CLASS 12 MATHS · CHAPTER 2

Inverse Trigonometric Functionsप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनInverse Trigonometric Functions

Why trig functions need a restricted domain, the principal value branches of sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, cosec⁻¹, sec⁻¹, cot⁻¹ with their graphs, principal values and properties — NCERT Chapter 2, in easy words.त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत को सीमित क्यों करते हैं, sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, cosec⁻¹, sec⁻¹, cot⁻¹ की मुख्य मान शाखाएँ और उनके ग्राफ़, मुख्य मान और गुणधर्म — NCERT अध्याय 2, आसान शब्दों में।Trig functions ka domain restrict kyon karte hain, sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, cosec⁻¹, sec⁻¹, cot⁻¹ ki principal value branches aur unke graphs, principal values aur properties — NCERT Chapter 2, aasaan shabdon mein.

In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein

Notesनोट्सNotesEasy words, step by stepआसान शब्दों में, क्रम सेAasaan shabdon mein, step by step Solved examplesहल किए गए उदाहरणSolved examples6 NCERT examples, every step6 NCERT उदाहरण, हर चरण6 NCERT examples, har step Picturesचित्रPicturesTap a label, it tells its nameलेबल पर टैप कीजिए, नाम बताएगाLabel par tap kijiye, naam batayega Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiyeMove, drag and seeखिसकाइए, खींचिए और देखिएKhiskaiye, kheenchiye aur dekhiye Quizक्विज़Quiz10 quick questions10 छोटे प्रश्न10 chhote sawaal

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Why restrict the domain? sin x is not one-oneप्रांत सीमित क्यों? sin x एकैकी नहीं हैDomain restrict kyon? sin x one-one nahi haiSection 2.2

Branches of sin⁻¹: the dark one is the principal value branchsin⁻¹ की शाखाएँ: गहरी शाखा मुख्य मान शाखा हैsin⁻¹ ki branches: dark wali principal value branch haiFig 2.1 (ii)

y = sin x on [−π/2, π/2] and its mirror y = sin⁻¹x[−π/2, π/2] पर y = sin x और उसका प्रतिबिंब y = sin⁻¹x[−π/2, π/2] par y = sin x aur uska mirror y = sin⁻¹xFig 2.1 (iii)

y = cos x on [0, π] and its mirror y = cos⁻¹x[0, π] पर y = cos x और उसका प्रतिबिंब y = cos⁻¹x[0, π] par y = cos x aur uska mirror y = cos⁻¹xFig 2.2

y = cosec x on [−π/2, π/2] − {0} and y = cosec⁻¹x[−π/2, π/2] − {0} पर y = cosec x और y = cosec⁻¹x[−π/2, π/2] − {0} par y = cosec x aur y = cosec⁻¹xFig 2.3

y = sec x on [0, π] − {π/2} and y = sec⁻¹x[0, π] − {π/2} पर y = sec x और y = sec⁻¹x[0, π] − {π/2} par y = sec x aur y = sec⁻¹xFig 2.4

y = tan x on (−π/2, π/2) and y = tan⁻¹x(−π/2, π/2) पर y = tan x और y = tan⁻¹x(−π/2, π/2) par y = tan x aur y = tan⁻¹xFig 2.5

y = cot x on (0, π) and y = cot⁻¹x(0, π) पर y = cot x और y = cot⁻¹x(0, π) par y = cot x aur y = cot⁻¹xFig 2.6

Domain and range of the six inverse trig functions (principal value branches)छह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर (मुख्य मान शाखाएँ)Chhah inverse trig functions ke domain aur range (principal value branches)Summary table

Unit circle: why sin⁻¹(½) = π/6 and not 5π/6इकाई वृत्त: sin⁻¹(½) = π/6 क्यों, 5π/6 क्यों नहींUnit circle: sin⁻¹(½) = π/6 kyon, 5π/6 kyon nahiSection 2.2

Unit circle: cos⁻¹(−½) = 2π/3इकाई वृत्त: cos⁻¹(−½) = 2π/3Unit circle: cos⁻¹(−½) = 2π/3Exercise 2.1

Graph of y = sin⁻¹(sin x): a zigzagy = sin⁻¹(sin x) का ग्राफ़: टेढ़ी-मेढ़ी रेखाy = sin⁻¹(sin x) ka graph: zigzagSection 2.3

sin⁻¹(sin 3π/5) = 2π/5, seen on the unit circlesin⁻¹(sin 3π/5) = 2π/5, इकाई वृत्त परsin⁻¹(sin 3π/5) = 2π/5, unit circle parExample 6

Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye

Branch explorerशाखा अन्वेषकBranch explorerSee each trig graph and its mirror in y = xहर त्रिकोणमितीय ग्राफ़ और y = x में उसका प्रतिबिंब देखिएHar trig graph aur y = x mein uska mirror dekhiye Principal value finderमुख्य मान खोजकPrincipal value finderWhy sin⁻¹(sin 3π/4) = π/4, on a circlesin⁻¹(sin 3π/4) = π/4 क्यों, वृत्त परsin⁻¹(sin 3π/4) = π/4 kyon, circle par Zigzag graphटेढ़ी-मेढ़ी रेखाZigzag graphWhen does sin⁻¹(sin x) equal x?sin⁻¹(sin x) कब x के बराबर है?sin⁻¹(sin x) kab x ke barabar hai?

All sections (NCERT order)सभी खंड (NCERT क्रम)Saare sections (NCERT order)

2.1IntroductionपरिचयIntroduction
2.2Basic Conceptsआधारभूत संकल्पनाएँBasic Concepts
The inverse sine function \sin^{-1}प्रतिलोम sine फलन \sin^{-1}Inverse sine function \sin^{-1}
The inverse cosine function \cos^{-1}प्रतिलोम cosine फलन \cos^{-1}Inverse cosine function \cos^{-1}
\operatorname{cosec}^{-1} and \sec^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} और \sec^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} aur \sec^{-1}
\tan^{-1} and \cot^{-1}\tan^{-1} और \cot^{-1}\tan^{-1} aur \cot^{-1}
The table of principal value branchesमुख्य मान शाखाओं की सारणीPrincipal value branches ki table
2.3Properties of Inverse Trigonometric Functionsप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्मInverse Trigonometric Functions ki properties
Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples
Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet
Quick revisionझटपट दोहरावQuick revision
Quizप्रश्नोत्तरीQuiz

2.1IntroductionपरिचयIntroduction

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeYou know that \sin 30^\circ = \frac12. This chapter asks the question the other way round: which angle has sine equal to \frac12? The answer is written \sin^{-1}\frac12 (read "sine inverse half"). The only difficulty: many angles have sine \frac12 (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, \dots), so we must agree on one of them. That agreement is the whole chapter.आप जानते हैं कि \sin 30^\circ = \frac12। यह अध्याय प्रश्न को उलटा पूछता है: किस कोण का sine \frac12 है? उत्तर को \sin^{-1}\frac12 लिखते हैं ("साइन इनवर्स आधा")। कठिनाई बस इतनी है: बहुत से कोणों का sine \frac12 है (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, \dots), इसलिए हमें उनमें से एक पर सहमत होना पड़ता है। यही सहमति पूरा अध्याय है।Aap jaante hain ki \sin 30^\circ = \frac12. Ye chapter sawaal ulta poochta hai: kis angle ka sine \frac12 hai? Jawab ko \sin^{-1}\frac12 likhte hain ("sine inverse half"). Mushkil bas itni hai: bahut se angles ka sine \frac12 hai (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, \dots), isliye hamein unmein se ek par agree karna padta hai. Yahi agreement poora chapter hai.

In Chapter 1 we studied that the inverse of a function f, denoted by f^{-1}, exists if f is one-one and onto. Trigonometric functions are not one-one and onto over their natural domains and ranges, so their inverses do not exist there. In this chapter we restrict the domains and ranges of trigonometric functions so that their inverses exist, and we look at their graphs. Some elementary properties are also discussed.अध्याय 1 में हमने पढ़ा कि किसी फलन f का प्रतिलोम f^{-1} तभी होता है जब f एकैकी तथा आच्छादक हो। त्रिकोणमितीय फलन अपने प्राकृतिक प्रांत और परिसर पर एकैकी तथा आच्छादक नहीं होते, इसलिए वहाँ उनके प्रतिलोम नहीं होते। इस अध्याय में हम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर को सीमित करते हैं ताकि उनके प्रतिलोम बन सकें, और उनके ग्राफ़ देखते हैं। कुछ प्रारंभिक गुणधर्मों की भी चर्चा की गई है।Chapter 1 mein humne padha ki kisi function f ka inverse f^{-1} tabhi hota hai jab f one-one aur onto ho. Trigonometric functions apne natural domain aur range par one-one aur onto nahi hote, isliye wahan unke inverse nahi hote. Is chapter mein hum trig functions ke domain aur range ko restrict karte hain taaki unke inverse ban sakein, aur unke graphs dekhte hain. Kuch basic properties bhi discuss ki gayi hain.

Where is this used?Inverse trigonometric functions play an important role in calculus, because they are used to define many integrals (you will meet \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C in Chapter 7). They are also used in science and engineering.इसका उपयोग कहाँ?प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कलन (calculus) में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनसे कई समाकलन परिभाषित होते हैं (अध्याय 7 में आप \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C देखेंगे)। विज्ञान और इंजीनियरिंग में भी इनका उपयोग होता है।Iska use kahan?Inverse trig functions calculus mein important hain, kyonki inse kai integrals define hote hain (Chapter 7 mein aap \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C dekhenge). Science aur engineering mein bhi inka use hota hai.

Answers of inverse trig functions are angles in radians: write \sin^{-1}\frac12 = \frac{\pi}{6}, not 30^\circ. Remember \pi radians = 180^\circ.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के उत्तर रेडियन में कोण होते हैं: \sin^{-1}\frac12 = \frac{\pi}{6} लिखिए, 30^\circ नहीं। याद रखिए \pi रेडियन = 180^\circ।Inverse trig functions ke answers radians mein angles hote hain: \sin^{-1}\frac12 = \frac{\pi}{6} likhiye, 30^\circ nahi. Yaad rakhiye \pi radian = 180^\circ.

