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Ch 1Units and Measurementमात्रक एवं मापनUnits and Measurement (Maatrak evam Maapan)

SI base units, significant figures and rounding off, dimensions, dimensional formulae and dimensional analysis — with every NCERT example and exercise solved.SI मूल मात्रक, सार्थक अंक और पूर्णांकन, विमाएँ, विमीय सूत्र और विमीय विश्लेषण — NCERT के सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के हल सहित।SI base units, significant figures aur rounding off, dimensions, dimensional formula aur dimensional analysis — NCERT ke saare examples aur exercise solved.

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Plane angle and solid angleसमतलीय कोण और घन कोणPlane angle and solid angleFig 1.1Simple pendulum — finding T by dimensionsसरल लोलक — विमाओं से T ज्ञात करनाSimple pendulum — finding T by dimensionsExample 1.5
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 1.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 1.2The international system of unitsमात्रकों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणालीInternational system of units (SI)
  3. 1.3Significant figuresसार्थक अंकSignificant figures
  4. 1.4Dimensions of physical quantitiesभौतिक राशियों की विमाएँPhysical quantities ki dimensions
  5. 1.5Dimensional formulae and dimensional equationsविमीय सूत्र एवं विमीय समीकरणDimensional formula aur dimensional equation
  6. 1.6Dimensional analysis and its applicationsविमीय विश्लेषण एवं इसके अनुप्रयोगDimensional analysis aur uske upyog
  7. ★Yaad rakho — quick revisionयाद रखो — झटपट दोहरावYaad rakho — quick revision
  8. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  9. ✎NCERT exercises — worked answersNCERT अभ्यास — हल सहित उत्तरNCERT exercises — worked answers
  10. 🎯Quizक्विज़Quiz

1.1IntroductionभूमिकाIntroduction

To measure a physical quantity is to compare it with a fixed, internationally accepted reference standard called a unit. A measurement is always written as number × unit, e.g. 5.2 m. Units of the fundamental (base) quantities are base units; units of all other quantities are combinations of them and are called derived units. A complete set of base and derived units is a system of units.किसी भौतिक राशि का मापन उसे एक निश्चित, अंतर्राष्ट्रीय रूप से मान्य संदर्भ-मानक से तुलना करना है, जिसे मात्रक कहते हैं। माप हमेशा संख्या × मात्रक के रूप में लिखी जाती है, जैसे 5.2 m। मूल राशियों के मात्रक मूल मात्रक हैं; बाकी सभी राशियों के मात्रक इन्हीं के संयोजन हैं और व्युत्पन्न मात्रक कहलाते हैं। मूल और व्युत्पन्न मात्रकों का पूरा समुच्चय मात्रकों की प्रणाली है।Kisi physical quantity ko measure karna matlab use ek fixed, international reference standard se compare karna, jise unit kehte hain. Measurement hamesha number × unit likha jaata hai, jaise 5.2 m. Base quantities ki units base units hain; baaki sab quantities ki units inhi ka combination hain — derived units. Base + derived units ka poora set system of units hai.

1.2The international system of unitsमात्रकों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणालीInternational system of units (SI)

Earlier, three systems were common: CGS (centimetre, gram, second), FPS (foot, pound, second) and MKS (metre, kilogram, second). Today the internationally accepted system is the SI (Système International d’Unités), developed by BIPM and last revised in November 2018. It is a decimal system, so conversions are easy.पहले तीन प्रणालियाँ प्रचलित थीं: CGS (सेंटीमीटर, ग्राम, सेकंड), FPS (फुट, पाउंड, सेकंड) और MKS (मीटर, किलोग्राम, सेकंड)। आज अंतर्राष्ट्रीय रूप से स्वीकृत प्रणाली SI (Système International d’Unités) है, जिसे BIPM ने विकसित किया और नवंबर 2018 में संशोधित किया गया। यह दशमलव प्रणाली है, इसलिए रूपांतरण आसान है।Pehle teen systems chalte the: CGS (centimetre, gram, second), FPS (foot, pound, second) aur MKS (metre, kilogram, second). Aaj international system SI (Système International d’Unités) hai — BIPM ne banaya, November 2018 mein revise hua. Ye decimal system hai, isliye conversion aasaan.

These are the seven SI base units (Table 1.1). Since 2018 each is defined by fixing the value of a constant of nature — the metre through the speed of light c, the kilogram through Planck’s constant h, the second through the caesium-133 frequency, and so on. NCERT notes these exact values need not be memorised.ये सात SI मूल मात्रक हैं (सारणी 1.1)। 2018 से हर एक की परिभाषा प्रकृति के किसी स्थिरांक का मान निश्चित करके दी जाती है — मीटर प्रकाश की चाल c से, किलोग्राम प्लांक स्थिरांक h से, सेकंड सीज़ियम-133 की आवृत्ति से, आदि। NCERT के अनुसार इन सटीक मानों को रटने की ज़रूरत नहीं।Ye saat SI base units hain (Table 1.1). 2018 se har ek ko kisi natural constant ki value fix karke define kiya jaata hai — metre speed of light c se, kilogram Planck constant h se, second caesium-133 frequency se. NCERT kehta hai ye exact values ratne ki zaroorat nahi.

Two more units are defined for angles (Fig 1.1): plane angle dθ = ds/r, unit radian (rad), and solid angle dΩ = dA/r², unit steradian (sr). Both are ratios of like quantities, so they are dimensionless.कोणों के लिए दो और मात्रक परिभाषित हैं (चित्र 1.1): समतलीय कोण dθ = ds/r, मात्रक रेडियन (rad), और घन कोण dΩ = dA/r², मात्रक स्टेरेडियन (sr)। दोनों समान राशियों के अनुपात हैं, अतः विमाहीन हैं।Angles ke liye do aur units hain (Fig 1.1): plane angle dθ = ds/r, unit radian (rad), aur solid angle dΩ = dA/r², unit steradian (sr). Dono same quantities ka ratio hain, isliye dimensionless.

Plane angle and solid angleसमतलीय कोण और घन कोणPlane angle and solid angleNCERT Fig 1.1 · 7 tappable partsNCERT चित्र 1.1 · 7 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Fig 1.1 · 7 tappable partsOpen
dθ = ds / r ; dΩ = dA / r²
full circle = 2π rad; full sphere = 4π srपूरा वृत्त = 2π rad; पूरा गोला = 4π srpoora circle = 2π rad; poora sphere = 4π sr

Some units outside SI are still in use (Table 1.2), e.g. minute, hour, day, year, litre (L = 10⁻³ m³), tonne (10³ kg), degree of angle, and on astronomical scales the light year (1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m), the astronomical unit (1 AU ≈ 1.496 × 10¹¹ m) and the parsec.SI के बाहर के कुछ मात्रक अब भी प्रयोग होते हैं (सारणी 1.2), जैसे मिनट, घंटा, दिन, वर्ष, लीटर (L = 10⁻³ m³), टन (10³ kg), कोण का डिग्री, और खगोलीय पैमाने पर प्रकाश वर्ष (1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m), खगोलीय मात्रक (1 AU ≈ 1.496 × 10¹¹ m) और पारसेक।SI ke bahar ki kuch units ab bhi chalti hain (Table 1.2): minute, hour, day, year, litre (L = 10⁻³ m³), tonne (10³ kg), degree, aur astronomy mein light year (1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m), astronomical unit (1 AU ≈ 1.496 × 10¹¹ m) aur parsec.

1.3Significant figuresसार्थक अंकSignificant figures

Every measurement has some error. So we report all digits that are reliably known plus the first uncertain digit — these are the significant figures. A pendulum period of 1.62 s has 3 significant figures (1 and 6 certain, 2 uncertain). They show the precision of the measurement, which depends on the least count of the instrument. Changing units does not change the number of significant figures: 2.308 cm = 0.02308 m = 23.08 mm all have four.हर माप में कुछ त्रुटि होती है। इसलिए हम विश्वसनीय रूप से ज्ञात सभी अंक और पहला अनिश्चित अंक लिखते हैं — ये सार्थक अंक हैं। लोलक का आवर्तकाल 1.62 s लिखने पर 3 सार्थक अंक हैं (1 और 6 निश्चित, 2 अनिश्चित)। ये माप की परिशुद्धता दिखाते हैं, जो यंत्र के अल्पतमांक पर निर्भर है। मात्रक बदलने से सार्थक अंकों की संख्या नहीं बदलती: 2.308 cm = 0.02308 m = 23.08 mm — सभी में चार।Har measurement mein kuch error hota hai. Isliye hum reliable digits + pehla uncertain digit likhte hain — yahi significant figures hain. Pendulum period 1.62 s mein 3 significant figures (1 aur 6 pakke, 2 uncertain). Ye measurement ki precision dikhate hain jo instrument ke least count par depend karti hai. Unit badalne se significant figures nahi badalte: 2.308 cm = 0.02308 m = 23.08 mm — sab mein chaar.

