = \tfrac12(A + A') और Q = \tfrac12(A - A') ही होंगे। साथ ही: जो आव्यूह सममित भी हो और विषम सममित भी, वह शून्य आव्यूह ही होगा (A = A' = -A \Rightarrow A = O) (विविध प्रश्नावली, प्रश्न 10: उत्तर (B))। और जो आव्यूह पहले से सममित है, उसका विषम सममित भाग O होता है — प्रश्नावली 3.3, प्रश्न 10 (ii) देखिए।Theorem 2 ka split unique hai: agar A = P + Q, jahan P symmetric aur Q skew symmetric hai, to A' = P - Q, isliye P = \tfrac12(A + A') aur Q = \tfrac12(A - A') hi honge. Saath hi: jo matrix symmetric bhi ho aur skew symmetric bhi, wo zero matrix hi hoga (A = A' = -A \Rightarrow A = O) (Miscellaneous Exercise, Q10: answer (B)). Aur jo matrix pehle se symmetric hai, uska skew part O hota hai — Exercise 3.3, Q10 (ii) dekhiye.
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainSymmetric and skew symmetric are defined only for square matrices. And do not forget the \tfrac12: A + A' alone is symmetric, but it is not the symmetric part of A — the parts are \tfrac12(A + A') and \tfrac12(A - A').सममित और विषम सममित केवल वर्ग आव्यूहों के लिए परिभाषित हैं। और \tfrac12 मत भूलिए: अकेला A + A' सममित है, पर A का सममित भाग \tfrac12(A + A') है और विषम सममित भाग \tfrac12(A - A')।Symmetric aur skew symmetric sirf square matrices ke liye defined hain. Aur \tfrac12 mat bhooliye: akela A + A' symmetric hai, par A ka symmetric part \tfrac12(A + A') hai aur skew part \tfrac12(A - A').
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For A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}, find A + A' and A - A'. (Exercise 3.3, Q8)A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} के लिए A + A' और A - A' ज्ञात कीजिए। (प्रश्नावली 3.3, प्रश्न 8)A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} ke liye A + A' aur A - A' nikaliye. (Exercise 3.3, Q8)

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A + A' = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} (symmetric), A - A' = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} (skew symmetric)A + A' = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} (सममित), A - A' = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} (विषम सममित)A + A' = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} (symmetric), A - A' = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} (skew symmetric)

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Express \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix. (Exercise 3.3, Q10 (i))\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखिए। (प्रश्नावली 3.3, प्रश्न 10 (i))\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} ko ek symmetric aur ek skew symmetric matrix ke sum ki tarah likhiye. (Exercise 3.3, Q10 (i))

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\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}

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Express \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix. (Exercise 3.3, Q10 (iv))\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखिए। (प्रश्नावली 3.3, प्रश्न 10 (iv))\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} ko ek symmetric aur ek skew symmetric matrix ke sum ki tarah likhiye. (Exercise 3.3, Q10 (iv))

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\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}

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If A and B are symmetric matrices of the same order, then AB - BA is a (A) skew symmetric matrix (B) symmetric matrix (C) zero matrix (D) identity matrix. (Exercise 3.3, Q11)यदि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो AB - BA एक (A) विषम सममित आव्यूह (B) सममित आव्यूह (C) शून्य आव्यूह (D) तत्समक आव्यूह है। (प्रश्नावली 3.3, प्रश्न 11)Agar A aur B same order ke symmetric matrices hain, to AB - BA ek (A) skew symmetric matrix (B) symmetric matrix (C) zero matrix (D) identity matrix hai. (Exercise 3.3, Q11)

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(A) skew symmetric — because (AB - BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).(A) विषम सममित — क्योंकि (AB - BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA)।(A) skew symmetric — kyunki (AB - BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA).

