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Ch 8Mechanical Properties of Solidsठोसों के यांत्रिक गुणMechanical Properties of Solids (thoson ke yaantrik gun)

Stress and strain, Hooke’s law, the stress-strain curve, Young’s, shear and bulk moduli, Poisson’s ratio, elastic energy and engineering uses — with every NCERT example and exercise solved.प्रतिबल और विकृति, हुक का नियम, प्रतिबल-विकृति वक्र, यंग, अपरूपण और आयतन गुणांक, पॉयसन अनुपात, प्रत्यास्थ ऊर्जा और इंजीनियरी उपयोग — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।Stress aur strain, Hooke ka niyam, stress-strain curve, Young, shear aur bulk modulus, Poisson ratio, elastic energy — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के डायग्रामIs chapter ke diagrams

Tensile, shearing and hydraulic stressतनन, अपरूपण और द्रवचालित प्रतिबलTensile, shearing and hydraulic stressFig 8.2Stress–strain curve of a metalधातु का प्रतिबल-विकृति वक्रStress–strain curve of a metalFig 8.3Shearing a lead slabसीसे की पट्टिका का अपरूपणShearing a lead slabFig 8.6Steel and brass wires loaded in seriesश्रेणी में भारित इस्पात और पीतल के तारSteel and brass wires loaded in seriesFig 8.11
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 8.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 8.2Stress and strainप्रतिबल और विकृतिStress aur strain
  3. 8.3Hooke’s lawहुक का नियमHooke ka niyam
  4. 8.4Stress-strain curveप्रतिबल-विकृति वक्रStress-strain curve
  5. 8.5Elastic moduliप्रत्यास्थता गुणांकElastic moduli
  6. 8.6Applications of elastic behaviour of materialsपदार्थों के प्रत्यास्थ व्यवहार के अनुप्रयोगElastic behaviour ke upyog
  7. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  8. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  9. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  10. 🎯Quizक्विज़Quiz

8.1IntroductionभूमिकाIntroduction

A real solid deforms when forces act on it. Elasticity is the property by which a body regains its original size and shape when the deforming force is removed (a spring, a rubber band). A body that does not regain its shape — putty, mud — is plastic. The elastic behaviour of materials decides the design of buildings, bridges, cranes and even our bones.वास्तविक ठोस बल लगने पर विकृत होता है। प्रत्यास्थता वह गुण है जिससे विरूपक बल हटाने पर वस्तु अपना मूल आकार और आकृति वापस पा लेती है (कमानी, रबर बैंड)। जो वस्तु आकृति वापस नहीं पाती — पुट्टी, गीली मिट्टी — वह सुघट्य है। पदार्थों का प्रत्यास्थ व्यवहार भवनों, पुलों, क्रेनों और हमारी हड्डियों तक की रचना तय करता है।Asli solid force se badalta hai. Elasticity: force hatne par wapas original shape (spring, rubber band). Wapas na aaye — putty, mitti — to plastic. Buildings, bridges, cranes ka design isi par.

8.2Stress and strainप्रतिबल और विकृतिStress aur strain

When a body is deformed, internal restoring forces develop. The restoring force per unit area is stress = F/A (unit N m⁻² = Pa, dimensions [ML⁻¹T⁻²]). Strain is the fractional change in size — dimensionless. Three types (Fig 8.2): tensile/compressive (longitudinal strain ΔL/L), shearing (shear strain Δx/L = tan θ ≈ θ) and hydraulic (volume strain ΔV/V).वस्तु विकृत होने पर भीतर प्रत्यानयन बल पैदा होते हैं। प्रति एकांक क्षेत्रफल प्रत्यानयन बल प्रतिबल = F/A (मात्रक N m⁻² = Pa, विमा [ML⁻¹T⁻²])। विकृति माप में भिन्नात्मक परिवर्तन है — विमाहीन। तीन प्रकार (चित्र 8.2): तनन/संपीडक (अनुदैर्ध्य विकृति ΔL/L), अपरूपण (अपरूपण विकृति Δx/L = tan θ ≈ θ) और द्रवचालित (आयतन विकृति ΔV/V)।Restoring force per area = stress = F/A (Pa). Strain = size ka fractional change, dimensionless. Teen types (Fig 8.2): tensile/compressive (ΔL/L), shear (Δx/L ≈ θ), hydraulic (ΔV/V).

Tensile, shearing and hydraulic stressतनन, अपरूपण और द्रवचालित प्रतिबलTensile, shearing and hydraulic stressNCERT Fig 8.2 · 4 tappable partsNCERT चित्र 8.2 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 8.2 · 4 tappable partsOpen

8.3Hooke’s lawहुक का नियमHooke ka niyam

For small deformations, stress ∝ strain: stress = k × strain, where k is the modulus of elasticity. This is Hooke’s law — an empirical law valid for most materials up to a limit. Try it in the 3D Hooke’s-law spring lab.छोटे विरूपण के लिए प्रतिबल ∝ विकृति: प्रतिबल = k × विकृति, जहाँ k प्रत्यास्थता गुणांक है। यही हुक का नियम है — अधिकांश पदार्थों के लिए एक सीमा तक मान्य आनुभविक नियम। इसे 3D हुक के नियम की कमानी लैब में आज़माइए।Chhote deformation mein stress ∝ strain: stress = k × strain, k = modulus of elasticity. 3D Hooke’s-law spring lab mein try kijiye.