2.2Basic Conceptsआधारभूत संकल्पनाएँBasic Concepts

In Class XI we studied the six trigonometric functions with these domains and ranges:कक्षा XI में हमने छह त्रिकोणमितीय फलन इन प्रांतों और परिसरों के साथ पढ़े:Class XI mein humne chhah trigonometric functions in domains aur ranges ke saath padhe:

\sin : \mathbb{R} \to [-1, 1] and \cos : \mathbb{R} \to [-1, 1]\sin : \mathbb{R} \to [-1, 1] और \cos : \mathbb{R} \to [-1, 1]\sin : \mathbb{R} \to [-1, 1] aur \cos : \mathbb{R} \to [-1, 1]
\tan : \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}\tan : \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}\tan : \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}
\cot : \mathbb{R} - \{x : x = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}\cot : \mathbb{R} - \{x : x = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}\cot : \mathbb{R} - \{x : x = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}
\sec : \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} - (-1, 1)\sec : \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} - (-1, 1)\sec : \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} - (-1, 1)
\operatorname{cosec} : \mathbb{R} - \{x : x = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} - (-1, 1)\operatorname{cosec} : \mathbb{R} - \{x : x = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} - (-1, 1)\operatorname{cosec} : \mathbb{R} - \{x : x = n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} - (-1, 1)

Recall from Chapter 1: if f : X \to Y with f(x) = y is one-one and onto, there is a unique function g : Y \to X with g(y) = x. The domain of g = range of f, and the range of g = domain of f. g is the inverse of f, written f^{-1}; g is also one-one and onto, and (f^{-1})^{-1} = f. Also (f^{-1} \circ f)(x) = x and (f \circ f^{-1})(y) = y.अध्याय 1 से याद कीजिए: यदि f : X \to Y, f(x) = y एकैकी तथा आच्छादक है, तो एक अद्वितीय फलन g : Y \to X है जिसमें g(y) = x। g का प्रांत = f का परिसर, और g का परिसर = f का प्रांत। g को f का प्रतिलोम कहते हैं, f^{-1} लिखते हैं; g भी एकैकी तथा आच्छादक है और (f^{-1})^{-1} = f। साथ ही (f^{-1} \circ f)(x) = x और (f \circ f^{-1})(y) = y।Chapter 1 se yaad kijiye: agar f : X \to Y, f(x) = y one-one aur onto hai, to ek unique function g : Y \to X hai jismein g(y) = x. g ka domain = f ki range, aur g ki range = f ka domain. g ko f ka inverse kehte hain, f^{-1} likhte hain; g bhi one-one aur onto hai aur (f^{-1})^{-1} = f. Saath hi (f^{-1} \circ f)(x) = x aur (f \circ f^{-1})(y) = y.

Why restrict the domain? sin x is not one-oneप्रांत सीमित क्यों? sin x एकैकी नहीं हैDomain restrict kyon? sin x one-one nahi haiNCERT Section 2.2 · 8 tappable partsOpen

Look at the graph: the line y = \frac12 cuts y = \sin x again and again. Many inputs give the same output, so sine is not one-one on \mathbb{R} and cannot be reversed there. But inside the yellow band [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] it is cut only once. So we keep only such a piece — that is "restricting the domain".ग्राफ़ देखिए: रेखा y = \frac12, y = \sin x को बार-बार काटती है। कई इनपुट का आउटपुट एक ही है, इसलिए \mathbb{R} पर sine एकैकी नहीं है और वहाँ उलटा नहीं जा सकता। पर पीली पट्टी [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] के अंदर यह केवल एक बार कटती है। इसलिए हम ऐसा ही एक टुकड़ा रखते हैं — यही "प्रांत को सीमित करना" है।Graph dekhiye: line y = \frac12, y = \sin x ko baar-baar kaatti hai. Kai inputs ka output ek hi hai, isliye \mathbb{R} par sine one-one nahi hai aur wahan ulta nahi ho sakta. Par peeli patti [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] ke andar ye sirf ek baar katti hai. Isliye hum aisa hi ek tukda rakhte hain — yahi "domain restrict karna" hai.

The inverse sine function \sin^{-1}प्रतिलोम sine फलन \sin^{-1}Inverse sine function \sin^{-1}

The domain of sine is \mathbb{R} and its range is [-1, 1]. If we restrict its domain to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], it becomes one-one and onto with range [-1, 1]. In fact, sine restricted to any of the intervals [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] etc. is one-one with range [-1, 1], so we can define the inverse of sine on each of them. The inverse of sine is written \sin^{-1} (arc sine function).sine का प्रांत \mathbb{R} और परिसर [-1, 1] है। यदि इसके प्रांत को [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] तक सीमित करें, तो यह एकैकी तथा आच्छादक हो जाता है, परिसर [-1, 1]। वास्तव में, अंतरालों [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] आदि में से किसी पर भी सीमित sine एकैकी है और परिसर [-1, 1] है, इसलिए हर अंतराल पर sine का प्रतिलोम परिभाषित कर सकते हैं। sine के प्रतिलोम को \sin^{-1} (arc sine फलन) लिखते हैं।Sine ka domain \mathbb{R} aur range [-1, 1] hai. Agar iske domain ko [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] tak restrict karein, to ye one-one aur onto ho jaata hai, range [-1, 1]. Asal mein, intervals [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] waghairah mein se kisi par bhi restricted sine one-one hai aur range [-1, 1] hai, isliye har interval par sine ka inverse define kar sakte hain. Sine ke inverse ko \sin^{-1} (arc sine function) likhte hain.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal value branch of \sin^{-1}\sin^{-1} is a function whose domain is [-1, 1] and range could be any of the intervals [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}], and so on; each gives a branch. The branch with range [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] is called the principal value branch. We write \sin^{-1} : [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].\sin^{-1} की मुख्य मान शाखा\sin^{-1} ऐसा फलन है जिसका प्रांत [-1, 1] है और परिसर अंतरालों [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] इत्यादि में से कोई भी हो सकता है; हर एक से एक शाखा मिलती है। परिसर [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] वाली शाखा को मुख्य मान शाखा कहते हैं। हम लिखते हैं \sin^{-1} : [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]।\sin^{-1} ki principal value branch\sin^{-1} aisa function hai jiska domain [-1, 1] hai aur range intervals [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}], [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] waghairah mein se koi bhi ho sakti hai; har ek se ek branch milti hai. Range [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] wali branch ko principal value branch kehte hain. Hum likhte hain \sin^{-1} : [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].

Branches of sin⁻¹: the dark one is the principal value branchsin⁻¹ की शाखाएँ: गहरी शाखा मुख्य मान शाखा हैsin⁻¹ ki branches: dark wali principal value branch haiNCERT Fig 2.1 (ii) · 7 tappable partsOpen

From the definition of inverse functions: \sin(\sin^{-1}x) = x if -1 \le x \le 1, and \sin^{-1}(\sin x) = x if -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}. In other words, if y = \sin^{-1}x, then \sin y = x.प्रतिलोम फलन की परिभाषा से: \sin(\sin^{-1}x) = x यदि -1 \le x \le 1, और \sin^{-1}(\sin x) = x यदि -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}। दूसरे शब्दों में, यदि y = \sin^{-1}x, तो \sin y = x।Inverse function ki definition se: \sin(\sin^{-1}x) = x agar -1 \le x \le 1, aur \sin^{-1}(\sin x) = x agar -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}. Doosre shabdon mein, agar y = \sin^{-1}x, to \sin y = x.

Remark — the graph is a mirror image(i) If (a, b) is a point on the graph of sine, then (b, a) is the corresponding point on the graph of \sin^{-1}. So the graph of y = \sin^{-1}x is obtained from y = \sin x by interchanging the x and y axes. (ii) Equivalently, the graph of an inverse function is the mirror image (reflection) of the original graph in the line y = x.टिप्पणी — ग्राफ़ एक दर्पण प्रतिबिंब है(i) यदि (a, b) sine के ग्राफ़ पर एक बिंदु है, तो (b, a), \sin^{-1} के ग्राफ़ पर संगत बिंदु है। इसलिए y = \sin^{-1}x का ग्राफ़, y = \sin x से x और y अक्षों को आपस में बदलकर मिलता है। (ii) यानी प्रतिलोम फलन का ग्राफ़, मूल ग्राफ़ का रेखा y = x में दर्पण प्रतिबिंब (परावर्तन) होता है।Remark — graph ek mirror image hai(i) Agar (a, b) sine ke graph par ek point hai, to (b, a), \sin^{-1} ke graph par corresponding point hai. Isliye y = \sin^{-1}x ka graph, y = \sin x se x aur y axes ko aapas mein badalkar milta hai. (ii) Yaani inverse function ka graph, original graph ka line y = x mein mirror image (reflection) hota hai.

y = sin x on [−π/2, π/2] and its mirror y = sin⁻¹x[−π/2, π/2] पर y = sin x और उसका प्रतिबिंब y = sin⁻¹x[−π/2, π/2] par y = sin x aur uska mirror y = sin⁻¹xNCERT Fig 2.1 (iii) · 11 tappable partsOpen

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The inverse cosine function \cos^{-1}प्रतिलोम cosine फलन \cos^{-1}Inverse cosine function \cos^{-1}

Cosine also has domain \mathbb{R} and range [-1, 1]. Restricted to [0, \pi] it becomes one-one and onto with range [-1, 1]. In fact, cosine restricted to any of [-\pi, 0], [0, \pi], [\pi, 2\pi] etc. is bijective with range [-1, 1], so each gives a branch of \cos^{-1} (arc cosine function).cosine का प्रांत भी \mathbb{R} और परिसर [-1, 1] है। [0, \pi] तक सीमित करने पर यह एकैकी तथा आच्छादक हो जाता है, परिसर [-1, 1]। वास्तव में [-\pi, 0], [0, \pi], [\pi, 2\pi] आदि में से किसी पर भी सीमित cosine एकैकी आच्छादक है, इसलिए हर एक से \cos^{-1} (arc cosine फलन) की एक शाखा मिलती है।Cosine ka domain bhi \mathbb{R} aur range [-1, 1] hai. [0, \pi] tak restrict karne par ye one-one aur onto ho jaata hai, range [-1, 1]. Asal mein [-\pi, 0], [0, \pi], [\pi, 2\pi] waghairah mein se kisi par bhi restricted cosine bijective hai, isliye har ek se \cos^{-1} (arc cosine function) ki ek branch milti hai.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal value branch of \cos^{-1}\cos^{-1} is a function whose domain is [-1, 1] and range could be any of [-\pi, 0], [0, \pi], [\pi, 2\pi] etc. The branch with range [0, \pi] is called the principal value branch of \cos^{-1}. We write \cos^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi].\cos^{-1} की मुख्य मान शाखा\cos^{-1} ऐसा फलन है जिसका प्रांत [-1, 1] है और परिसर [-\pi, 0], [0, \pi], [\pi, 2\pi] आदि में से कोई भी हो सकता है। परिसर [0, \pi] वाली शाखा \cos^{-1} की मुख्य मान शाखा कहलाती है। हम लिखते हैं \cos^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi]।\cos^{-1} ki principal value branch\cos^{-1} aisa function hai jiska domain [-1, 1] hai aur range [-\pi, 0], [0, \pi], [\pi, 2\pi] waghairah mein se koi bhi ho sakti hai. Range [0, \pi] wali branch \cos^{-1} ki principal value branch kehlati hai. Hum likhte hain \cos^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi].

y = cos x on [0, π] and its mirror y = cos⁻¹x[0, π] पर y = cos x और उसका प्रतिबिंब y = cos⁻¹x[0, π] par y = cos x aur uska mirror y = cos⁻¹xNCERT Fig 2.2 · 11 tappable partsOpen

\operatorname{cosec}^{-1} and \sec^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} और \sec^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} aur \sec^{-1}

Since \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}, the domain of cosec is \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} and its range is \{y : y \in \mathbb{R},\ y \ge 1 \text{ or } y \le -1\}, i.e. \mathbb{R} - (-1, 1). Restricted to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}, cosec is one-one and onto with range \mathbb{R} - (-1, 1). (It is also bijective on [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}] - \{-\pi\}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] - \{\pi\} etc.)चूँकि \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}, cosec का प्रांत \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} और परिसर \{y : y \in \mathbb{R},\ y \ge 1 \text{ या } y \le -1\} अर्थात् \mathbb{R} - (-1, 1) है। [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} तक सीमित करने पर cosec एकैकी तथा आच्छादक है, परिसर \mathbb{R} - (-1, 1)। (यह [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}] - \{-\pi\}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] - \{\pi\} आदि पर भी एकैकी आच्छादक है।)Kyonki \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}, cosec ka domain \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} aur range \{y : y \in \mathbb{R},\ y \ge 1 \text{ ya } y \le -1\} yaani \mathbb{R} - (-1, 1) hai. [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} tak restrict karne par cosec one-one aur onto hai, range \mathbb{R} - (-1, 1). (Ye [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}] - \{-\pi\}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] - \{\pi\} waghairah par bhi bijective hai.)

