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CLASS 12 MATHS · CHAPTER 4

DeterminantsसारणिकDeterminants

Determinant of 1×1, 2×2 and 3×3 matrices, area of a triangle, minors and cofactors, adjoint and inverse of a matrix, and solving linear equations by the matrix method — NCERT Chapter 4, in easy words.1×1, 2×2 और 3×3 आव्यूहों के सारणिक, त्रिभुज का क्षेत्रफल, उपसारणिक और सहखंड, आव्यूह का सहखंडज और व्युत्क्रम, तथा आव्यूह विधि से रैखिक समीकरण हल करना — NCERT अध्याय 4, आसान भाषा में।1×1, 2×2 aur 3×3 matrices ka determinant, triangle ka area, minors aur cofactors, matrix ka adjoint aur inverse, aur matrix method se linear equations solve karna — NCERT Chapter 4, aasaan shabdon mein.

In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein

Notesनोट्सNotesEasy words, step by stepआसान शब्दों में, क्रम सेAasaan shabdon mein, step by stepSolved examplesहल किए गए उदाहरणSolved examples19 NCERT examples, every step19 NCERT उदाहरण, हर चरण19 NCERT examples, har stepPicturesचित्रPicturesTap a label, it tells its nameलेबल पर टैप कीजिए, नाम बताएगाLabel par tap kijiye, naam batayegaTry it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiyeMove, drag and seeखिसकाइए, खींचिए और देखिएKhiskaiye, kheenchiye aur dekhiyeQuizक्विज़Quiz10 quick questions10 छोटे प्रश्न10 chhote sawaal

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Sign chart (+ − +) for expanding a 3 × 3 determinant3 × 3 सारणिक के प्रसरण की चिह्न सारणी (+ − +)3 × 3 determinant expand karne ka sign chart (+ − +)4.2.3Area of triangle with vertices (3, 8), (−4, 2), (5, 1)शीर्ष (3, 8), (−4, 2), (5, 1) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफलVertices (3, 8), (−4, 2), (5, 1) wale triangle ka areaExample 6Minor and cofactor of the element 6 (Example 8)अवयव 6 का उपसारणिक और सहखंड (उदाहरण 8)Element 6 ka minor aur cofactor (Example 8)Example 8Adjoint = transpose of the cofactor matrix (Example 13)सहखंडज = सहखंड आव्यूह का परिवर्त (उदाहरण 13)Adjoint = cofactor matrix ka transpose (Example 13)Example 13Two lines: one solution, no solution, infinitely many solutionsदो रेखाएँ: एक हल, कोई हल नहीं, अनंत हलDo lines: ek solution, koi solution nahi, infinite solutions4.6

Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye

3 × 3 expansion stepper3 × 3 प्रसरण चरण-दर-चरण3 × 3 expansion step-by-stepPick a row/column, watch minors, signs and the sum buildपंक्ति/स्तंभ चुनिए, उपसारणिक, चिह्न और योग बनते देखिएRow/column chuniye, minors, signs aur sum bante dekhiyeTriangle area labत्रिभुज क्षेत्रफल प्रयोगशालाTriangle area labDrag the corners; area 0 means collinearशीर्ष खिसकाइए; क्षेत्रफल 0 यानी संरेखCorners khiskaiye; area 0 yaani collinearTwo equations: lines and |A|दो समीकरण: रेखाएँ और |A|Do equations: lines aur |A|See one, none or infinitely many solutionsएक, कोई नहीं या अनंत हल देखिएEk, koi nahi ya infinite solutions dekhiye
All sections (NCERT order)सभी खंड (NCERT क्रम)Saare sections (NCERT order)
  1. 4.1IntroductionपरिचयIntroduction
  2. 4.2DeterminantसारणिकDeterminant
  3. 4.2.1Determinant of a matrix of order oneएक कोटि के आव्यूह का सारणिकOrder one matrix ka determinant
  4. 4.2.2Determinant of a matrix of order twoदो कोटि के आव्यूह का सारणिकOrder two matrix ka determinant
  5. 4.2.3Determinant of a matrix of order 3 × 33 × 3 कोटि के आव्यूह का सारणिक3 × 3 matrix ka determinant
  6. 4.3Area of a Triangleत्रिभुज का क्षेत्रफलTriangle ka area
  7. 4.4Minors and Cofactorsउपसारणिक और सहखंडMinors aur Cofactors
  8. 4.5Adjoint and Inverse of a Matrixआव्यूह का सहखंडज और व्युत्क्रमMatrix ka Adjoint aur Inverse
  9. 4.5.1Adjoint of a matrixआव्यूह का सहखंडजMatrix ka adjoint
  10. 4.6Applications of Determinants and Matricesसारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोगDeterminants aur matrices ke applications
  11. 4.6.1Solution of system of linear equations using inverse of a matrixआव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा रैखिक समीकरण निकाय का हलMatrix ke inverse se linear equations ka solution
  12. Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples
  13. Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet
  14. Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

4.1IntroductionपरिचयIntroduction

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeStart here. A determinant is just one number that we calculate from a square matrix (same number of rows and columns). For \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} that number is 2 \times 2 - 4 \times (-1) = 8. This one number tells us a lot: whether a system of equations has a unique solution, whether a matrix has an inverse, and even the area of a triangle!यहाँ से शुरू कीजिए। सारणिक बस एक संख्या है जो हम किसी वर्ग आव्यूह (जितनी पंक्तियाँ उतने स्तंभ) से निकालते हैं। \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} के लिए यह संख्या 2 \times 2 - 4 \times (-1) = 8 है। यह एक संख्या बहुत कुछ बताती है: समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है या नहीं, आव्यूह का व्युत्क्रम है या नहीं, और त्रिभुज का क्षेत्रफल भी!Yahan se shuru kijiye. Determinant bas ek number hai jo hum kisi square matrix (jitni rows utne columns) se nikaalte hain. \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} ke liye ye number 2 \times 2 - 4 \times (-1) = 8 hai. Ye ek number bahut kuch batata hai: equations ka unique solution hai ya nahi, matrix ka inverse hai ya nahi, aur triangle ka area bhi!

In the previous chapter we wrote a system of linear equations a_1x + b_1y = c_1,\ a_2x + b_2y = c_2 as \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}. Whether this system has a unique solution is decided by the number a_1b_2 - a_2b_1: if a_1b_2 - a_2b_1 \ne 0, the solution is unique. This number is called the determinant of the matrix A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}, written det A. Determinants are used in Engineering, Science, Economics, Social Science, etc.पिछले अध्याय में हमने रैखिक समीकरण निकाय a_1x + b_1y = c_1,\ a_2x + b_2y = c_2 को \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} के रूप में लिखा था। इस निकाय का अद्वितीय हल है या नहीं, यह संख्या a_1b_2 - a_2b_1 तय करती है: यदि a_1b_2 - a_2b_1 \ne 0, तो हल अद्वितीय है। इस संख्या को आव्यूह A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} का सारणिक कहते हैं, जिसे det A लिखते हैं। सारणिकों का उपयोग इंजीनियरिंग, विज्ञान, अर्थशास्त्र, सामाजिक विज्ञान आदि में होता है।Pichhle chapter mein humne linear equations a_1x + b_1y = c_1,\ a_2x + b_2y = c_2 ko \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} ke roop mein likha tha. Is system ka unique solution hai ya nahi, ye number a_1b_2 - a_2b_1 decide karta hai: agar a_1b_2 - a_2b_1 \ne 0, to solution unique hai. Is number ko matrix A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} ka determinant kehte hain, aur det A likhte hain. Determinants Engineering, Science, Economics, Social Science waghaira mein kaam aate hain.

