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Ch 9Straight Linesसरल रेखाएँStraight Lines

Slope and inclination of a line, parallel and perpendicular lines, angle between two lines, every form of the equation of a line, and the distance of a point from a line — with every NCERT exercise solved.रेखा की ढाल और झुकाव, समांतर और लंब रेखाएँ, दो रेखाओं के बीच का कोण, रेखा के समीकरण के सभी रूप, और एक बिंदु की रेखा से दूरी — NCERT के सभी प्रश्नों के हल के साथ।Line ka slope aur inclination, parallel aur perpendicular lines, do lines ke beech ka angle, line ke equation ke saare forms, aur point ki line se doori — NCERT ke saare questions ke hal ke saath.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के चित्रIs chapter ke diagrams

Slope of a line: rise over run, m = tan θरेखा की ढाल: ऊर्ध्वाधर बदलाव ÷ क्षैतिज बदलाव, m = tan θSlope of a line: rise over run, m = tan θSection 9.2Intercept form and slope-intercept form of the same lineएक ही रेखा का अंतःखंड रूप और ढाल-अंतःखंड रूपIntercept form and slope-intercept form of the same lineSection 9.3Perpendicular distance of a point from a lineएक बिंदु की रेखा से लांबिक दूरीPerpendicular distance of a point from a lineSection 9.4
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 9.2Slope of a Lineरेखा की ढालLine ka slope
  2. 9.3Various Forms of the Equation of a Lineरेखा के समीकरण के विभिन्न रूपLine ke equation ke alag-alag forms
  3. 9.4Distance of a Point From a Lineएक बिंदु की रेखा से दूरीPoint ki line se doori
  4. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  5. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  6. ✎NCERT exercises — solutionsNCERT प्रश्नावली — हलNCERT exercises — solutions
  7. 🎯Quizक्विज़Quiz

9.2Slope of a Lineरेखा की ढालLine ka slope

A line makes an angle θ with the positive direction of the x-axis, measured anticlockwise — the inclination of the line, 0^\circ \le \theta < 180^\circ. If \theta \ne 90^\circ, the slope of the line is m = \tan\theta. A vertical line (\theta = 90^\circ) has no defined slope; the x-axis and lines parallel to it have slope 0.रेखा x-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त दिशा में कोण θ बनाती है — यह रेखा का झुकाव है, 0^\circ \le \theta < 180^\circ। यदि \theta \ne 90^\circ, तो रेखा की ढाल m = \tan\theta है। ऊर्ध्वाधर रेखा (\theta = 90^\circ) की ढाल परिभाषित नहीं; x-अक्ष और उसके समांतर रेखाओं की ढाल 0 है।Line x-axis ki positive direction se anticlockwise angle θ banati hai — yeh line ka inclination hai, 0^\circ \le \theta < 180^\circ. Agar \theta \ne 90^\circ, to line ka slope m = \tan\theta hai. Vertical line (\theta = 90^\circ) ka slope defined nahi; x-axis aur uske parallel lines ka slope 0 hai.

Slope of a line: rise over run, m = tan θरेखा की ढाल: ऊर्ध्वाधर बदलाव ÷ क्षैतिज बदलाव, m = tan θSlope of a line: rise over run, m = tan θSection 9.2 · 7 tappable partsअनुभाग 9.2 · 7 टैप करने लायक हिस्सेSection 9.2 · 7 tappable partsOpen
Slope through two pointsFor the line through (x_1, y_1) and (x_2, y_2), x_1 \ne x_2: m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.दो बिंदुओं से होकर ढाल(x_1, y_1) और (x_2, y_2) से होकर जाने वाली रेखा के लिए, x_1 \ne x_2: m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}।Do points se slope(x_1, y_1) aur (x_2, y_2) se jaane wali line ke liye, x_1 \ne x_2: m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

9.2.2Parallel and perpendicular linesसमांतर और लंब रेखाएँParallel aur perpendicular lines

m_1 = m_2
non-vertical lines are parallelअऊर्ध्वाधर रेखाएँ समांतर हैंnon-vertical lines parallel hain
m_1 m_2 = -1
non-vertical lines are perpendicularअऊर्ध्वाधर रेखाएँ परस्पर लंब हैंnon-vertical lines perpendicular hain

9.2.3Angle between two linesदो रेखाओं के बीच का कोणDo lines ke beech ka angle

\tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|,\quad 1 + m_1 m_2 \ne 0
acute angle θ; the obtuse angle is 180° − θन्यून कोण θ; अधिक कोण 180° − θacute angle θ; obtuse angle 180° − θ

Collinear points: A, B, C lie on one line exactly when slope AB = slope BC.संरेख बिंदु: A, B, C एक ही रेखा पर तभी होते हैं जब AB की ढाल = BC की ढाल।Collinear points: A, B, C ek hi line par tabhi hote hain jab AB ka slope = BC ka slope.

Example 1Find the slope of the line (a) through (3, −2) and (−1, 4) (b) through (3, −2) and (7, −2) (c) through (3, −2) and (3, 4) (d) with inclination 60°.उदाहरण 1रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए (a) (3, −2) और (−1, 4) से होकर (b) (3, −2) और (7, −2) से होकर (c) (3, −2) और (3, 4) से होकर (d) झुकाव 60°।Example 1Line ka slope nikaliye (a) (3, −2) aur (−1, 4) se (b) (3, −2) aur (7, −2) se (c) (3, −2) aur (3, 4) se (d) inclination 60°.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. (a)\ m = \frac{4 - (-2)}{-1 - 3} = -\frac{3}{2}\quad (b)\ m = \frac{-2 + 2}{7 - 3} = 0
  2. (c)\ x_1 = x_2 = 3 \Rightarrow \text{vertical, slope not defined}(c)\ x_1 = x_2 = 3 \Rightarrow \text{ऊर्ध्वाधर, ढाल परिभाषित नहीं}(c)\ x_1 = x_2 = 3 \Rightarrow \text{vertical, slope defined nahi}
  3. (d)\ m = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
Example 3The line through (−2, 6) and (4, 8) is perpendicular to the line through (8, 12) and (x, 24). Find x.उदाहरण 3(−2, 6) और (4, 8) से होकर जाने वाली रेखा, (8, 12) और (x, 24) से होकर जाने वाली रेखा पर लंब है। x ज्ञात कीजिए।Example 3(−2, 6) aur (4, 8) wali line, (8, 12) aur (x, 24) wali line par perpendicular hai. x nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. m_1 = \frac{8 - 6}{4 + 2} = \frac{1}{3},\quad m_2 = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}
  2. m_1 m_2 = -1 \Rightarrow \frac{4}{x - 8} = -1 \Rightarrow x = 4

9.3Various Forms of the Equation of a Lineरेखा के समीकरण के विभिन्न रूपLine ke equation ke alag-alag forms

y = \pm a,\qquad x = \pm b
horizontal / vertical lineक्षैतिज / ऊर्ध्वाधर रेखाhorizontal / vertical line
y - y_0 = m(x - x_0)
point-slope formबिंदु-ढाल रूपpoint-slope form
y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)
two-point formदो-बिंदु रूपtwo-point form
y = mx + c
slope-intercept form (c = y-intercept)ढाल-अंतःखंड रूप (c = y-अंतःखंड)slope-intercept form (c = y-intercept)
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
intercept form (a, b = intercepts on the axes)अंतःखंड रूप (a, b = अक्षों पर अंतःखंड)intercept form (a, b = axes par intercepts)
Intercept form and slope-intercept form of the same lineएक ही रेखा का अंतःखंड रूप और ढाल-अंतःखंड रूपIntercept form and slope-intercept form of the same lineSection 9.3 · 5 tappable partsअनुभाग 9.3 · 5 टैप करने लायक हिस्सेSection 9.3 · 5 tappable partsOpen

Every line can be written as Ax + By + C = 0 (A, B not both zero). If B \ne 0: slope = -\frac{A}{B}, y-intercept = -\frac{C}{B}; x-intercept = -\frac{C}{A} (if A \ne 0).हर रेखा को Ax + By + C = 0 लिखा जा सकता है (A, B दोनों शून्य नहीं)। यदि B \ne 0: ढाल = -\frac{A}{B}, y-अंतःखंड = -\frac{C}{B}; x-अंतःखंड = -\frac{C}{A} (यदि A \ne 0)।Har line ko Ax + By + C = 0 likh sakte hain (A, B dono zero nahi). Agar B \ne 0: slope = -\frac{A}{B}, y-intercept = -\frac{C}{B}; x-intercept = -\frac{C}{A} (agar A \ne 0).