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal value branch of \operatorname{cosec}^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} has domain \mathbb{R} - (-1, 1); the branch with range [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} is the principal value branch: \operatorname{cosec}^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}.\operatorname{cosec}^{-1} की मुख्य मान शाखा\operatorname{cosec}^{-1} का प्रांत \mathbb{R} - (-1, 1) है; परिसर [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} वाली शाखा मुख्य मान शाखा है: \operatorname{cosec}^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}।\operatorname{cosec}^{-1} ki principal value branch\operatorname{cosec}^{-1} ka domain \mathbb{R} - (-1, 1) hai; range [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} wali branch principal value branch hai: \operatorname{cosec}^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}.

y = cosec x on [−π/2, π/2] − {0} and y = cosec⁻¹x[−π/2, π/2] − {0} पर y = cosec x और y = cosec⁻¹x[−π/2, π/2] − {0} par y = cosec x aur y = cosec⁻¹xNCERT Fig 2.3 · 11 tappable partsOpen

Since \sec x = \frac{1}{\cos x}, the domain of sec is \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} and its range is \mathbb{R} - (-1, 1). Restricted to [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}, sec is one-one and onto with range \mathbb{R} - (-1, 1). (It is also bijective on [-\pi, 0] - \{-\frac{\pi}{2}\}, [\pi, 2\pi] - \{\frac{3\pi}{2}\} etc.)चूँकि \sec x = \frac{1}{\cos x}, sec का प्रांत \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} और परिसर \mathbb{R} - (-1, 1) है। [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} तक सीमित करने पर sec एकैकी तथा आच्छादक है, परिसर \mathbb{R} - (-1, 1)। (यह [-\pi, 0] - \{-\frac{\pi}{2}\}, [\pi, 2\pi] - \{\frac{3\pi}{2}\} आदि पर भी एकैकी आच्छादक है।)Kyonki \sec x = \frac{1}{\cos x}, sec ka domain \mathbb{R} - \{x : x = (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} aur range \mathbb{R} - (-1, 1) hai. [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} tak restrict karne par sec one-one aur onto hai, range \mathbb{R} - (-1, 1). (Ye [-\pi, 0] - \{-\frac{\pi}{2}\}, [\pi, 2\pi] - \{\frac{3\pi}{2}\} waghairah par bhi bijective hai.)

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal value branch of \sec^{-1}\sec^{-1} has domain \mathbb{R} - (-1, 1); the branch with range [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} is the principal value branch: \sec^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}.\sec^{-1} की मुख्य मान शाखा\sec^{-1} का प्रांत \mathbb{R} - (-1, 1) है; परिसर [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} वाली शाखा मुख्य मान शाखा है: \sec^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}।\sec^{-1} ki principal value branch\sec^{-1} ka domain \mathbb{R} - (-1, 1) hai; range [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} wali branch principal value branch hai: \sec^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}.

y = sec x on [0, π] − {π/2} and y = sec⁻¹x[0, π] − {π/2} पर y = sec x और y = sec⁻¹x[0, π] − {π/2} par y = sec x aur y = sec⁻¹xNCERT Fig 2.4 · 13 tappable partsOpen

\tan^{-1} and \cot^{-1}\tan^{-1} और \cot^{-1}\tan^{-1} aur \cot^{-1}

The domain of tan is \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} and its range is \mathbb{R}. Restricted to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) it is one-one and onto with range \mathbb{R} (it is also bijective on (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) etc.). So \tan^{-1} has domain \mathbb{R}.tan का प्रांत \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} और परिसर \mathbb{R} है। (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) तक सीमित करने पर यह एकैकी तथा आच्छादक है, परिसर \mathbb{R} (यह (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) आदि पर भी एकैकी आच्छादक है)। इसलिए \tan^{-1} का प्रांत \mathbb{R} है।Tan ka domain \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne (2n+1)\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z}\} aur range \mathbb{R} hai. (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) tak restrict karne par ye one-one aur onto hai, range \mathbb{R} (ye (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) waghairah par bhi bijective hai). Isliye \tan^{-1} ka domain \mathbb{R} hai.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal value branch of \tan^{-1}The branch with range (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) is the principal value branch of \tan^{-1}: \tan^{-1} : \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).\tan^{-1} की मुख्य मान शाखापरिसर (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) वाली शाखा \tan^{-1} की मुख्य मान शाखा है: \tan^{-1} : \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})।\tan^{-1} ki principal value branchRange (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) wali branch \tan^{-1} ki principal value branch hai: \tan^{-1} : \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).

y = tan x on (−π/2, π/2) and y = tan⁻¹x(−π/2, π/2) पर y = tan x और y = tan⁻¹x(−π/2, π/2) par y = tan x aur y = tan⁻¹xNCERT Fig 2.5 · 12 tappable partsOpen

The domain of cot is \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} and its range is \mathbb{R}. Restricted to (0, \pi) it is bijective with range \mathbb{R} (also on (-\pi, 0), (\pi, 2\pi) etc.). So \cot^{-1} has domain \mathbb{R}.cot का प्रांत \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} और परिसर \mathbb{R} है। (0, \pi) तक सीमित करने पर यह एकैकी आच्छादक है, परिसर \mathbb{R} ((-\pi, 0), (\pi, 2\pi) आदि पर भी)। इसलिए \cot^{-1} का प्रांत \mathbb{R} है।Cot ka domain \{x : x \in \mathbb{R},\ x \ne n\pi,\ n \in \mathbb{Z}\} aur range \mathbb{R} hai. (0, \pi) tak restrict karne par ye bijective hai, range \mathbb{R} ((-\pi, 0), (\pi, 2\pi) waghairah par bhi). Isliye \cot^{-1} ka domain \mathbb{R} hai.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal value branch of \cot^{-1}The branch with range (0, \pi) is the principal value branch of \cot^{-1}: \cot^{-1} : \mathbb{R} \to (0, \pi).\cot^{-1} की मुख्य मान शाखापरिसर (0, \pi) वाली शाखा \cot^{-1} की मुख्य मान शाखा है: \cot^{-1} : \mathbb{R} \to (0, \pi)।\cot^{-1} ki principal value branchRange (0, \pi) wali branch \cot^{-1} ki principal value branch hai: \cot^{-1} : \mathbb{R} \to (0, \pi).

y = cot x on (0, π) and y = cot⁻¹x(0, π) पर y = cot x और y = cot⁻¹x(0, π) par y = cot x aur y = cot⁻¹xNCERT Fig 2.6 · 12 tappable partsOpen

The table of principal value branchesमुख्य मान शाखाओं की सारणीPrincipal value branches ki table

NCERT collects all six principal value branches, with their domains and ranges, in one table. Learn it by heart — almost every question in this chapter starts from it.NCERT सभी छह मुख्य मान शाखाओं को उनके प्रांत और परिसर के साथ एक सारणी में देती है। इसे अच्छी तरह याद कीजिए — इस अध्याय का लगभग हर प्रश्न इसी से शुरू होता है।NCERT saari chhah principal value branches ko unke domain aur range ke saath ek table mein deti hai. Ise achchhi tarah yaad kijiye — is chapter ka lagbhag har sawaal isi se shuru hota hai.

\sin^{-1} : [-1, 1] \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]

\sin^{-1}\sin^{-1}\sin^{-1}

\cos^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi]

\cos^{-1}\cos^{-1}\cos^{-1}

\begin{gathered}\operatorname{cosec}^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \\ \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] - \{0\}\end{gathered}

\operatorname{cosec}^{-1}\operatorname{cosec}^{-1}\operatorname{cosec}^{-1}

\sec^{-1} : \mathbb{R} - (-1, 1) \to [0, \pi] - \left\{\tfrac{\pi}{2}\right\}

\sec^{-1}\sec^{-1}\sec^{-1}

\tan^{-1} : \mathbb{R} \to \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)

\tan^{-1}\tan^{-1}\tan^{-1}

\cot^{-1} : \mathbb{R} \to (0, \pi)

\cot^{-1}\cot^{-1}\cot^{-1}

Memory trick: sin, cosec, tan answers live on the right half of the circle (from -\frac{\pi}{2} to \frac{\pi}{2}); cos, sec, cot answers live on the upper half (from 0 to \pi). Then remove the angles where the function is undefined: 0 for cosec, \frac{\pi}{2} for sec, and the ends for tan and cot.याद रखने की तरकीब: sin, cosec, tan के उत्तर वृत्त के दाएँ आधे भाग पर (-\frac{\pi}{2} से \frac{\pi}{2}) होते हैं; cos, sec, cot के उत्तर ऊपरी आधे भाग पर (0 से \pi)। फिर वे कोण हटाइए जहाँ फलन परिभाषित नहीं: cosec के लिए 0, sec के लिए \frac{\pi}{2}, और tan तथा cot के सिरे।Yaad rakhne ki trick: sin, cosec, tan ke answers circle ke right half par (-\frac{\pi}{2} se \frac{\pi}{2}) hote hain; cos, sec, cot ke answers upper half par (0 se \pi). Phir wo angles hataiye jahan function defined nahi: cosec ke liye 0, sec ke liye \frac{\pi}{2}, aur tan aur cot ke ends.

Note (NCERT)1. \sin^{-1}x should not be confused with (\sin x)^{-1}. In fact (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}, and similarly for the other trigonometric functions. 2. Whenever no branch of an inverse trigonometric function is mentioned, we mean its principal value branch. 3. The value of an inverse trigonometric function which lies in the range of the principal branch is called its principal value.टिप्पणी (NCERT)1. \sin^{-1}x को (\sin x)^{-1} नहीं समझना चाहिए। वास्तव में (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}, और इसी प्रकार अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए। 2. जब किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की कोई शाखा न बताई जाए, तो उसका अर्थ उसकी मुख्य मान शाखा है। 3. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो मुख्य शाखा के परिसर में हो, उसका मुख्य मान कहलाता है।Note (NCERT)1. \sin^{-1}x ko (\sin x)^{-1} nahi samajhna chahiye. Asal mein (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}, aur isi tarah baaki trig functions ke liye. 2. Jab kisi inverse trig function ki koi branch na batayi jaye, to uska matlab uski principal value branch hai. 3. Inverse trig function ki wo value jo principal branch ki range mein ho, uski principal value kehlati hai.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Principal valueThe value of an inverse trigonometric function which lies in the range of its principal value branch is called the principal value of that inverse trigonometric function.मुख्य मानकिसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य मान शाखा के परिसर में स्थित हो, उस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहलाता है।Principal valueKisi inverse trig function ki wo value jo uski principal value branch ki range mein ho, us inverse trig function ki principal value kehlati hai.