What this chapter coversDeterminants up to order three only, with real entries; minors and cofactors; area of a triangle; adjoint and inverse of a square matrix; consistency of a system of linear equations; and solving linear equations in two or three variables using the inverse of a matrix.इस अध्याय में क्या हैकेवल तीन कोटि तक के, वास्तविक प्रविष्टियों वाले सारणिक; उपसारणिक और सहखंड; त्रिभुज का क्षेत्रफल; वर्ग आव्यूह का सहखंडज और व्युत्क्रम; रैखिक समीकरण निकाय की संगतता; और आव्यूह के व्युत्क्रम से दो या तीन चरों वाले रैखिक समीकरणों का हल।Is chapter mein kya haiSirf order 3 tak ke, real entries wale determinants; minors aur cofactors; triangle ka area; square matrix ka adjoint aur inverse; linear equations ki consistency; aur matrix ke inverse se 2 ya 3 variables wali equations solve karna.

4.2DeterminantसारणिकDeterminant

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)DeterminantTo every square matrix A = [a_{ij}] of order n, we can associate a number (real or complex) called the determinant of the square matrix A, where a_{ij} = (i, j)th element of A. It is denoted by |A| or det A or \Delta.सारणिकप्रत्येक n कोटि के वर्ग आव्यूह A = [a_{ij}] से एक संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) संबद्ध की जा सकती है, जिसे वर्ग आव्यूह A का सारणिक कहते हैं, जहाँ a_{ij}, A का (i, j)वाँ अवयव है। इसे |A| या det A या \Delta से दर्शाते हैं।DeterminantHar n order ke square matrix A = [a_{ij}] ke saath ek number (real ya complex) joda ja sakta hai, jise square matrix A ka determinant kehte hain, jahan a_{ij}, A ka (i, j)th element hai. Ise |A| ya det A ya \Delta likhte hain.

You can think of it as a function f : M \to K, where M is the set of square matrices and K is the set of numbers: f(A) = k is the determinant of A. If A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, its determinant is written |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \det(A).इसे एक फलन f : M \to K की तरह सोच सकते हैं, जहाँ M वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है और K संख्याओं का: f(A) = k, A का सारणिक है। यदि A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, तो इसका सारणिक |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \det(A) लिखा जाता है।Ise ek function f : M \to K ki tarah soch sakte hain, jahan M square matrices ka set hai aur K numbers ka: f(A) = k, A ka determinant hai. Agar A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, to iska determinant |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \det(A) likha jaata hai.

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(i) |A| is read as "determinant of A", not "modulus of A" — a determinant can be negative, e.g. \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2. (ii) Only square matrices have determinants. A 2 × 3 matrix has no determinant.(i) |A| को "A का सारणिक" पढ़ते हैं, "A का मापांक" नहीं — सारणिक ऋणात्मक भी हो सकता है, जैसे \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2। (ii) केवल वर्ग आव्यूहों के सारणिक होते हैं। 2 × 3 आव्यूह का कोई सारणिक नहीं होता।(i) |A| ko "determinant of A" padhte hain, "modulus of A" nahi — determinant negative bhi ho sakta hai, jaise \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2. (ii) Sirf square matrices ke determinant hote hain. 2 × 3 matrix ka koi determinant nahi hota.

4.2.1Determinant of a matrix of order oneएक कोटि के आव्यूह का सारणिकOrder one matrix ka determinant

Let A = [a] be a matrix of order 1. Then its determinant is defined to be equal to a. For example, |[-7]| = -7 (here the bars mean determinant, so the answer stays −7).मान लीजिए A = [a] कोटि 1 का आव्यूह है। तब इसका सारणिक a के बराबर परिभाषित है। उदाहरण: |[-7]| = -7 (यहाँ खड़ी रेखाएँ सारणिक दर्शाती हैं, इसलिए उत्तर −7 ही रहता है)।Maan lijiye A = [a] order 1 ka matrix hai. To iska determinant a ke barabar define hota hai. Jaise |[-7]| = -7 (yahan bars determinant dikhati hain, isliye answer −7 hi rehta hai).

4.2.2Determinant of a matrix of order twoदो कोटि के आव्यूह का सारणिकOrder two matrix ka determinant

\det A = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}
Down-right diagonal product minus up-right diagonal productनीचे-दाएँ विकर्ण का गुणनफल घटा ऊपर-दाएँ विकर्ण का गुणनफलNeeche-right diagonal ka product minus upar-right diagonal ka product
🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeCross-multiply and subtract: (main diagonal product) − (other diagonal product). For \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}: 3 \times 2 - 5 \times 1 = 6 - 5 = 1. Order matters: always "main diagonal minus the other one".क्रॉस-गुणा करके घटाइए: (मुख्य विकर्ण का गुणनफल) − (दूसरे विकर्ण का गुणनफल)। \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} के लिए: 3 \times 2 - 5 \times 1 = 6 - 5 = 1। क्रम ज़रूरी है: हमेशा "मुख्य विकर्ण घटा दूसरा"।Cross-multiply karke ghataiye: (main diagonal ka product) − (doosre diagonal ka product). \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} ke liye: 3 \times 2 - 5 \times 1 = 6 - 5 = 1. Order zaroori hai: hamesha "main diagonal minus doosra".
Example 1Evaluate \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}.उदाहरण 1\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।Example 1\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} ki value nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Main diagonal 2 × 2, minus the other diagonal 4 × (−1).मुख्य विकर्ण 2 × 2, घटा दूसरा विकर्ण 4 × (−1)।Main diagonal 2 × 2, minus doosra diagonal 4 × (−1).
    \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2) - 4(-1)
  2. Minus of a negative becomes plus: -4(-1) = +4.ऋण का ऋण धन बन जाता है: -4(-1) = +4।Minus ka minus plus ban jaata hai: -4(-1) = +4.
    = 4 + 4 = 8

✔ \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 8\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 8\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 8

Example 2Evaluate \begin{vmatrix} x & x + 1 \\ x - 1 & x \end{vmatrix}.उदाहरण 2\begin{vmatrix} x & x + 1 \\ x - 1 & x \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।Example 2\begin{vmatrix} x & x + 1 \\ x - 1 & x \end{vmatrix} ki value nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Same rule: main diagonal minus the other diagonal.वही नियम: मुख्य विकर्ण घटा दूसरा विकर्ण।Wahi rule: main diagonal minus doosra diagonal.
    = x(x) - (x + 1)(x - 1)
  2. (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 (difference of squares).(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 (वर्गों का अंतर)।(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 (squares ka difference).
    = x^2 - (x^2 - 1)
  3. Open the bracket carefully: minus changes both signs.कोष्ठक ध्यान से खोलिए: ऋण चिह्न दोनों चिह्न बदल देता है।Bracket dhyan se kholiye: minus dono signs badal deta hai.
    = x^2 - x^2 + 1 = 1

✔ The value is 1 (for every x).मान 1 है (हर x के लिए)।Value 1 hai (har x ke liye).