Example 5Find the equation of the line through (−2, 3) with slope −4.उदाहरण 5(−2, 3) से होकर ढाल −4 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।Example 5(−2, 3) se slope −4 wali line ka equation nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. y - 3 = -4(x + 2) \Rightarrow 4x + y + 5 = 0
Example 6Write the equation of the line through (1, −1) and (3, 5).उदाहरण 6(1, −1) और (3, 5) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।Example 6(1, −1) aur (3, 5) se jaane wali line ka equation likhiye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. y + 1 = \frac{5 + 1}{3 - 1}(x - 1) = 3(x - 1) \Rightarrow 3x - y - 4 = 0
Example 8Find the equation of the line with intercepts −3 and 2 on the x- and y-axes.उदाहरण 8x- और y-अक्षों पर अंतःखंड −3 और 2 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।Example 8x- aur y-axes par intercepts −3 aur 2 wali line ka equation nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x - 3y + 6 = 0

9.4Distance of a Point From a Lineएक बिंदु की रेखा से दूरीPoint ki line se doori

Perpendicular distance of a point from a lineएक बिंदु की रेखा से लांबिक दूरीPerpendicular distance of a point from a lineSection 9.4 · 5 tappable partsअनुभाग 9.4 · 5 टैप करने लायक हिस्सेSection 9.4 · 5 tappable partsOpen
Distance formulasPoint (x_1, y_1) to line Ax + By + C = 0: d = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Parallel lines Ax + By + C_1 = 0 and Ax + By + C_2 = 0: d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.दूरी के सूत्रबिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 तक: d = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}। समांतर रेखाएँ Ax + By + C_1 = 0 और Ax + By + C_2 = 0: d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}।Doori ke formulasPoint (x_1, y_1) se line Ax + By + C = 0 tak: d = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Parallel lines Ax + By + C_1 = 0 aur Ax + By + C_2 = 0: d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Example 9Find the distance of the point (3, −5) from the line 3x − 4y − 26 = 0.उदाहरण 9बिंदु (3, −5) की रेखा 3x − 4y − 26 = 0 से दूरी ज्ञात कीजिए।Example 9Point (3, −5) ki line 3x − 4y − 26 = 0 se doori nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. d = \frac{|3(3) - 4(-5) - 26|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|9 + 20 - 26|}{5} = \frac{3}{5}
Example 10Find the distance between the parallel lines 3x − 4y + 7 = 0 and 3x − 4y + 5 = 0.उदाहरण 10समांतर रेखाओं 3x − 4y + 7 = 0 और 3x − 4y + 5 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।Example 10Parallel lines 3x − 4y + 7 = 0 aur 3x − 4y + 5 = 0 ke beech ki doori nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}
Example 13Find the image of the point (1, 2) in the line x − 3y + 4 = 0 (the line acts as a plane mirror).उदाहरण 13रेखा x − 3y + 4 = 0 में बिंदु (1, 2) का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए (रेखा समतल दर्पण की तरह)।Example 13Line x − 3y + 4 = 0 mein point (1, 2) ka image nikaliye (line plane mirror ki tarah).
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Image Q(h, k): the mid-point of PQ lies on the line and PQ is perpendicular to it. Shortcut: \frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + C)}{A^2 + B^2}.प्रतिबिंब Q(h, k): PQ का मध्य-बिंदु रेखा पर है और PQ रेखा पर लंब है। शॉर्टकट: \frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + C)}{A^2 + B^2}।Image Q(h, k): PQ ka mid-point line par hai aur PQ line par perpendicular hai. Shortcut: \frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + C)}{A^2 + B^2}.
    \frac{h - 1}{1} = \frac{k - 2}{-3} = \frac{-2(1 - 6 + 4)}{10} = \frac{1}{5}

✔ \left(\frac{6}{5}, \frac{7}{5}\right)

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. m = \tan\theta = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}; vertical line — slope not defined.m = \tan\theta = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}; ऊर्ध्वाधर रेखा — ढाल परिभाषित नहीं।m = \tan\theta = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}; vertical line — slope defined nahi.
  2. Parallel: m_1 = m_2. Perpendicular: m_1 m_2 = -1.समांतर: m_1 = m_2। लंब: m_1 m_2 = -1।Parallel: m_1 = m_2. Perpendicular: m_1 m_2 = -1.
  3. Angle: \tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|.कोण: \tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|।Angle: \tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|.
  4. Forms: y - y_0 = m(x - x_0), y = mx + c, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.रूप: y - y_0 = m(x - x_0), y = mx + c, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1।Forms: y - y_0 = m(x - x_0), y = mx + c, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.
  5. Ax + By + C = 0: slope -\frac{A}{B}, intercepts -\frac{C}{A}, -\frac{C}{B}.Ax + By + C = 0: ढाल -\frac{A}{B}, अंतःखंड -\frac{C}{A}, -\frac{C}{B}।Ax + By + C = 0: slope -\frac{A}{B}, intercepts -\frac{C}{A}, -\frac{C}{B}.
  6. d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}; parallel lines d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}; समांतर रेखाएँ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}।d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}; parallel lines d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
  7. Parallel to Ax + By + C = 0: Ax + By + k = 0; perpendicular: Bx - Ay + k = 0.Ax + By + C = 0 के समांतर: Ax + By + k = 0; लंब: Bx - Ay + k = 0।Ax + By + C = 0 ke parallel: Ax + By + k = 0; perpendicular: Bx - Ay + k = 0.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Measuring θ from the y-axis or clockwise — inclination is from the positive x-axis, anticlockwise.θ को y-अक्ष से या दक्षिणावर्त मापना — झुकाव x-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा जाता है।θ ko y-axis se ya clockwise naapna — inclination positive x-axis se anticlockwise naapte hain.
  • Saying a vertical line has slope 0 — slope 0 is a horizontal line; a vertical line has no defined slope.ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल 0 कहना — ढाल 0 क्षैतिज रेखा की होती है; ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल परिभाषित नहीं।Vertical line ka slope 0 kehna — slope 0 horizontal line ka hota hai; vertical line ka slope defined nahi.
  • Using the parallel-lines formula before making the x and y coefficients equal (e.g. 9x + 6y − 7 = 0 and 3x + 2y + 6 = 0).x और y के गुणांक बराबर किए बिना समांतर रेखाओं का सूत्र लगाना (जैसे 9x + 6y − 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0)।x aur y ke coefficients barabar kiye bina parallel lines ka formula lagana (jaise 9x + 6y − 7 = 0 aur 3x + 2y + 6 = 0).
  • Forgetting the modulus in the angle formula — it gives the acute angle; the other angle is 180° − θ.कोण के सूत्र में मापांक भूलना — यह न्यून कोण देता है; दूसरा कोण 180° − θ है।Angle formula mein modulus bhoolna — yeh acute angle deta hai; doosra angle 180° − θ hai.
  • Dropping one case when the modulus is removed (Ex 9.1 Q10 has four pairs of slopes).मापांक हटाते समय एक स्थिति छोड़ देना (प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 10 में ढालों के चार युग्म हैं)।Modulus hatate waqt ek case chhod dena (Ex 9.1 Q10 mein slopes ke chaar pairs hain).
  • Taking the x-intercept of \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 as b — the number under x is the x-intercept.\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 का x-अंतःखंड b मान लेना — x के नीचे वाली संख्या x-अंतःखंड है।\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 ka x-intercept b maan lena — x ke neeche wala number x-intercept hai.