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeHow to find a principal value in 3 steps: (1) put the expression = y and rewrite it as an ordinary trig equation (e.g. \sin y = \frac12); (2) write down the principal range from the table; (3) choose the one angle in that range that satisfies the equation.मुख्य मान 3 चरणों में: (1) व्यंजक को = y रखिए और सामान्य त्रिकोणमितीय समीकरण बनाइए (जैसे \sin y = \frac12); (2) सारणी से मुख्य परिसर लिखिए; (3) उस परिसर में वह एक कोण चुनिए जो समीकरण को संतुष्ट करे।Principal value 3 steps mein: (1) expression ko = y rakhiye aur normal trig equation banaiye (jaise \sin y = \frac12); (2) table se principal range likhiye; (3) us range mein wo ek angle chuniye jo equation ko satisfy kare.

Unit circle: why sin⁻¹(½) = π/6 and not 5π/6इकाई वृत्त: sin⁻¹(½) = π/6 क्यों, 5π/6 क्यों नहींUnit circle: sin⁻¹(½) = π/6 kyon, 5π/6 kyon nahiNCERT Section 2.2 · 9 tappable partsOpen

Example 1Find the principal value of \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right).उदाहरण 1\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Example 1\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) ki principal value nikaliye.

Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)

Turn the inverse question into an ordinary trig equation.प्रतिलोम प्रश्न को सामान्य त्रिकोणमितीय समीकरण में बदलिए।Inverse sawaal ko normal trig equation mein badaliye.
\sin^{-1}\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = y \;\Rightarrow\; \sin y = \tfrac{1}{\sqrt2}
The range of the principal value branch of \sin^{-1} is this interval, so the answer must be an angle from it.\sin^{-1} की मुख्य मान शाखा का परिसर यही अंतराल है, इसलिए उत्तर इसी अंतराल का कोण होना चाहिए।\sin^{-1} ki principal value branch ki range yahi interval hai, isliye answer isi interval ka angle hona chahiye.
\sin^{-1} : [-1, 1] \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]
\frac{\pi}{4} (45°) fits both conditions.\frac{\pi}{4} (45°) दोनों शर्तें पूरी करता है।\frac{\pi}{4} (45°) dono shartein poori karta hai.
\sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{1}{\sqrt2}, \quad \tfrac{\pi}{4} \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]

✔ Principal value of \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) is \frac{\pi}{4}.\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) का मुख्य मान \frac{\pi}{4} है।\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) ki principal value \frac{\pi}{4} hai.

Example 2Find the principal value of \cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right).उदाहरण 2\cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Example 2\cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right) ki principal value nikaliye.

Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)

Write it as a trig equation.इसे त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में लिखिए।Ise trig equation ke roop mein likhiye.
\cot^{-1}\left(\tfrac{-1}{\sqrt3}\right) = y \;\Rightarrow\; \cot y = \tfrac{-1}{\sqrt3}
\cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}, and \cot(\pi - \theta) = -\cot\theta turns the minus sign into an angle of the second quadrant.\cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}, और \cot(\pi - \theta) = -\cot\theta ऋण चिह्न को दूसरे चतुर्थांश के कोण में बदल देता है।\cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}, aur \cot(\pi - \theta) = -\cot\theta minus sign ko second quadrant ke angle mein badal deta hai.
\cot y = -\cot\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = \cot\left(\pi - \tfrac{\pi}{3}\right) = \cot\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)
So \frac{2\pi}{3} is the principal value. (Not -\frac{\pi}{3} — negative angles are not in (0, \pi).)इसलिए \frac{2\pi}{3} मुख्य मान है। (-\frac{\pi}{3} नहीं — ऋणात्मक कोण (0, \pi) में नहीं हैं।)Isliye \frac{2\pi}{3} principal value hai. (-\frac{\pi}{3} nahi — negative angles (0, \pi) mein nahi hain.)
\cot^{-1} : \mathbb{R} \to (0, \pi), \quad \tfrac{2\pi}{3} \in (0, \pi)

✔ Principal value of \cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right) is \frac{2\pi}{3}.\cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right) का मुख्य मान \frac{2\pi}{3} है।\cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right) ki principal value \frac{2\pi}{3} hai.

Unit circle: cos⁻¹(−½) = 2π/3इकाई वृत्त: cos⁻¹(−½) = 2π/3Unit circle: cos⁻¹(−½) = 2π/3NCERT Exercise 2.1 · 9 tappable partsOpen

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainMistakes that cost marks: (1) giving \cos^{-1}(-\frac12) = -\frac{\pi}{3} or \cot^{-1}(-\frac{1}{\sqrt3}) = -\frac{\pi}{3} — the ranges of \cos^{-1}, \sec^{-1}, \cot^{-1} have no negative angles; (2) giving \sin^{-1}(-\frac12) = \frac{7\pi}{6} or \frac{11\pi}{6} — correct sine, but outside [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]; the answer is -\frac{\pi}{6}; (3) writing the answer in degrees when radians are expected; (4) treating \sin^{-1}x as \frac{1}{\sin x}; (5) trying \sin^{-1}2 or \sec^{-1}\frac12 — these are not defined (2 is outside [-1, 1], \frac12 is inside (-1, 1)).अंक कटवाने वाली गलतियाँ: (1) \cos^{-1}(-\frac12) = -\frac{\pi}{3} या \cot^{-1}(-\frac{1}{\sqrt3}) = -\frac{\pi}{3} लिखना — \cos^{-1}, \sec^{-1}, \cot^{-1} के परिसर में कोई ऋणात्मक कोण नहीं; (2) \sin^{-1}(-\frac12) = \frac{7\pi}{6} या \frac{11\pi}{6} लिखना — sine सही है, पर कोण [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] के बाहर है; उत्तर -\frac{\pi}{6} है; (3) रेडियन की जगह अंश (डिग्री) में उत्तर लिखना; (4) \sin^{-1}x को \frac{1}{\sin x} समझना; (5) \sin^{-1}2 या \sec^{-1}\frac12 निकालने की कोशिश — ये परिभाषित नहीं (2, [-1, 1] के बाहर है; \frac12, (-1, 1) के अंदर है)।Marks katwane wali galtiyan: (1) \cos^{-1}(-\frac12) = -\frac{\pi}{3} ya \cot^{-1}(-\frac{1}{\sqrt3}) = -\frac{\pi}{3} likhna — \cos^{-1}, \sec^{-1}, \cot^{-1} ki range mein koi negative angle nahi; (2) \sin^{-1}(-\frac12) = \frac{7\pi}{6} ya \frac{11\pi}{6} likhna — sine sahi hai, par angle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] ke bahar hai; answer -\frac{\pi}{6} hai; (3) radian ki jagah degree mein answer likhna; (4) \sin^{-1}x ko \frac{1}{\sin x} samajhna; (5) \sin^{-1}2 ya \sec^{-1}\frac12 nikalne ki koshish — ye defined nahi (2, [-1, 1] ke bahar hai; \frac12, (-1, 1) ke andar hai).

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxTopper check in one glance: for x < 0, the answers of \sin^{-1}x, \tan^{-1}x, \operatorname{cosec}^{-1}x are negative angles (fourth quadrant, between -\frac{\pi}{2} and 0), while \cos^{-1}x, \sec^{-1}x, \cot^{-1}x are obtuse angles (second quadrant, between \frac{\pi}{2} and \pi; only at x = -1 do the end values -\frac{\pi}{2} and \pi themselves appear). This comes straight from the ranges in the table, and catches most sign errors before you write them.टॉपर की एक नज़र वाली जाँच: x < 0 के लिए \sin^{-1}x, \tan^{-1}x, \operatorname{cosec}^{-1}x के उत्तर ऋणात्मक कोण होते हैं (चौथा चतुर्थांश, -\frac{\pi}{2} और 0 के बीच), जबकि \cos^{-1}x, \sec^{-1}x, \cot^{-1}x अधिक कोण होते हैं (दूसरा चतुर्थांश, \frac{\pi}{2} और \pi के बीच; केवल x = -1 पर सिरे वाले मान -\frac{\pi}{2} और \pi स्वयं आते हैं)। यह सीधे सारणी के परिसरों से आता है और लिखने से पहले ही चिह्न की ज़्यादातर गलतियाँ पकड़ लेता है।Topper ka ek nazar wala check: x < 0 ke liye \sin^{-1}x, \tan^{-1}x, \operatorname{cosec}^{-1}x ke answers negative angles hote hain (fourth quadrant, -\frac{\pi}{2} aur 0 ke beech), jabki \cos^{-1}x, \sec^{-1}x, \cot^{-1}x obtuse angles hote hain (second quadrant, \frac{\pi}{2} aur \pi ke beech; sirf x = -1 par end values -\frac{\pi}{2} aur \pi khud aati hain). Ye seedha table ki ranges se aata hai aur likhne se pehle hi sign ki zyaadatar galtiyan pakad leta hai.

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Exercise 2.1, Q1: Find the principal value of \sin^{-1}\left(-\frac12\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 1: \sin^{-1}\left(-\frac12\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q1: \sin^{-1}\left(-\frac12\right) ki principal value nikaliye.

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-\frac{\pi}{6}, because \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac12 and -\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].-\frac{\pi}{6}, क्योंकि \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac12 और -\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]।-\frac{\pi}{6}, kyonki \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac12 aur -\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].

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Exercise 2.1, Q2: Find the principal value of \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 2: \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q2: \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) ki principal value nikaliye.

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\frac{\pi}{6}, because \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2} and \frac{\pi}{6} \in [0, \pi].\frac{\pi}{6}, क्योंकि \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2} और \frac{\pi}{6} \in [0, \pi]।\frac{\pi}{6}, kyonki \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2} aur \frac{\pi}{6} \in [0, \pi].

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Exercise 2.1, Q3: Find the principal value of \operatorname{cosec}^{-1}(2).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 3: \operatorname{cosec}^{-1}(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q3: \operatorname{cosec}^{-1}(2) ki principal value nikaliye.

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\frac{\pi}{6}, because \operatorname{cosec}\frac{\pi}{6} = 2 and \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}.\frac{\pi}{6}, क्योंकि \operatorname{cosec}\frac{\pi}{6} = 2 और \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}।\frac{\pi}{6}, kyonki \operatorname{cosec}\frac{\pi}{6} = 2 aur \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}.

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Exercise 2.1, Q4: Find the principal value of \tan^{-1}(-\sqrt3).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 4: \tan^{-1}(-\sqrt3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q4: \tan^{-1}(-\sqrt3) ki principal value nikaliye.

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-\frac{\pi}{3}, because \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt3 and -\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).-\frac{\pi}{3}, क्योंकि \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt3 और -\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})।-\frac{\pi}{3}, kyonki \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt3 aur -\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).

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Exercise 2.1, Q5: Find the principal value of \cos^{-1}\left(-\frac12\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 5: \cos^{-1}\left(-\frac12\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q5: \cos^{-1}\left(-\frac12\right) ki principal value nikaliye.

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\frac{2\pi}{3}, because \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12 and \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi].\frac{2\pi}{3}, क्योंकि \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12 और \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]।\frac{2\pi}{3}, kyonki \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12 aur \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi].

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Exercise 2.1, Q7: Find the principal value of \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt3}\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 7: \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt3}\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q7: \sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt3}\right) ki principal value nikaliye.