4.2.3Determinant of a matrix of order 3 × 33 × 3 कोटि के आव्यूह का सारणिक3 × 3 matrix ka determinant

A determinant of order three is found by writing it in terms of second order determinants. This is called expansion of a determinant along a row (or a column). There are six ways — along R_1, R_2, R_3 or C_1, C_2, C_3 — and all six give the same value.तीन कोटि का सारणिक उसे दो कोटि के सारणिकों के रूप में लिखकर निकाला जाता है। इसे किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अनुदिश सारणिक का प्रसरण कहते हैं। इसके छह तरीके हैं — R_1, R_2, R_3 या C_1, C_2, C_3 के अनुदिश — और छहों से एक ही मान आता है।Order 3 ka determinant use order 2 ke determinants mein likhkar nikalte hain. Ise kisi row (ya column) ke along determinant ka expansion kehte hain. Iske chhe tareeke hain — R_1, R_2, R_3 ya C_1, C_2, C_3 ke along — aur chhahon se same value aati hai.

Expansion along the first row (R_1) of |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}. Step 1: multiply a_{11} by (-1)^{1+1} and by the 2 × 2 determinant left after deleting R_1 and C_1. Step 2: multiply a_{12} by (-1)^{1+2} and by the determinant left after deleting R_1 and C_2. Step 3: multiply a_{13} by (-1)^{1+3} and by the determinant left after deleting R_1 and C_3. Step 4: add the three terms.|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} का पहली पंक्ति (R_1) के अनुदिश प्रसरण। चरण 1: a_{11} को (-1)^{1+1} से और R_1 व C_1 हटाने पर बचे 2 × 2 सारणिक से गुणा कीजिए। चरण 2: a_{12} को (-1)^{1+2} से और R_1 व C_2 हटाने पर बचे सारणिक से गुणा कीजिए। चरण 3: a_{13} को (-1)^{1+3} से और R_1 व C_3 हटाने पर बचे सारणिक से गुणा कीजिए। चरण 4: तीनों पदों को जोड़िए।|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} ka pehli row (R_1) ke along expansion. Step 1: a_{11} ko (-1)^{1+1} se aur R_1, C_1 hatane par bache 2 × 2 determinant se multiply kijiye. Step 2: a_{12} ko (-1)^{1+2} se aur R_1, C_2 hatane par bache determinant se multiply kijiye. Step 3: a_{13} ko (-1)^{1+3} se aur R_1, C_3 hatane par bache determinant se multiply kijiye. Step 4: teeno terms jod dijiye.

|A| = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}
Expansion along R₁ (signs + − +)R_1 के अनुदिश प्रसरण (चिह्न + − +)R_1 ke along expansion (signs + − +)

Multiplying out: |A| = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{31}a_{23} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{31}a_{22} … (1). NCERT also expands along R_2 (signs − + −) and along C_1 (signs + − +) and gets exactly the same six terms — so expanding along any row or column gives the same value.गुणा करने पर: |A| = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{31}a_{23} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{31}a_{22} … (1)। NCERT R_2 के अनुदिश (चिह्न − + −) और C_1 के अनुदिश (चिह्न + − +) भी प्रसरण करके यही छह पद पाती है — इसलिए किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसरण से एक ही मान मिलता है।Multiply karne par: |A| = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{31}a_{23} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{31}a_{22} … (1). NCERT R_2 ke along (signs − + −) aur C_1 ke along (signs + − +) bhi expand karke yahi chhe terms paati hai — isliye kisi bhi row ya column ke along expand karein, value same aati hai.

Sign chart (+ − +) for expanding a 3 × 3 determinant3 × 3 सारणिक के प्रसरण की चिह्न सारणी (+ − +)3 × 3 determinant expand karne ka sign chart (+ − +)NCERT 4.2.3 · 9 tappable partsOpen
Sign chart. The sign attached to a_{ij} is (-1)^{i+j}: + when i + j is even, − when i + j is odd. For 3 × 3 it is the chess-board pattern \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}.चिह्न सारणी। a_{ij} के साथ लगने वाला चिह्न (-1)^{i+j} है: i + j सम हो तो +, विषम हो तो −। 3 × 3 के लिए यह शतरंज जैसा पैटर्न है: \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}।Sign chart. a_{ij} ke saath lagne wala sign (-1)^{i+j} hai: i + j even ho to +, odd ho to −. 3 × 3 ke liye ye chess-board jaisa pattern hai: \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}.
Loading experiment…
Remarks (NCERT)(i) For easier calculation, expand along the row or column with the maximum number of zeros. (ii) Instead of multiplying by (-1)^{i+j}, multiply by +1 or −1 according as i + j is even or odd. (iii) If A = kB, where A and B are square matrices of order n, then |A| = k^n |B|, n = 1, 2, 3. Example: A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = 2B; |A| = -8, |B| = -2, and -8 = 2^2 \times (-2).टिप्पणियाँ (NCERT)(i) आसान गणना के लिए उस पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसरण कीजिए जिसमें सबसे अधिक शून्य हों। (ii) (-1)^{i+j} से गुणा करने के बजाय, i + j सम या विषम होने के अनुसार +1 या −1 से गुणा कीजिए। (iii) यदि A = kB, जहाँ A और B कोटि n के वर्ग आव्यूह हैं, तो |A| = k^n |B|, n = 1, 2, 3। उदाहरण: A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = 2B; |A| = -8, |B| = -2, और -8 = 2^2 \times (-2)।Remarks (NCERT)(i) Aasaan calculation ke liye us row ya column ke along expand kijiye jismein sabse zyada zero hon. (ii) (-1)^{i+j} se multiply karne ki jagah, i + j even ya odd hone ke hisaab se +1 ya −1 se multiply kijiye. (iii) Agar A = kB, jahan A aur B order n ke square matrices hain, to |A| = k^n |B|, n = 1, 2, 3. Example: A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = 2B; |A| = -8, |B| = -2, aur -8 = 2^2 \times (-2).
Example 3Evaluate the determinant \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{vmatrix}.उदाहरण 3सारणिक \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।Example 3Determinant \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{vmatrix} ki value nikaliye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. The third column has two zeros, so only one term survives.तीसरे स्तंभ में दो शून्य हैं, इसलिए केवल एक पद बचेगा।Teesre column mein do zero hain, isliye sirf ek term bachega.
    \text{Expand along } C_3
  2. Signs for C_3 are + − + (positions (1,3), (2,3), (3,3)).C_3 के चिह्न + − + हैं (स्थान (1,3), (2,3), (3,3))।C_3 ke signs + − + hain (positions (1,3), (2,3), (3,3)).
    \Delta = 4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}
  3. \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (4)(3) = -13.\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (4)(3) = -13।\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (4)(3) = -13.
    = 4(-1 - 12) - 0 + 0
  4. 4 \times (-13) = -52.4 \times (-13) = -52।4 \times (-13) = -52.
    = -52