3.7Invertible Matricesव्युत्क्रमणीय आव्यूहInvertible matrices

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeFor numbers, 5 \times \tfrac15 = 1: \tfrac15 "undoes" 5. For square matrices the role of 1 is played by I. If some B undoes A from both sides (AB = BA = I), we call B the inverse of A.संख्याओं में 5 \times \tfrac15 = 1: \tfrac15, 5 को "उलट" देता है। वर्ग आव्यूहों में 1 की भूमिका I निभाता है। यदि कोई B, A को दोनों ओर से उलट दे (AB = BA = I), तो B को A का व्युत्क्रम कहते हैं।Numbers mein 5 \times \tfrac15 = 1: \tfrac15, 5 ko "ulta" kar deta hai. Square matrices mein 1 ka role I nibhata hai. Agar koi B, A ko dono taraf se ulta kar de (AB = BA = I), to B ko A ka inverse kehte hain.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 6 — Invertible matrixIf A is a square matrix of order m, and if there exists another square matrix B of the same order m, such that AB = BA = I, then B is called the inverse matrix of A and it is denoted by A^{-1}. In that case A is said to be invertible.परिभाषा 6 — व्युत्क्रमणीय आव्यूहयदि A कोटि m का वर्ग आव्यूह है, और यदि उसी कोटि m का एक अन्य वर्ग आव्यूह B ऐसा है कि AB = BA = I, तो B को A का व्युत्क्रम आव्यूह कहते हैं और इसे A^{-1} से दर्शाते हैं। इस स्थिति में A व्युत्क्रमणीय कहलाता है।Definition 6 — Invertible matrixAgar A order m ka square matrix hai, aur usi order m ka ek aur square matrix B aisa hai ki AB = BA = I, to B ko A ka inverse matrix kehte hain aur ise A^{-1} se dikhate hain. Is case mein A invertible kehlata hai.

For example, let A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}. Then AB = \begin{bmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, and also BA = I. So B is the inverse of A — and A is the inverse of B.उदाहरण के लिए, मान लीजिए A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}। तब AB = \begin{bmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, और BA = I भी। अतः B, A का व्युत्क्रम है — और A, B का व्युत्क्रम है।Jaise, maan lijiye A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}. Tab AB = \begin{bmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, aur BA = I bhi. Isliye B, A ka inverse hai — aur A, B ka inverse hai.

Note(1) A rectangular matrix does not possess an inverse matrix, since for products BA and AB to be defined and to be equal, it is necessary that A and B are square matrices of the same order. (2) If B is the inverse of A, then A is also the inverse of B.नोट(1) आयताकार आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह नहीं होता, क्योंकि गुणनफल BA और AB के परिभाषित और बराबर होने के लिए आवश्यक है कि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हों। (2) यदि B, A का व्युत्क्रम है, तो A भी B का व्युत्क्रम है।Note(1) Rectangular matrix ka inverse matrix nahi hota, kyunki products BA aur AB ke defined aur barabar hone ke liye zaroori hai ki A aur B same order ke square matrices hon. (2) Agar B, A ka inverse hai, to A bhi B ka inverse hai.
📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 3 (Uniqueness of inverse)Inverse of a square matrix, if it exists, is unique.प्रमेय 3 (व्युत्क्रम की अद्वितीयता)किसी वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम, यदि उसका अस्तित्व है, अद्वितीय होता है।Theorem 3 (Inverse ki uniqueness)Kisi square matrix ka inverse, agar exist karta hai, to unique hota hai.

Proof: suppose B and C are both inverses of A. \text{Let } AB = BA = I \text{ and } AC = CA = Iउपपत्ति: मान लीजिए B और C दोनों A के व्युत्क्रम हैं। \text{Let } AB = BA = I \text{ and } AC = CA = IProof: maan lijiye B aur C dono A ke inverse hain. \text{Let } AB = BA = I \text{ and } AC = CA = I

Use I, associativity, and the two given facts. So the inverse is unique. B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = CI, साहचर्यता और दिए गए दोनों तथ्य लगाइए। अतः व्युत्क्रम अद्वितीय है। B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = CI, associativity aur diye gaye dono facts lagaiye. Isliye inverse unique hai. B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

Hence proved.अतः सिद्ध हुआ।Isliye proved.

📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 4If A and B are invertible matrices of the same order, then (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.प्रमेय 4यदि A और B समान कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}।Theorem 4Agar A aur B same order ke invertible matrices hain, to (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

Proof: start from the definition and pre-multiply both sides by A^{-1}. (AB)(AB)^{-1} = I \Rightarrow A^{-1}(AB)(AB)^{-1} = A^{-1}Iउपपत्ति: परिभाषा से शुरू करके दोनों पक्षों को बाईं ओर से A^{-1} से गुणा कीजिए। (AB)(AB)^{-1} = I \Rightarrow A^{-1}(AB)(AB)^{-1} = A^{-1}IProof: definition se shuru karke dono sides ko left se A^{-1} se multiply kijiye. (AB)(AB)^{-1} = I \Rightarrow A^{-1}(AB)(AB)^{-1} = A^{-1}I

Group with associativity; A^{-1}A = I. (A^{-1}A)B(AB)^{-1} = A^{-1} \Rightarrow IB(AB)^{-1} = A^{-1} \Rightarrow B(AB)^{-1} = A^{-1}साहचर्यता से समूह बनाइए; A^{-1}A = I। (A^{-1}A)B(AB)^{-1} = A^{-1} \Rightarrow IB(AB)^{-1} = A^{-1} \Rightarrow B(AB)^{-1} = A^{-1}Associativity se group banaiye; A^{-1}A = I. (A^{-1}A)B(AB)^{-1} = A^{-1} \Rightarrow IB(AB)^{-1} = A^{-1} \Rightarrow B(AB)^{-1} = A^{-1}

Pre-multiply by B^{-1}. The order reverses, just like transpose. B^{-1}B(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}बाईं ओर से B^{-1} से गुणा कीजिए। क्रम उलट जाता है, ठीक परिवर्त की तरह। B^{-1}B(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}Left se B^{-1} se multiply kijiye. Order ulta ho jaata hai, bilkul transpose ki tarah. B^{-1}B(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Hence proved.अतः सिद्ध हुआ।Isliye proved.

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxTwo "reverse order" laws to keep together: (AB)' = B'A' and (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Also, to check that a given B is A^{-1} you only need to multiply: if AB = BA = I, done. (Finding A^{-1} for a given matrix is done in the next chapter, Determinants.)"उलटे क्रम" के दो नियम साथ याद रखिए: (AB)' = B'A' और (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}। साथ ही, यह जाँचने के लिए कि दिया गया B, A^{-1} है, बस गुणा कीजिए: यदि AB = BA = I, तो हो गया। (किसी आव्यूह का A^{-1} निकालना अगले अध्याय, सारणिक, में है।)"Ulte order" ke do rules saath yaad rakhiye: (AB)' = B'A' aur (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Saath hi, ye check karne ke liye ki diya gaya B, A^{-1} hai, bas multiply kijiye: agar AB = BA = I, to ho gaya. (Kisi matrix ka A^{-1} nikalna agle chapter, Determinants, mein hai.)
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Matrices A and B will be inverse of each other only if (A) AB = BA (B) AB = BA = 0 (C) AB = 0,\ BA = I (D) AB = BA = I. (Exercise 3.4, Q1)आव्यूह A और B एक-दूसरे के व्युत्क्रम तभी होंगे जब (A) AB = BA (B) AB = BA = 0 (C) AB = 0,\ BA = I (D) AB = BA = I। (प्रश्नावली 3.4, प्रश्न 1)Matrices A aur B ek-doosre ke inverse tabhi honge jab (A) AB = BA (B) AB = BA = 0 (C) AB = 0,\ BA = I (D) AB = BA = I. (Exercise 3.4, Q1)

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(D) AB = BA = I(D) AB = BA = I(D) AB = BA = I

Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous examples

Example 23If A = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, then prove that A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix},\ n \in \mathbb{N}.उदाहरण 23यदि A = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} है, तो सिद्ध कीजिए कि A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix},\ n \in \mathbb{N}।Example 23Agar A = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} hai, to prove kijiye ki A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix},\ n \in \mathbb{N}.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Use the principle of mathematical induction. Base case n = 1 is just A itself.गणितीय आगमन का सिद्धांत लगाइए। आधार n = 1 बस A ही है।Mathematical induction ka principle lagaiye. Base case n = 1 bas A hi hai.
    P(n): A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix};\quad P(1): A^1 = A \text{ is true}
  2. Suppose the result is true for n = k.मान लीजिए परिणाम n = k के लिए सत्य है।Maan lijiye result n = k ke liye sahi hai.
    \text{Assume } A^k = \begin{bmatrix} \cos k\theta & \sin k\theta \\ -\sin k\theta & \cos k\theta \end{bmatrix}
  3. Multiply A^k by A, row by column.A^k को A से गुणा कीजिए, पंक्ति × स्तंभ।A^k ko A se multiply kijiye, row × column.
    A^{k+1} = A^k A = \begin{bmatrix} \cos k\theta\cos\theta - \sin k\theta\sin\theta & \cos k\theta\sin\theta + \sin k\theta\cos\theta \\ -\sin k\theta\cos\theta - \cos k\theta\sin\theta & -\sin k\theta\sin\theta + \cos k\theta\cos\theta \end{bmatrix}
  4. Use \cos(x+y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y and \sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y. So P(k+1) is true.\cos(x+y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y और \sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y लगाइए। अतः P(k+1) सत्य है।\cos(x+y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y aur \sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y lagaiye. Isliye P(k+1) sahi hai.
    A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos(k+1)\theta & \sin(k+1)\theta \\ -\sin(k+1)\theta & \cos(k+1)\theta \end{bmatrix}

✔ By the principle of mathematical induction, A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix} for all natural numbers n.गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}।Mathematical induction ke principle se saari natural numbers n ke liye A^n = \begin{bmatrix} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}.

Example 24If A and B are symmetric matrices of the same order, then show that AB is symmetric if and only if A and B commute, that is AB = BA.उदाहरण 24यदि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो दिखाइए कि AB सममित है यदि और केवल यदि A और B क्रमविनिमेय हैं, अर्थात् AB = BA।Example 24Agar A aur B same order ke symmetric matrices hain, to dikhaiye ki AB symmetric hai agar aur sirf agar A aur B commute karte hain, yaani AB = BA.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Given: both are symmetric.दिया है: दोनों सममित हैं।Diya hai: dono symmetric hain.
    A' = A,\quad B' = B
  2. One direction: use the reverse-order law of transpose.एक दिशा: परिवर्त का उलटे क्रम वाला नियम लगाइए।Ek direction: transpose ka ulte order wala rule lagaiye.
    AB \text{ symmetric} \Rightarrow AB = (AB)' = B'A' = BA
  3. Other direction: so AB is symmetric.दूसरी दिशा: अतः AB सममित है।Doosri direction: isliye AB symmetric hai.
    AB = BA \Rightarrow (AB)' = B'A' = BA = AB

✔ AB is symmetric if and only if AB = BA.AB सममित है यदि और केवल यदि AB = BA।AB symmetric hai agar aur sirf agar AB = BA.