Rules for counting significant figures(1) All non-zero digits are significant. (2) Zeros between two non-zero digits are significant. (3) For a number less than 1, zeros right of the decimal point but left of the first non-zero digit are not significant (0.002308 → 4). (4) Trailing zeros in a number without a decimal point are not significant (123 m = 12300 cm → 3). (5) Trailing zeros in a number with a decimal point are significant (3.500, 0.06900 → 4 each). (6) Exact numbers like the 2 in 2πr have infinitely many significant figures.सार्थक अंक गिनने के नियम(1) सभी शून्येतर अंक सार्थक हैं। (2) दो शून्येतर अंकों के बीच के शून्य सार्थक हैं। (3) 1 से छोटी संख्या में दशमलव के दाईं ओर पर पहले शून्येतर अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं (0.002308 → 4)। (4) दशमलव रहित संख्या के अंतिम शून्य सार्थक नहीं (123 m = 12300 cm → 3)। (5) दशमलव वाली संख्या के अंतिम शून्य सार्थक हैं (3.500, 0.06900 → प्रत्येक में 4)। (6) 2πr के 2 जैसी यथार्थ संख्याओं में अनंत सार्थक अंक होते हैं।Significant figures ginne ke niyam(1) Saare non-zero digits significant. (2) Do non-zero digits ke beech ke zero significant. (3) 1 se chhoti number mein decimal ke right par lekin pehle non-zero digit se pehle wale zero significant nahi (0.002308 → 4). (4) Decimal ke bina number ke last zeros significant nahi (123 m = 12300 cm → 3). (5) Decimal wali number ke last zeros significant (3.500, 0.06900 → dono mein 4). (6) 2πr ke 2 jaise exact numbers mein infinite significant figures.

To avoid confusion about trailing zeros, write every measurement in scientific notation a × 10ᵇ (1 ≤ a < 10). All digits of a are significant; the power of 10 is irrelevant: 4.700 m = 4.700 × 10² cm = 4.700 × 10⁻³ km — four in each. Rounding a to 1 (a ≤ 5) or 10 (5 < a ≤ 10) gives the order of magnitude: Earth’s diameter 1.28 × 10⁷ m is of order 10⁷ m; a hydrogen atom (1.06 × 10⁻¹⁰ m) is of order 10⁻¹⁰ m — 17 orders smaller.अंतिम शून्यों का भ्रम दूर करने के लिए हर माप को वैज्ञानिक संकेत a × 10ᵇ (1 ≤ a < 10) में लिखें। a के सभी अंक सार्थक हैं; 10 की घात का कोई प्रभाव नहीं: 4.700 m = 4.700 × 10² cm = 4.700 × 10⁻³ km — हर एक में चार। a को 1 (a ≤ 5) या 10 (5 < a ≤ 10) में पूर्णांकित करने पर परिमाण की कोटि मिलती है: पृथ्वी का व्यास 1.28 × 10⁷ m कोटि 10⁷ m; हाइड्रोजन परमाणु (1.06 × 10⁻¹⁰ m) कोटि 10⁻¹⁰ m — 17 कोटि छोटा।Trailing zeros ka confusion hataane ke liye har measurement ko scientific notation a × 10ᵇ (1 ≤ a < 10) mein likhiye. a ke saare digits significant; 10 ki power se farak nahi: 4.700 m = 4.700 × 10² cm = 4.700 × 10⁻³ km — sab mein chaar. a ko 1 (a ≤ 5) ya 10 (5 < a ≤ 10) karne par order of magnitude milta hai: Earth ka diameter 1.28 × 10⁷ m → order 10⁷ m; hydrogen atom (1.06 × 10⁻¹⁰ m) → 10⁻¹⁰ m — 17 order chhota.

1.3.1Rules for arithmetic operationsअंकगणितीय संक्रियाओं के नियमArithmetic operations ke niyam

1.3.2Rounding off the uncertain digitsअनिश्चित अंकों का पूर्णांकनUncertain digits ka rounding off

If the digit to be dropped is more than 5, raise the preceding digit by 1 (2.746 → 2.75); if less than 5, leave it (1.743 → 1.74). If it is exactly 5: leave the preceding digit if it is even (2.745 → 2.74), raise it if it is odd (2.735 → 2.74).हटाया जाने वाला अंक 5 से अधिक हो तो पिछला अंक 1 बढ़ाएँ (2.746 → 2.75); 5 से कम हो तो वैसा ही छोड़ें (1.743 → 1.74)। ठीक 5 हो तो: पिछला अंक सम हो तो वैसा ही (2.745 → 2.74), विषम हो तो 1 बढ़ाएँ (2.735 → 2.74)।Hatane wala digit 5 se zyada ho to pichhla digit 1 badhaiye (2.746 → 2.75); 5 se kam ho to waisa hi (1.743 → 1.74). Theek 5 ho to: pichhla digit even ho to waisa hi (2.745 → 2.74), odd ho to 1 badhaiye (2.735 → 2.74).

1.3.3Uncertainty in the results of arithmetic calculationsअंकगणितीय गणनाओं के परिणामों में अनिश्चितताCalculations ke result mein uncertainty

If l = 16.2 cm ± 0.1 cm (± 0.6 %) and b = 10.1 cm ± 0.1 cm (± 1 %), then l × b = 163.62 cm² ± 1.6 % = 163.62 ± 2.6 cm², quoted as 164 ± 3 cm². Data given to n significant figures give a result valid to n figures — but subtraction can reduce them (12.9 g − 7.06 g = 5.8 g, not 5.84 g). The relative error depends on the number too: ± 0.01 g is ± 1 % of 1.02 g but only ± 0.1 % of 9.89 g.यदि l = 16.2 cm ± 0.1 cm (± 0.6 %) और b = 10.1 cm ± 0.1 cm (± 1 %), तो l × b = 163.62 cm² ± 1.6 % = 163.62 ± 2.6 cm², जिसे 164 ± 3 cm² लिखेंगे। n सार्थक अंकों वाले आँकड़ों से परिणाम भी n अंकों तक मान्य — पर घटाने पर ये कम हो सकते हैं (12.9 g − 7.06 g = 5.8 g, 5.84 g नहीं)। आपेक्षिक त्रुटि संख्या पर भी निर्भर है: ± 0.01 g, 1.02 g का ± 1 % है पर 9.89 g का केवल ± 0.1 %।Agar l = 16.2 cm ± 0.1 cm (± 0.6 %) aur b = 10.1 cm ± 0.1 cm (± 1 %), to l × b = 163.62 cm² ± 1.6 % = 163.62 ± 2.6 cm², yaani 164 ± 3 cm². n s.f. wale data se result bhi n figures tak valid — par subtraction mein kam ho sakte hain (12.9 g − 7.06 g = 5.8 g, 5.84 g nahi). Relative error number par bhi depend: ± 0.01 g, 1.02 g ka ± 1 % hai par 9.89 g ka sirf ± 0.1 %.

Solved (NCERT Example 1.1)Each side of a cube is 7.203 m. Side has 4 s.f., so answers get 4 s.f. Surface area = 6 × (7.203)² = 311.299254 → 311.3 m². Volume = (7.203)³ = 373.714754 → 373.7 m³.हल (NCERT उदाहरण 1.1)घन की प्रत्येक भुजा 7.203 m। भुजा में 4 सार्थक अंक, अतः उत्तर भी 4 सार्थक अंकों में। पृष्ठ क्षेत्रफल = 6 × (7.203)² = 311.299254 → 311.3 m²। आयतन = (7.203)³ = 373.714754 → 373.7 m³।Solved (NCERT Example 1.1)Cube ki har side 7.203 m. Side mein 4 s.f., to answer bhi 4 s.f. Surface area = 6 × (7.203)² = 311.299254 → 311.3 m². Volume = (7.203)³ = 373.714754 → 373.7 m³.
Solved (NCERT Example 1.2)5.74 g occupies 1.2 cm³. Mass has 3 s.f., volume only 2, so density gets 2 s.f.: 5.74/1.2 = 4.78… → 4.8 g cm⁻³.हल (NCERT उदाहरण 1.2)5.74 g पदार्थ 1.2 cm³ घेरता है। द्रव्यमान में 3 और आयतन में केवल 2 सार्थक अंक, अतः घनत्व 2 अंकों में: 5.74/1.2 = 4.78… → 4.8 g cm⁻³।Solved (NCERT Example 1.2)5.74 g, 1.2 cm³ gherta hai. Mass mein 3 s.f., volume mein sirf 2, to density 2 s.f. mein: 5.74/1.2 = 4.78… → 4.8 g cm⁻³.