8.4Stress-strain curveप्रतिबल-विकृति वक्रStress-strain curve

Stretching a metal wire gives the curve in Fig 8.3. Up to A (proportional limit) Hooke’s law holds. Up to B (yield point / elastic limit, stress = yield strength σ_y) the wire still returns to its length. Beyond B, strain grows rapidly for little extra stress — the plastic region; unloading leaves a permanent set. D is the ultimate tensile strength; the wire breaks at E. If D and E are far apart the material is ductile; if close, brittle. Elastomers such as rubber and the aorta stretch a lot but do not obey Hooke’s law.धातु के तार को खींचने पर चित्र 8.3 का वक्र मिलता है। A (आनुपातिक सीमा) तक हुक का नियम लागू है। B (पराभव बिंदु / प्रत्यास्थ सीमा, प्रतिबल = पराभव सामर्थ्य σ_y) तक तार अपनी लंबाई में लौट आता है। B के बाद थोड़े अतिरिक्त प्रतिबल से विकृति तेज़ी से बढ़ती है — सुघट्य क्षेत्र; भार हटाने पर स्थायी विरूपण रह जाता है। D चरम तनन सामर्थ्य है; E पर तार टूटता है। D और E दूर हों तो पदार्थ तन्य, पास हों तो भंगुर। रबर और महाधमनी जैसे प्रत्यास्थलक बहुत खिंचते हैं पर हुक के नियम का पालन नहीं करते।Wire kheencho to Fig 8.3 ka curve. A (proportional limit) tak Hooke. B (yield point, yield strength σ_y) tak wapas aata. B ke baad plastic region, permanent set. D = ultimate tensile strength, E par tootna. D–E door ⇒ ductile, paas ⇒ brittle. Rubber jaise elastomers Hooke nahi maante.

Stress–strain curve of a metalधातु का प्रतिबल-विकृति वक्रStress–strain curve of a metalNCERT Fig 8.3 · 8 tappable partsNCERT चित्र 8.3 · 8 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 8.3 · 8 tappable partsOpen

8.5Elastic moduliप्रत्यास्थता गुणांकElastic moduli

8.5.1Young’s modulusयंग गुणांकYoung’s modulus

Y = σ/ε = (F/A)/(ΔL/L) = FL/(AΔL), unit Pa. Metals have large Y (steel 2.0 × 10¹¹, copper 1.2 × 10¹¹, aluminium 0.7 × 10¹¹ Pa; wood ≈ 1.3 × 10¹⁰, bone 9.4 × 10⁹ Pa). Steel is more elastic than copper or rubber: it needs a larger stress for the same strain. To stretch a steel wire of 0.1 cm² by 0.1% needs about 2000 N.Y = σ/ε = (F/A)/(ΔL/L) = FL/(AΔL), मात्रक Pa। धातुओं का Y बड़ा (इस्पात 2.0 × 10¹¹, ताँबा 1.2 × 10¹¹, ऐलुमिनियम 0.7 × 10¹¹ Pa; लकड़ी ≈ 1.3 × 10¹⁰, हड्डी 9.4 × 10⁹ Pa)। इस्पात ताँबे या रबर से अधिक प्रत्यास्थ है: समान विकृति के लिए अधिक प्रतिबल चाहिए। 0.1 cm² के इस्पात तार को 0.1% खींचने में लगभग 2000 N लगते हैं।Y = FL/(AΔL). Metals ka Y bada (steel 2.0 × 10¹¹, copper 1.2 × 10¹¹, Al 0.7 × 10¹¹ Pa). Steel rubber se zyada elastic — same strain ke liye zyada stress.