Example 25Let A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{bmatrix}. Find a matrix D such that CD - AB = O.उदाहरण 25मान लीजिए A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{bmatrix} हैं। एक आव्यूह D ज्ञात कीजिए कि CD - AB = O।Example 25Maan lijiye A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix},\ C = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{bmatrix} hain. Ek matrix D nikaliye jisse CD - AB = O.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. A, B, C are 2 \times 2, so D must be 2 \times 2 for CD - AB to be defined.A, B, C की कोटि 2 \times 2 है, इसलिए CD - AB परिभाषित होने के लिए D भी 2 \times 2 होना चाहिए।A, B, C 2 \times 2 hain, isliye CD - AB defined hone ke liye D bhi 2 \times 2 hona chahiye.
    D = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
  2. Compute both products.दोनों गुणनफल निकालिए।Dono products nikaliye.
    CD = \begin{bmatrix} 2a+5c & 2b+5d \\ 3a+8c & 3b+8d \end{bmatrix},\quad AB = \begin{bmatrix} 10-7 & 4-4 \\ 15+28 & 6+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 43 & 22 \end{bmatrix}
  3. CD - AB = O means CD = AB: equate corresponding elements.CD - AB = O का अर्थ CD = AB: संगत अवयव बराबर रखिए।CD - AB = O ka matlab CD = AB: corresponding elements barabar rakhiye.
    2a + 5c = 3,\ \ 3a + 8c = 43;\qquad 2b + 5d = 0,\ \ 3b + 8d = 22
  4. Solve each pair: e.g. 3(2a + 5c) - 2(3a + 8c) = 9 - 86 \Rightarrow -c = -77; and 3(2b + 5d) - 2(3b + 8d) = 0 - 44 \Rightarrow -d = -44.हर युग्म हल कीजिए: जैसे 3(2a + 5c) - 2(3a + 8c) = 9 - 86 \Rightarrow -c = -77; और 3(2b + 5d) - 2(3b + 8d) = 0 - 44 \Rightarrow -d = -44।Har pair solve kijiye: jaise 3(2a + 5c) - 2(3a + 8c) = 9 - 86 \Rightarrow -c = -77; aur 3(2b + 5d) - 2(3b + 8d) = 0 - 44 \Rightarrow -d = -44.
    c = 77,\ a = -191;\qquad d = 44,\ b = -110

✔ D = \begin{bmatrix} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{bmatrix}D = \begin{bmatrix} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{bmatrix}D = \begin{bmatrix} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{bmatrix}

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Find x, if \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} = O. (Miscellaneous Exercise, Q4)यदि \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} = O है, तो x ज्ञात कीजिए। (विविध प्रश्नावली, प्रश्न 4)Agar \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} = O hai, to x nikaliye. (Miscellaneous Exercise, Q4)

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x = -1x = -1x = -1

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If A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, show that A^2 - 5A + 7I = O. (Miscellaneous Exercise, Q5)यदि A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} है, तो दिखाइए कि A^2 - 5A + 7I = O। (विविध प्रश्नावली, प्रश्न 5)Agar A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} hai, to dikhaiye ki A^2 - 5A + 7I = O. (Miscellaneous Exercise, Q5)

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A^2 = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}, so A^2 - 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8-15+7 & 5-5 \\ -5+5 & 3-10+7 \end{bmatrix} = O.A^2 = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}, अतः A^2 - 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8-15+7 & 5-5 \\ -5+5 & 3-10+7 \end{bmatrix} = O।A^2 = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}, isliye A^2 - 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8-15+7 & 5-5 \\ -5+5 & 3-10+7 \end{bmatrix} = O.

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Find the matrix X so that X\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. (Miscellaneous Exercise, Q8)आव्यूह X ज्ञात कीजिए कि X\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}। (विविध प्रश्नावली, प्रश्न 8)Matrix X nikaliye jisse X\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. (Miscellaneous Exercise, Q8)

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X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} (X must be 2 \times 2; let X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} and compare entries.)X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} (X की कोटि 2 \times 2 होनी चाहिए; X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} मानकर प्रविष्टियाँ मिलाइए।)X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} (X 2 \times 2 hona chahiye; X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} maankar entries milaiye.)