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Exercise 9.1प्रश्नावली 9.1Exercise 9.1 · 11 Q

Q1. Draw the quadrilateral with vertices (−4, 5), (0, 7), (5, −5), (−4, −2) and find its area.शीर्ष (−4, 5), (0, 7), (5, −5), (−4, −2) वाला चतुर्भुज खींचिए और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Vertices (−4, 5), (0, 7), (5, −5), (−4, −2) wala quadrilateral banaiye aur uska area nikaliye.
  1. Split along the diagonal joining (−4, 5) and (5, −5) into two triangles, or use the shoelace sum \frac{1}{2}|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)|.(−4, 5) और (5, −5) को मिलाने वाले विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटिए, या \frac{1}{2}|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)| लगाइए।(−4, 5) aur (5, −5) wale diagonal se do triangles mein baantiye, ya \frac{1}{2}|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)| lagaiye.
    (-28) + (-35) + (-30) + (-28) = -121

✔ Area = \frac{121}{2} sq unitsक्षेत्रफल = \frac{121}{2} वर्ग इकाईArea = \frac{121}{2} sq units

Q2. The base of an equilateral triangle of side 2a lies along the y-axis with its mid-point at the origin. Find the vertices.भुजा 2a वाले समबाहु त्रिभुज का आधार y-अक्ष पर है और उसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु है। शीर्ष ज्ञात कीजिए।Side 2a wale equilateral triangle ka base y-axis par hai aur uska mid-point origin hai. Vertices nikaliye.
  1. \text{base: } (0, a),\ (0, -a);\quad \text{height} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}\,a\text{आधार: } (0, a),\ (0, -a);\quad \text{ऊँचाई} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}\,a\text{base: } (0, a),\ (0, -a);\quad \text{height} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}\,a

✔ (0, a), (0, -a) and (\sqrt{3}a, 0) or (-\sqrt{3}a, 0)(0, a), (0, -a) और (\sqrt{3}a, 0) या (-\sqrt{3}a, 0)(0, a), (0, -a) aur (\sqrt{3}a, 0) ya (-\sqrt{3}a, 0)

Q3. Distance between P(x₁, y₁) and Q(x₂, y₂) when (i) PQ ∥ y-axis (ii) PQ ∥ x-axis.P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी, जब (i) PQ ∥ y-अक्ष (ii) PQ ∥ x-अक्ष।P(x₁, y₁) aur Q(x₂, y₂) ke beech doori, jab (i) PQ ∥ y-axis (ii) PQ ∥ x-axis.
  1. (i)\ x_1 = x_2 \Rightarrow PQ = |y_2 - y_1|\qquad (ii)\ y_1 = y_2 \Rightarrow PQ = |x_2 - x_1|
Q4. Find a point on the x-axis equidistant from (7, 6) and (3, 4).x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (7, 6) और (3, 4) से समदूरस्थ हो।x-axis par woh point nikaliye jo (7, 6) aur (3, 4) se barabar doori par ho.
  1. (x - 7)^2 + 36 = (x - 3)^2 + 16 \Rightarrow -14x + 85 = -6x + 25 \Rightarrow x = \frac{15}{2}

✔ \left(\frac{15}{2}, 0\right)

Q5. Slope of the line through the origin and the mid-point of P(0, −4) and B(8, 0).मूल बिंदु और P(0, −4) व B(8, 0) के मध्य-बिंदु से होकर जाने वाली रेखा की ढाल।Origin aur P(0, −4) va B(8, 0) ke mid-point se jaane wali line ka slope.
  1. M = (4, -2) \Rightarrow m = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = -\frac{1}{2}
Q6. Without Pythagoras, show (4, 4), (3, 5), (−1, −1) form a right-angled triangle.पाइथागोरस के बिना दर्शाइए कि (4, 4), (3, 5), (−1, −1) समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।Pythagoras ke bina dikhaiye ki (4, 4), (3, 5), (−1, −1) right-angled triangle ke vertices hain.
  1. m_{AB} = \frac{5 - 4}{3 - 4} = -1,\quad m_{AC} = \frac{-1 - 4}{-1 - 4} = 1
  2. m_{AB} \cdot m_{AC} = -1 \Rightarrow AB \perp AC

✔ Right angle at A(4, 4).समकोण A(4, 4) पर।Right angle A(4, 4) par.

Q7. Slope of the line making 30° with the positive y-axis, measured anticlockwise.धन y-अक्ष से वामावर्त 30° बनाने वाली रेखा की ढाल।Positive y-axis se anticlockwise 30° banane wali line ka slope.
  1. \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \Rightarrow m = \tan 120^\circ = -\sqrt{3}
Q8. Without the distance formula, show (−2, −1), (4, 0), (3, 3), (−3, 2) form a parallelogram.दूरी सूत्र के बिना दर्शाइए कि (−2, −1), (4, 0), (3, 3), (−3, 2) समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।Distance formula ke bina dikhaiye ki (−2, −1), (4, 0), (3, 3), (−3, 2) parallelogram banate hain.
  1. m_{AB} = \frac{1}{6} = m_{CD} = \frac{2 - 3}{-3 - 3},\qquad m_{BC} = \frac{3}{-1} = -3 = m_{AD} = \frac{3}{-1}

✔ Both pairs of opposite sides are parallel → parallelogram.सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर → समांतर चतुर्भुज।Opposite sides ke dono pairs parallel → parallelogram.

Q9. Angle between the x-axis and the line joining (3, −1) and (4, −2).x-अक्ष और (3, −1), (4, −2) को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण।x-axis aur (3, −1), (4, −2) ko jodne wali line ke beech ka angle.
  1. m = \frac{-2 + 1}{4 - 3} = -1 = \tan\theta \Rightarrow \theta = 135^\circ
Q10. The slope of one line is double the other. If the tangent of the angle between them is 1/3, find the slopes.एक रेखा की ढाल दूसरी की दोगुनी है। यदि उनके बीच के कोण की स्पर्शज्या 1/3 हो, तो ढालें ज्ञात कीजिए।Ek line ka slope doosri ka double hai. Agar unke beech ke angle ka tan 1/3 ho, to slopes nikaliye.
  1. \left|\frac{2m - m}{1 + 2m^2}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow 2m^2 - 3m + 1 = 0\ \ \text{or}\ \ 2m^2 + 3m + 1 = 0\left|\frac{2m - m}{1 + 2m^2}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow 2m^2 - 3m + 1 = 0\ \ \text{या}\ \ 2m^2 + 3m + 1 = 0\left|\frac{2m - m}{1 + 2m^2}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow 2m^2 - 3m + 1 = 0\ \ \text{ya}\ \ 2m^2 + 3m + 1 = 0
  2. m = 1, \tfrac{1}{2}, -1, -\tfrac{1}{2}

✔ Slopes 1 and 2, or ½ and 1, or −1 and −2, or −½ and −1.ढालें 1 और 2, या ½ और 1, या −1 और −2, या −½ और −1।Slopes 1 aur 2, ya ½ aur 1, ya −1 aur −2, ya −½ aur −1.

Q11. A line through (x₁, y₁) and (h, k) has slope m. Show that k − y₁ = m(h − x₁).(x₁, y₁) और (h, k) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल m है। दर्शाइए कि k − y₁ = m(h − x₁)।(x₁, y₁) aur (h, k) se jaane wali line ka slope m hai. Dikhaiye ki k − y₁ = m(h − x₁).
  1. m = \frac{k - y_1}{h - x_1} \Rightarrow k - y_1 = m(h - x_1)

Exercise 9.2प्रश्नावली 9.2Exercise 9.2 · 19 Q

Q1–8: find the equation of the line satisfying the given conditions.प्रश्न 1–8: दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।Q1–8: di gayi conditions wali line ka equation nikaliye.

Q1. Equations of the x- and y-axes.x- और y-अक्षों के समीकरण।x- aur y-axes ke equations.