Solved (NCERT Examples 8.1–8.3)8.1 Steel rod, r = 10 mm, L = 1.0 m, F = 100 kN, Y = 2.0 × 10¹¹ Pa. (a) Stress = 10⁵/(π × 10⁻⁴) = 3.18 × 10⁸ N m⁻². (b) ΔL = stress × L/Y = 1.59 mm. (c) Strain = 1.59 × 10⁻³ (0.16%). 8.2 Copper 2.2 m and steel 1.6 m, diameter 3.0 mm, joined; total stretch 0.70 mm. Same tension: ΔL = (F/A)(L_c/Y_c + L_s/Y_s) ⇒ F = 0.70 × 10⁻³ × 7.07 × 10⁻⁶/(2.2/1.1 × 10¹¹ + 1.6/2.0 × 10¹¹) ≈ 1.8 × 10² N. 8.3 Human pyramid: 280 − 60 = 220 kg rests on the bottom performer’s two femurs (L = 50 cm, r = 2.0 cm, Y = 9.4 × 10⁹ Pa). Each takes 110 × 9.8 = 1078 N ⇒ ΔL = FL/(AY) = 1078 × 0.5/(1.26 × 10⁻³ × 9.4 × 10⁹) ≈ 4.6 × 10⁻⁵ m.हल (NCERT उदाहरण 8.1–8.3)8.1 इस्पात छड़, r = 10 mm, L = 1.0 m, F = 100 kN, Y = 2.0 × 10¹¹ Pa। (a) प्रतिबल = 3.18 × 10⁸ N m⁻²। (b) ΔL = 1.59 mm। (c) विकृति = 1.59 × 10⁻³। 8.2 ताँबा 2.2 m और इस्पात 1.6 m, व्यास 3.0 mm, जुड़े; कुल खिंचाव 0.70 mm। समान तनाव: F ≈ 1.8 × 10² N। 8.3 मानव पिरामिड: 220 kg नीचे लेटे कलाकार की दो जाँघ-हड्डियों पर। प्रत्येक पर 1078 N ⇒ ΔL ≈ 4.6 × 10⁻⁵ m।Solved (NCERT Examples 8.1–8.3)8.1 Stress = 3.18 × 10⁸ Pa, ΔL = 1.59 mm, strain 1.59 × 10⁻³. 8.2 F ≈ 1.8 × 10² N. 8.3 Har femur 1078 N ⇒ ΔL ≈ 4.6 × 10⁻⁵ m.
Steel and brass wires loaded in seriesश्रेणी में भारित इस्पात और पीतल के तारSteel and brass wires loaded in seriesNCERT Fig 8.11 · 4 tappable partsNCERT चित्र 8.11 · 4 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 8.11 · 4 tappable partsOpen

8.5.2Shear modulusअपरूपण गुणांकShear modulus

G = shearing stress/shearing strain = (F/A)/(Δx/L) = FL/(AΔx) — also called the modulus of rigidity. Usually G ≈ Y/3 (steel 84, copper 42, aluminium 25, lead 5.6 GPa).G = अपरूपण प्रतिबल/अपरूपण विकृति = (F/A)/(Δx/L) = FL/(AΔx) — इसे दृढ़ता गुणांक भी कहते हैं। सामान्यतः G ≈ Y/3 (इस्पात 84, ताँबा 42, ऐलुमिनियम 25, सीसा 5.6 GPa)।G = FL/(AΔx) — modulus of rigidity. Aam taur par G ≈ Y/3 (steel 84, copper 42, Al 25, lead 5.6 GPa).

Shearing a lead slabसीसे की पट्टिका का अपरूपणShearing a lead slabNCERT Fig 8.6 · 5 tappable partsNCERT चित्र 8.6 · 5 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 8.6 · 5 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 8.4)Lead slab, side 50 cm, thickness 10 cm, shearing force 9.0 × 10⁴ N on the narrow face (Fig 8.6). A = 0.5 × 0.1 = 0.05 m² ⇒ stress = 1.8 × 10⁶ N m⁻². Δx = (stress/G) × L = (1.8 × 10⁶/5.6 × 10⁹) × 0.5 = 1.6 × 10⁻⁴ m = 0.16 mm.हल (NCERT उदाहरण 8.4)सीसे की पट्टिका, भुजा 50 cm, मोटाई 10 cm, संकरे तल पर 9.0 × 10⁴ N अपरूपण बल (चित्र 8.6)। A = 0.05 m² ⇒ प्रतिबल = 1.8 × 10⁶ N m⁻²। Δx = (प्रतिबल/G) × L = 0.16 mm।Solved (NCERT Example 8.4)A = 0.05 m², stress 1.8 × 10⁶ Pa ⇒ Δx = 0.16 mm (Fig 8.6).

8.5.3Bulk modulusआयतन प्रत्यास्थता गुणांकBulk modulus

B = −p/(ΔV/V) (the minus sign because volume decreases as pressure increases). Compressibility k = 1/B. Solids are least compressible, gases most: B for steel 160 GPa, copper 140 GPa, glass 37 GPa, water 2.2 GPa, air (isothermal) only ≈ 1.0 × 10⁵ Pa.B = −p/(ΔV/V) (ऋण चिह्न इसलिए कि दाब बढ़ने पर आयतन घटता है)। संपीड्यता k = 1/B। ठोस सबसे कम, गैसें सबसे अधिक संपीड्य: B इस्पात 160 GPa, ताँबा 140 GPa, काँच 37 GPa, जल 2.2 GPa, वायु (समतापी) केवल ≈ 1.0 × 10⁵ Pa।B = −p/(ΔV/V); compressibility = 1/B. Solid sabse kam compressible, gas sabse zyada: steel 160 GPa, water 2.2 GPa, air ~10⁵ Pa.