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\frac{\pi}{6}, because \sec\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt3} and \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}.\frac{\pi}{6}, क्योंकि \sec\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt3} और \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}।\frac{\pi}{6}, kyonki \sec\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt3} aur \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}.

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Exercise 2.1, Q8: Find the principal value of \cot^{-1}(\sqrt3).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 8: \cot^{-1}(\sqrt3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q8: \cot^{-1}(\sqrt3) ki principal value nikaliye.

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\frac{\pi}{6}, because \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt3 and \frac{\pi}{6} \in (0, \pi).\frac{\pi}{6}, क्योंकि \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt3 और \frac{\pi}{6} \in (0, \pi)।\frac{\pi}{6}, kyonki \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt3 aur \frac{\pi}{6} \in (0, \pi).

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Exercise 2.1, Q9: Find the principal value of \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 9: \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q9: \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) ki principal value nikaliye.

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\frac{3\pi}{4}, because \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} and \frac{3\pi}{4} \in [0, \pi].\frac{3\pi}{4}, क्योंकि \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} और \frac{3\pi}{4} \in [0, \pi]।\frac{3\pi}{4}, kyonki \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} aur \frac{3\pi}{4} \in [0, \pi].

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Exercise 2.1, Q10: Find the principal value of \operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt2).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 10: \operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q10: \operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt2) ki principal value nikaliye.

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-\frac{\pi}{4}, because \operatorname{cosec}(-\frac{\pi}{4}) = -\sqrt2 and -\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}.-\frac{\pi}{4}, क्योंकि \operatorname{cosec}(-\frac{\pi}{4}) = -\sqrt2 और -\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}।-\frac{\pi}{4}, kyonki \operatorname{cosec}(-\frac{\pi}{4}) = -\sqrt2 aur -\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}.

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Exercise 2.1, Q11: Find the value of \tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac12\right) + \sin^{-1}\left(-\frac12\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 11: \tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac12\right) + \sin^{-1}\left(-\frac12\right) का मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q11: \tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac12\right) + \sin^{-1}\left(-\frac12\right) ki value nikaliye.

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\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}.\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}।\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi - 2\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}.

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Exercise 2.1, Q12: Find the value of \cos^{-1}\left(\frac12\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac12\right).प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 12: \cos^{-1}\left(\frac12\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac12\right) का मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.1, Q12: \cos^{-1}\left(\frac12\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac12\right) ki value nikaliye.

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\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}।\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.

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Exercise 2.1, Q14: \tan^{-1}\sqrt3 - \sec^{-1}(-2) is equal to (A) \pi (B) -\frac{\pi}{3} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{2\pi}{3}प्रश्नावली 2.1, प्रश्न 14: \tan^{-1}\sqrt3 - \sec^{-1}(-2) बराबर है (A) \pi (B) -\frac{\pi}{3} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{2\pi}{3}Exercise 2.1, Q14: \tan^{-1}\sqrt3 - \sec^{-1}(-2) barabar hai (A) \pi (B) -\frac{\pi}{3} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{2\pi}{3}

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(B): \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}, since \sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3} (not -\frac{\pi}{3}).(B): \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}, क्योंकि \sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3} (-\frac{\pi}{3} नहीं)।(B): \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}, kyonki \sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3} (-\frac{\pi}{3} nahi).

2.3Properties of Inverse Trigonometric Functionsप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्मInverse Trigonometric Functions ki properties

The results of this section are valid within the principal value branches of the corresponding inverse trigonometric functions and wherever they are defined. Some results may not be valid for all values in the domain — only for some values of x for which the inverse trigonometric functions are defined.इस खंड के परिणाम संगत प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य मान शाखाओं के अंदर और जहाँ वे परिभाषित हैं, वहीं मान्य हैं। कुछ परिणाम प्रांत के सभी मानों के लिए मान्य नहीं होते — केवल x के कुछ ऐसे मानों के लिए जिन पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन परिभाषित हैं।Is section ke results corresponding inverse trig functions ki principal value branches ke andar aur jahan wo defined hain, wahin valid hain. Kuch results domain ki saari values ke liye valid nahi hote — sirf x ki kuch aisi values ke liye jin par inverse trig functions defined hain.

If y = \sin^{-1}x, then x = \sin y, and if x = \sin y (with y in the principal range), then y = \sin^{-1}x. This is the same as saying:यदि y = \sin^{-1}x, तो x = \sin y, और यदि x = \sin y (y मुख्य परिसर में), तो y = \sin^{-1}x। इसका अर्थ यही है:Agar y = \sin^{-1}x, to x = \sin y, aur agar x = \sin y (y principal range mein), to y = \sin^{-1}x. Iska matlab yahi hai:

📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremBasic property\sin(\sin^{-1}x) = x,\ x \in [-1, 1] and \sin^{-1}(\sin x) = x,\ x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. For suitable values of the domain, similar results follow for the remaining trigonometric functions.मूल गुणधर्म\sin(\sin^{-1}x) = x,\ x \in [-1, 1] और \sin^{-1}(\sin x) = x,\ x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]। प्रांत के उपयुक्त मानों के लिए, शेष त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी ऐसे ही परिणाम मिलते हैं।Basic property\sin(\sin^{-1}x) = x,\ x \in [-1, 1] aur \sin^{-1}(\sin x) = x,\ x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Domain ki suitable values ke liye, baaki trig functions ke liye bhi aise hi results milte hain.

\begin{gathered}\cos(\cos^{-1}x) = x,\ x \in [-1, 1] \\ \cos^{-1}(\cos x) = x,\ x \in [0, \pi]\end{gathered}

The same idea for coscos के लिए वही विचारcos ke liye wahi idea

\begin{gathered}\tan(\tan^{-1}x) = x,\ x \in \mathbb{R} \\ \tan^{-1}(\tan x) = x,\ x \in \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)\end{gathered}

The same idea for tantan के लिए वही विचारtan ke liye wahi idea

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain\sin^{-1}(\sin x) = x is not true for every x. For example \sin^{-1}(\sin\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}, not \frac{2\pi}{3}, because \frac{2\pi}{3} is outside [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. Always check whether the angle inside is in the principal range; if not, first replace it by an angle in the range with the same sine (or cos, tan).\sin^{-1}(\sin x) = x हर x के लिए सत्य नहीं है। जैसे \sin^{-1}(\sin\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} नहीं, क्योंकि \frac{2\pi}{3}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] के बाहर है। हमेशा जाँचिए कि अंदर वाला कोण मुख्य परिसर में है या नहीं; यदि नहीं, तो पहले उसे परिसर के ऐसे कोण से बदलिए जिसका sine (या cos, tan) वही हो।\sin^{-1}(\sin x) = x har x ke liye sach nahi hai. Jaise \sin^{-1}(\sin\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} nahi, kyonki \frac{2\pi}{3}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] ke bahar hai. Hamesha check kijiye ki andar wala angle principal range mein hai ya nahi; agar nahi, to pehle use range ke aise angle se badaliye jiska sine (ya cos, tan) wahi ho.

Graph of y = sin⁻¹(sin x): a zigzagy = sin⁻¹(sin x) का ग्राफ़: टेढ़ी-मेढ़ी रेखाy = sin⁻¹(sin x) ka graph: zigzagNCERT Section 2.3 · 8 tappable partsOpen

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🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeThe trick behind Examples 3–5: when you see \sqrt{1 - x^2}, put x = \sin\theta (or \cos\theta) so the root becomes \cos\theta (or \sin\theta); when you see \sqrt{x^2 - 1}, put x = \sec\theta; when you see \sqrt{1 + x^2}, put x = \tan\theta. The messy expression turns into a single trig function of \theta, and the property above finishes it.उदाहरण 3–5 के पीछे की तरकीब: जब \sqrt{1 - x^2} दिखे, x = \sin\theta (या \cos\theta) रखिए ताकि मूल \cos\theta (या \sin\theta) बन जाए; जब \sqrt{x^2 - 1} दिखे, x = \sec\theta रखिए; जब \sqrt{1 + x^2} दिखे, x = \tan\theta रखिए। उलझा हुआ व्यंजक \theta का एक ही त्रिकोणमितीय फलन बन जाता है, और ऊपर का गुणधर्म काम पूरा कर देता है।Example 3–5 ke peeche ki trick: jab \sqrt{1 - x^2} dikhe, x = \sin\theta (ya \cos\theta) rakhiye taaki root \cos\theta (ya \sin\theta) ban jaye; jab \sqrt{x^2 - 1} dikhe, x = \sec\theta rakhiye; jab \sqrt{1 + x^2} dikhe, x = \tan\theta rakhiye. Uljha hua expression \theta ka ek hi trig function ban jaata hai, aur upar wali property kaam poora kar deti hai.

Example 3Show that (i) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\sin^{-1}x,\ -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2} (ii) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\cos^{-1}x,\ \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1उदाहरण 3दर्शाइए कि (i) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\sin^{-1}x,\ -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2} (ii) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\cos^{-1}x,\ \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1Example 3Dikhaiye ki (i) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\sin^{-1}x,\ -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2} (ii) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\cos^{-1}x,\ \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1

Solution — step by step (6)हल — चरण दर चरण (6)Hal — step by step (6)

Substitution. Since -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2}, \theta lies in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}].प्रतिस्थापन। क्योंकि -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2}, इसलिए \theta, [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] में है।Substitution. Kyonki -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2}, isliye \theta, [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] mein hai.
x = \sin\theta \;\Rightarrow\; \sin^{-1}x = \theta
Put x = \sin\theta everywhere.हर जगह x = \sin\theta रखिए।Har jagah x = \sin\theta rakhiye.
\sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = \sin^{-1}\left(2\sin\theta\sqrt{1 - \sin^2\theta}\right)
\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta (cos is positive for these \theta), and 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta.\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta (इन \theta के लिए cos धनात्मक है), और 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta।\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta (in \theta ke liye cos positive hai), aur 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta.
= \sin^{-1}(2\sin\theta\cos\theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)
2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], so \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta by the basic property.2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], इसलिए मूल गुणधर्म से \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta।2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], isliye basic property se \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta.
= 2\theta = 2\sin^{-1}x
(ii) Put x = \cos\theta, so 2x\sqrt{1 - x^2} = 2\cos\theta\sin\theta = \sin 2\theta. Now \theta = \cos^{-1}x \in [0, \frac{\pi}{4}] because \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1.(ii) x = \cos\theta रखिए, तो 2x\sqrt{1 - x^2} = 2\cos\theta\sin\theta = \sin 2\theta। अब \theta = \cos^{-1}x \in [0, \frac{\pi}{4}] क्योंकि \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1।(ii) x = \cos\theta rakhiye, to 2x\sqrt{1 - x^2} = 2\cos\theta\sin\theta = \sin 2\theta. Ab \theta = \cos^{-1}x \in [0, \frac{\pi}{4}] kyonki \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1.
x = \cos\theta \;\Rightarrow\; \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)
2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}], inside the principal range of \sin^{-1}.2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}], जो \sin^{-1} के मुख्य परिसर के अंदर है।2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}], jo \sin^{-1} ki principal range ke andar hai.
= 2\theta = 2\cos^{-1}x

✔ (i) \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\sin^{-1}x for -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2}; (ii) = 2\cos^{-1}x for \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1.(i) -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2} के लिए \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\sin^{-1}x; (ii) \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1 के लिए = 2\cos^{-1}x।(i) -\frac{1}{\sqrt2} \le x \le \frac{1}{\sqrt2} ke liye \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) = 2\sin^{-1}x; (ii) \frac{1}{\sqrt2} \le x \le 1 ke liye = 2\cos^{-1}x.