✔ x-axis: y = 0; y-axis: x = 0x-अक्ष: y = 0; y-अक्ष: x = 0x-axis: y = 0; y-axis: x = 0

Q2. Through (−4, 3) with slope 1/2.(−4, 3) से होकर, ढाल 1/2।(−4, 3) se, slope 1/2.
  1. y - 3 = \frac{1}{2}(x + 4) \Rightarrow x - 2y + 10 = 0
Q3. Through (0, 0) with slope m.(0, 0) से होकर, ढाल m।(0, 0) se, slope m.
  1. y = mx
Q4. Through (2, 2√3), inclined at 75° to the x-axis.(2, 2√3) से होकर, x-अक्ष से 75° पर झुकी।(2, 2√3) se, x-axis se 75° par jhuki.
  1. \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}:\quad y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})(x - 2) \Rightarrow (2 + \sqrt{3})x - y - 4 = 0
  2. \times(\sqrt{3} - 1):\quad (\sqrt{3} + 1)x - (\sqrt{3} - 1)y = 4(\sqrt{3} - 1)
Q5. Cuts the x-axis 3 units left of the origin, slope −2.मूल बिंदु के 3 इकाई बाईं ओर x-अक्ष को काटती है, ढाल −2।Origin ke 3 unit left x-axis ko kaatti hai, slope −2.
  1. (-3, 0):\ y = -2(x + 3) \Rightarrow 2x + y + 6 = 0
Q6. Cuts the y-axis 2 units above the origin, making 30° with the positive x-axis.मूल बिंदु से 2 इकाई ऊपर y-अक्ष को काटती है, धन x-अक्ष से 30° बनाती है।Origin se 2 unit upar y-axis ko kaatti hai, positive x-axis se 30° banati hai.
  1. y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 2 \Rightarrow x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0
Q7. Through (−1, 1) and (2, −4).(−1, 1) और (2, −4) से होकर।(−1, 1) aur (2, −4) se.
  1. m = \frac{-4 - 1}{2 + 1} = -\frac{5}{3}:\ y - 1 = -\frac{5}{3}(x + 1) \Rightarrow 5x + 3y + 2 = 0
Q8. Triangle PQR: P(2, 1), Q(−2, 3), R(4, 5). Equation of the median through R.त्रिभुज PQR: P(2, 1), Q(−2, 3), R(4, 5)। R से होकर जाने वाली माध्यिका का समीकरण।Triangle PQR: P(2, 1), Q(−2, 3), R(4, 5). R se jaane wali median ka equation.
  1. \text{mid-point of PQ} = (0, 2);\ \ m = \frac{5 - 2}{4 - 0} = \frac{3}{4}\text{PQ का मध्य-बिंदु} = (0, 2);\ \ m = \frac{5 - 2}{4 - 0} = \frac{3}{4}\text{PQ ka mid-point} = (0, 2);\ \ m = \frac{5 - 2}{4 - 0} = \frac{3}{4}
  2. y - 2 = \frac{3}{4}x \Rightarrow 3x - 4y + 8 = 0
Q9. Line through (−3, 5) perpendicular to the line through (2, 5) and (−3, 6).(−3, 5) से होकर, (2, 5) और (−3, 6) वाली रेखा पर लंब रेखा।(−3, 5) se, (2, 5) aur (−3, 6) wali line par perpendicular line.
  1. m_1 = \frac{6 - 5}{-3 - 2} = -\frac{1}{5} \Rightarrow m = 5:\ y - 5 = 5(x + 3) \Rightarrow 5x - y + 20 = 0
Q10. A line perpendicular to the segment joining (1, 0) and (2, 3) divides it in the ratio 1 : n. Find its equation.(1, 0) और (2, 3) को मिलाने वाले रेखाखंड पर लंब एक रेखा उसे 1 : n में बाँटती है। उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।(1, 0) aur (2, 3) wale segment par perpendicular ek line use 1 : n mein baantti hai. Equation nikaliye.
  1. \text{point} = \left(\frac{n + 2}{1 + n}, \frac{3}{1 + n}\right),\quad \text{segment slope } 3 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}\text{बिंदु} = \left(\frac{n + 2}{1 + n}, \frac{3}{1 + n}\right),\quad \text{रेखाखंड की ढाल } 3 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}\text{point} = \left(\frac{n + 2}{1 + n}, \frac{3}{1 + n}\right),\quad \text{segment ka slope } 3 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}
  2. 3(1 + n)y - 9 = -(1 + n)x + (n + 2) \Rightarrow (1 + n)x + 3(1 + n)y = n + 11
Q11. Equal intercepts on the axes, through (2, 3).अक्षों पर समान अंतःखंड, (2, 3) से होकर।Axes par barabar intercepts, (2, 3) se.
  1. \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1,\ \ 2 + 3 = a \Rightarrow x + y = 5
Q12. Through (2, 2), intercepts on the axes add up to 9.(2, 2) से होकर, अक्षों पर अंतःखंडों का योग 9।(2, 2) se, axes par intercepts ka jod 9.
  1. \frac{2}{a} + \frac{2}{9 - a} = 1 \Rightarrow a^2 - 9a + 18 = 0 \Rightarrow a = 3, 6
  2. \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1:\ 2x + y - 6 = 0;\qquad \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1:\ x + 2y - 6 = 0
Q13. Through (0, 2) making 2π/3 with the positive x-axis; also the parallel line crossing the y-axis 2 units below the origin.(0, 2) से होकर धन x-अक्ष से 2π/3 बनाने वाली रेखा; और उसके समांतर रेखा जो मूल बिंदु से 2 इकाई नीचे y-अक्ष को काटे।(0, 2) se positive x-axis se 2π/3 banane wali line; aur uske parallel line jo origin se 2 unit neeche y-axis ko kaate.
  1. m = \tan\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}:\ y = -\sqrt{3}x + 2 \Rightarrow \sqrt{3}x + y - 2 = 0
  2. c = -2:\ \sqrt{3}x + y + 2 = 0
Q14. The perpendicular from the origin meets the line at (−2, 9). Find the line.मूल बिंदु से डाला गया लंब रेखा से (−2, 9) पर मिलता है। रेखा ज्ञात कीजिए।Origin se dala gaya perpendicular line se (−2, 9) par milta hai. Line nikaliye.
  1. m_{OP} = -\frac{9}{2} \Rightarrow m = \frac{2}{9}:\ y - 9 = \frac{2}{9}(x + 2) \Rightarrow 2x - 9y + 85 = 0
Q15. Length L (cm) of a copper rod is a linear function of temperature C (°C): L = 124.942 at C = 20, L = 125.134 at C = 110. Express L in terms of C.ताँबे की छड़ की लंबाई L (cm), तापमान C (°C) का रैखिक फलन है: C = 20 पर L = 124.942, C = 110 पर L = 125.134। L को C के पदों में लिखिए।Copper rod ki length L (cm), temperature C (°C) ka linear function hai: C = 20 par L = 124.942, C = 110 par L = 125.134. L ko C ke terms mein likhiye.
  1. \text{slope} = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20} = \frac{0.192}{90}\text{ढाल} = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20} = \frac{0.192}{90}\text{slope} = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20} = \frac{0.192}{90}
  2. L = \frac{0.192}{90}(C - 20) + 124.942
Q16. A milk store sells 980 L/week at ₹14/L and 1220 L/week at ₹16/L. Assuming a linear relation, how much at ₹17/L?दूध की दुकान ₹14/L पर 980 L/सप्ताह और ₹16/L पर 1220 L/सप्ताह बेचती है। रैखिक संबंध मानकर ₹17/L पर कितना?Milk store ₹14/L par 980 L/week aur ₹16/L par 1220 L/week bechta hai. Linear relation maankar ₹17/L par kitna?
  1. \frac{1220 - 980}{16 - 14} = 120;\quad 1220 + 120(17 - 16) = 1340