Solved (NCERT Example 8.5)Indian Ocean, depth 3000 m, B(water) = 2.2 × 10⁹ Pa, g = 10. p = hρg = 3000 × 1000 × 10 = 3 × 10⁷ Pa ⇒ ΔV/V = p/B = 1.36 × 10⁻² (1.36%).हल (NCERT उदाहरण 8.5)हिंद महासागर, गहराई 3000 m, B(जल) = 2.2 × 10⁹ Pa। p = hρg = 3 × 10⁷ Pa ⇒ ΔV/V = 1.36 × 10⁻² (1.36%)।Solved (NCERT Example 8.5)p = 3 × 10⁷ Pa ⇒ ΔV/V = 1.36%.

8.5.4Poisson’s ratioपॉयसन अनुपातPoisson’s ratio

A stretched wire also gets thinner. Within the elastic limit, Poisson’s ratio = lateral strain/longitudinal strain = (Δd/d)/(ΔL/L) — a pure number, depending only on the material (about 0.28–0.30 for steels and aluminium alloys).खींचा गया तार पतला भी होता है। प्रत्यास्थ सीमा में पॉयसन अनुपात = पार्श्व विकृति/अनुदैर्ध्य विकृति = (Δd/d)/(ΔL/L) — एक शुद्ध संख्या, केवल पदार्थ पर निर्भर (इस्पात और ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं के लिए लगभग 0.28–0.30)।Kheencha wire patla bhi hota. Poisson ratio = (Δd/d)/(ΔL/L) — pure number (steel ~0.28–0.30).

8.5.5Elastic potential energy in a stretched wireखिंचे तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जाStretched wire ki elastic energy

With F = YA(l/L), the work done in stretching by l is W = ∫F dl = ½YAl²/L. So the stored energy U = ½ × stress × strain × volume, and the energy per unit volume u = ½σε.F = YA(l/L) से l खींचने में कार्य W = ∫F dl = ½YAl²/L। अतः संचित ऊर्जा U = ½ × प्रतिबल × विकृति × आयतन, और प्रति एकांक आयतन ऊर्जा u = ½σε।W = ½YAl²/L ⇒ U = ½ × stress × strain × volume, u = ½σε.

8.6Applications of elastic behaviour of materialsपदार्थों के प्रत्यास्थ व्यवहार के अनुप्रयोगElastic behaviour ke upyog

Crane rope: to lift 10 t without permanent stretch, A ≥ Mg/σ_y = 10⁴ × 9.8/(3 × 10⁸) = 3.3 × 10⁻⁴ m² (r ≈ 1 cm); with a safety factor of ten, r ≈ 3 cm — made of many thin wires braided together for flexibility. Beams: a beam of length l, breadth b, depth d loaded at the centre sags by δ = Wl³/(4bd³Y), so increasing the depth d is most effective; to avoid buckling, beams have an I-shaped cross-section. Mountains: the rock at the base must not flow under the weight above (shear yield ≈ 30 × 10⁷ N m⁻²), which limits a mountain on earth to about 10 km height.क्रेन की रस्सी: 10 t बिना स्थायी खिंचाव के उठाने के लिए A ≥ Mg/σ_y = 3.3 × 10⁻⁴ m² (r ≈ 1 cm); दस गुना सुरक्षा के साथ r ≈ 3 cm — लचीलेपन के लिए कई पतले तारों को गूँथकर। धरन: l लंबाई, b चौड़ाई, d गहराई की धरन केंद्र पर भार W से δ = Wl³/(4bd³Y) झुकती है, अतः गहराई d बढ़ाना सबसे प्रभावी; बकलिंग से बचने के लिए I-आकार काट। पर्वत: आधार की चट्टान ऊपर के भार से बहनी नहीं चाहिए, इससे पृथ्वी पर पर्वत की ऊँचाई लगभग 10 km तक सीमित है।Crane rope: A ≥ Mg/σ_y = 3.3 × 10⁻⁴ m², safety ke saath r ≈ 3 cm, kai patle taar. Beam: δ = Wl³/(4bd³Y) — depth badhao; I-shape. Pahaad: neeche ki chattan behni nahi chahiye ⇒ ~10 km max.

★ Yaad rakho — quick revision★ याद रखो — झटपट दोहराव★ Yaad rakho — quick revision