✔ \Delta = -52\Delta = -52\Delta = -52

Example 4Evaluate \Delta = \begin{vmatrix} 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \\ -\sin\alpha & 0 & \sin\beta \\ \cos\alpha & -\sin\beta & 0 \end{vmatrix}.उदाहरण 4\Delta = \begin{vmatrix} 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \\ -\sin\alpha & 0 & \sin\beta \\ \cos\alpha & -\sin\beta & 0 \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।Example 4\Delta = \begin{vmatrix} 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \\ -\sin\alpha & 0 & \sin\beta \\ \cos\alpha & -\sin\beta & 0 \end{vmatrix} ki value nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Expand along R_1 with signs + − +. The third element is -\cos\alpha, so "+ × (−cos α)" gives "− cos α".R_1 के अनुदिश चिह्न + − + से प्रसरण। तीसरा अवयव -\cos\alpha है, इसलिए "+ × (−cos α)" से "− cos α" मिलता है।R_1 ke along signs + − + se expand kiya. Teesra element -\cos\alpha hai, isliye "+ × (−cos α)" se "− cos α" milta hai.
    \Delta = 0\begin{vmatrix} 0 & \sin\beta \\ -\sin\beta & 0 \end{vmatrix} - \sin\alpha\begin{vmatrix} -\sin\alpha & \sin\beta \\ \cos\alpha & 0 \end{vmatrix} - \cos\alpha\begin{vmatrix} -\sin\alpha & 0 \\ \cos\alpha & -\sin\beta \end{vmatrix}
  2. Work out each 2 × 2 determinant: main diagonal minus other diagonal.हर 2 × 2 सारणिक निकालिए: मुख्य विकर्ण घटा दूसरा विकर्ण।Har 2 × 2 determinant nikaliye: main diagonal minus doosra diagonal.
    = 0 - \sin\alpha(0 - \sin\beta\cos\alpha) - \cos\alpha(\sin\alpha\sin\beta - 0)
  3. The two terms are equal and cancel.दोनों पद बराबर हैं और कट जाते हैं।Dono terms barabar hain aur cut jaate hain.
    = \sin\alpha\sin\beta\cos\alpha - \cos\alpha\sin\alpha\sin\beta = 0

✔ \Delta = 0\Delta = 0\Delta = 0

Example 5Find values of x for which \begin{vmatrix} 3 & x \\ x & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}.उदाहरण 5x के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए \begin{vmatrix} 3 & x \\ x & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}।Example 5x ki wo values nikaliye jinke liye \begin{vmatrix} 3 & x \\ x & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. Left: 3(1) - x \cdot x. Right: 3(1) - 4(2).बायाँ: 3(1) - x \cdot x। दायाँ: 3(1) - 4(2)।Left: 3(1) - x \cdot x. Right: 3(1) - 4(2).
    3 - x^2 = 3 - 8
  2. Cancel 3 from both sides and multiply by −1.दोनों ओर से 3 हटाइए और −1 से गुणा कीजिए।Dono taraf se 3 hataiye aur −1 se multiply kijiye.
    x^2 = 8
  3. Square root gives two values; \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}.वर्गमूल से दो मान मिलते हैं; \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}।Square root se do values milti hain; \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}.
    x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}

✔ x = \pm 2\sqrt{2}x = \pm 2\sqrt{2}x = \pm 2\sqrt{2}

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainMarks are lost here: (1) forgetting the middle minus sign in the R_1 expansion (signs are + − +, not + + +); (2) when an element is itself negative, write it in brackets — -(-3) becomes +3; (3) in "find x" questions like Example 5, writing only x = 2\sqrt{2} — a square root gives ±.यहाँ अंक कटते हैं: (1) R_1 प्रसरण में बीच का ऋण चिह्न भूल जाना (चिह्न + − + हैं, + + + नहीं); (2) जब अवयव स्वयं ऋणात्मक हो, उसे कोष्ठक में लिखिए — -(-3), +3 बनता है; (3) उदाहरण 5 जैसे "x ज्ञात कीजिए" प्रश्नों में केवल x = 2\sqrt{2} लिखना — वर्गमूल से ± आता है।Yahan marks katte hain: (1) R_1 expansion mein beech ka minus sign bhool jaana (signs + − + hain, + + + nahi); (2) jab element khud negative ho, use bracket mein likhiye — -(-3), +3 banta hai; (3) Example 5 jaise "x nikaliye" sawaalon mein sirf x = 2\sqrt{2} likhna — square root se ± aata hai.
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxTopper move: before expanding, scan all 3 rows and 3 columns and count zeros. In Example 3, C_3 has two zeros, so one 2 × 2 determinant does all the work. Also use Remark (iii) for quick checks: for a 3 × 3 matrix, |3A| = 27|A| (Exercise 4.1, Q4), not 3|A|.टॉपर तरीका: प्रसरण से पहले तीनों पंक्तियों और तीनों स्तंभों में शून्य गिनिए। उदाहरण 3 में C_3 में दो शून्य हैं, इसलिए एक ही 2 × 2 सारणिक से काम हो जाता है। जल्दी जाँच के लिए टिप्पणी (iii) लगाइए: 3 × 3 आव्यूह के लिए |3A| = 27|A| (प्रश्नावली 4.1, प्र. 4), 3|A| नहीं।Topper move: expand karne se pehle teeno rows aur teeno columns mein zero ginyiye. Example 3 mein C_3 mein do zero hain, isliye ek hi 2 × 2 determinant se kaam ho jaata hai. Quick check ke liye Remark (iii) lagaiye: 3 × 3 matrix ke liye |3A| = 27|A| (Exercise 4.1, Q4), 3|A| nahi.
✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.1, Q1) Evaluate \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.1, प्र. 1) \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.1, Q1) \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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18 (since 2(-1) - 4(-5) = -2 + 20)18 (क्योंकि 2(-1) - 4(-5) = -2 + 20)18 (kyunki 2(-1) - 4(-5) = -2 + 20)

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(Exercise 4.1, Q2 i) Evaluate \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.1, प्र. 2 i) \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.1, Q2 i) \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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1 (\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1)1 (\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1)1 (\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1)

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(Exercise 4.1, Q5 ii) Evaluate \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.1, प्र. 5 ii) \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.1, Q5 ii) \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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464646

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(Exercise 4.1, Q6) If A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}, find |A|.(प्रश्नावली 4.1, प्र. 6) यदि A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}, तो |A| ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.1, Q6) Agar A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}, to |A| nikaliye.

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000

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(Exercise 4.1, Q7 i) Find x if \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.1, प्र. 7 i) x ज्ञात कीजिए यदि \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{vmatrix}।(Exercise 4.1, Q7 i) x nikaliye agar \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{vmatrix}.