✔ 1340 litres per week1340 लीटर प्रति सप्ताह1340 litre per week

Q17. P(a, b) is the mid-point of a segment between the axes. Show the line is x/a + y/b = 2.P(a, b) अक्षों के बीच के रेखाखंड का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि रेखा x/a + y/b = 2 है।P(a, b) axes ke beech ke segment ka mid-point hai. Dikhaiye ki line x/a + y/b = 2 hai.
  1. \text{ends } (2a, 0),\ (0, 2b):\ \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1 \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2\text{सिरे } (2a, 0),\ (0, 2b):\ \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1 \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2\text{ends } (2a, 0),\ (0, 2b):\ \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1 \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2
Q18. R(h, k) divides a segment between the axes in the ratio 1 : 2. Find the line.R(h, k) अक्षों के बीच के रेखाखंड को 1 : 2 में बाँटता है। रेखा ज्ञात कीजिए।R(h, k) axes ke beech ke segment ko 1 : 2 mein baantta hai. Line nikaliye.
  1. A(a, 0),\ B(0, b):\ h = \frac{2a}{3},\ k = \frac{b}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2},\ b = 3k
  2. \frac{2x}{3h} + \frac{y}{3k} = 1 \Rightarrow 2kx + hy = 3hk
Q19. Using the equation of a line, prove (3, 0), (−2, −2), (8, 2) are collinear.रेखा के समीकरण से सिद्ध कीजिए कि (3, 0), (−2, −2), (8, 2) संरेख हैं।Line ke equation se prove kijiye ki (3, 0), (−2, −2), (8, 2) collinear hain.
  1. \text{line through } (3, 0), (-2, -2):\ y = \frac{2}{5}(x - 3) \Rightarrow 2x - 5y - 6 = 0(3, 0), (-2, -2) \text{ से रेखा}:\ y = \frac{2}{5}(x - 3) \Rightarrow 2x - 5y - 6 = 0(3, 0), (-2, -2) \text{ se line}:\ y = \frac{2}{5}(x - 3) \Rightarrow 2x - 5y - 6 = 0
  2. (8, 2):\ 16 - 10 - 6 = 0\ \checkmark

Exercise 9.3प्रश्नावली 9.3Exercise 9.3 · 17 Q

Q1. Reduce to slope-intercept form; find slope and y-intercept: (i) x + 7y = 0 (ii) 6x + 3y − 5 = 0 (iii) y = 0.ढाल-अंतःखंड रूप में बदलिए; ढाल और y-अंतःखंड ज्ञात कीजिए: (i) x + 7y = 0 (ii) 6x + 3y − 5 = 0 (iii) y = 0।Slope-intercept form mein badliye; slope aur y-intercept nikaliye: (i) x + 7y = 0 (ii) 6x + 3y − 5 = 0 (iii) y = 0.
  1. (i)\ y = -\frac{1}{7}x + 0:\ m = -\frac{1}{7},\ c = 0
  2. (ii)\ y = -2x + \frac{5}{3}:\ m = -2,\ c = \frac{5}{3}
  3. (iii)\ y = 0 \cdot x + 0:\ m = 0,\ c = 0
Q2. Reduce to intercept form; find the intercepts: (i) 3x + 2y − 12 = 0 (ii) 4x − 3y = 6 (iii) 3y + 2 = 0.अंतःखंड रूप में बदलिए; अंतःखंड ज्ञात कीजिए: (i) 3x + 2y − 12 = 0 (ii) 4x − 3y = 6 (iii) 3y + 2 = 0।Intercept form mein badliye; intercepts nikaliye: (i) 3x + 2y − 12 = 0 (ii) 4x − 3y = 6 (iii) 3y + 2 = 0.
  1. (i)\ \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1:\ 4,\ 6\qquad (ii)\ \frac{x}{3/2} + \frac{y}{-2} = 1:\ \frac{3}{2},\ -2

✔ (iii) y = -\frac{2}{3}: y-intercept -\frac{2}{3}, no x-intercept (line ∥ x-axis).(iii) y = -\frac{2}{3}: y-अंतःखंड -\frac{2}{3}, x-अंतःखंड नहीं (रेखा ∥ x-अक्ष)।(iii) y = -\frac{2}{3}: y-intercept -\frac{2}{3}, x-intercept nahi (line ∥ x-axis).

Q3. Distance of (−1, 1) from the line 12(x + 6) = 5(y − 2).रेखा 12(x + 6) = 5(y − 2) से (−1, 1) की दूरी।Line 12(x + 6) = 5(y − 2) se (−1, 1) ki doori.
  1. 12x - 5y + 82 = 0:\ d = \frac{|-12 - 5 + 82|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{65}{13} = 5
Q4. Points on the x-axis at distance 4 from the line x/3 + y/4 = 1.x-अक्ष पर वे बिंदु जिनकी रेखा x/3 + y/4 = 1 से दूरी 4 है।x-axis par woh points jinki line x/3 + y/4 = 1 se doori 4 hai.
  1. 4x + 3y - 12 = 0:\ \frac{|4a - 12|}{5} = 4 \Rightarrow 4a - 12 = \pm 20 \Rightarrow a = 8, -2

✔ (−2, 0) and (8, 0)(−2, 0) और (8, 0)(−2, 0) aur (8, 0)

Q5. Distance between the parallel lines (i) 15x + 8y − 34 = 0 and 15x + 8y + 31 = 0 (ii) l(x + y) + p = 0 and l(x + y) − r = 0.समांतर रेखाओं के बीच की दूरी (i) 15x + 8y − 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0 (ii) l(x + y) + p = 0 और l(x + y) − r = 0।Parallel lines ke beech doori (i) 15x + 8y − 34 = 0 aur 15x + 8y + 31 = 0 (ii) l(x + y) + p = 0 aur l(x + y) − r = 0.
  1. (i)\ d = \frac{|-34 - 31|}{\sqrt{225 + 64}} = \frac{65}{17}
  2. (ii)\ d = \frac{|p + r|}{\sqrt{l^2 + l^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left|\frac{p + r}{l}\right|
Q6. Line parallel to 3x − 4y + 2 = 0 through (−2, 3).3x − 4y + 2 = 0 के समांतर, (−2, 3) से होकर रेखा।3x − 4y + 2 = 0 ke parallel, (−2, 3) se line.
  1. 3x - 4y + k = 0:\ -6 - 12 + k = 0 \Rightarrow k = 18 \Rightarrow 3x - 4y + 18 = 0
Q7. Line perpendicular to x − 7y + 5 = 0 with x-intercept 3.x − 7y + 5 = 0 पर लंब, x-अंतःखंड 3 वाली रेखा।x − 7y + 5 = 0 par perpendicular, x-intercept 3 wali line.
  1. 7x + y + k = 0 \text{ through } (3, 0):\ k = -21 \Rightarrow 7x + y = 21(3, 0) \text{ से होकर } 7x + y + k = 0:\ k = -21 \Rightarrow 7x + y = 21(3, 0) \text{ se } 7x + y + k = 0:\ k = -21 \Rightarrow 7x + y = 21
Q8. Angles between √3x + y = 1 and x + √3y = 1.√3x + y = 1 और x + √3y = 1 के बीच के कोण।√3x + y = 1 aur x + √3y = 1 ke beech ke angles.
  1. m_1 = -\sqrt{3},\ m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}:\ \tan\theta = \left|\frac{-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}

✔ 30° and 150°30° और 150°30° aur 150°

Q9. The line through (h, 3) and (4, 1) meets 7x − 9y − 19 = 0 at right angles. Find h.(h, 3) और (4, 1) से होकर रेखा, 7x − 9y − 19 = 0 को समकोण पर काटती है। h ज्ञात कीजिए।(h, 3) aur (4, 1) wali line, 7x − 9y − 19 = 0 ko right angle par kaatti hai. h nikaliye.
  1. \frac{-2}{4 - h} \cdot \frac{7}{9} = -1 \Rightarrow 14 = 9(4 - h) \Rightarrow h = \frac{22}{9}
Q10. Prove the line through (x₁, y₁) parallel to Ax + By + C = 0 is A(x − x₁) + B(y − y₁) = 0.सिद्ध कीजिए कि (x₁, y₁) से होकर Ax + By + C = 0 के समांतर रेखा A(x − x₁) + B(y − y₁) = 0 है।Prove kijiye ki (x₁, y₁) se Ax + By + C = 0 ke parallel line A(x − x₁) + B(y − y₁) = 0 hai.
  1. Ax + By + k = 0,\ \ k = -Ax_1 - By_1 \Rightarrow A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0
Q11. Two lines through (2, 3) meet at 60°. One has slope 2. Find the other.(2, 3) से होकर दो रेखाएँ 60° पर मिलती हैं। एक की ढाल 2 है। दूसरी ज्ञात कीजिए।(2, 3) se do lines 60° par milti hain. Ek ka slope 2 hai. Doosri nikaliye.
  1. \left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}}\ \ \text{or}\ \ \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}\left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}}\ \ \text{या}\ \ \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}\left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}}\ \ \text{ya}\ \ \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}
  2. y - 3 = m(x - 2)