1.4Dimensions of physical quantitiesभौतिक राशियों की विमाएँPhysical quantities ki dimensions

All mechanical quantities can be written in terms of three base quantities: length [L], mass [M], time [T] (with [A], [K], [mol], [cd] for the others). The dimensions of a quantity are the powers to which the base quantities are raised to represent it. Volume = length³ → dimensions [L³] (3 in length, 0 in mass and time). Force = mass × acceleration → [M L T⁻²]. Only the nature of the quantity matters, not its magnitude — a change in velocity, initial velocity and final velocity all have [L T⁻¹].सभी यांत्रिक राशियों को तीन मूल राशियों में व्यक्त किया जा सकता है: लंबाई [L], द्रव्यमान [M], समय [T] (बाकी के लिए [A], [K], [mol], [cd])। किसी राशि की विमाएँ वे घातें हैं जिन पर मूल राशियों को उठाकर उस राशि को निरूपित किया जाता है। आयतन = लंबाई³ → विमाएँ [L³] (लंबाई में 3, द्रव्यमान और समय में 0)। बल = द्रव्यमान × त्वरण → [M L T⁻²]। राशि की केवल प्रकृति मायने रखती है, परिमाण नहीं — वेग में परिवर्तन, प्रारंभिक और अंतिम वेग सबकी विमा [L T⁻¹]।Saari mechanical quantities teen base quantities mein likhi ja sakti hain: length [L], mass [M], time [T] (baaki ke liye [A], [K], [mol], [cd]). Kisi quantity ki dimensions wo powers hain jin par base quantities ko raise karke use represent karte hain. Volume = length³ → [L³] (length mein 3, mass aur time mein 0). Force = mass × acceleration → [M L T⁻²]. Sirf quantity ki nature matter karti hai, magnitude nahi — velocity change, initial aur final velocity sab [L T⁻¹].

1.5Dimensional formulae and dimensional equationsविमीय सूत्र एवं विमीय समीकरणDimensional formula aur dimensional equation

The expression showing how and which base quantities represent a quantity is its dimensional formula: volume [M⁰ L³ T⁰], speed [M⁰ L T⁻¹], acceleration [M⁰ L T⁻²], mass density [M L⁻³ T⁰]. Equating a quantity to its dimensional formula gives a dimensional equation, e.g. [V] = [M⁰ L³ T⁰], [F] = [M L T⁻²].वह व्यंजक जो बताता है कि कौन-सी मूल राशियाँ किस प्रकार किसी राशि को निरूपित करती हैं, उसका विमीय सूत्र है: आयतन [M⁰ L³ T⁰], चाल [M⁰ L T⁻¹], त्वरण [M⁰ L T⁻²], द्रव्यमान घनत्व [M L⁻³ T⁰]। राशि को उसके विमीय सूत्र के बराबर लिखने पर विमीय समीकरण मिलता है, जैसे [V] = [M⁰ L³ T⁰], [F] = [M L T⁻²]।Wo expression jo batata hai ki kaun-si base quantities kaise kisi quantity ko represent karti hain — dimensional formula: volume [M⁰ L³ T⁰], speed [M⁰ L T⁻¹], acceleration [M⁰ L T⁻²], density [M L⁻³ T⁰]. Quantity ko uske dimensional formula ke barabar likhna = dimensional equation, jaise [V] = [M⁰ L³ T⁰], [F] = [M L T⁻²].

[F] = [M L T⁻²] ; [W] = [E] = [M L² T⁻²] ; [P] = [M L² T⁻³]
force, work/energy, powerबल, कार्य/ऊर्जा, शक्तिforce, work/energy, power
[p] = [M L T⁻¹] ; [pressure] = [M L⁻¹ T⁻²] ; [G] = [M⁻¹ L³ T⁻²]
momentum, pressure, gravitational constantसंवेग, दाब, गुरुत्वीय स्थिरांकmomentum, pressure, gravitational constant

1.6Dimensional analysis and its applicationsविमीय विश्लेषण एवं इसके अनुप्रयोगDimensional analysis aur uske upyog

Only quantities with the same dimensions can be added, subtracted or equated (you cannot add velocity to force). Dimensions can be treated like algebraic symbols — they cancel in division. Quantities on both sides of an equation must have the same dimensions: this is the principle of homogeneity.केवल समान विमाओं वाली राशियाँ ही जोड़ी, घटाई या बराबर की जा सकती हैं (वेग को बल में नहीं जोड़ सकते)। विमाओं को बीजगणितीय प्रतीकों की तरह लिया जा सकता है — भाग देने पर कट जाती हैं। समीकरण के दोनों पक्षों की विमाएँ समान होनी चाहिए: यह विमाओं की समांगता का सिद्धांत है।Sirf same dimensions wali quantities hi jod, ghata ya barabar ki ja sakti hain (velocity ko force mein nahi jod sakte). Dimensions ko algebra symbols ki tarah treat kar sakte hain — divide karne par cancel. Equation ke dono sides ki dimensions same honi chahiye: principle of homogeneity.

1.6.1Checking the dimensional consistency of equationsसमीकरणों की विमीय संगति की जाँचEquations ki dimensional consistency check

If an equation fails the dimension test it is definitely wrong; if it passes, it is not necessarily right — dimensionless constants (½, 2π) and dimensionless functions (sin θ, eˣ, log) cannot be checked. Example: x = x₀ + v₀t + ½at² → [L] = [L] + [L T⁻¹][T] + [L T⁻²][T²] = [L] ✓.यदि कोई समीकरण विमीय परीक्षण में असफल हो तो वह निश्चित रूप से गलत है; सफल हो तो आवश्यक नहीं कि सही हो — विमाहीन स्थिरांक (½, 2π) और विमाहीन फलन (sin θ, eˣ, log) जाँचे नहीं जा सकते। उदाहरण: x = x₀ + v₀t + ½at² → [L] = [L] + [L T⁻¹][T] + [L T⁻²][T²] = [L] ✓।Agar equation dimension test mein fail ho to pakka galat hai; pass ho to zaroori nahi sahi ho — dimensionless constants (½, 2π) aur functions (sin θ, eˣ, log) check nahi hote. Example: x = x₀ + v₀t + ½at² → [L] = [L] + [L T⁻¹][T] + [L T⁻²][T²] = [L] ✓.

Solved (NCERT Example 1.3)Check ½ m v² = m g h. LHS: [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²]. RHS: [M][L T⁻²][L] = [M L² T⁻²]. Same, so the equation is dimensionally correct.हल (NCERT उदाहरण 1.3)½ m v² = m g h की जाँच। बायाँ पक्ष: [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²]। दायाँ पक्ष: [M][L T⁻²][L] = [M L² T⁻²]। समान, अतः समीकरण विमीय रूप से सही है।Solved (NCERT Example 1.3)½ m v² = m g h check. LHS: [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²]. RHS: [M][L T⁻²][L] = [M L² T⁻²]. Same, to equation dimensionally sahi.
Solved (NCERT Example 1.4)Which of (a) K = m²v³, (b) K = ½mv², (c) K = ma, (d) K = (3/16)mv², (e) K = ½mv² + ma can be ruled out? [K] = [M L² T⁻²]. (a) [M² L³ T⁻³] ✗, (c) [M L T⁻²] ✗, (e) mixes [M L² T⁻²] with [M L T⁻²] ✗. (b) and (d) are dimensionally right — only experiment/theory shows (b) is the correct one.हल (NCERT उदाहरण 1.4)(a) K = m²v³, (b) K = ½mv², (c) K = ma, (d) K = (3/16)mv², (e) K = ½mv² + ma में से कौन-से गलत हैं? [K] = [M L² T⁻²]। (a) [M² L³ T⁻³] ✗, (c) [M L T⁻²] ✗, (e) [M L² T⁻²] और [M L T⁻²] का मेल ✗। (b) और (d) विमीय रूप से सही — केवल प्रयोग/सिद्धांत बताता है कि (b) सही है।Solved (NCERT Example 1.4)(a) K = m²v³, (b) K = ½mv², (c) K = ma, (d) K = (3/16)mv², (e) K = ½mv² + ma mein kaun galat? [K] = [M L² T⁻²]. (a) [M² L³ T⁻³] ✗, (c) [M L T⁻²] ✗, (e) [M L² T⁻²] aur [M L T⁻²] ka mel ✗. (b) aur (d) dimensionally sahi — sirf experiment/theory batata hai ki (b) hi sahi hai.