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x = \pm\sqrt{3} (-18 = 2x^2 - 24, so x^2 = 3)x = \pm\sqrt{3} (-18 = 2x^2 - 24, अतः x^2 = 3)x = \pm\sqrt{3} (-18 = 2x^2 - 24, to x^2 = 3)

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(Exercise 4.1, Q8) If \begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix}, then x is equal to (A) 6 (B) ± 6 (C) − 6 (D) 0(प्रश्नावली 4.1, प्र. 8) यदि \begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix}, तो x बराबर है (A) 6 (B) ± 6 (C) − 6 (D) 0(Exercise 4.1, Q8) Agar \begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix}, to x barabar hai (A) 6 (B) ± 6 (C) − 6 (D) 0

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(B) \pm 6 (x^2 - 36 = 36 - 36 = 0)(B) \pm 6 (x^2 - 36 = 36 - 36 = 0)(B) \pm 6 (x^2 - 36 = 36 - 36 = 0)

4.3Area of a Triangleत्रिभुज का क्षेत्रफलTriangle ka area

In earlier classes we learnt that the area of a triangle with vertices (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) is \dfrac{1}{2}\left[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right]. This expression can be written as a determinant:पिछली कक्षाओं में हमने पढ़ा कि शीर्षों (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल \dfrac{1}{2}\left[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right] है। इस व्यंजक को सारणिक के रूप में लिखा जा सकता है:Pichhli classes mein humne padha ki vertices (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) wale triangle ka area \dfrac{1}{2}\left[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right] hota hai. Ise determinant ke roop mein likh sakte hain:

\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}
Area of a triangle (take the absolute value)त्रिभुज का क्षेत्रफल (निरपेक्ष मान लीजिए)Triangle ka area (absolute value lijiye)
🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeHow to fill it: each row is one vertex — its x, its y, and then a 1. Expand (along C_3 or R_1), halve it, and drop the minus sign if it comes. Expanding along R_1 gives exactly the old formula \frac{1}{2}[x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2y_3 - x_3y_2)], just rearranged.कैसे भरें: हर पंक्ति एक शीर्ष है — उसका x, उसका y, और फिर 1। प्रसरण कीजिए (C_3 या R_1 के अनुदिश), आधा कीजिए, और ऋण चिह्न आए तो हटा दीजिए। R_1 के अनुदिश प्रसरण से ठीक पुराना सूत्र \frac{1}{2}[x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2y_3 - x_3y_2)] मिलता है, बस क्रम बदला हुआ।Kaise bharein: har row ek vertex hai — uska x, uska y, aur phir 1. Expand kijiye (C_3 ya R_1 ke along), aadha kijiye, aur minus aaye to hata dijiye. R_1 ke along expand karne par bilkul purana formula \frac{1}{2}[x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2y_3 - x_3y_2)] milta hai, bas order badla hua.
Remarks (NCERT)(i) Since area is a positive quantity, we always take the absolute value of the determinant. (ii) If the area is given, use both positive and negative values of the determinant for calculation. (iii) The area of the triangle formed by three collinear points is zero.टिप्पणियाँ (NCERT)(i) क्षेत्रफल धनात्मक राशि है, इसलिए हम सारणिक का हमेशा निरपेक्ष मान लेते हैं। (ii) यदि क्षेत्रफल दिया हो, तो गणना में सारणिक के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लीजिए। (iii) तीन संरेख बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।Remarks (NCERT)(i) Area positive quantity hai, isliye determinant ki hamesha absolute value lete hain. (ii) Agar area diya ho, to calculation mein determinant ki positive aur negative dono values lijiye. (iii) Teen collinear points se bane triangle ka area zero hota hai.
Area of triangle with vertices (3, 8), (−4, 2), (5, 1)शीर्ष (3, 8), (−4, 2), (5, 1) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफलVertices (3, 8), (−4, 2), (5, 1) wale triangle ka areaNCERT Example 6 · 8 tappable partsOpen
Example 6Find the area of the triangle whose vertices are (3, 8), (−4, 2) and (5, 1).उदाहरण 6उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3, 8), (−4, 2) और (5, 1) हैं।Example 6Us triangle ka area nikaliye jiske vertices (3, 8), (−4, 2) aur (5, 1) hain.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. One row per vertex: (x, y, 1).हर शीर्ष की एक पंक्ति: (x, y, 1)।Har vertex ki ek row: (x, y, 1).
    \Delta = \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}
  2. Expand along R_1 with signs + − +.R_1 के अनुदिश चिह्न + − + से प्रसरण।R_1 ke along signs + − + se expand kiya.
    = \dfrac{1}{2}\left[3(2 - 1) - 8(-4 - 5) + 1(-4 - 10)\right]
  3. -8 \times (-9) = +72 and 1 \times (-14) = -14.-8 \times (-9) = +72 और 1 \times (-14) = -14।-8 \times (-9) = +72 aur 1 \times (-14) = -14.
    = \dfrac{1}{2}(3 + 72 - 14) = \dfrac{61}{2}

✔ Area = \dfrac{61}{2} square units.क्षेत्रफल = \dfrac{61}{2} वर्ग इकाई।Area = \dfrac{61}{2} square units.

Example 7Find the equation of the line joining A(1, 3) and B(0, 0) using determinants and find k if D(k, 0) is a point such that area of triangle ABD is 3 sq units.उदाहरण 7सारणिकों का प्रयोग करके A(1, 3) और B(0, 0) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और k का मान ज्ञात कीजिए यदि D(k, 0) ऐसा बिंदु है कि त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।Example 7Determinants ka use karke A(1, 3) aur B(0, 0) ko jodne wali line ka equation nikaliye, aur k nikaliye agar D(k, 0) aisa point hai ki triangle ABD ka area 3 sq units hai.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Let P(x, y) be any point on AB. A, B, P are collinear, so the area of triangle ABP is zero.मान लीजिए P(x, y), AB पर कोई बिंदु है। A, B, P संरेख हैं, इसलिए त्रिभुज ABP का क्षेत्रफल शून्य है।Maan lijiye P(x, y), AB par koi point hai. A, B, P collinear hain, isliye triangle ABP ka area zero hai.
    \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0
  2. Expand along R_1: only the last entry 1 is non-zero, giving 1 \cdot (1 \cdot y - 3x).R_1 के अनुदिश प्रसरण: केवल अंतिम प्रविष्टि 1 शून्येतर है, जिससे 1 \cdot (1 \cdot y - 3x) मिलता है।R_1 ke along expand: sirf aakhri entry 1 non-zero hai, jisse 1 \cdot (1 \cdot y - 3x) milta hai.
    \dfrac{1}{2}(y - 3x) = 0 \Rightarrow y = 3x
  3. Area of ABD is 3, so the determinant (with ½) can be +3 or −3 (Remark ii).ABD का क्षेत्रफल 3 है, इसलिए ½ सहित सारणिक +3 या −3 हो सकता है (टिप्पणी ii)।ABD ka area 3 hai, isliye ½ ke saath determinant +3 ya −3 ho sakta hai (Remark ii).
    \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix} = \pm 3
  4. Expand along R_2: only a_{23} = 1 survives, with sign −: -1(0 - 3k) = 3k. (The NCERT book writes -\frac{3k}{2} = \pm 3, i.e. k = \mp 2; because we take ±3 anyway, the two values of k are the same.)R_2 के अनुदिश प्रसरण: केवल a_{23} = 1 बचता है, चिह्न − के साथ: -1(0 - 3k) = 3k। (NCERT पुस्तक में -\frac{3k}{2} = \pm 3, अर्थात् k = \mp 2 लिखा है; हम ±3 लेते ही हैं, इसलिए k के दोनों मान वही रहते हैं।)R_2 ke along expand: sirf a_{23} = 1 bachta hai, sign − ke saath: -1(0 - 3k) = 3k. (NCERT book mein -\frac{3k}{2} = \pm 3, yaani k = \mp 2 likha hai; hum ±3 lete hi hain, isliye k ki dono values wahi rehti hain.)
    \dfrac{3k}{2} = \pm 3 \Rightarrow k = \pm 2

✔ Line AB: y = 3x; k = \pm 2.रेखा AB: y = 3x; k = \pm 2।Line AB: y = 3x; k = \pm 2.