✔ (\sqrt{3} + 2)x + (2\sqrt{3} - 1)y = 8\sqrt{3} + 1 or (\sqrt{3} - 2)x + (2\sqrt{3} + 1)y = 8\sqrt{3} - 1(\sqrt{3} + 2)x + (2\sqrt{3} - 1)y = 8\sqrt{3} + 1 या (\sqrt{3} - 2)x + (2\sqrt{3} + 1)y = 8\sqrt{3} - 1(\sqrt{3} + 2)x + (2\sqrt{3} - 1)y = 8\sqrt{3} + 1 ya (\sqrt{3} - 2)x + (2\sqrt{3} + 1)y = 8\sqrt{3} - 1

Q12. Right bisector of the segment joining (3, 4) and (−1, 2).(3, 4) और (−1, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक।(3, 4) aur (−1, 2) wale segment ka perpendicular bisector.
  1. M = (1, 3),\ m_{AB} = \frac{1}{2} \Rightarrow m = -2:\ y - 3 = -2(x - 1) \Rightarrow 2x + y = 5
Q13. Foot of the perpendicular from (−1, 3) to 3x − 4y − 16 = 0.(−1, 3) से 3x − 4y − 16 = 0 पर डाले गए लंब का पाद।(−1, 3) se 3x − 4y − 16 = 0 par perpendicular ka foot.
  1. \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 3}{-4} = -\frac{3(-1) - 4(3) - 16}{25} = \frac{31}{25}
  2. x = -1 + \frac{93}{25} = \frac{68}{25},\quad y = 3 - \frac{124}{25} = -\frac{49}{25}

✔ \left(\frac{68}{25}, -\frac{49}{25}\right)

Q14. The perpendicular from the origin to y = mx + c meets it at (−1, 2). Find m and c.मूल बिंदु से y = mx + c पर डाला गया लंब उसे (−1, 2) पर मिलता है। m और c ज्ञात कीजिए।Origin se y = mx + c par perpendicular use (−1, 2) par milta hai. m aur c nikaliye.
  1. m_{OP} = -2 \Rightarrow m = \frac{1}{2};\quad 2 = -\frac{1}{2} + c \Rightarrow c = \frac{5}{2}
Q15. p, q are the perpendiculars from the origin to x cos θ − y sin θ = k cos 2θ and x sec θ + y cosec θ = k. Prove p² + 4q² = k².p, q मूल बिंदु से x cos θ − y sin θ = k cos 2θ और x sec θ + y cosec θ = k पर लंबों की लंबाइयाँ हैं। सिद्ध कीजिए p² + 4q² = k²।p, q origin se x cos θ − y sin θ = k cos 2θ aur x sec θ + y cosec θ = k par perpendiculars hain. Prove kijiye p² + 4q² = k².
  1. p = \frac{|k\cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}} = |k\cos 2\theta|
  2. q = \frac{|k|}{\sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta}} = |k \sin\theta\cos\theta| = \frac{|k\sin 2\theta|}{2}
  3. p^2 + 4q^2 = k^2(\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) = k^2
Q16. Triangle A(2, 3), B(4, −1), C(1, 2): equation and length of the altitude from A.त्रिभुज A(2, 3), B(4, −1), C(1, 2): A से शीर्षलंब का समीकरण और लंबाई।Triangle A(2, 3), B(4, −1), C(1, 2): A se altitude ka equation aur length.
  1. BC:\ m = \frac{2 + 1}{1 - 4} = -1 \Rightarrow x + y - 3 = 0
  2. y - 3 = 1(x - 2) \Rightarrow x - y + 1 = 0;\quad d = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
Q17. p is the perpendicular from the origin to the line with intercepts a and b. Show 1/p² = 1/a² + 1/b².p, मूल बिंदु से अंतःखंड a और b वाली रेखा पर लंब है। दर्शाइए 1/p² = 1/a² + 1/b²।p, origin se intercepts a aur b wali line par perpendicular hai. Dikhaiye 1/p² = 1/a² + 1/b².
  1. bx + ay - ab = 0:\ p = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \Rightarrow \frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}

Miscellaneous Exercise on Chapter 9अध्याय 9 पर विविध प्रश्नावलीMiscellaneous Exercise on Chapter 9 · 23 Q

Q1. Values of k for which (k − 3)x − (4 − k²)y + k² − 7k + 6 = 0 is (a) parallel to the x-axis (b) parallel to the y-axis (c) through the origin.k के मान जिनके लिए (k − 3)x − (4 − k²)y + k² − 7k + 6 = 0 (a) x-अक्ष के समांतर (b) y-अक्ष के समांतर (c) मूल बिंदु से होकर हो।k ki values jinke liye (k − 3)x − (4 − k²)y + k² − 7k + 6 = 0 (a) x-axis ke parallel (b) y-axis ke parallel (c) origin se ho.
  1. (a)\ k - 3 = 0 \Rightarrow k = 3\qquad (b)\ 4 - k^2 = 0 \Rightarrow k = \pm 2
  2. (c)\ k^2 - 7k + 6 = 0 \Rightarrow k = 1, 6
Q2. Lines whose intercepts on the axes have sum 1 and product −6.वे रेखाएँ जिनके अक्षों पर अंतःखंडों का योग 1 और गुणनफल −6 है।Woh lines jinke intercepts ka jod 1 aur product −6 hai.
  1. a + b = 1,\ ab = -6 \Rightarrow (a, b) = (3, -2)\ \text{or}\ (-2, 3)a + b = 1,\ ab = -6 \Rightarrow (a, b) = (3, -2)\ \text{या}\ (-2, 3)a + b = 1,\ ab = -6 \Rightarrow (a, b) = (3, -2)\ \text{ya}\ (-2, 3)
  2. \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x - 3y = 6;\qquad -\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow -3x + 2y = 6
Q3. Points on the y-axis at distance 4 from x/3 + y/4 = 1.y-अक्ष पर वे बिंदु जिनकी x/3 + y/4 = 1 से दूरी 4 है।y-axis par woh points jinki x/3 + y/4 = 1 se doori 4 hai.
  1. 4x + 3y - 12 = 0:\ \frac{|3b - 12|}{5} = 4 \Rightarrow b = \frac{32}{3}, -\frac{8}{3}

✔ \left(0, \frac{32}{3}\right), \left(0, -\frac{8}{3}\right)

Q4. Perpendicular distance from the origin to the line through (cos θ, sin θ) and (cos φ, sin φ).(cos θ, sin θ) और (cos φ, sin φ) से होकर रेखा की मूल बिंदु से लांबिक दूरी।(cos θ, sin θ) aur (cos φ, sin φ) wali line ki origin se perpendicular doori.
  1. Both points lie on the unit circle; the chord subtends angle φ − θ at O, so the perpendicular from O bisects it.दोनों बिंदु इकाई वृत्त पर हैं; जीवा O पर कोण φ − θ अंतरित करती है, अतः O से लंब उसे समद्विभाजित करता है।Dono points unit circle par hain; chord O par angle φ − θ banati hai, isliye O se perpendicular use bisect karta hai.
    d = 1 \cdot \cos\frac{\varphi - \theta}{2}\quad \left(\text{numerically } \left|\cos\frac{\varphi - \theta}{2}\right|\right)d = 1 \cdot \cos\frac{\varphi - \theta}{2}\quad \left(\text{संख्यात्मक रूप से } \left|\cos\frac{\varphi - \theta}{2}\right|\right)d = 1 \cdot \cos\frac{\varphi - \theta}{2}\quad \left(\text{numerically } \left|\cos\frac{\varphi - \theta}{2}\right|\right)
Q5. Line parallel to the y-axis through the intersection of x − 7y + 5 = 0 and 3x + y = 0.x − 7y + 5 = 0 और 3x + y = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर y-अक्ष के समांतर रेखा।x − 7y + 5 = 0 aur 3x + y = 0 ke intersection se y-axis ke parallel line.
  1. y = -3x \Rightarrow x + 21x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{22}