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxWhy the two answers differ: the same expression equals 2\sin^{-1}x on one interval and 2\cos^{-1}x on another. The condition on x decides where 2\theta lands; the formula is right only when 2\theta stays in the principal range. Always carry the interval along — it is part of the answer.दोनों उत्तर अलग क्यों: एक ही व्यंजक एक अंतराल पर 2\sin^{-1}x और दूसरे पर 2\cos^{-1}x है। x पर शर्त तय करती है कि 2\theta कहाँ पहुँचेगा; सूत्र तभी सही है जब 2\theta मुख्य परिसर में रहे। अंतराल को हमेशा साथ रखिए — वह उत्तर का हिस्सा है।Dono answers alag kyon: ek hi expression ek interval par 2\sin^{-1}x aur doosre par 2\cos^{-1}x hai. x par condition tay karti hai ki 2\theta kahan pahunchega; formula tabhi sahi hai jab 2\theta principal range mein rahe. Interval ko hamesha saath rakhiye — wo answer ka hissa hai.

Example 4Express \tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right),\ -\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} in the simplest form.उदाहरण 4\tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right),\ -\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।Example 4\tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right),\ -\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} ko simplest form mein likhiye.

Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)

Double-angle formula with half angles.आधे कोण वाला द्विगुण कोण सूत्र।Half angle wala double-angle formula.
\cos x = \cos^2\tfrac{x}{2} - \sin^2\tfrac{x}{2}
Write 1 as \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} and \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}; it becomes a perfect square.1 को \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} और \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} लिखिए; यह पूर्ण वर्ग बन जाता है।1 ko \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} aur \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} likhiye; ye perfect square ban jaata hai.
1 - \sin x = \left(\cos\tfrac{x}{2} - \sin\tfrac{x}{2}\right)^2
Top: \cos x = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right), a difference of squares. Cancel one bracket with the bottom.ऊपर: \cos x = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right), वर्गों का अंतर। नीचे से एक कोष्ठक काटिए।Upar: \cos x = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right), difference of squares. Neeche se ek bracket cancel kijiye.
\dfrac{\cos x}{1 - \sin x} = \dfrac{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}
Divide top and bottom by \cos\frac{x}{2}; then use \tan(A + B) with \tan\frac{\pi}{4} = 1.ऊपर-नीचे \cos\frac{x}{2} से भाग दीजिए; फिर \tan\frac{\pi}{4} = 1 के साथ \tan(A + B) लगाइए।Upar-neeche \cos\frac{x}{2} se divide kijiye; phir \tan\frac{\pi}{4} = 1 ke saath \tan(A + B) lagaiye.
= \dfrac{1 + \tan\frac{x}{2}}{1 - \tan\frac{x}{2}} = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{x}{2}\right)
For -\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}: -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}, the principal range of \tan^{-1}.-\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} के लिए: -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}, जो \tan^{-1} का मुख्य परिसर है।-\frac{3\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} ke liye: -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}, jo \tan^{-1} ki principal range hai.
\tan^{-1}\left(\dfrac{\cos x}{1 - \sin x}\right) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{x}{2}\right)\right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{x}{2}

✔ \tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\tan^{-1}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}

Example 5Write \cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right),\ x > 1 in the simplest form.उदाहरण 5\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right),\ x > 1 को सरलतम रूप में लिखिए।Example 5\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right),\ x > 1 ko simplest form mein likhiye.

Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)

\sqrt{x^2 - 1} suggests \sec\theta, because \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta. For x > 1, \theta \in (0, \frac{\pi}{2}), so \tan\theta > 0.\sqrt{x^2 - 1} देखकर \sec\theta रखिए, क्योंकि \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta। x > 1 के लिए \theta \in (0, \frac{\pi}{2}), इसलिए \tan\theta > 0।\sqrt{x^2 - 1} dekhkar \sec\theta rakhiye, kyonki \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta. x > 1 ke liye \theta \in (0, \frac{\pi}{2}), isliye \tan\theta > 0.
x = \sec\theta \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \tan\theta
\frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta.\frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta।\frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta.
\cot^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \cot^{-1}\left(\dfrac{1}{\tan\theta}\right) = \cot^{-1}(\cot\theta)
\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \subset (0, \pi), the principal range of \cot^{-1}; and x = \sec\theta means \theta = \sec^{-1}x.\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \subset (0, \pi), जो \cot^{-1} का मुख्य परिसर है; और x = \sec\theta का अर्थ है \theta = \sec^{-1}x।\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \subset (0, \pi), jo \cot^{-1} ki principal range hai; aur x = \sec\theta ka matlab hai \theta = \sec^{-1}x.
= \theta = \sec^{-1}x

✔ \cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \sec^{-1}x, which is the simplest form.\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \sec^{-1}x, जो सरलतम रूप है।\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \sec^{-1}x, jo simplest form hai.

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxWhich substitution? \sqrt{1 - x^2} → x = \sin\theta or \cos\theta; \sqrt{a^2 - x^2} → x = a\sin\theta; \sqrt{1 + x^2} → x = \tan\theta; \sqrt{x^2 - 1} → x = \sec\theta; \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} → half-angle formulas. After simplifying, check that the final angle is in the principal range — that one line is what separates full marks from partial marks.कौन-सा प्रतिस्थापन? \sqrt{1 - x^2} → x = \sin\theta या \cos\theta; \sqrt{a^2 - x^2} → x = a\sin\theta; \sqrt{1 + x^2} → x = \tan\theta; \sqrt{x^2 - 1} → x = \sec\theta; \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} → अर्ध-कोण सूत्र। सरल करने के बाद जाँचिए कि अंतिम कोण मुख्य परिसर में है — यही एक पंक्ति पूरे अंक दिलाती है।Kaunsa substitution? \sqrt{1 - x^2} → x = \sin\theta ya \cos\theta; \sqrt{a^2 - x^2} → x = a\sin\theta; \sqrt{1 + x^2} → x = \tan\theta; \sqrt{x^2 - 1} → x = \sec\theta; \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} → half-angle formulas. Simplify karne ke baad check kijiye ki final angle principal range mein hai — yahi ek line poore marks dilati hai.

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Exercise 2.2, Q1: Prove that 3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3),\ x \in \left[-\frac12, \frac12\right].प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए 3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3),\ x \in \left[-\frac12, \frac12\right]।Exercise 2.2, Q1: Siddh kijiye 3\sin^{-1}x = \sin^{-1}(3x - 4x^3),\ x \in \left[-\frac12, \frac12\right].

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Put x = \sin\theta, \theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]: 3x - 4x^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin 3\theta, and 3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], so \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta = 3\sin^{-1}x.x = \sin\theta रखिए, \theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]: 3x - 4x^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin 3\theta, और 3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], इसलिए \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta = 3\sin^{-1}x।x = \sin\theta rakhiye, \theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]: 3x - 4x^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin 3\theta, aur 3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], isliye \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta = 3\sin^{-1}x.

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Exercise 2.2, Q2: Prove that 3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x),\ x \in \left[\frac12, 1\right].प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए 3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x),\ x \in \left[\frac12, 1\right]।Exercise 2.2, Q2: Siddh kijiye 3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x),\ x \in \left[\frac12, 1\right].

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Put x = \cos\theta, \theta \in [0, \frac{\pi}{3}]: 4x^3 - 3x = \cos 3\theta and 3\theta \in [0, \pi], so \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta = 3\cos^{-1}x.x = \cos\theta रखिए, \theta \in [0, \frac{\pi}{3}]: 4x^3 - 3x = \cos 3\theta और 3\theta \in [0, \pi], इसलिए \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta = 3\cos^{-1}x।x = \cos\theta rakhiye, \theta \in [0, \frac{\pi}{3}]: 4x^3 - 3x = \cos 3\theta aur 3\theta \in [0, \pi], isliye \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta = 3\cos^{-1}x.

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Exercise 2.2, Q3: Write in the simplest form: \tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x},\ x \ne 0.प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 3: सरलतम रूप में लिखिए: \tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x},\ x \ne 0।Exercise 2.2, Q3: Simplest form mein likhiye: \tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x},\ x \ne 0.

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\frac12\tan^{-1}x (put x = \tan\theta: the fraction becomes \frac{\sec\theta - 1}{\tan\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \tan\frac{\theta}{2}).\frac12\tan^{-1}x (x = \tan\theta रखिए: भिन्न \frac{\sec\theta - 1}{\tan\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \tan\frac{\theta}{2} बन जाती है)।\frac12\tan^{-1}x (x = \tan\theta rakhiye: fraction \frac{\sec\theta - 1}{\tan\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \tan\frac{\theta}{2} ban jaata hai).

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Exercise 2.2, Q4: Write in the simplest form: \tan^{-1}\left(\sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\right),\ 0 < x < \pi.प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 4: सरलतम रूप में लिखिए: \tan^{-1}\left(\sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\right),\ 0 < x < \pi।Exercise 2.2, Q4: Simplest form mein likhiye: \tan^{-1}\left(\sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\right),\ 0 < x < \pi.

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\frac{x}{2} (because \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \tan^2\frac{x}{2} and \frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})).\frac{x}{2} (क्योंकि \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \tan^2\frac{x}{2} और \frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2}))।\frac{x}{2} (kyonki \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \tan^2\frac{x}{2} aur \frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})).

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Exercise 2.2, Q5: Write in the simplest form: \tan^{-1}\left(\dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right),\ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}.प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 5: सरलतम रूप में लिखिए: \tan^{-1}\left(\dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right),\ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}।Exercise 2.2, Q5: Simplest form mein likhiye: \tan^{-1}\left(\dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}\right),\ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}.

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\frac{\pi}{4} - x (divide by \cos x: \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan(\frac{\pi}{4} - x), and \frac{\pi}{4} - x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})).\frac{\pi}{4} - x (\cos x से भाग दीजिए: \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan(\frac{\pi}{4} - x), और \frac{\pi}{4} - x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))।\frac{\pi}{4} - x (\cos x se divide kijiye: \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan(\frac{\pi}{4} - x), aur \frac{\pi}{4} - x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})).

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Exercise 2.2, Q6: Write in the simplest form: \tan^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}},\ |x| < a.प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 6: सरलतम रूप में लिखिए: \tan^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}},\ |x| < a।Exercise 2.2, Q6: Simplest form mein likhiye: \tan^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}},\ |x| < a.

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\sin^{-1}\frac{x}{a} (put x = a\sin\theta: the fraction is \tan\theta).\sin^{-1}\frac{x}{a} (x = a\sin\theta रखिए: भिन्न \tan\theta है)।\sin^{-1}\frac{x}{a} (x = a\sin\theta rakhiye: fraction \tan\theta hai).