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A manufacturer produces three products x, y, z sold in two markets. Annual sales: market I — 10000, 2000, 18000; market II — 6000, 20000, 8000. Unit sale prices are ₹2.50, ₹1.50, ₹1.00 and unit costs ₹2.00, ₹1.00, ₹0.50. Find (a) the total revenue and (b) the gross profit in each market. (Miscellaneous Exercise, Q7)एक निर्माता तीन उत्पाद x, y, z बनाता है जो दो बाज़ारों में बिकते हैं। वार्षिक बिक्री: बाज़ार I — 10000, 2000, 18000; बाज़ार II — 6000, 20000, 8000। इकाई विक्रय मूल्य ₹2.50, ₹1.50, ₹1.00 और इकाई लागत ₹2.00, ₹1.00, ₹0.50 है। हर बाज़ार में (a) कुल आय और (b) सकल लाभ ज्ञात कीजिए। (विविध प्रश्नावली, प्रश्न 7)Ek manufacturer teen products x, y, z banata hai jo do markets mein bikte hain. Annual sale: market I — 10000, 2000, 18000; market II — 6000, 20000, 8000. Unit sale price ₹2.50, ₹1.50, ₹1.00 aur unit cost ₹2.00, ₹1.00, ₹0.50 hai. Har market mein (a) total revenue aur (b) gross profit nikaliye. (Miscellaneous Exercise, Q7)

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(a) Market I ₹46000, market II ₹53000. (b) Costs are ₹31000 and ₹36000, so gross profit ₹15000 and ₹17000.(a) बाज़ार I ₹46000, बाज़ार II ₹53000। (b) लागत ₹31000 और ₹36000, अतः सकल लाभ ₹15000 और ₹17000।(a) Market I ₹46000, market II ₹53000. (b) Cost ₹31000 aur ₹36000, isliye gross profit ₹15000 aur ₹17000.

Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet

A = [a_{ij}]_{m \times n}:\ m \text{ rows},\ n \text{ columns},\ mn \text{ elements}
Order of a matrixआव्यूह की कोटिMatrix ka order
A = B \iff \text{same order and } a_{ij} = b_{ij}\ \forall\, i, j
EqualityसमानताEquality
A + B = [a_{ij} + b_{ij}],\quad kA = [k\,a_{ij}],\quad -A = (-1)A,\quad A - B = A + (-1)B
Addition, scalar multiple, negative, difference (same order)योग, अदिश गुणज, ऋण, अंतर (समान कोटि)Addition, scalar multiple, negative, difference (same order)
A + B = B + A,\ (A + B) + C = A + (B + C),\ k(A + B) = kA + kB,\ (k + l)A = kA + lA
Laws of addition and scalar multiplicationयोग और अदिश गुणन के नियमAddition aur scalar multiplication ke rules
A_{m \times n} B_{n \times p} = C_{m \times p},\quad c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}
Product: row of A · column of Bगुणनफल: A की पंक्ति · B का स्तंभProduct: A ki row · B ka column
A(BC) = (AB)C,\ A(B + C) = AB + AC,\ (A + B)C = AC + BC,\ IA = AI = A
Laws of multiplication (but in general AB \ne BA)गुणन के नियम (पर व्यापक रूप में AB \ne BA)Multiplication ke rules (par general mein AB \ne BA)
A = [a_{ij}]_{m \times n} \Rightarrow A' = [a_{ji}]_{n \times m}
Transposeपरिवर्तTranspose
(A')' = A,\quad (kA)' = kA',\quad (A + B)' = A' + B',\quad (AB)' = B'A'
Properties of transposeपरिवर्त के गुणधर्मTranspose ke properties
A' = A \ (\text{symmetric}),\qquad A' = -A \ (\text{skew symmetric};\ a_{ii} = 0)
Symmetric and skew symmetricसममित और विषम सममितSymmetric aur skew symmetric
A = \tfrac12(A + A') + \tfrac12(A - A')
Any square matrix = symmetric part + skew symmetric partकोई भी वर्ग आव्यूह = सममित भाग + विषम सममित भागKoi bhi square matrix = symmetric part + skew symmetric part
AB = BA = I \Rightarrow B = A^{-1};\qquad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
Inverse (unique, square matrices only)व्युत्क्रम (अद्वितीय, केवल वर्ग आव्यूह)Inverse (unique, sirf square matrices)

Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

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