  1. Stress = F/A (Pa); strain = fractional change (no unit).प्रतिबल = F/A (Pa); विकृति = भिन्नात्मक परिवर्तन (मात्रकहीन)।Stress = F/A; strain unitless.
  2. Hooke’s law: stress ∝ strain (within the proportional limit).हुक का नियम: प्रतिबल ∝ विकृति (आनुपातिक सीमा में)।Hooke: stress ∝ strain.
  3. Y = FL/(AΔL); G = FL/(AΔx); B = −p/(ΔV/V); compressibility = 1/B.Y = FL/(AΔL); G = FL/(AΔx); B = −p/(ΔV/V); संपीड्यता = 1/B।Y = FL/(AΔL); G = FL/(AΔx); B = −p/(ΔV/V).
  4. Curve: proportional limit → yield point (σ_y) → ultimate strength → fracture.वक्र: आनुपातिक सीमा → पराभव बिंदु (σ_y) → चरम सामर्थ्य → भंजन।Curve: proportional limit → yield → ultimate → fracture.
  5. Poisson’s ratio = lateral strain/longitudinal strain.पॉयसन अनुपात = पार्श्व विकृति/अनुदैर्ध्य विकृति।Poisson = lateral/longitudinal strain.
  6. Elastic energy density u = ½ × stress × strain.प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व u = ½ × प्रतिबल × विकृति।u = ½ × stress × strain.
  7. Beam sag δ = Wl³/(4bd³Y): deep, I-shaped beams bend least.धरन का झुकाव δ = Wl³/(4bd³Y): गहरी, I-आकार धरनें सबसे कम झुकती हैं।δ = Wl³/(4bd³Y): I-beam.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Thinking rubber is more elastic than steel because it stretches more. Steel has the much larger Y — it is more elastic.सोचना कि रबर इस्पात से अधिक प्रत्यास्थ है क्योंकि अधिक खिंचता है। इस्पात का Y कहीं बड़ा — वह अधिक प्रत्यास्थ है।Rubber ko zyada elastic maanna. Steel ka Y bada — steel zyada elastic.
  • Calling stress “force”. Stress is force per unit area (the internal restoring force per area).प्रतिबल को “बल” कहना। प्रतिबल प्रति एकांक क्षेत्रफल बल है।Stress ko force kehna. Force per area hai.
  • Giving strain a unit. It is a ratio of like quantities — dimensionless.विकृति को मात्रक देना। यह समान राशियों का अनुपात — विमाहीन।Strain ki unit dena. Dimensionless.
  • Using the diameter for r in A = πr². Halve the diameter first.A = πr² में व्यास को r लेना। पहले व्यास का आधा कीजिए।Diameter ko r lena. Aadha karo.
  • Assuming the elastic limit and the proportional limit are the same point. Between A and B the body is elastic but not linear.प्रत्यास्थ सीमा और आनुपातिक सीमा को एक ही मानना। A और B के बीच वस्तु प्रत्यास्थ है पर रैखिक नहीं।Elastic limit = proportional limit maanna. A–B elastic par linear nahi.