Loading experiment…
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(1) Forgetting the \dfrac{1}{2}. (2) Writing a negative area — always take the absolute value. (3) When the area is given, solving only "det = +area" and losing half the answers (Example 7 has k = 2 and k = -2).(1) \dfrac{1}{2} भूल जाना। (2) ऋणात्मक क्षेत्रफल लिखना — हमेशा निरपेक्ष मान लीजिए। (3) जब क्षेत्रफल दिया हो, केवल "सारणिक = +क्षेत्रफल" हल करना और आधे उत्तर खो देना (उदाहरण 7 में k = 2 और k = -2 दोनों हैं)।(1) \dfrac{1}{2} bhool jaana. (2) Negative area likhna — hamesha absolute value lijiye. (3) Jab area diya ho, sirf "det = +area" solve karna aur aadhe answers kho dena (Example 7 mein k = 2 aur k = -2 dono hain).
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxCollinearity test in one line: points are collinear if and only if \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0. Replace the third point by a general point (x, y) and you get the equation of the line through the other two — that is exactly Example 7 and Exercise 4.2, Q4.एक पंक्ति में संरेखता परीक्षण: बिंदु संरेख हैं यदि और केवल यदि \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0। तीसरे बिंदु की जगह व्यापक बिंदु (x, y) रखिए, तो बाकी दो से जाने वाली रेखा का समीकरण मिल जाता है — यही उदाहरण 7 और प्रश्नावली 4.2, प्र. 4 है।Ek line mein collinearity test: points collinear hain agar aur sirf agar \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0. Teesre point ki jagah general point (x, y) rakhiye, to baaki do se guzarne wali line ka equation mil jaata hai — yahi Example 7 aur Exercise 4.2, Q4 hai.
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(Exercise 4.2, Q1 ii) Find the area of the triangle with vertices (2, 7), (1, 1), (10, 8).(प्रश्नावली 4.2, प्र. 1 ii) शीर्षों (2, 7), (1, 1), (10, 8) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.2, Q1 ii) Vertices (2, 7), (1, 1), (10, 8) wale triangle ka area nikaliye.

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\dfrac{47}{2} sq units\dfrac{47}{2} वर्ग इकाई\dfrac{47}{2} sq units

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(Exercise 4.2, Q1 iii) Find the area of the triangle with vertices (−2, −3), (3, 2), (−1, −8).(प्रश्नावली 4.2, प्र. 1 iii) शीर्षों (−2, −3), (3, 2), (−1, −8) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.2, Q1 iii) Vertices (−2, −3), (3, 2), (−1, −8) wale triangle ka area nikaliye.

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15 sq units15 वर्ग इकाई15 sq units

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(Exercise 4.2, Q3 i) Find k if the area of the triangle is 4 sq units and the vertices are (k, 0), (4, 0), (0, 2).(प्रश्नावली 4.2, प्र. 3 i) k ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है और शीर्ष (k, 0), (4, 0), (0, 2) हैं।(Exercise 4.2, Q3 i) k nikaliye agar triangle ka area 4 sq units hai aur vertices (k, 0), (4, 0), (0, 2) hain.

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k = 0, 8k = 0, 8k = 0, 8

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(Exercise 4.2, Q4 ii) Find the equation of the line joining (3, 1) and (9, 3) using determinants.(प्रश्नावली 4.2, प्र. 4 ii) सारणिकों से (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.2, Q4 ii) Determinants se (3, 1) aur (9, 3) ko jodne wali line ka equation nikaliye.

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x - 3y = 0x - 3y = 0x - 3y = 0

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(Exercise 4.2, Q5) If the area of a triangle is 35 sq units with vertices (2, −6), (5, 4) and (k, 4), then k is (A) 12 (B) −2 (C) −12, −2 (D) 12, −2(प्रश्नावली 4.2, प्र. 5) यदि शीर्षों (2, −6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है, तो k है (A) 12 (B) −2 (C) −12, −2 (D) 12, −2(Exercise 4.2, Q5) Agar vertices (2, −6), (5, 4) aur (k, 4) wale triangle ka area 35 sq units hai, to k hai (A) 12 (B) −2 (C) −12, −2 (D) 12, −2

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(D) 12, -2(D) 12, -2(D) 12, -2

4.4Minors and Cofactorsउपसारणिक और सहखंडMinors aur Cofactors

In this section we write the expansion of a determinant in a compact form using minors and cofactors.इस अनुच्छेद में हम उपसारणिकों और सहखंडों की सहायता से सारणिक के प्रसरण को संक्षिप्त रूप में लिखना सीखेंगे।Is section mein hum minors aur cofactors ki madad se determinant ka expansion chhote roop mein likhna seekhenge.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 1 (Minor)Minor of an element a_{ij} of a determinant is the determinant obtained by deleting its ith row and jth column in which element a_{ij} lies. Minor of an element a_{ij} is denoted by M_{ij}.परिभाषा 1 (उपसारणिक)किसी सारणिक के अवयव a_{ij} का उपसारणिक वह सारणिक है जो उस iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ को हटाने से प्राप्त होता है जिसमें अवयव a_{ij} स्थित है। अवयव a_{ij} के उपसारणिक को M_{ij} से दर्शाते हैं।Definition 1 (Minor)Kisi determinant ke element a_{ij} ka minor wo determinant hai jo us ith row aur jth column ko hatane se milta hai jismein a_{ij} hai. a_{ij} ke minor ko M_{ij} likhte hain.

Remark. The minor of an element of a determinant of order n (n ≥ 2) is a determinant of order n − 1. So in a 3 × 3 determinant every minor is a 2 × 2 determinant.टिप्पणी। कोटि n (n ≥ 2) के सारणिक के किसी अवयव का उपसारणिक कोटि n − 1 का सारणिक होता है। इसलिए 3 × 3 सारणिक में हर उपसारणिक एक 2 × 2 सारणिक है।Remark. Order n (n ≥ 2) ke determinant ke kisi element ka minor order n − 1 ka determinant hota hai. Isliye 3 × 3 determinant mein har minor ek 2 × 2 determinant hai.

Minor and cofactor of the element 6 (Example 8)अवयव 6 का उपसारणिक और सहखंड (उदाहरण 8)Element 6 ka minor aur cofactor (Example 8)NCERT Example 8 · 9 tappable partsOpen
Example 8Find the minor of element 6 in the determinant \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}.उदाहरण 8सारणिक \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} में अवयव 6 का उपसारणिक ज्ञात कीजिए।Example 8Determinant \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} mein element 6 ka minor nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. 6 lies in the second row and third column.6 दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ में है।6 doosri row aur teesre column mein hai.
    6 = a_{23}
  2. Delete R_2 and C_3; the four numbers left are 1, 2, 7, 8.R_2 और C_3 हटाइए; बचे चार अंक 1, 2, 7, 8 हैं।R_2 aur C_3 hataiye; bache chaar numbers 1, 2, 7, 8 hain.
    M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}
  3. 1 \times 8 - 7 \times 2.1 \times 8 - 7 \times 2।1 \times 8 - 7 \times 2.
    = 8 - 14 = -6