1.6.2Deducing relation among physical quantitiesभौतिक राशियों के बीच संबंध व्युत्पन्न करनाPhysical quantities ke beech relation nikalna

If a quantity depends on others as a product of powers, dimensions can give the relation (up to a dimensionless constant). Write the quantity ∝ product of the others raised to unknown powers, equate the powers of M, L and T on both sides, and solve. See the pendulum diagram.यदि कोई राशि अन्य राशियों पर घातों के गुणनफल के रूप में निर्भर है, तो विमाओं से संबंध (एक विमाहीन स्थिरांक तक) निकाला जा सकता है। राशि ∝ अन्य राशियों की अज्ञात घातों का गुणनफल लिखें, दोनों ओर M, L, T की घातें बराबर करें और हल करें। लोलक का डायग्राम देखें।Agar koi quantity doosri quantities par powers ke product ki tarah depend kare, to dimensions se relation (ek dimensionless constant tak) nikal sakte hain. Quantity ∝ baaki quantities ki unknown powers ka product likhiye, dono taraf M, L, T ki powers barabar kijiye aur solve kijiye. Pendulum diagram dekhiye.

Simple pendulum — finding T by dimensionsसरल लोलक — विमाओं से T ज्ञात करनाSimple pendulum — finding T by dimensionsNCERT Example 1.5 · 6 tappable partsNCERT उदाहरण 1.5 · 6 टैप करने लायक हिस्सेNCERT Example 1.5 · 6 tappable partsOpen
Solved (NCERT Example 1.5)Let T = k lˣ gʸ mᶻ. [L⁰ M⁰ T¹] = [L]ˣ [L T⁻²]ʸ [M]ᶻ = [L^(x+y) T^(−2y) M^z]. So x + y = 0, −2y = 1, z = 0 → y = −½, x = ½. Hence T = k √(l/g); experiment gives k = 2π, so T = 2π√(l/g). The method cannot find k.हल (NCERT उदाहरण 1.5)मान लें T = k lˣ gʸ mᶻ। [L⁰ M⁰ T¹] = [L]ˣ [L T⁻²]ʸ [M]ᶻ = [L^(x+y) T^(−2y) M^z]। अतः x + y = 0, −2y = 1, z = 0 → y = −½, x = ½। इसलिए T = k √(l/g); प्रयोग से k = 2π, अर्थात् T = 2π√(l/g)। यह विधि k नहीं दे सकती।Solved (NCERT Example 1.5)Maan lo T = k lˣ gʸ mᶻ. [L⁰ M⁰ T¹] = [L]ˣ [L T⁻²]ʸ [M]ᶻ = [L^(x+y) T^(−2y) M^z]. To x + y = 0, −2y = 1, z = 0 → y = −½, x = ½. Isliye T = k √(l/g); experiment se k = 2π, yaani T = 2π√(l/g). Ye method k nahi de sakta.
Try it in our labChange the length in the simple pendulum simulator and check that T² ∝ l, exactly as dimensional analysis predicts.हमारी लैब में करके देखिएसरल लोलक सिम्युलेटर में लंबाई बदलिए और जाँचिए कि T² ∝ l, जैसा विमीय विश्लेषण बताता है।Hamari lab mein karke dekhiyeSimple pendulum simulator mein length badaliye aur check kijiye ki T² ∝ l, jaisa dimensional analysis kehta hai.

★ Yaad rakho — quick revision★ याद रखो — झटपट दोहराव★ Yaad rakho — quick revision

  1. 7 SI base units: m, kg, s, A, K, mol, cd. Plane angle in rad (dθ = ds/r), solid angle in sr (dΩ = dA/r²) — both dimensionless.7 SI मूल मात्रक: m, kg, s, A, K, mol, cd। समतलीय कोण rad में (dθ = ds/r), घन कोण sr में (dΩ = dA/r²) — दोनों विमाहीन।7 SI base units: m, kg, s, A, K, mol, cd. Plane angle rad mein (dθ = ds/r), solid angle sr mein (dΩ = dA/r²) — dono dimensionless.
  2. Significant figures = reliable digits + first uncertain digit. Changing units never changes them.सार्थक अंक = विश्वसनीय अंक + पहला अनिश्चित अंक। मात्रक बदलने से ये कभी नहीं बदलते।Significant figures = reliable digits + pehla uncertain digit. Unit badalne se kabhi nahi badalte.
  3. × and ÷ → least significant figures. + and − → least decimal places.× और ÷ → सबसे कम सार्थक अंक। + और − → सबसे कम दशमलव स्थान।× aur ÷ → sabse kam significant figures. + aur − → sabse kam decimal places.
  4. Rounding a dropped 5: preceding digit even → keep; odd → raise by 1 (2.745 → 2.74, 2.735 → 2.74).हटाया जाने वाला अंक 5: पिछला अंक सम → वैसा ही; विषम → 1 बढ़ाएँ (2.745 → 2.74, 2.735 → 2.74)।Drop hone wala digit 5: pichhla even → waisa hi; odd → 1 badhao (2.745 → 2.74, 2.735 → 2.74).
  5. [F] = [MLT⁻²], [E] = [ML²T⁻²], [P] = [ML²T⁻³], [p] = [MLT⁻¹], pressure [ML⁻¹T⁻²], [G] = [M⁻¹L³T⁻²].[F] = [MLT⁻²], [E] = [ML²T⁻²], [P] = [ML²T⁻³], [p] = [MLT⁻¹], दाब [ML⁻¹T⁻²], [G] = [M⁻¹L³T⁻²]।[F] = [MLT⁻²], [E] = [ML²T⁻²], [P] = [ML²T⁻³], [p] = [MLT⁻¹], pressure [ML⁻¹T⁻²], [G] = [M⁻¹L³T⁻²].
  6. Dimensionally wrong ⇒ surely wrong. Dimensionally right ⇒ only may be right (constants like ½, 2π are invisible).विमीय रूप से गलत ⇒ निश्चित गलत। विमीय रूप से सही ⇒ केवल सही हो सकता है (½, 2π जैसे स्थिरांक नहीं दिखते)।Dimensionally galat ⇒ pakka galat. Dimensionally sahi ⇒ sirf sahi ho sakta hai (½, 2π jaise constants nahi dikhte).
  7. Pendulum by dimensions: T = k√(l/g), independent of mass; k = 2π from experiment.विमाओं से लोलक: T = k√(l/g), द्रव्यमान से स्वतंत्र; k = 2π प्रयोग से।Dimensions se pendulum: T = k√(l/g), mass se independent; k = 2π experiment se.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Counting the leading zeros of 0.00230 as significant. Only 230 counts → 3 significant figures.0.00230 के आगे के शून्यों को सार्थक गिनना। केवल 230 गिना जाएगा → 3 सार्थक अंक।0.00230 ke aage ke zeros ko significant ginna. Sirf 230 ginenge → 3 s.f.
  • Using the significant-figure rule for addition: 2.30 kg + 0.040 kg is limited by decimal places, not by significant figures.जोड़ में सार्थक-अंक नियम लगाना: 2.30 kg + 0.040 kg में सीमा दशमलव स्थानों की है, सार्थक अंकों की नहीं।Addition mein s.f. wala rule lagana: 2.30 kg + 0.040 kg mein limit decimal places ki hai, s.f. ki nahi.
  • Writing a calculator answer with all its digits (4.783333 g cm⁻³). Round to the least precise data.कैलकुलेटर का पूरा उत्तर लिख देना (4.783333 g cm⁻³)। सबसे कम परिशुद्ध आँकड़े के अनुसार पूर्णांकित करें।Calculator ka poora answer likh dena (4.783333 g cm⁻³). Sabse kam precise data ke hisaab se round kijiye.
  • Thinking a dimensionally correct equation must be correct. K = (3/16)mv² is dimensionally fine but wrong.यह मानना कि विमीय रूप से सही समीकरण सही ही होगा। K = (3/16)mv² विमीय रूप से ठीक है पर गलत है।Ye maanna ki dimensionally sahi equation sahi hi hogi. K = (3/16)mv² dimensionally theek par galat hai.
  • Forgetting that rad and sr have no dimensions, or that sin θ, log x, eˣ need dimensionless arguments.भूल जाना कि rad और sr की कोई विमा नहीं, और sin θ, log x, eˣ के तर्क विमाहीन होने चाहिए।Bhool jaana ki rad aur sr ki koi dimension nahi, aur sin θ, log x, eˣ ke argument dimensionless hone chahiye.
  • Converting km h⁻² by dividing by 3600 once. Time is squared: 1 m s⁻² = 10⁻³ km × (3600)² h⁻² = 12960 km h⁻².km h⁻² में बदलते समय 3600 से एक बार भाग देना। समय का वर्ग है: 1 m s⁻² = 10⁻³ km × (3600)² h⁻² = 12960 km h⁻²।km h⁻² mein badalte waqt 3600 se ek baar divide karna. Time ka square hai: 1 m s⁻² = 10⁻³ km × (3600)² h⁻² = 12960 km h⁻².