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Exercise 2.2, Q7: Write in the simplest form: \tan^{-1}\left(\dfrac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}\right),\ a > 0;\ \frac{-a}{\sqrt3} < x < \frac{a}{\sqrt3}.प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 7: सरलतम रूप में लिखिए: \tan^{-1}\left(\dfrac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}\right),\ a > 0;\ \frac{-a}{\sqrt3} < x < \frac{a}{\sqrt3}।Exercise 2.2, Q7: Simplest form mein likhiye: \tan^{-1}\left(\dfrac{3a^2x - x^3}{a^3 - 3ax^2}\right),\ a > 0;\ \frac{-a}{\sqrt3} < x < \frac{a}{\sqrt3}.

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3\tan^{-1}\frac{x}{a} (put x = a\tan\theta: the fraction is \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} = \tan 3\theta, and 3\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})).3\tan^{-1}\frac{x}{a} (x = a\tan\theta रखिए: भिन्न \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} = \tan 3\theta है, और 3\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))।3\tan^{-1}\frac{x}{a} (x = a\tan\theta rakhiye: fraction \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} = \tan 3\theta hai, aur 3\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})).

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Exercise 2.2, Q8: Find the value of \tan^{-1}\left[2\cos\left(2\sin^{-1}\frac12\right)\right].प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 8: \tan^{-1}\left[2\cos\left(2\sin^{-1}\frac12\right)\right] का मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.2, Q8: \tan^{-1}\left[2\cos\left(2\sin^{-1}\frac12\right)\right] ki value nikaliye.

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\frac{\pi}{4}: \sin^{-1}\frac12 = \frac{\pi}{6}, 2\cos\frac{\pi}{3} = 1, \tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4}.\frac{\pi}{4}: \sin^{-1}\frac12 = \frac{\pi}{6}, 2\cos\frac{\pi}{3} = 1, \tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4}।\frac{\pi}{4}: \sin^{-1}\frac12 = \frac{\pi}{6}, 2\cos\frac{\pi}{3} = 1, \tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4}.

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Exercise 2.2, Q10: Find the value of \sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right).प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 10: \sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right) का मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.2, Q10: \sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right) ki value nikaliye.

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\frac{\pi}{3} (not \frac{2\pi}{3}): \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} and \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].\frac{\pi}{3} (\frac{2\pi}{3} नहीं): \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} और \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]।\frac{\pi}{3} (\frac{2\pi}{3} nahi): \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} aur \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].

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Exercise 2.2, Q11: Find the value of \tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right).प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 11: \tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right) का मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.2, Q11: \tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right) ki value nikaliye.

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-\frac{\pi}{4}: \tan\frac{3\pi}{4} = -1 = \tan(-\frac{\pi}{4}) and -\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).-\frac{\pi}{4}: \tan\frac{3\pi}{4} = -1 = \tan(-\frac{\pi}{4}) और -\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})।-\frac{\pi}{4}: \tan\frac{3\pi}{4} = -1 = \tan(-\frac{\pi}{4}) aur -\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).

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Exercise 2.2, Q12: Find the value of \tan\left(\sin^{-1}\frac35 + \cot^{-1}\frac32\right).प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 12: \tan\left(\sin^{-1}\frac35 + \cot^{-1}\frac32\right) का मान ज्ञात कीजिए।Exercise 2.2, Q12: \tan\left(\sin^{-1}\frac35 + \cot^{-1}\frac32\right) ki value nikaliye.

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\frac{17}{6}: \sin^{-1}\frac35 = \alpha has \tan\alpha = \frac34; \cot^{-1}\frac32 = \beta has \tan\beta = \frac23; \tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac34 + \frac23}{1 - \frac34 \cdot \frac23} = \frac{17/12}{1/2} = \frac{17}{6}.\frac{17}{6}: \sin^{-1}\frac35 = \alpha के लिए \tan\alpha = \frac34; \cot^{-1}\frac32 = \beta के लिए \tan\beta = \frac23; \tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac34 + \frac23}{1 - \frac34 \cdot \frac23} = \frac{17/12}{1/2} = \frac{17}{6}।\frac{17}{6}: \sin^{-1}\frac35 = \alpha ke liye \tan\alpha = \frac34; \cot^{-1}\frac32 = \beta ke liye \tan\beta = \frac23; \tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac34 + \frac23}{1 - \frac34 \cdot \frac23} = \frac{17/12}{1/2} = \frac{17}{6}.

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Exercise 2.2, Q13: \cos^{-1}\left(\cos\frac{7\pi}{6}\right) is equal to (A) \frac{7\pi}{6} (B) \frac{5\pi}{6} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{6}प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 13: \cos^{-1}\left(\cos\frac{7\pi}{6}\right) बराबर है (A) \frac{7\pi}{6} (B) \frac{5\pi}{6} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{6}Exercise 2.2, Q13: \cos^{-1}\left(\cos\frac{7\pi}{6}\right) barabar hai (A) \frac{7\pi}{6} (B) \frac{5\pi}{6} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{6}

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(B) \frac{5\pi}{6}: \cos\frac{7\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{7\pi}{6}) = \cos\frac{5\pi}{6} and \frac{5\pi}{6} \in [0, \pi].(B) \frac{5\pi}{6}: \cos\frac{7\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{7\pi}{6}) = \cos\frac{5\pi}{6} और \frac{5\pi}{6} \in [0, \pi]।(B) \frac{5\pi}{6}: \cos\frac{7\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{7\pi}{6}) = \cos\frac{5\pi}{6} aur \frac{5\pi}{6} \in [0, \pi].

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Exercise 2.2, Q14: \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac12\right)\right) is equal to (A) \frac12 (B) \frac13 (C) \frac14 (D) 1प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 14: \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac12\right)\right) बराबर है (A) \frac12 (B) \frac13 (C) \frac14 (D) 1Exercise 2.2, Q14: \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}\left(-\frac12\right)\right) barabar hai (A) \frac12 (B) \frac13 (C) \frac14 (D) 1

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(D) 1: \sin^{-1}(-\frac12) = -\frac{\pi}{6}, so \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1.(D) 1: \sin^{-1}(-\frac12) = -\frac{\pi}{6}, इसलिए \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1।(D) 1: \sin^{-1}(-\frac12) = -\frac{\pi}{6}, isliye \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1.

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Exercise 2.2, Q15: \tan^{-1}\sqrt3 - \cot^{-1}(-\sqrt3) is equal to (A) \pi (B) -\frac{\pi}{2} (C) 0 (D) 2\sqrt3प्रश्नावली 2.2, प्रश्न 15: \tan^{-1}\sqrt3 - \cot^{-1}(-\sqrt3) बराबर है (A) \pi (B) -\frac{\pi}{2} (C) 0 (D) 2\sqrt3Exercise 2.2, Q15: \tan^{-1}\sqrt3 - \cot^{-1}(-\sqrt3) barabar hai (A) \pi (B) -\frac{\pi}{2} (C) 0 (D) 2\sqrt3

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(B) -\frac{\pi}{2}: \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}, because \cot^{-1}(-\sqrt3) = \frac{5\pi}{6} (in (0, \pi)).(B) -\frac{\pi}{2}: \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}, क्योंकि \cot^{-1}(-\sqrt3) = \frac{5\pi}{6} ((0, \pi) में)।(B) -\frac{\pi}{2}: \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}, kyonki \cot^{-1}(-\sqrt3) = \frac{5\pi}{6} ((0, \pi) mein).

Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples

sin⁻¹(sin 3π/5) = 2π/5, seen on the unit circlesin⁻¹(sin 3π/5) = 2π/5, इकाई वृत्त परsin⁻¹(sin 3π/5) = 2π/5, unit circle parNCERT Example 6 · 8 tappable partsOpen

Example 6Find the value of \sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right).उदाहरण 6\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right) का मान ज्ञात कीजिए।Example 6\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right) ki value nikaliye.

Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)

Blindly writing \frac{3\pi}{5} would be wrong: we must first check the range.सीधे \frac{3\pi}{5} लिख देना गलत होगा: पहले परिसर जाँचना ज़रूरी है।Seedha \frac{3\pi}{5} likh dena galat hoga: pehle range check karna zaroori hai.
\sin^{-1}(\sin x) = x \iff x \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]
\frac{3\pi}{5} = 108^\circ is more than 90^\circ, so it is not in the principal branch of \sin^{-1}.\frac{3\pi}{5} = 108^\circ, 90^\circ से अधिक है, इसलिए यह \sin^{-1} की मुख्य शाखा में नहीं।\frac{3\pi}{5} = 108^\circ, 90^\circ se zyada hai, isliye ye \sin^{-1} ki principal branch mein nahi.
\tfrac{3\pi}{5} \notin \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]
Use \sin(\pi - \theta) = \sin\theta to find an angle with the same sine inside the range (72^\circ).\sin(\pi - \theta) = \sin\theta से परिसर के अंदर समान sine वाला कोण (72^\circ) निकालिए।\sin(\pi - \theta) = \sin\theta se range ke andar same sine wala angle (72^\circ) nikaliye.
\sin\tfrac{3\pi}{5} = \sin\left(\pi - \tfrac{3\pi}{5}\right) = \sin\tfrac{2\pi}{5}, \quad \tfrac{2\pi}{5} \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]
Now the basic property applies.अब मूल गुणधर्म लागू होता है।Ab basic property lagti hai.
\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{3\pi}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\tfrac{2\pi}{5}\right) = \tfrac{2\pi}{5}

✔ \sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}

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Miscellaneous Exercise, Q1: Find the value of \cos^{-1}\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right).विविध प्रश्नावली, प्रश्न 1: \cos^{-1}\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right) का मान ज्ञात कीजिए।Miscellaneous Exercise, Q1: \cos^{-1}\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right) ki value nikaliye.

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\frac{\pi}{6}: \cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} and \frac{\pi}{6} \in [0, \pi].\frac{\pi}{6}: \cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} और \frac{\pi}{6} \in [0, \pi]।\frac{\pi}{6}: \cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} aur \frac{\pi}{6} \in [0, \pi].

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Miscellaneous Exercise, Q2: Find the value of \tan^{-1}\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right).विविध प्रश्नावली, प्रश्न 2: \tan^{-1}\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right) का मान ज्ञात कीजिए।Miscellaneous Exercise, Q2: \tan^{-1}\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right) ki value nikaliye.

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\frac{\pi}{6}: \tan\frac{7\pi}{6} = \tan(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tan\frac{\pi}{6} and \frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).\frac{\pi}{6}: \tan\frac{7\pi}{6} = \tan(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tan\frac{\pi}{6} और \frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})।\frac{\pi}{6}: \tan\frac{7\pi}{6} = \tan(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tan\frac{\pi}{6} aur \frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).

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Miscellaneous Exercise, Q3: Prove that 2\sin^{-1}\frac35 = \tan^{-1}\frac{24}{7}.विविध प्रश्नावली, प्रश्न 3: सिद्ध कीजिए 2\sin^{-1}\frac35 = \tan^{-1}\frac{24}{7}।Miscellaneous Exercise, Q3: Siddh kijiye 2\sin^{-1}\frac35 = \tan^{-1}\frac{24}{7}.