✔ M_{23} = -6M_{23} = -6M_{23} = -6

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 2 (Cofactor)Cofactor of an element a_{ij}, denoted by A_{ij}, is defined by A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}, where M_{ij} is the minor of a_{ij}.परिभाषा 2 (सहखंड)अवयव a_{ij} का सहखंड, जिसे A_{ij} से दर्शाते हैं, A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} द्वारा परिभाषित है, जहाँ M_{ij}, a_{ij} का उपसारणिक है।Definition 2 (Cofactor)Element a_{ij} ka cofactor, jise A_{ij} likhte hain, A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} se define hota hai, jahan M_{ij}, a_{ij} ka minor hai.
🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeMinor and cofactor are twins: the minor is the small determinant, the cofactor is the same number with the sign from the chart (+ − + / − + − / + − +). Example: in Example 8, M_{23} = -6 and position (2, 3) has sign −, so A_{23} = -(-6) = 6.उपसारणिक और सहखंड जुड़वाँ हैं: उपसारणिक छोटा सारणिक है, सहखंड वही संख्या चिह्न सारणी (+ − + / − + − / + − +) के चिह्न के साथ। उदाहरण: उदाहरण 8 में M_{23} = -6 और स्थान (2, 3) का चिह्न − है, इसलिए A_{23} = -(-6) = 6।Minor aur cofactor judwa hain: minor chhota determinant hai, cofactor wahi number sign chart (+ − + / − + − / + − +) ke sign ke saath. Jaise Example 8 mein M_{23} = -6 aur position (2, 3) ka sign − hai, isliye A_{23} = -(-6) = 6.
Example 9Find minors and cofactors of all the elements of the determinant \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}.उदाहरण 9सारणिक \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} के सभी अवयवों के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए।Example 9Determinant \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} ke sabhi elements ke minors aur cofactors nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. In a 2 × 2 determinant, deleting a row and a column leaves just one number — the "opposite corner".2 × 2 सारणिक में एक पंक्ति और एक स्तंभ हटाने पर केवल एक संख्या बचती है — "सामने वाला कोना"।2 × 2 determinant mein ek row aur ek column hatane par sirf ek number bachta hai — "saamne wala kona".
    M_{11} = 3,\ M_{12} = 4,\ M_{21} = -2,\ M_{22} = 1
  2. 1 + 1 = 2 is even (sign +); 1 + 2 = 3 is odd (sign −).1 + 1 = 2 सम है (चिह्न +); 1 + 2 = 3 विषम है (चिह्न −)।1 + 1 = 2 even hai (sign +); 1 + 2 = 3 odd hai (sign −).
    A_{11} = (-1)^{2}(3) = 3,\quad A_{12} = (-1)^{3}(4) = -4
  3. Odd sum flips the sign of −2 to +2; even sum keeps 1.विषम योग −2 का चिह्न बदलकर +2 करता है; सम योग 1 को वैसा ही रखता है।Odd sum −2 ka sign badal kar +2 karta hai; even sum 1 ko waisa hi rakhta hai.
    A_{21} = (-1)^{3}(-2) = 2,\quad A_{22} = (-1)^{4}(1) = 1

✔ M_{11} = 3, M_{12} = 4, M_{21} = -2, M_{22} = 1; A_{11} = 3, A_{12} = -4, A_{21} = 2, A_{22} = 1M_{11} = 3, M_{12} = 4, M_{21} = -2, M_{22} = 1; A_{11} = 3, A_{12} = -4, A_{21} = 2, A_{22} = 1M_{11} = 3, M_{12} = 4, M_{21} = -2, M_{22} = 1; A_{11} = 3, A_{12} = -4, A_{21} = 2, A_{22} = 1

Example 10Find minors and cofactors of the elements a_{11}, a_{21} in the determinant \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}.उदाहरण 10सारणिक \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} में अवयवों a_{11}, a_{21} के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए।Example 10Determinant \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} mein elements a_{11}, a_{21} ke minors aur cofactors nikaliye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Delete R_1 and C_1.R_1 और C_1 हटाइए।R_1 aur C_1 hataiye.
    M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}
  2. 1 + 1 is even, so cofactor = minor.1 + 1 सम है, इसलिए सहखंड = उपसारणिक।1 + 1 even hai, isliye cofactor = minor.
    A_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}
  3. Delete R_2 and C_1.R_2 और C_1 हटाइए।R_2 aur C_1 hataiye.
    M_{21} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}
  4. 2 + 1 is odd, so the sign flips.2 + 1 विषम है, इसलिए चिह्न बदलता है।2 + 1 odd hai, isliye sign badalta hai.
    A_{21} = (-1)^{2+1}M_{21} = -a_{12}a_{33} + a_{13}a_{32}

✔ M_{11} = A_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}; M_{21} = a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}, A_{21} = -(a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32})M_{11} = A_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}; M_{21} = a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}, A_{21} = -(a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32})M_{11} = A_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}; M_{21} = a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}, A_{21} = -(a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32})

Compact expansion. Expanding along R_1: \Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = sum of products of the elements of R_1 with their corresponding cofactors. In the same way, \Delta = sum of the products of elements of any row (or column) with their corresponding cofactors.संक्षिप्त प्रसरण। R_1 के अनुदिश प्रसरण: \Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = R_1 के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफलों का योग। इसी तरह, \Delta = किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफलों का योग।Compact expansion. R_1 ke along: \Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = R_1 ke elements aur unke corresponding cofactors ke products ka sum. Isi tarah, \Delta = kisi bhi row (ya column) ke elements aur unke corresponding cofactors ke products ka sum.
Note (NCERT). If elements of a row (or column) are multiplied with cofactors of any other row (or column), then their sum is zero. Example: a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} equals a determinant whose R_1 and R_2 are identical, so it is 0.ध्यान दीजिए (NCERT)। यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों से गुणा करें, तो उनका योग शून्य होता है। उदाहरण: a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} एक ऐसे सारणिक के बराबर है जिसकी R_1 और R_2 समान हैं, इसलिए यह 0 है।Note (NCERT). Agar kisi row (ya column) ke elements ko kisi doosri row (ya column) ke cofactors se multiply karein, to sum zero aata hai. Jaise a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} aise determinant ke barabar hai jiski R_1 aur R_2 same hain, isliye ye 0 hai.
Example 11Find minors and cofactors of the elements of the determinant \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} and verify that a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 0.उदाहरण 11सारणिक \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} के अवयवों के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 0।Example 11Determinant \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} ke elements ke minors aur cofactors nikaliye aur verify kijiye ki a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 0.
Solution — step by step (11)हल — चरण दर चरण (11)Hal — step by step (11)
  1. 0 - 20 = -20; sign + at (1, 1).0 - 20 = -20; (1, 1) पर चिह्न +।0 - 20 = -20; (1, 1) par sign +.
    M_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{vmatrix} = -20;\ A_{11} = -20
  2. -42 - 4 = -46; sign − at (1, 2) flips it.-42 - 4 = -46; (1, 2) पर चिह्न − इसे बदल देता है।-42 - 4 = -46; (1, 2) par sign − ise badal deta hai.
    M_{12} = \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} = -46;\ A_{12} = 46
  3. 30 - 0; sign +.30 - 0; चिह्न +।30 - 0; sign +.
    M_{13} = \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 30;\ A_{13} = 30
  4. 21 - 25 = -4; sign − at (2, 1).21 - 25 = -4; (2, 1) पर चिह्न −।21 - 25 = -4; (2, 1) par sign −.
    M_{21} = \begin{vmatrix} -3 & 5 \\ 5 & -7 \end{vmatrix} = -4;\ A_{21} = 4
  5. -14 - 5 = -19; sign + at (2, 2).-14 - 5 = -19; (2, 2) पर चिह्न +।-14 - 5 = -19; (2, 2) par sign +.
    M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} = -19;\ A_{22} = -19
  6. 10 + 3 = 13; sign − at (2, 3).10 + 3 = 13; (2, 3) पर चिह्न −।10 + 3 = 13; (2, 3) par sign −.
    M_{23} = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 13;\ A_{23} = -13
  7. -12 - 0; sign + at (3, 1).-12 - 0; (3, 1) पर चिह्न +।-12 - 0; (3, 1) par sign +.
    M_{31} = \begin{vmatrix} -3 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -12;\ A_{31} = -12
  8. 8 - 30 = -22; sign − at (3, 2).8 - 30 = -22; (3, 2) पर चिह्न −।8 - 30 = -22; (3, 2) par sign −.
    M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} = -22;\ A_{32} = 22
  9. 0 + 18; sign + at (3, 3).0 + 18; (3, 3) पर चिह्न +।0 + 18; (3, 3) par sign +.
    M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18;\ A_{33} = 18
  10. Elements of R_1 (2, −3, 5) with cofactors of R_3 (−12, 22, 18).R_1 के अवयव (2, −3, 5) और R_3 के सहखंड (−12, 22, 18)।R_1 ke elements (2, −3, 5) aur R_3 ke cofactors (−12, 22, 18).
    a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 2(-12) + (-3)(22) + 5(18)
  11. As the Note says: a row times the cofactors of a different row gives 0.जैसा 'ध्यान दीजिए' में कहा: एक पंक्ति × दूसरी पंक्ति के सहखंड = 0।Jaisa Note mein kaha: ek row × doosri row ke cofactors = 0.
    = -24 - 66 + 90 = 0