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Exercises (tap a question to see the worked answer)अभ्यास (हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें)Exercises (hal dekhne ke liye question par tap kijiye)

1.1 Fill in the blanks: (a) volume of a cube of side 1 cm = … m³ (b) surface area of a solid cylinder of radius 2.0 cm and height 10.0 cm = … (mm)² (c) 18 km h⁻¹ covers … m in 1 s (d) relative density of lead is 11.3; density = … g cm⁻³ or … kg m⁻³1.1 रिक्त स्थान भरिए: (a) 1 cm भुजा वाले घन का आयतन … m³ (b) 2.0 cm त्रिज्या और 10.0 cm ऊँचाई वाले ठोस बेलन का पृष्ठ क्षेत्रफल … (mm)² (c) 18 km h⁻¹ की चाल से 1 s में … m (d) सीसे का आपेक्षिक घनत्व 11.3; घनत्व … g cm⁻³ या … kg m⁻³1.1 Blanks bhariye: (a) 1 cm side wale cube ka volume … m³ (b) 2.0 cm radius, 10.0 cm height wale solid cylinder ka surface area … (mm)² (c) 18 km h⁻¹ se 1 s mein … m (d) lead ki relative density 11.3; density … g cm⁻³ ya … kg m⁻³
(a) (10⁻² m)³ = 10⁻⁶ m³. (b) A = 2πr(r + h) = 2π × 20 mm × 120 mm = 15080 mm² → 1.5 × 10⁴ mm² (2 s.f. as in r = 2.0 cm). (c) 18 × 1000/3600 = 5 m s⁻¹ → 5 m. (d) 11.3 g cm⁻³ = 1.13 × 10⁴ kg m⁻³.(a) (10⁻² m)³ = 10⁻⁶ m³। (b) A = 2πr(r + h) = 2π × 20 mm × 120 mm = 15080 mm² → 1.5 × 10⁴ mm² (r = 2.0 cm की तरह 2 सार्थक अंक)। (c) 18 × 1000/3600 = 5 m s⁻¹ → 5 m। (d) 11.3 g cm⁻³ = 1.13 × 10⁴ kg m⁻³।(a) (10⁻² m)³ = 10⁻⁶ m³. (b) A = 2πr(r + h) = 2π × 20 mm × 120 mm = 15080 mm² → 1.5 × 10⁴ mm² (r = 2.0 cm jaise 2 s.f.). (c) 18 × 1000/3600 = 5 m s⁻¹ → 5 m. (d) 11.3 g cm⁻³ = 1.13 × 10⁴ kg m⁻³.
1.2 Fill in by conversion of units: (a) 1 kg m² s⁻² = … g cm² s⁻² (b) 1 m = … ly (c) 3.0 m s⁻² = … km h⁻² (d) G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² (kg)⁻² = … (cm)³ s⁻² g⁻¹1.2 मात्रक रूपांतरण से भरिए: (a) 1 kg m² s⁻² = … g cm² s⁻² (b) 1 m = … ly (c) 3.0 m s⁻² = … km h⁻² (d) G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² (kg)⁻² = … (cm)³ s⁻² g⁻¹1.2 Unit conversion se bhariye: (a) 1 kg m² s⁻² = … g cm² s⁻² (b) 1 m = … ly (c) 3.0 m s⁻² = … km h⁻² (d) G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² (kg)⁻² = … (cm)³ s⁻² g⁻¹
(a) 10³ g × 10⁴ cm² s⁻² = 10⁷ g cm² s⁻². (b) 1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m, so 1 m = 1/(9.46 × 10¹⁵) = 1.06 × 10⁻¹⁶ ≈ 10⁻¹⁶ ly. (c) 3.0 × 10⁻³ km × (3600)² h⁻² = 3.9 × 10⁴ km h⁻². (d) N m² kg⁻² = m³ s⁻² kg⁻¹ = 10⁶ cm³ s⁻² / 10³ g, so G = 6.67 × 10⁻⁸ cm³ s⁻² g⁻¹.(a) 10³ g × 10⁴ cm² s⁻² = 10⁷ g cm² s⁻²। (b) 1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m, अतः 1 m = 1/(9.46 × 10¹⁵) = 1.06 × 10⁻¹⁶ ≈ 10⁻¹⁶ ly। (c) 3.0 × 10⁻³ km × (3600)² h⁻² = 3.9 × 10⁴ km h⁻²। (d) N m² kg⁻² = m³ s⁻² kg⁻¹ = 10⁶ cm³ s⁻² / 10³ g, अतः G = 6.67 × 10⁻⁸ cm³ s⁻² g⁻¹।(a) 10³ g × 10⁴ cm² s⁻² = 10⁷ g cm² s⁻². (b) 1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m, to 1 m = 1/(9.46 × 10¹⁵) = 1.06 × 10⁻¹⁶ ≈ 10⁻¹⁶ ly. (c) 3.0 × 10⁻³ km × (3600)² h⁻² = 3.9 × 10⁴ km h⁻². (d) N m² kg⁻² = m³ s⁻² kg⁻¹ = 10⁶ cm³ s⁻² / 10³ g, to G = 6.67 × 10⁻⁸ cm³ s⁻² g⁻¹.
1.3 1 calorie ≈ 4.2 J (1 J = 1 kg m² s⁻²). In a system with unit of mass α kg, length β m, time γ s, show that a calorie = 4.2 α⁻¹ β⁻² γ² new units.1.3 1 कैलोरी ≈ 4.2 J (1 J = 1 kg m² s⁻²)। यदि द्रव्यमान का मात्रक α kg, लंबाई का β m, समय का γ s हो, तो दिखाइए कि 1 कैलोरी = 4.2 α⁻¹ β⁻² γ² नए मात्रक।1.3 1 calorie ≈ 4.2 J (1 J = 1 kg m² s⁻²). Agar mass ki unit α kg, length ki β m, time ki γ s ho, to dikhaiye ki 1 calorie = 4.2 α⁻¹ β⁻² γ² nayi units.
Energy has [M L² T⁻²], so n₂ = n₁ (M₁/M₂)(L₁/L₂)²(T₁/T₂)⁻². With n₁ = 4.2, M₁/M₂ = 1 kg/α kg = α⁻¹, L₁/L₂ = β⁻¹, T₁/T₂ = γ⁻¹: n₂ = 4.2 × α⁻¹ × β⁻² × γ² ⇒ 1 cal = 4.2 α⁻¹ β⁻² γ² new units.ऊर्जा की विमा [M L² T⁻²], अतः n₂ = n₁ (M₁/M₂)(L₁/L₂)²(T₁/T₂)⁻²। n₁ = 4.2, M₁/M₂ = 1 kg/α kg = α⁻¹, L₁/L₂ = β⁻¹, T₁/T₂ = γ⁻¹ रखने पर: n₂ = 4.2 × α⁻¹ × β⁻² × γ² ⇒ 1 cal = 4.2 α⁻¹ β⁻² γ² नए मात्रक।Energy ki dimension [M L² T⁻²], to n₂ = n₁ (M₁/M₂)(L₁/L₂)²(T₁/T₂)⁻². n₁ = 4.2, M₁/M₂ = α⁻¹, L₁/L₂ = β⁻¹, T₁/T₂ = γ⁻¹: n₂ = 4.2 × α⁻¹ × β⁻² × γ² ⇒ 1 cal = 4.2 α⁻¹ β⁻² γ² nayi units.
1.4 Explain: “To call a dimensional quantity ‘large’ or ‘small’ is meaningless without a standard for comparison.” Reframe: (a) atoms are very small (b) a jet plane moves with great speed (c) mass of Jupiter is very large (d) air in this room has a large number of molecules (e) a proton is much more massive than an electron (f) speed of sound is much smaller than speed of light.1.4 समझाइए: “किसी विमीय राशि को ‘बड़ा’ या ‘छोटा’ कहना तुलना के मानक के बिना अर्थहीन है।” पुनः लिखिए: (a) परमाणु बहुत छोटे होते हैं (b) जेट विमान बहुत तेज़ चलता है (c) बृहस्पति का द्रव्यमान बहुत अधिक है (d) इस कमरे की वायु में बहुत अधिक अणु हैं (e) प्रोटॉन, इलेक्ट्रॉन से बहुत भारी है (f) ध्वनि की चाल प्रकाश की चाल से बहुत कम है।1.4 Samjhaiye: “Kisi dimensional quantity ko ‘bada’ ya ‘chhota’ kehna comparison ke standard ke bina bekaar hai.” Dobara likhiye: (a) atom bahut chhote (b) jet plane bahut tez (c) Jupiter ka mass bahut zyada (d) kamre ki hawa mein bahut molecules (e) proton electron se bahut bhaari (f) sound ki speed light se bahut kam.
Large/small is always relative. (a) An atom is very small compared to a sharp pin tip (atomic size ~10⁻¹⁰ m). (b) A jet plane moves fast compared to a car, but slow compared to light. (c) Jupiter’s mass is large compared to Earth’s (~318 times). (d) The room’s air has a large number of molecules compared to a gram-mole’s (~10²³ scale). (e) Statement (e) is already correct — proton ≈ 1836 times the electron. (f) Statement (f) is already correct — 343 m/s vs 3 × 10⁸ m/s.बड़ा/छोटा हमेशा सापेक्ष है। (a) परमाणु एक नुकीली पिन की नोक की तुलना में बहुत छोटा है (आकार ~10⁻¹⁰ m)। (b) जेट विमान कार की तुलना में तेज़ है, पर प्रकाश की तुलना में धीमा। (c) बृहस्पति का द्रव्यमान पृथ्वी की तुलना में बहुत अधिक है (~318 गुना)। (d) कमरे की वायु के अणुओं की संख्या एक ग्राम-मोल (~10²³) की तुलना में बहुत अधिक है। (e) कथन (e) पहले से सही है — प्रोटॉन ≈ 1836 गुना इलेक्ट्रॉन। (f) कथन (f) पहले से सही है — 343 m/s बनाम 3 × 10⁸ m/s।Bada/chhota hamesha relative hai. (a) Atom ek pin ki nok ke comparison mein bahut chhota (~10⁻¹⁰ m). (b) Jet plane car se tez, par light se dheema. (c) Jupiter ka mass Earth se bahut zyada (~318 guna). (d) Kamre ki hawa ke molecules ek gram-mole (~10²³) se bhi bahut zyada. (e) (e) pehle se sahi — proton ≈ 1836 guna electron. (f) (f) pehle se sahi — 343 m/s vs 3 × 10⁸ m/s.
1.5 A new unit of length is chosen so that the speed of light in vacuum is unity. What is the Sun–Earth distance in this unit if light takes 8 min 20 s?1.5 लंबाई का नया मात्रक ऐसा चुना गया कि निर्वात में प्रकाश की चाल 1 हो। यदि प्रकाश को 8 min 20 s लगते हैं तो सूर्य–पृथ्वी दूरी नए मात्रक में कितनी है?1.5 Length ki nayi unit aisi ki vacuum mein light ki speed 1 ho. Light ko 8 min 20 s lagte hain to Sun–Earth distance nayi unit mein?