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Let \sin^{-1}\frac35 = \theta, so \sin\theta = \frac35, \cos\theta = \frac45, \tan\theta = \frac34 and \theta < \frac{\pi}{4}. Then \tan 2\theta = \frac{2 \cdot \frac34}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{24}{7} with 2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}), so 2\theta = \tan^{-1}\frac{24}{7}.मान लीजिए \sin^{-1}\frac35 = \theta, तो \sin\theta = \frac35, \cos\theta = \frac45, \tan\theta = \frac34 और \theta < \frac{\pi}{4}। तब \tan 2\theta = \frac{2 \cdot \frac34}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{24}{7} तथा 2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}), इसलिए 2\theta = \tan^{-1}\frac{24}{7}।Maan lijiye \sin^{-1}\frac35 = \theta, to \sin\theta = \frac35, \cos\theta = \frac45, \tan\theta = \frac34 aur \theta < \frac{\pi}{4}. Tab \tan 2\theta = \frac{2 \cdot \frac34}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{24}{7} aur 2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}), isliye 2\theta = \tan^{-1}\frac{24}{7}.

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Miscellaneous Exercise, Q13: \sin(\tan^{-1}x),\ |x| < 1 is equal to (A) \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} (B) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (C) \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} (D) \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}विविध प्रश्नावली, प्रश्न 13: \sin(\tan^{-1}x),\ |x| < 1 बराबर है (A) \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} (B) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (C) \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} (D) \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}Miscellaneous Exercise, Q13: \sin(\tan^{-1}x),\ |x| < 1 barabar hai (A) \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} (B) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (C) \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} (D) \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

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(D): put \tan^{-1}x = \theta, so \tan\theta = x and \sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.(D): \tan^{-1}x = \theta रखिए, तो \tan\theta = x और \sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}।(D): \tan^{-1}x = \theta rakhiye, to \tan\theta = x aur \sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.

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Miscellaneous Exercise, Q14: If \sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}, then x is equal to (A) 0, \frac12 (B) 1, \frac12 (C) 0 (D) \frac12विविध प्रश्नावली, प्रश्न 14: यदि \sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}, तो x बराबर है (A) 0, \frac12 (B) 1, \frac12 (C) 0 (D) \frac12Miscellaneous Exercise, Q14: Agar \sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}, to x barabar hai (A) 0, \frac12 (B) 1, \frac12 (C) 0 (D) \frac12

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(C) 0. Check: x = 0 gives \sin^{-1}1 - 0 = \frac{\pi}{2} ✓; x = \frac12 gives \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} ✗.(C) 0। जाँच: x = 0 पर \sin^{-1}1 - 0 = \frac{\pi}{2} ✓; x = \frac12 पर \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} ✗।(C) 0. Check: x = 0 par \sin^{-1}1 - 0 = \frac{\pi}{2} ✓; x = \frac12 par \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} ✗.

Historical note (NCERT)The study of trigonometry was first started in India. Aryabhata (476 A.D.), Brahmagupta (598 A.D.), Bhaskara I (600 A.D.) and Bhaskara II (1114 A.D.) got important results of trigonometry; this knowledge went from India to Arabia and then to Europe. The symbols \sin^{-1}x, \cos^{-1}x for arc sin x, arc cos x were suggested by the astronomer Sir John F.W. Herschel (1813).ऐतिहासिक पृष्ठभूमि (NCERT)त्रिकोणमिति का अध्ययन सबसे पहले भारत में शुरू हुआ। आर्यभट (476 ई.), ब्रह्मगुप्त (598 ई.), भास्कर प्रथम (600 ई.) और भास्कर द्वितीय (1114 ई.) ने त्रिकोणमिति के महत्वपूर्ण परिणाम दिए; यह ज्ञान भारत से अरब और फिर यूरोप गया। arc sin x, arc cos x के लिए \sin^{-1}x, \cos^{-1}x चिह्न खगोलशास्त्री सर जॉन एफ़. डब्ल्यू. हर्शेल (1813) ने सुझाए।Historical note (NCERT)Trigonometry ka study sabse pehle India mein shuru hua. Aryabhata (476 A.D.), Brahmagupta (598 A.D.), Bhaskara I (600 A.D.) aur Bhaskara II (1114 A.D.) ne trigonometry ke important results diye; ye gyaan India se Arab aur phir Europe gaya. Arc sin x, arc cos x ke liye \sin^{-1}x, \cos^{-1}x symbols astronomer Sir John F.W. Herschel (1813) ne suggest kiye.

Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet

\begin{gathered}\sin^{-1}:[-1,1]\to\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] \\ \cos^{-1}:[-1,1]\to[0,\pi]\end{gathered}

sin⁻¹ and cos⁻¹: domain → rangesin⁻¹ और cos⁻¹: प्रांत → परिसरsin⁻¹ aur cos⁻¹: domain → range

\begin{gathered}\operatorname{cosec}^{-1}:\mathbb{R}-(-1,1) \\ \to\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]-\{0\}\end{gathered}

cosec⁻¹cosec⁻¹cosec⁻¹

\sec^{-1}:\mathbb{R}-(-1,1)\to[0,\pi]-\left\{\tfrac{\pi}{2}\right\}

sec⁻¹sec⁻¹sec⁻¹

\begin{gathered}\tan^{-1}:\mathbb{R}\to\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) \\ \cot^{-1}:\mathbb{R}\to(0,\pi)\end{gathered}

tan⁻¹ and cot⁻¹tan⁻¹ और cot⁻¹tan⁻¹ aur cot⁻¹

\begin{gathered}y = \sin^{-1}x \iff x = \sin y \\ y \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]\end{gathered}

Meaning of \sin^{-1} (same idea for all six)\sin^{-1} का अर्थ (छहों के लिए यही विचार)\sin^{-1} ka matlab (chhahon ke liye yahi idea)

\begin{gathered}\sin(\sin^{-1}x) = x,\ x\in[-1,1] \\ \sin^{-1}(\sin x) = x,\ x \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\end{gathered}

Basic property (NCERT 2.3)मूल गुणधर्म (NCERT 2.3)Basic property (NCERT 2.3)

(\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x} \ne \sin^{-1}x

Do not confuse the twoदोनों में भ्रम मत कीजिएDono mein confuse mat hoiye

\begin{gathered}\sqrt{1-x^2}:\ x=\sin\theta \\ \sqrt{1+x^2}:\ x=\tan\theta \\ \sqrt{x^2-1}:\ x=\sec\theta\end{gathered}

Substitutions used in Examples 3–5उदाहरण 3–5 में प्रयुक्त प्रतिस्थापनExample 3–5 mein use hue substitutions

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Trig functions are not one-one on \mathbb{R}, so we restrict their domains; each restricted piece gives a branch of the inverse.त्रिकोणमितीय फलन \mathbb{R} पर एकैकी नहीं, इसलिए उनके प्रांत सीमित करते हैं; हर सीमित टुकड़े से प्रतिलोम की एक शाखा मिलती है।Trig functions \mathbb{R} par one-one nahi, isliye unke domain restrict karte hain; har restricted tukde se inverse ki ek branch milti hai.
No branch mentioned ⇒ principal value branch. Its value is the principal value.कोई शाखा न बताई हो ⇒ मुख्य मान शाखा। उसका मान मुख्य मान है।Koi branch na batayi ho ⇒ principal value branch. Uski value principal value hai.
Ranges: \sin^{-1}, \tan^{-1}, \operatorname{cosec}^{-1} → around 0 (right half); \cos^{-1}, \cot^{-1}, \sec^{-1} → from 0 to \pi (upper half). Ends: open for tan⁻¹, cot⁻¹; 0 removed for cosec⁻¹; \frac{\pi}{2} removed for sec⁻¹.परिसर: \sin^{-1}, \tan^{-1}, \operatorname{cosec}^{-1} → 0 के आस-पास (दायाँ आधा); \cos^{-1}, \cot^{-1}, \sec^{-1} → 0 से \pi (ऊपरी आधा)। सिरे: tan⁻¹, cot⁻¹ के लिए खुले; cosec⁻¹ से 0 हटाया; sec⁻¹ से \frac{\pi}{2} हटाया।Ranges: \sin^{-1}, \tan^{-1}, \operatorname{cosec}^{-1} → 0 ke aas-paas (right half); \cos^{-1}, \cot^{-1}, \sec^{-1} → 0 se \pi (upper half). Ends: tan⁻¹, cot⁻¹ ke liye open; cosec⁻¹ se 0 hataya; sec⁻¹ se \frac{\pi}{2} hataya.
Domains: [-1, 1] for sin⁻¹, cos⁻¹; \mathbb{R} - (-1, 1) for cosec⁻¹, sec⁻¹; all of \mathbb{R} for tan⁻¹, cot⁻¹.प्रांत: sin⁻¹, cos⁻¹ के लिए [-1, 1]; cosec⁻¹, sec⁻¹ के लिए \mathbb{R} - (-1, 1); tan⁻¹, cot⁻¹ के लिए पूरा \mathbb{R}।Domains: sin⁻¹, cos⁻¹ ke liye [-1, 1]; cosec⁻¹, sec⁻¹ ke liye \mathbb{R} - (-1, 1); tan⁻¹, cot⁻¹ ke liye poora \mathbb{R}.
Graph of an inverse = mirror image of the restricted trig graph in the line y = x; (a, b) \leftrightarrow (b, a).प्रतिलोम का ग्राफ़ = सीमित त्रिकोणमितीय ग्राफ़ का रेखा y = x में दर्पण प्रतिबिंब; (a, b) \leftrightarrow (b, a)।Inverse ka graph = restricted trig graph ka line y = x mein mirror image; (a, b) \leftrightarrow (b, a).
\sin^{-1}(\sin x) = x only when x is already in the principal range; otherwise first change x to the angle in the range with the same sine (Example 6).\sin^{-1}(\sin x) = x तभी जब x पहले से मुख्य परिसर में हो; नहीं तो पहले x को परिसर के उस कोण में बदलिए जिसका sine वही हो (उदाहरण 6)।\sin^{-1}(\sin x) = x tabhi jab x pehle se principal range mein ho; nahi to pehle x ko range ke us angle mein badaliye jiska sine wahi ho (Example 6).
Simplifying: substitute (x = \sin\theta, \tan\theta, \sec\theta…), simplify to one trig function, cancel using the property, and check the range.सरलीकरण: प्रतिस्थापन कीजिए (x = \sin\theta, \tan\theta, \sec\theta…), एक त्रिकोणमितीय फलन तक सरल कीजिए, गुणधर्म से काटिए और परिसर जाँचिए।Simplify karna: substitute kijiye (x = \sin\theta, \tan\theta, \sec\theta…), ek trig function tak simplify kijiye, property se cancel kijiye aur range check kijiye.

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📐Inverse Trigonometric Functionsप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनInverse Trigonometric Functions

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2.1IntroductionपरिचयIntroduction

2.2Basic Conceptsआधारभूत संकल्पनाएँBasic Concepts

The inverse sine function \sin^{-1}प्रतिलोम sine फलन \sin^{-1}Inverse sine function \sin^{-1}

The inverse cosine function \cos^{-1}प्रतिलोम cosine फलन \cos^{-1}Inverse cosine function \cos^{-1}

\operatorname{cosec}^{-1} and \sec^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} और \sec^{-1}\operatorname{cosec}^{-1} aur \sec^{-1}

\tan^{-1} and \cot^{-1}\tan^{-1} और \cot^{-1}\tan^{-1} aur \cot^{-1}

The table of principal value branchesमुख्य मान शाखाओं की सारणीPrincipal value branches ki table

2.3Properties of Inverse Trigonometric Functionsप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्मInverse Trigonometric Functions ki properties

Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples

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