✔ x = -\frac{5}{22}

Q6. Line perpendicular to x/4 + y/6 = 1 through the point where it meets the y-axis.x/4 + y/6 = 1 पर लंब रेखा, उस बिंदु से होकर जहाँ यह y-अक्ष से मिलती है।x/4 + y/6 = 1 par perpendicular line, us point se jahan yeh y-axis se milti hai.
  1. (0, 6),\ m_1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow m = \frac{2}{3}:\ y - 6 = \frac{2}{3}x \Rightarrow 2x - 3y + 18 = 0
Q7. Area of the triangle formed by y − x = 0, x + y = 0 and x − k = 0.y − x = 0, x + y = 0 और x − k = 0 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल।y − x = 0, x + y = 0 aur x − k = 0 se bane triangle ka area.
  1. (0, 0),\ (k, k),\ (k, -k):\ \frac{1}{2} \cdot |k| \cdot 2|k| = k^2
Q8. Find p so that 3x + y − 2 = 0, px + 2y − 3 = 0 and 2x − y − 3 = 0 meet at one point.p ज्ञात कीजिए ताकि 3x + y − 2 = 0, px + 2y − 3 = 0 और 2x − y − 3 = 0 एक बिंदु पर मिलें।p nikaliye taaki 3x + y − 2 = 0, px + 2y − 3 = 0 aur 2x − y − 3 = 0 ek point par milein.
  1. 3x + y = 2,\ 2x - y = 3 \Rightarrow x = 1,\ y = -1;\quad p - 2 - 3 = 0 \Rightarrow p = 5
Q9. y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂, y = m₃x + c₃ are concurrent. Show m₁(c₂ − c₃) + m₂(c₃ − c₁) + m₃(c₁ − c₂) = 0.y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂, y = m₃x + c₃ संगामी हैं। दर्शाइए m₁(c₂ − c₃) + m₂(c₃ − c₁) + m₃(c₁ − c₂) = 0।y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂, y = m₃x + c₃ concurrent hain. Dikhaiye m₁(c₂ − c₃) + m₂(c₃ − c₁) + m₃(c₁ − c₂) = 0.
  1. \text{lines 1, 2 meet at } x = \frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2},\ y = \frac{m_1 c_2 - m_2 c_1}{m_1 - m_2}\text{रेखाएँ 1, 2 मिलती हैं } x = \frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2},\ y = \frac{m_1 c_2 - m_2 c_1}{m_1 - m_2}\text{lines 1, 2 milti hain } x = \frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2},\ y = \frac{m_1 c_2 - m_2 c_1}{m_1 - m_2}
  2. \text{on line 3: } m_1 c_2 - m_2 c_1 = m_3(c_2 - c_1) + c_3(m_1 - m_2)\text{रेखा 3 पर: } m_1 c_2 - m_2 c_1 = m_3(c_2 - c_1) + c_3(m_1 - m_2)\text{line 3 par: } m_1 c_2 - m_2 c_1 = m_3(c_2 - c_1) + c_3(m_1 - m_2)
  3. \Rightarrow m_1(c_2 - c_3) + m_2(c_3 - c_1) + m_3(c_1 - c_2) = 0
Q10. Lines through (3, 2) making 45° with x − 2y = 3.(3, 2) से होकर x − 2y = 3 से 45° बनाने वाली रेखाएँ।(3, 2) se x − 2y = 3 se 45° banane wali lines.
  1. \left|\frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{m}{2}}\right| = 1 \Rightarrow m = 3\ \ \text{or}\ \ m = -\frac{1}{3}\left|\frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{m}{2}}\right| = 1 \Rightarrow m = 3\ \ \text{या}\ \ m = -\frac{1}{3}\left|\frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{m}{2}}\right| = 1 \Rightarrow m = 3\ \ \text{ya}\ \ m = -\frac{1}{3}

✔ 3x - y = 7 and x + 3y = 93x - y = 7 और x + 3y = 93x - y = 7 aur x + 3y = 9

Q11. Line through the intersection of 4x + 7y − 3 = 0 and 2x − 3y + 1 = 0 with equal intercepts on the axes.4x + 7y − 3 = 0 और 2x − 3y + 1 = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर, अक्षों पर समान अंतःखंड वाली रेखा।4x + 7y − 3 = 0 aur 2x − 3y + 1 = 0 ke intersection se, axes par barabar intercepts wali line.
  1. 4x + 7y = 3,\ 4x - 6y = -2 \Rightarrow y = \frac{5}{13},\ x = \frac{1}{13}
  2. x + y = a = \frac{6}{13} \Rightarrow 13x + 13y = 6
Q12. Show that the line through the origin making angle θ with y = mx + c is y/x = (m ± tan θ)/(1 ∓ m tan θ).दर्शाइए कि मूल बिंदु से होकर y = mx + c से कोण θ बनाने वाली रेखा y/x = (m ± tan θ)/(1 ∓ m tan θ) है।Dikhaiye ki origin se y = mx + c se angle θ banane wali line y/x = (m ± tan θ)/(1 ∓ m tan θ) hai.
  1. y = m_1 x:\ \frac{m_1 - m}{1 + m m_1} = \pm\tan\theta \Rightarrow m_1 = \frac{m \pm \tan\theta}{1 \mp m\tan\theta}
  2. m_1 = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m \pm \tan\theta}{1 \mp m\tan\theta}
Q13. In what ratio does x + y = 4 divide the line joining (−1, 1) and (5, 7)?x + y = 4, (−1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाली रेखा को किस अनुपात में बाँटती है?x + y = 4, (−1, 1) aur (5, 7) wali line ko kis ratio mein baantti hai?
  1. k : 1 \Rightarrow \left(\frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1}\right):\ \frac{12k}{k + 1} = 4 \Rightarrow k = \frac{1}{2}

✔ 1 : 2

Q14. Distance of the line 4x + 7y + 5 = 0 from (1, 2) along the line 2x − y = 0.बिंदु (1, 2) से रेखा 2x − y = 0 के अनुदिश रेखा 4x + 7y + 5 = 0 की दूरी।Point (1, 2) se line 2x − y = 0 ke along line 4x + 7y + 5 = 0 ki doori.
  1. y = 2x:\ 4x + 14x + 5 = 0 \Rightarrow \left(-\frac{5}{18}, -\frac{5}{9}\right)
  2. d = \sqrt{\left(\frac{23}{18}\right)^2 + \left(\frac{46}{18}\right)^2} = \frac{23\sqrt{5}}{18}
Q15. Direction of a line through (−1, 2) so that its intersection with x + y = 4 is 3 units from (−1, 2).(−1, 2) से रेखा किस दिशा में खींचें कि x + y = 4 से उसका प्रतिच्छेद बिंदु (−1, 2) से 3 इकाई दूर हो?(−1, 2) se line kis direction mein kheenchein ki x + y = 4 se uska intersection (−1, 2) se 3 unit door ho?
  1. (-1 + 3\cos\theta,\ 2 + 3\sin\theta):\ \cos\theta + \sin\theta = 1 \Rightarrow \theta = 0^\circ, 90^\circ

✔ The line is parallel to the x-axis or parallel to the y-axis.रेखा x-अक्ष के समांतर या y-अक्ष के समांतर है।Line x-axis ke parallel ya y-axis ke parallel hai.

Q16. The hypotenuse of a right triangle has ends (1, 3) and (−4, 1). Find the legs parallel to the axes.समकोण त्रिभुज के कर्ण के सिरे (1, 3) और (−4, 1) हैं। अक्षों के समांतर भुजाएँ ज्ञात कीजिए।Right triangle ke hypotenuse ke ends (1, 3) aur (−4, 1) hain. Axes ke parallel legs nikaliye.

✔ Right angle at (1, 1): x = 1, y = 1; or at (−4, 3): x = −4, y = 3.समकोण (1, 1) पर: x = 1, y = 1; या (−4, 3) पर: x = −4, y = 3।Right angle (1, 1) par: x = 1, y = 1; ya (−4, 3) par: x = −4, y = 3.