Distance = speed × time = 1 new unit/s × 500 s = 500 new units.दूरी = चाल × समय = 1 नया मात्रक/s × 500 s = 500 नए मात्रक।Distance = speed × time = 1 nayi unit/s × 500 s = 500 nayi units.
1.6 Which is the most precise device: (a) vernier callipers with 20 divisions on the sliding scale (b) screw gauge of pitch 1 mm and 100 circular divisions (c) an optical instrument measuring to within a wavelength of light?1.6 सबसे परिशुद्ध युक्ति कौन-सी है: (a) सर्पी पैमाने पर 20 भागों वाला वर्नियर कैलिपर्स (b) 1 mm चूड़ी-अंतराल और 100 वृत्तीय भागों वाला स्क्रूगेज (c) प्रकाश की एक तरंगदैर्घ्य तक माप सकने वाला प्रकाशिक यंत्र?1.6 Sabse precise device kaun: (a) 20 divisions wala vernier callipers (b) 1 mm pitch, 100 divisions wala screw gauge (c) light ki ek wavelength tak naapne wala optical instrument?
Least counts: (a) 1 mm/20 = 0.05 mm (b) 1 mm/100 = 0.01 mm (c) ~ λ ≈ 5 × 10⁻⁴ mm. Smallest least count → most precise: (c) the optical instrument.अल्पतमांक: (a) 1 mm/20 = 0.05 mm (b) 1 mm/100 = 0.01 mm (c) ~ λ ≈ 5 × 10⁻⁴ mm। सबसे कम अल्पतमांक → सबसे परिशुद्ध: (c) प्रकाशिक यंत्र।Least counts: (a) 1 mm/20 = 0.05 mm (b) 1 mm/100 = 0.01 mm (c) ~ λ ≈ 5 × 10⁻⁴ mm. Sabse kam least count → sabse precise: (c) optical instrument.
1.7 A hair seen through a microscope of magnification 100 has an average width of 3.5 mm in the field of view (20 observations). Estimate the thickness of the hair.1.7 आवर्धन 100 वाले सूक्ष्मदर्शी से बाल की औसत चौड़ाई 3.5 mm दिखती है (20 प्रेक्षण)। बाल की मोटाई का अनुमान लगाइए।1.7 Magnification 100 wale microscope mein baal ki average width 3.5 mm dikhti hai (20 readings). Baal ki motai?
Real thickness = observed width / magnification = 3.5 mm / 100 = 0.035 mm.वास्तविक मोटाई = प्रेक्षित चौड़ाई / आवर्धन = 3.5 mm / 100 = 0.035 mm।Asli motai = dikhne wali width / magnification = 3.5 mm / 100 = 0.035 mm.
1.8 (a) With a thread and a metre scale, how will you estimate the diameter of the thread? (b) A screw gauge has pitch 1.0 mm and 200 circular divisions. Can its accuracy be increased arbitrarily by increasing the divisions? (c) Why are 100 measurements of a rod’s diameter more reliable than 5?1.8 (a) धागे और मीटर पैमाने से धागे का व्यास कैसे ज्ञात करेंगे? (b) स्क्रूगेज का चूड़ी-अंतराल 1.0 mm और वृत्तीय पैमाने पर 200 भाग हैं। क्या भाग बढ़ाकर इसकी यथार्थता मनचाहे ढंग से बढ़ाई जा सकती है? (c) छड़ के व्यास की 100 मापें, 5 मापों से अधिक विश्वसनीय क्यों?1.8 (a) Dhaage aur metre scale se dhaage ka diameter kaise? (b) Screw gauge pitch 1.0 mm, 200 divisions. Kya divisions badhakar accuracy kitni bhi badha sakte hain? (c) 100 readings 5 se zyada reliable kyon?
(a) Wind the thread tightly on a pencil/scale in n close turns, measure the length l of the coil; diameter = l/n. (b) In principle the least count (pitch/N) falls, but practically no — very fine divisions cannot be read reliably and errors like backlash and the screw’s own imperfections remain. (c) Random errors are equally likely positive or negative; the mean of many readings cancels them better, so 100 readings give a more reliable mean.(a) धागे को पेंसिल/पैमाने पर n सटे हुए फेरों में कसकर लपेटें, कुंडली की लंबाई l मापें; व्यास = l/n। (b) सिद्धांततः अल्पतमांक (चूड़ी-अंतराल/N) घटता है, पर व्यवहार में नहीं — बहुत बारीक भाग ठीक से पढ़े नहीं जा सकते और पश्च-विलंब (backlash) व पेंच की अपूर्णता जैसी त्रुटियाँ बनी रहती हैं। (c) यादृच्छिक त्रुटियाँ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं; अधिक पाठ्यांकों का माध्य इन्हें बेहतर ढंग से निरस्त करता है।(a) Dhaage ko pencil par n sate hue turns mein lapetiye, coil ki length l naapiye; diameter = l/n. (b) Theory mein least count (pitch/N) ghatta hai, par practically nahi — bahut baareek divisions theek se padhe nahi jaate, aur backlash jaise errors rehte hain. (c) Random errors + ya − dono ho sakte hain; bahut readings ka mean unhe better cancel karta hai.
1.9 A house occupies 1.75 cm² on a 35 mm slide and 1.55 m² on the screen. Find the linear magnification.1.9 35 mm स्लाइड पर घर का फोटो 1.75 cm² और परदे पर 1.55 m² क्षेत्रफल घेरता है। रैखिक आवर्धन ज्ञात कीजिए।1.9 35 mm slide par ghar 1.75 cm² aur screen par 1.55 m². Linear magnification?
Areal magnification = 1.55 × 10⁴ cm² / 1.75 cm² = 8857. Linear magnification = √8857 = 94.1.क्षेत्रीय आवर्धन = 1.55 × 10⁴ cm² / 1.75 cm² = 8857। रैखिक आवर्धन = √8857 = 94.1।Area magnification = 1.55 × 10⁴ cm² / 1.75 cm² = 8857. Linear magnification = √8857 = 94.1.
1.10 Number of significant figures: (a) 0.007 m² (b) 2.64 × 10²⁴ kg (c) 0.2370 g cm⁻³ (d) 6.320 J (e) 6.032 N m⁻² (f) 0.0006032 m²1.10 सार्थक अंकों की संख्या: (a) 0.007 m² (b) 2.64 × 10²⁴ kg (c) 0.2370 g cm⁻³ (d) 6.320 J (e) 6.032 N m⁻² (f) 0.0006032 m²1.10 Significant figures: (a) 0.007 m² (b) 2.64 × 10²⁴ kg (c) 0.2370 g cm⁻³ (d) 6.320 J (e) 6.032 N m⁻² (f) 0.0006032 m²
(a) 1 (b) 3 (c) 4 (d) 4 (e) 4 (f) 4. Leading zeros never count; the trailing zero after a decimal (0.2370, 6.320) counts; the zero between 6 and 3 counts.(a) 1 (b) 3 (c) 4 (d) 4 (e) 4 (f) 4। आगे के शून्य कभी नहीं गिने जाते; दशमलव के बाद के अंतिम शून्य (0.2370, 6.320) गिने जाते हैं; 6 और 3 के बीच का शून्य गिना जाता है।(a) 1 (b) 3 (c) 4 (d) 4 (e) 4 (f) 4. Aage ke zero kabhi nahi; decimal ke baad ke last zero (0.2370, 6.320) ginte hain; 6 aur 3 ke beech ka zero ginta hai.
1.11 A metal sheet is 4.234 m × 1.005 m × 2.01 cm. Give its area and volume to correct significant figures.1.11 धातु की चादर 4.234 m × 1.005 m × 2.01 cm है। सही सार्थक अंकों में क्षेत्रफल और आयतन बताइए।1.11 Metal sheet 4.234 m × 1.005 m × 2.01 cm. Sahi s.f. mein area aur volume?
Thickness 0.0201 m (3 s.f.) limits the answers to 3 s.f. Total surface area = 2(lb + bt + tl) = 2(4.2552 + 0.0202 + 0.0851) = 8.7209 → 8.72 m² (NCERT’s answer; the area of one face, l × b = 4.255 m², has 4 s.f.). Volume = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.085529 → 0.0855 m³.मोटाई 0.0201 m (3 सार्थक अंक) उत्तरों को 3 अंकों तक सीमित करती है। कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 2(lb + bt + tl) = 2(4.2552 + 0.0202 + 0.0851) = 8.7209 → 8.72 m² (NCERT का उत्तर; एक फलक का क्षेत्रफल l × b = 4.255 m², 4 अंक)। आयतन = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.085529 → 0.0855 m³।Motai 0.0201 m (3 s.f.) answers ko 3 s.f. tak limit karti hai. Total surface area = 2(lb + bt + tl) = 2(4.2552 + 0.0202 + 0.0851) = 8.7209 → 8.72 m² (NCERT answer; ek face ka area l × b = 4.255 m², 4 s.f.). Volume = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.085529 → 0.0855 m³.