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

8.1 A steel wire (4.7 m, 3.0 × 10⁻⁵ m²) stretches as much as a copper wire (3.5 m, 4.0 × 10⁻⁵ m²) under the same load. Ratio Y_steel/Y_copper?8.1 इस्पात का तार (4.7 m, 3.0 × 10⁻⁵ m²) समान भार पर ताँबे के तार (3.5 m, 4.0 × 10⁻⁵ m²) जितना खिंचता है। Y_इस्पात/Y_ताँबा?8.1 Steel aur copper wire same stretch. Y ratio?
Same F and ΔL ⇒ Y ∝ L/A. Y_s/Y_c = (4.7/3.0 × 10⁻⁵)/(3.5/4.0 × 10⁻⁵) = 1.567/0.875 ≈ 1.8.समान F और ΔL ⇒ Y ∝ L/A। Y_s/Y_c = 1.567/0.875 ≈ 1.8।Y ∝ L/A ⇒ 1.8.
8.2 From the stress-strain curve of Fig 8.9 find (a) Young’s modulus (b) the approximate yield strength.8.2 चित्र 8.9 के प्रतिबल-विकृति वक्र से (a) यंग गुणांक (b) लगभग पराभव सामर्थ्य ज्ञात कीजिए।8.2 Fig 8.9 se Y aur yield strength.
(a) In the linear part a stress of 150 × 10⁶ N m⁻² gives strain 0.002 ⇒ Y = 1.5 × 10⁸/0.002 = 7.5 × 10¹⁰ N m⁻². (b) The curve leaves the straight line at about 3 × 10⁸ N m⁻² — the approximate yield strength.(a) रैखिक भाग में 150 × 10⁶ N m⁻² पर विकृति 0.002 ⇒ Y = 7.5 × 10¹⁰ N m⁻²। (b) लगभग 3 × 10⁸ N m⁻²।(a) 7.5 × 10¹⁰ Pa (b) 3 × 10⁸ Pa.
8.3 For materials A and B (Fig 8.10, same scale): (a) which has the greater Young’s modulus? (b) which is stronger?8.3 पदार्थों A और B (चित्र 8.10) में: (a) किसका यंग गुणांक अधिक? (b) कौन अधिक मज़बूत?8.3 A aur B: (a) Y zyada? (b) strong?
(a) A — its linear part is steeper. (b) A — strength is the stress needed to break it, and A fractures at the higher stress.(a) A — रैखिक भाग अधिक ढालू। (b) A — तोड़ने के लिए अधिक प्रतिबल चाहिए।(a) A (b) A.
8.4 True or false with reasons: (a) Young’s modulus of rubber is greater than that of steel. (b) The stretching of a coil is determined by its shear modulus.8.4 कारण सहित सत्य/असत्य: (a) रबर का यंग गुणांक इस्पात से अधिक। (b) कुंडली का खिंचाव उसके अपरूपण गुणांक से तय होता है।8.4 (a) rubber ka Y steel se zyada? (b) coil ka stretch shear modulus se?
(a) False — for the same stress steel strains far less, so Y_steel ≫ Y_rubber. (b) True — when a coil spring is stretched, its wire twists; the length of the wire does not change, its shape does.(a) असत्य — समान प्रतिबल पर इस्पात बहुत कम विकृत होता है। (b) सत्य — कुंडली खिंचने पर तार ऐंठता है; तार की लंबाई नहीं, आकृति बदलती है।(a) False (b) True — wire twist hota hai.
8.5 Steel (1.5 m) and brass (1.0 m) wires, each 0.25 cm in diameter, are loaded as in Fig 8.11 (4.0 kg between them, 6.0 kg below). Find their elongations.8.5 0.25 cm व्यास के इस्पात (1.5 m) और पीतल (1.0 m) के तार चित्र 8.11 के अनुसार भारित (बीच में 4.0 kg, नीचे 6.0 kg)। दोनों का खिंचाव?8.5 Steel aur brass wires (Fig 8.11). Elongation?
A = π(1.25 × 10⁻³)² = 4.91 × 10⁻⁶ m². Steel carries 10 kg: ΔL = 98 × 1.5/(4.91 × 10⁻⁶ × 2.0 × 10¹¹) ≈ 1.5 × 10⁻⁴ m. Brass carries 6 kg: ΔL = 58.8 × 1.0/(4.91 × 10⁻⁶ × 0.91 × 10¹¹) ≈ 1.3 × 10⁻⁴ m ([[dg:b11p-two-wires|Fig 8.11]]).A = 4.91 × 10⁻⁶ m²। इस्पात पर 10 kg: ΔL ≈ 1.5 × 10⁻⁴ m। पीतल पर 6 kg (Y ≈ 0.91 × 10¹¹ Pa): ΔL ≈ 1.3 × 10⁻⁴ m ([[dg:b11p-two-wires|चित्र 8.11]])।Steel (10 kg) 1.5 × 10⁻⁴ m; brass (6 kg) 1.3 × 10⁻⁴ m.
8.6 An aluminium cube of edge 10 cm has one face fixed to a wall; 100 kg is attached to the opposite face. G = 25 GPa. Vertical deflection of that face?8.6 10 cm भुजा के ऐलुमिनियम घन का एक तल दीवार से जुड़ा; सामने के तल से 100 kg लटका। G = 25 GPa। उस तल का ऊर्ध्वाधर विस्थापन?8.6 Al cube 10 cm, 100 kg, G = 25 GPa. Deflection?
Stress = 980/0.01 = 9.8 × 10⁴ Pa; shear strain = 9.8 × 10⁴/2.5 × 10¹⁰ = 3.9 × 10⁻⁶; deflection = strain × L = 3.9 × 10⁻⁶ × 0.10 ≈ 3.9 × 10⁻⁷ m. (The NCERT answer key prints 4 × 10⁻⁶ m, which is the value of the shear strain; multiplying by L = 0.1 m gives the deflection above.)प्रतिबल = 9.8 × 10⁴ Pa; अपरूपण विकृति = 3.9 × 10⁻⁶; विस्थापन = विकृति × L ≈ 3.9 × 10⁻⁷ m। (NCERT उत्तरमाला में 4 × 10⁻⁶ m छपा है, जो विकृति का मान है; L = 0.1 m से गुणा करने पर ऊपर का उत्तर।)Strain = 3.9 × 10⁻⁶ ⇒ deflection ≈ 3.9 × 10⁻⁷ m (key mein 4 × 10⁻⁶ — woh strain hai).
8.7 Four identical hollow mild-steel columns (inner radius 30 cm, outer 60 cm) support 50,000 kg uniformly. Compressional strain of each column?8.7 चार समान खोखले इस्पात स्तंभ (भीतरी त्रिज्या 30 cm, बाहरी 60 cm) 50,000 kg को समान रूप से सँभालते हैं। प्रत्येक की संपीडन विकृति?8.7 Chaar columns, 50,000 kg. Strain?
Each column carries ¼ of the load: F = 50000 × 9.8/4 = 1.225 × 10⁵ N. A = π(0.6² − 0.3²) = 0.848 m². Strain = F/(AY) = 1.225 × 10⁵/(0.848 × 2.0 × 10¹¹) ≈ 7.2 × 10⁻⁷. (The answer key prints 2.8 × 10⁻⁶, which is what you get if the whole load is put on one column.)प्रत्येक पर ¼ भार: F = 1.225 × 10⁵ N। A = 0.848 m²। विकृति = F/(AY) ≈ 7.2 × 10⁻⁷। (उत्तरमाला का 2.8 × 10⁻⁶ पूरे भार को एक स्तंभ पर मानने से आता है।)F = 1.225 × 10⁵ N, A = 0.848 m² ⇒ 7.2 × 10⁻⁷ (key 2.8 × 10⁻⁶ = poora load ek column par).