Q17. Image of (3, 8) in the line x + 3y = 7 (as a plane mirror).रेखा x + 3y = 7 (समतल दर्पण) में (3, 8) का प्रतिबिंब।Line x + 3y = 7 (plane mirror) mein (3, 8) ka image.
  1. \frac{h - 3}{1} = \frac{k - 8}{3} = \frac{-2(3 + 24 - 7)}{10} = -4 \Rightarrow h = -1,\ k = -4

✔ (−1, −4)

Q18. y = 3x + 1 and 2y = x + 3 are equally inclined to y = mx + 4. Find m.y = 3x + 1 और 2y = x + 3, y = mx + 4 से समान रूप से झुकी हैं। m ज्ञात कीजिए।y = 3x + 1 aur 2y = x + 3, y = mx + 4 se barabar jhuki hain. m nikaliye.
  1. \frac{3 - m}{1 + 3m} = \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{m}{2}} \Rightarrow 7m^2 - 2m - 7 = 0
  2. m = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}
Q19. The sum of the distances of P(x, y) from x + y − 5 = 0 and 3x − 2y + 7 = 0 is always 10. Show P moves on a line.P(x, y) की x + y − 5 = 0 और 3x − 2y + 7 = 0 से दूरियों का योग सदा 10 है। दर्शाइए P एक रेखा पर चलता है।P(x, y) ki x + y − 5 = 0 aur 3x − 2y + 7 = 0 se dooriyon ka jod hamesha 10 hai. Dikhaiye P ek line par chalta hai.
  1. \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}} + \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}} = 10
  2. Inside any one region the two expressions keep fixed signs, so the moduli open to give a first-degree equation in x and y — a straight line.किसी एक क्षेत्र में दोनों व्यंजकों के चिह्न स्थिर रहते हैं, अतः मापांक खुलकर x, y में एक घात का समीकरण देते हैं — एक सरल रेखा।Kisi ek region mein dono expressions ke sign fixed rehte hain, isliye modulus khulkar x, y mein first-degree equation deta hai — ek straight line.
    \text{e.g. } (\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y + (7\sqrt{2} - 5\sqrt{13} - 10\sqrt{26}) = 0\text{जैसे } (\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y + (7\sqrt{2} - 5\sqrt{13} - 10\sqrt{26}) = 0\text{jaise } (\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y + (7\sqrt{2} - 5\sqrt{13} - 10\sqrt{26}) = 0
Q20. Line equidistant from the parallel lines 9x + 6y − 7 = 0 and 3x + 2y + 6 = 0.समांतर रेखाओं 9x + 6y − 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0 से समदूरस्थ रेखा।Parallel lines 9x + 6y − 7 = 0 aur 3x + 2y + 6 = 0 se barabar doori wali line.
  1. 3x + 2y + 6 = 0 \Rightarrow 9x + 6y + 18 = 0;\quad 9x + 6y + \frac{-7 + 18}{2} = 0

✔ 18x + 12y + 11 = 0

Q21. A ray through (1, 2) reflects on the x-axis at A and passes through (5, 3). Find A.(1, 2) से आने वाली किरण x-अक्ष पर A पर परावर्तित होकर (5, 3) से गुजरती है। A ज्ञात कीजिए।(1, 2) se aane wali ray x-axis par A par reflect hokar (5, 3) se guzarti hai. A nikaliye.
  1. \text{image of } (1, 2) = (1, -2);\ \ \text{line to } (5, 3):\ y + 2 = \frac{5}{4}(x - 1)(1, 2) \text{ का प्रतिबिंब} = (1, -2);\ \ (5, 3) \text{ तक रेखा}:\ y + 2 = \frac{5}{4}(x - 1)(1, 2) \text{ ka image} = (1, -2);\ \ (5, 3) \text{ tak line}:\ y + 2 = \frac{5}{4}(x - 1)
  2. y = 0 \Rightarrow x = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}

✔ A\left(\frac{13}{5}, 0\right)

Q22. Prove that the product of the perpendiculars from (√(a² − b²), 0) and (−√(a² − b²), 0) to (x/a) cos θ + (y/b) sin θ = 1 is b².सिद्ध कीजिए कि (√(a² − b²), 0) और (−√(a² − b²), 0) से (x/a) cos θ + (y/b) sin θ = 1 पर लंबों का गुणनफल b² है।Prove kijiye ki (√(a² − b²), 0) aur (−√(a² − b²), 0) se (x/a) cos θ + (y/b) sin θ = 1 par perpendiculars ka product b² hai.
  1. c = \sqrt{a^2 - b^2}:\ p_1 p_2 = \frac{\left|\left(\frac{c\cos\theta}{a} - 1\right)\left(-\frac{c\cos\theta}{a} - 1\right)\right|}{\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}}
  2. = \frac{\left(a^2 - c^2\cos^2\theta\right)/a^2}{\left(b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta\right)/(a^2 b^2)} = \frac{b^2\left(a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta\right)}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} = b^2
Q23. A person at the junction of 2x − 3y + 4 = 0 and 3x + 4y − 5 = 0 wants to reach 6x − 7y + 8 = 0 in the least time. Find the path.2x − 3y + 4 = 0 और 3x + 4y − 5 = 0 के संगम पर खड़ा व्यक्ति 6x − 7y + 8 = 0 तक सबसे कम समय में पहुँचना चाहता है। मार्ग ज्ञात कीजिए।2x − 3y + 4 = 0 aur 3x + 4y − 5 = 0 ke junction par khada vyakti 6x − 7y + 8 = 0 tak sabse kam samay mein pahunchna chahta hai. Raasta nikaliye.
  1. Least time = shortest path = the perpendicular to 6x − 7y + 8 = 0.सबसे कम समय = सबसे छोटा मार्ग = 6x − 7y + 8 = 0 पर लंब।Sabse kam samay = sabse chhota raasta = 6x − 7y + 8 = 0 par perpendicular.
    \text{junction } \left(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}\right),\ \ m = -\frac{7}{6}:\ y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}\left(x + \frac{1}{17}\right)\text{संगम } \left(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}\right),\ \ m = -\frac{7}{6}:\ y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}\left(x + \frac{1}{17}\right)\text{junction } \left(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}\right),\ \ m = -\frac{7}{6}:\ y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}\left(x + \frac{1}{17}\right)

✔ 119x + 102y = 125

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1. Slope of the line through (2, 3) and (4, 7) is(2, 3) और (4, 7) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल है(2, 3) aur (4, 7) wali line ka slope hai

2. A line with inclination 135° has slopeझुकाव 135° वाली रेखा की ढाल हैInclination 135° wali line ka slope hai

3. The slope of a vertical line isऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल हैVertical line ka slope hai

4. Lines with slopes m₁ and m₂ are perpendicular ifढाल m₁ और m₂ वाली रेखाएँ लंब हैं यदिSlopes m₁ aur m₂ wali lines perpendicular hain agar

5. Slope of 3x − 4y + 7 = 0 is3x − 4y + 7 = 0 की ढाल है3x − 4y + 7 = 0 ka slope hai

6. The intercepts of 2x + 3y = 6 on the x- and y-axes are2x + 3y = 6 के x- और y-अक्षों पर अंतःखंड हैं2x + 3y = 6 ke x- aur y-axes par intercepts hain

7. Equation of the line through (1, 2) with slope 3 is(1, 2) से होकर ढाल 3 वाली रेखा का समीकरण है(1, 2) se slope 3 wali line ka equation hai

8. Distance of the origin from 3x + 4y − 10 = 0 is3x + 4y − 10 = 0 से मूल बिंदु की दूरी है3x + 4y − 10 = 0 se origin ki doori hai

9. Distance between 3x + 4y − 5 = 0 and 6x + 8y + 15 = 0 is3x + 4y − 5 = 0 और 6x + 8y + 15 = 0 के बीच की दूरी है3x + 4y − 5 = 0 aur 6x + 8y + 15 = 0 ke beech doori hai

10. Acute angle between lines of slopes 1 and 0 isढाल 1 और 0 वाली रेखाओं के बीच का न्यून कोण हैSlopes 1 aur 0 wali lines ke beech ka acute angle hai

11. The line parallel to 2x − y + 5 = 0 through the origin isमूल बिंदु से होकर 2x − y + 5 = 0 के समांतर रेखा हैOrigin se 2x − y + 5 = 0 ke parallel line hai

12. Points (1, 1), (2, 3), (3, k) are collinear when k =बिंदु (1, 1), (2, 3), (3, k) संरेख हैं जब k =Points (1, 1), (2, 3), (3, k) collinear hain jab k =

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 11 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 गणित की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Maths ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.