1.12 A box weighs 2.30 kg on a grocer’s balance. Gold pieces of 20.15 g and 20.17 g are added. Find (a) the total mass (b) the difference in the masses of the pieces, to correct significant figures.1.12 पंसारी की तुला से डिब्बे का द्रव्यमान 2.30 kg है। 20.15 g और 20.17 g के सोने के टुकड़े रखे गए। सही सार्थक अंकों में (a) कुल द्रव्यमान (b) टुकड़ों के द्रव्यमानों का अंतर ज्ञात कीजिए।1.12 Grocer ki balance par box 2.30 kg. 20.15 g aur 20.17 g ke gold pieces daale. (a) Total mass (b) pieces ka difference — sahi s.f. mein.
(a) 2.30 kg + 0.02015 kg + 0.02017 kg = 2.34032 kg. Addition keeps the fewest decimal places (2.30 → 2 places) → 2.34 kg; NCERT’s answer key gives 2.3 kg, the box reading being the least precise value. (b) 20.17 g − 20.15 g = 0.02 g (2 decimal places).(a) 2.30 kg + 0.02015 kg + 0.02017 kg = 2.34032 kg। जोड़ में सबसे कम दशमलव स्थान (2.30 → 2 स्थान) → 2.34 kg; NCERT की उत्तरमाला 2.3 kg देती है, क्योंकि डिब्बे का पाठ्यांक सबसे कम परिशुद्ध है। (b) 20.17 g − 20.15 g = 0.02 g (2 दशमलव स्थान)।(a) 2.30 + 0.02015 + 0.02017 = 2.34032 kg. Addition mein sabse kam decimal places (2.30 → 2) → 2.34 kg; NCERT answer key 2.3 kg deti hai, kyonki box ki reading sabse kam precise hai. (b) 20.17 g − 20.15 g = 0.02 g.
1.13 A boy writes the relativistic mass relation as m = m₀/(1 − v²)^½, forgetting where c goes. Put the missing c.1.13 एक लड़का आपेक्षिक द्रव्यमान संबंध m = m₀/(1 − v²)^½ लिखता है और c कहाँ लगाना है भूल जाता है। c सही जगह लगाइए।1.13 Ek ladka m = m₀/(1 − v²)^½ likhta hai, c lagana bhool gaya. Sahi jagah c lagaiye.
m and m₀ have the same dimension, so (1 − v²) must be dimensionless. 1 is dimensionless, so v² must be divided by c²: m = m₀ / (1 − v²/c²)^½.m और m₀ की विमा समान, अतः (1 − v²) विमाहीन होना चाहिए। 1 विमाहीन है, इसलिए v² को c² से भाग देना होगा: m = m₀ / (1 − v²/c²)^½।m aur m₀ ki dimension same, to (1 − v²) dimensionless hona chahiye. 1 dimensionless hai, to v² ko c² se divide karna hoga: m = m₀ / (1 − v²/c²)^½.
1.14 1 Å = 10⁻¹⁰ m and the size of a hydrogen atom is about 0.5 Å. Find the total atomic volume in m³ of a mole of hydrogen atoms.1.14 1 Å = 10⁻¹⁰ m और हाइड्रोजन परमाणु का आकार लगभग 0.5 Å है। हाइड्रोजन परमाणुओं के एक मोल का कुल परमाण्विक आयतन m³ में ज्ञात कीजिए।1.14 1 Å = 10⁻¹⁰ m, hydrogen atom ka size ~0.5 Å. Ek mole hydrogen atoms ka total atomic volume m³ mein?
Taking r = 0.5 Å = 5 × 10⁻¹¹ m: volume of one atom = (4/3)πr³ = 5.24 × 10⁻³¹ m³. × N_A = 6.02 × 10²³ → 3.15 × 10⁻⁷ m³ ≈ 3 × 10⁻⁷ m³.r = 0.5 Å = 5 × 10⁻¹¹ m लेने पर: एक परमाणु का आयतन = (4/3)πr³ = 5.24 × 10⁻³¹ m³। × N_A = 6.02 × 10²³ → 3.15 × 10⁻⁷ m³ ≈ 3 × 10⁻⁷ m³।r = 0.5 Å = 5 × 10⁻¹¹ m: ek atom ka volume = (4/3)πr³ = 5.24 × 10⁻³¹ m³. × N_A = 6.02 × 10²³ → 3.15 × 10⁻⁷ m³ ≈ 3 × 10⁻⁷ m³.
1.15 One mole of an ideal gas at STP occupies 22.4 L. Find the ratio of molar volume to the atomic volume of a mole of hydrogen (size of the molecule about 1 Å). Why is the ratio so large?1.15 STP पर आदर्श गैस का एक मोल 22.4 L घेरता है। मोलर आयतन और हाइड्रोजन के एक मोल के परमाण्विक आयतन का अनुपात ज्ञात कीजिए (अणु का आकार लगभग 1 Å)। यह अनुपात इतना बड़ा क्यों है?1.15 STP par ek mole ideal gas 22.4 L. Molar volume / hydrogen ke ek mole ka atomic volume (size ~1 Å)? Ratio itna bada kyon?
With diameter 1 Å (r = 0.5 Å) the atomic volume of a mole = 3.15 × 10⁻⁷ m³ (Ex 1.14). Ratio = 22.4 × 10⁻³ / 3.15 × 10⁻⁷ = 7.1 × 10⁴ (~10⁴). It is large because the separation between gas molecules is much larger than their size — a gas is mostly empty space.व्यास 1 Å (r = 0.5 Å) लेने पर एक मोल का परमाण्विक आयतन = 3.15 × 10⁻⁷ m³ (प्रश्न 1.14)। अनुपात = 22.4 × 10⁻³ / 3.15 × 10⁻⁷ = 7.1 × 10⁴ (~10⁴)। यह बड़ा है क्योंकि गैस के अणुओं के बीच की दूरी उनके आकार से बहुत अधिक है — गैस में अधिकतर खाली स्थान है।Diameter 1 Å (r = 0.5 Å) lene par ek mole ka atomic volume = 3.15 × 10⁻⁷ m³ (Q 1.14). Ratio = 22.4 × 10⁻³ / 3.15 × 10⁻⁷ = 7.1 × 10⁴ (~10⁴). Bada isliye kyonki gas molecules ke beech ki doori unke size se bahut zyada hai — gas mein zyada tar khaali jagah.
1.16 From a fast train, nearby trees seem to move rapidly backwards but distant hills, the Moon and stars seem stationary (or to move with you). Explain.1.16 तेज़ ट्रेन से पास के पेड़ तेज़ी से पीछे जाते दिखते हैं पर दूर की पहाड़ियाँ, चंद्रमा और तारे स्थिर (या साथ चलते) दिखते हैं। समझाइए।1.16 Tez train se paas ke ped peeche bhaagte dikhte hain par door ke pahaad, Chand, taare ruke (ya saath chalte) dikhte hain. Kyon?
What we judge is the angle the object makes at the eye. As we move a distance d, a near object’s line of sight turns through a large angle (≈ d/distance), so it seems to sweep backwards fast. For very distant objects this angular change is tiny, so they seem still; since we know we are moving, they seem to move along with us.हम वस्तु द्वारा आँख पर बने कोण से निर्णय करते हैं। दूरी d चलने पर पास की वस्तु की दृष्टि-रेखा बड़े कोण (≈ d/दूरी) से घूमती है, इसलिए वह तेज़ी से पीछे जाती दिखती है। बहुत दूर की वस्तुओं के लिए यह कोणीय परिवर्तन नगण्य है, इसलिए वे स्थिर दिखती हैं; हम जानते हैं कि हम चल रहे हैं, इसलिए वे साथ चलती लगती हैं।Hum object ka aankh par bana angle dekhte hain. d chalne par paas ki cheez ki line of sight bade angle (≈ d/doori) se ghoomti hai, isliye wo tezi se peeche jaati dikhti hai. Bahut door ki cheez ke liye ye angle change bahut chhota, isliye ruki dikhti hai; humein pata hai hum chal rahe hain, isliye wo saath chalti lagti hai.
1.17 The Sun is a hot plasma (core > 10⁷ K, surface ~6000 K). Is its density in the range of solids/liquids or gases? Check with M = 2.0 × 10³⁰ kg, R = 7.0 × 10⁸ m.1.17 सूर्य एक गरम प्लाज़्मा है (क्रोड > 10⁷ K, पृष्ठ ~6000 K)। उसका घनत्व ठोस/द्रवों के परिसर में है या गैसों के? M = 2.0 × 10³⁰ kg, R = 7.0 × 10⁸ m से जाँचिए।1.17 Sun garam plasma hai (core > 10⁷ K, surface ~6000 K). Density solids/liquids jaisi ya gas jaisi? M = 2.0 × 10³⁰ kg, R = 7.0 × 10⁸ m se check kijiye.
ρ = M / (4/3 πR³) = 2.0 × 10³⁰ / (1.44 × 10²⁷) = 1.39 × 10³ ≈ 1.4 × 10³ kg m⁻³ — in the range of liquids/solids, not gases. The outer layers are pressed inward by the gravity of the inner layers, giving this high density.ρ = M / (4/3 πR³) = 2.0 × 10³⁰ / (1.44 × 10²⁷) = 1.39 × 10³ ≈ 1.4 × 10³ kg m⁻³ — द्रवों/ठोसों के परिसर में, गैसों के नहीं। भीतरी परतों के गुरुत्वाकर्षण से बाहरी परतें अंदर की ओर दबती हैं, इसलिए घनत्व अधिक है।ρ = M / (4/3 πR³) = 2.0 × 10³⁰ / (1.44 × 10²⁷) = 1.39 × 10³ ≈ 1.4 × 10³ kg m⁻³ — liquids/solids ki range mein, gas ki nahi. Andar ki layers ki gravity bahar ki layers ko andar dabaati hai, isliye density zyada.