8.8 A copper bar of cross-section 15.2 mm × 19.1 mm is pulled with 44,500 N (elastic). Resulting strain?8.8 15.2 mm × 19.1 mm काट वाली ताँबे की छड़ 44,500 N से खींची जाती है (प्रत्यास्थ)। विकृति?8.8 Copper 15.2 × 19.1 mm, 44,500 N. Strain?
A = 2.90 × 10⁻⁴ m²; stress = 1.53 × 10⁸ Pa; strain = stress/Y = 1.53 × 10⁸/1.2 × 10¹¹ ≈ 1.3 × 10⁻³.A = 2.90 × 10⁻⁴ m²; प्रतिबल = 1.53 × 10⁸ Pa; विकृति = 1.53 × 10⁸/1.2 × 10¹¹ ≈ 1.3 × 10⁻³।Strain = 1.53 × 10⁸/1.2 × 10¹¹ ≈ 1.3 × 10⁻³.
8.9 A steel cable of radius 1.5 cm supports a chairlift. If the stress must not exceed 10⁸ N m⁻², maximum load?8.9 1.5 cm त्रिज्या की इस्पात केबल चेयरलिफ्ट सँभालती है। प्रतिबल 10⁸ N m⁻² से अधिक न हो तो अधिकतम भार?8.9 Cable r = 1.5 cm, stress ≤ 10⁸. Max load?
F = σA = 10⁸ × π(0.015)² ≈ 7.07 × 10⁴ N.F = σA ≈ 7.07 × 10⁴ N।7.07 × 10⁴ N.
8.10 A rigid 15 kg bar hangs symmetrically from three 2.0 m wires: copper at the ends, iron in the middle. Ratio of diameters for equal tension?8.10 15 kg की दृढ़ छड़ तीन 2.0 m तारों से सममित लटकी है: सिरों पर ताँबा, बीच में लोहा। समान तनाव के लिए व्यासों का अनुपात?8.10 Copper ends, iron middle, equal tension. Diameter ratio?
The rigid bar makes all extensions equal; with equal T and L, ΔL = TL/(AY) equal ⇒ AY same ⇒ d_Cu/d_Fe = √(Y_Fe/Y_Cu) = √(190/120) ≈ 1.25.दृढ़ छड़ से सभी खिंचाव समान; समान T और L ⇒ AY समान ⇒ d_Cu/d_Fe = √(190/120) ≈ 1.25।AY same ⇒ √(190/120) ≈ 1.25.
8.11 A 14.5 kg mass on a 1.0 m steel wire (A = 0.065 cm²) is whirled in a vertical circle at 2 rev/s at the bottom. Elongation at the lowest point?8.11 1.0 m इस्पात तार (A = 0.065 cm²) के सिरे पर 14.5 kg को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है, निम्नतम बिंदु पर 2 rev/s। वहाँ खिंचाव?8.11 14.5 kg, 1 m wire, 2 rev/s. Lowest point par elongation?
At the bottom T = mg + mω²r. ω = 2 rev/s = 4π rad s⁻¹: T = 14.5 × 9.8 + 14.5 × (4π)² × 1.0 = 142 + 2290 ≈ 2432 N ⇒ ΔL = TL/(AY) = 2432/(6.5 × 10⁻⁶ × 2.0 × 10¹¹) ≈ 1.9 × 10⁻³ m. (The NCERT key gives 1.539 × 10⁻⁴ m, which matches taking ω = 2 rad s⁻¹ instead of 2 rev/s.)निम्नतम बिंदु पर T = mg + mω²r। ω = 4π rad s⁻¹: T ≈ 2432 N ⇒ ΔL ≈ 1.9 × 10⁻³ m। (उत्तरमाला का 1.539 × 10⁻⁴ m, ω = 2 rad s⁻¹ लेने से आता है।)T = mg + mω²r ≈ 2432 N ⇒ 1.9 × 10⁻³ m (key ka 1.539 × 10⁻⁴ m ω = 2 rad/s se).
8.12 Find the bulk modulus of water: pressure increase 100.0 atm, initial volume 100.0 L, final volume 100.5 L. Compare with air at constant temperature and explain the large ratio.8.12 जल का आयतन प्रत्यास्थता गुणांक: दाब वृद्धि 100.0 atm, आयतन 100.0 L और 100.5 L। स्थिर ताप पर वायु से तुलना कीजिए; अनुपात इतना बड़ा क्यों?8.12 Water ka B; air se compare.
B = Δp/(ΔV/V) = 100 × 1.013 × 10⁵/(0.5/100) = 2.03 × 10⁹ Pa. For air at constant temperature B = p ≈ 1.0 × 10⁵ Pa, so the ratio is ≈ 2 × 10⁴. In a liquid the molecules are packed closely and strong intermolecular forces resist compression; in a gas they are far apart and almost free.B = Δp/(ΔV/V) = 2.03 × 10⁹ Pa। स्थिर ताप पर वायु के लिए B = p ≈ 10⁵ Pa, अनुपात ≈ 2 × 10⁴। द्रव में अणु पास-पास और प्रबल अंतराअणुक बल संपीडन का विरोध करते हैं; गैस में अणु दूर-दूर।B = 2.03 × 10⁹ Pa; air ~10⁵ ⇒ ratio ~2 × 10⁴.
8.13 Density of water at a depth where the pressure is 80.0 atm, if the surface density is 1.03 × 10³ kg m⁻³?8.13 जहाँ दाब 80.0 atm हो, उस गहराई पर जल का घनत्व? सतह पर 1.03 × 10³ kg m⁻³।8.13 80 atm par water ka density?
ΔV/V = Δp/B = 80 × 1.013 × 10⁵/2.2 × 10⁹ = 3.68 × 10⁻³. ρ′ = ρ/(1 − ΔV/V) ≈ 1.03 × 10³ × 1.0037 ≈ 1.034 × 10³ kg m⁻³.ΔV/V = 3.68 × 10⁻³। ρ′ ≈ 1.034 × 10³ kg m⁻³।1.034 × 10³ kg m⁻³.
8.14 Fractional change in volume of a glass slab under a hydraulic pressure of 10 atm?8.14 10 atm द्रवचालित दाब पर काँच की पट्टिका के आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन?8.14 Glass, 10 atm. ΔV/V?
B(glass) = 37 GPa ⇒ ΔV/V = 10 × 1.013 × 10⁵/3.7 × 10¹⁰ ≈ 2.7 × 10⁻⁵ (i.e. 0.0027%).B(काँच) = 37 GPa ⇒ ΔV/V ≈ 2.7 × 10⁻⁵ (0.0027%)।2.7 × 10⁻⁵ (0.0027%).
8.15 Volume contraction of a solid copper cube of edge 10 cm under a hydraulic pressure of 7.0 × 10⁶ Pa?8.15 7.0 × 10⁶ Pa द्रवचालित दाब पर 10 cm भुजा के ठोस ताँबे के घन का आयतन संकुचन?8.15 Copper cube 10 cm, 7 × 10⁶ Pa. ΔV?
ΔV = Vp/B = 10⁻³ × 7.0 × 10⁶/1.4 × 10¹¹ = 5.0 × 10⁻⁸ m³ = 0.050 cm³ (using B(copper) = 140 GPa from Table 8.3; the answer key prints 0.058 cm³).ΔV = Vp/B = 5.0 × 10⁻⁸ m³ = 0.050 cm³ (सारणी 8.3 का B = 140 GPa; उत्तरमाला में 0.058 cm³)।ΔV = Vp/B = 0.050 cm³ (B = 140 GPa).
8.16 How much must the pressure on a litre of water change to compress it by 0.10%?8.16 एक लीटर जल को 0.10% संपीडित करने के लिए दाब कितना बदलना होगा?8.16 0.10% compress karne ko pressure?
Δp = B × ΔV/V = 2.2 × 10⁹ × 10⁻³ = 2.2 × 10⁶ Pa (≈ 22 atm).Δp = 2.2 × 10⁹ × 10⁻³ = 2.2 × 10⁶ Pa।2.2 × 10⁶ Pa.