🎯 Quiz — 12 questions🎯 क्विज़ — 12 प्रश्न🎯 Quiz — 12 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. Which of these is NOT an SI base unit?इनमें से कौन SI मूल मात्रक नहीं है?Inme se kaun SI base unit nahi hai?

2. The unit of solid angle isघन कोण का मात्रक हैSolid angle ki unit hai

3. Number of significant figures in 0.06900 is0.06900 में सार्थक अंक हैं0.06900 mein significant figures

4. 2.735 rounded off to three significant figures is2.735 को तीन सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर2.735 ko teen s.f. mein round karne par

5. 436.32 g + 227.2 g + 0.301 g, correctly reported, is436.32 g + 227.2 g + 0.301 g का सही रूप से लिखा योग है436.32 g + 227.2 g + 0.301 g ka sahi answer

6. 5.74 g occupies 1.2 cm³. Its density, correctly reported, is5.74 g पदार्थ 1.2 cm³ घेरता है। सही रूप से घनत्व है5.74 g, 1.2 cm³ gherta hai. Sahi density

7. The dimensional formula of pressure isदाब का विमीय सूत्र हैPressure ka dimensional formula

8. Which pair has the same dimensions?किस युग्म की विमाएँ समान हैं?Kis pair ki dimensions same hain?

9. The dimensions of the gravitational constant G areगुरुत्वीय स्थिरांक G की विमाएँ हैंGravitational constant G ki dimensions

10. A dimensionally correct equation isविमीय रूप से सही समीकरणDimensionally sahi equation

11. By dimensional analysis the time period of a simple pendulum depends onविमीय विश्लेषण से सरल लोलक का आवर्तकाल निर्भर करता हैDimensional analysis se pendulum ka time period depend karta hai

12. 3.0 m s⁻² expressed in km h⁻² is about3.0 m s⁻² को km h⁻² में व्यक्त करने पर लगभग3.0 m s⁻² ko km h⁻² mein

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes written to follow the NCERT Class 11 Physics textbook, Part I and Part II (2026-27 rationalised reprint) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings based on the NCERT figures they name.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 भौतिकी की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Physics ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.