🎯 Quiz — 13 questions🎯 क्विज़ — 13 प्रश्न🎯 Quiz — 13 questions

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1. The SI unit of stress isप्रतिबल का SI मात्रकStress ki unit

2. Strain hasविकृति केStrain ke

3. Which is the most elastic?सबसे अधिक प्रत्यास्थ कौन?Sabse elastic?

4. A wire is stretched by ΔL under F. A wire of the same material, double length and double radius, under the same F stretches byF से तार ΔL खिंचता है। उसी पदार्थ का दोगुनी लंबाई और दोगुनी त्रिज्या का तार उसी F से खिंचेगाDouble L, double r: ΔL?

5. Beyond the yield point a material showsपराभव बिंदु के बाद पदार्थ मेंYield point ke baad

6. If the ultimate strength and fracture point are far apart, the material isचरम सामर्थ्य और भंजन बिंदु दूर हों तो पदार्थD aur E door ⇒

7. The modulus involved when a body changes shape but not volume isआयतन बदले बिना आकृति बदलने में कौन-सा गुणांक?Shape badle, volume nahi

8. The bulk modulus is largest forआयतन प्रत्यास्थता गुणांक सबसे अधिक किसका?Sabse bada B

9. Compressibility isसंपीड्यता हैCompressibility =

10. Energy stored per unit volume in a stretched wire isखिंचे तार में प्रति एकांक आयतन संचित ऊर्जाEnergy per volume

11. A coil spring, when stretched, mainly involves theकुंडली कमानी खिंचने पर मुख्यतः संबंधित हैCoil spring stretch: kaunsa modulus

12. To make a beam bend least under a load it is best to increase itsभार से धरन कम झुके, इसके लिए सबसे अच्छा बढ़ाना हैBeam kam jhuke: badhao

13. 3000 m deep ocean water (B = 2.2 × 10⁹ Pa) is compressed by about3000 m गहरे समुद्र का जल (B = 2.2 × 10⁹ Pa) लगभग कितना संपीडित?3000 m: compression

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These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.