✔ Verified: a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 0सत्यापित: a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 0Verified: a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} = 0

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(1) Writing the minor when the cofactor was asked (or vice-versa) — check the sign chart every time. (2) Using the same row's cofactors gives \Delta; using another row's cofactors gives 0 — don't mix them up in MCQs like Exercise 4.3, Q5.(1) सहखंड पूछा हो और उपसारणिक लिख देना (या उलटा) — हर बार चिह्न सारणी देखिए। (2) उसी पंक्ति के सहखंड लें तो \Delta मिलता है; दूसरी पंक्ति के सहखंड लें तो 0 — प्रश्नावली 4.3, प्र. 5 जैसे MCQ में इन्हें मत मिलाइए।(1) Cofactor poocha ho aur minor likh dena (ya ulta) — har baar sign chart dekhiye. (2) Usi row ke cofactors lein to \Delta milta hai; doosri row ke cofactors lein to 0 — Exercise 4.3, Q5 jaise MCQ mein inhe mat milaiye.
✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.3, Q2 ii) Write minors and cofactors of the elements of \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.3, प्र. 2 ii) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} के अवयवों के उपसारणिक और सहखंड लिखिए।(Exercise 4.3, Q2 ii) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} ke elements ke minors aur cofactors likhiye.

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M_{11} = 11, M_{12} = 6, M_{13} = 3, M_{21} = -4, M_{22} = 2, M_{23} = 1, M_{31} = -20, M_{32} = -13, M_{33} = 5; A_{11} = 11, A_{12} = -6, A_{13} = 3, A_{21} = 4, A_{22} = 2, A_{23} = -1, A_{31} = -20, A_{32} = 13, A_{33} = 5M_{11} = 11, M_{12} = 6, M_{13} = 3, M_{21} = -4, M_{22} = 2, M_{23} = 1, M_{31} = -20, M_{32} = -13, M_{33} = 5; A_{11} = 11, A_{12} = -6, A_{13} = 3, A_{21} = 4, A_{22} = 2, A_{23} = -1, A_{31} = -20, A_{32} = 13, A_{33} = 5M_{11} = 11, M_{12} = 6, M_{13} = 3, M_{21} = -4, M_{22} = 2, M_{23} = 1, M_{31} = -20, M_{32} = -13, M_{33} = 5; A_{11} = 11, A_{12} = -6, A_{13} = 3, A_{21} = 4, A_{22} = 2, A_{23} = -1, A_{31} = -20, A_{32} = 13, A_{33} = 5

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(Exercise 4.3, Q3) Using cofactors of elements of the second row, evaluate \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.3, प्र. 3) दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों से \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.3, Q3) Doosri row ke elements ke cofactors se \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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7 (A_{21} = 7, A_{22} = 7, A_{23} = -7; 2(7) + 0 + 1(-7) = 7)7 (A_{21} = 7, A_{22} = 7, A_{23} = -7; 2(7) + 0 + 1(-7) = 7)7 (A_{21} = 7, A_{22} = 7, A_{23} = -7; 2(7) + 0 + 1(-7) = 7)

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.3, Q4) Using cofactors of elements of the third column, evaluate \Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix}.(प्रश्नावली 4.3, प्र. 4) तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों से \Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.3, Q4) Teesre column ke elements ke cofactors se \Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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(x - y)(y - z)(z - x)(x - y)(y - z)(z - x)(x - y)(y - z)(z - x)

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.3, Q5) If \Delta = |a_{ij}|_{3 \times 3} and A_{ij} is the cofactor of a_{ij}, then \Delta is (A) a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} (B) a_{11}A_{11} + a_{12}A_{21} + a_{13}A_{31} (C) a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} (D) a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}(प्रश्नावली 4.3, प्र. 5) यदि \Delta = |a_{ij}|_{3 \times 3} और A_{ij}, a_{ij} का सहखंड है, तो \Delta है (A) a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} (B) a_{11}A_{11} + a_{12}A_{21} + a_{13}A_{31} (C) a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} (D) a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}(Exercise 4.3, Q5) Agar \Delta = |a_{ij}|_{3 \times 3} aur A_{ij}, a_{ij} ka cofactor hai, to \Delta hai (A) a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33} (B) a_{11}A_{11} + a_{12}A_{21} + a_{13}A_{31} (C) a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} (D) a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}

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(D) — elements of C_1 with their own cofactors.(D) — C_1 के अवयव अपने ही सहखंडों के साथ।(D) — C_1 ke elements apne hi cofactors ke saath.

4.5Adjoint and Inverse of a Matrixआव्यूह का सहखंडज और व्युत्क्रमMatrix ka Adjoint aur Inverse

In the previous chapter we studied the inverse of a matrix. In this section we find the condition for the inverse to exist and a formula for it. First we define the adjoint of a matrix.पिछले अध्याय में हमने आव्यूह का व्युत्क्रम पढ़ा। इस अनुच्छेद में हम व्युत्क्रम के अस्तित्व का प्रतिबंध और उसका सूत्र ज्ञात करेंगे। पहले हम आव्यूह का सहखंडज परिभाषित करते हैं।Pichhle chapter mein humne matrix ka inverse padha. Is section mein hum inverse kab exist karta hai aur uska formula dekhenge. Pehle matrix ka adjoint define karte hain.

4.5.1Adjoint of a matrixआव्यूह का सहखंडजMatrix ka adjoint

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definition 3 (Adjoint)The adjoint of a square matrix A = [a_{ij}]_{n \times n} is defined as the transpose of the matrix [A_{ij}]_{n \times n}, where A_{ij} is the cofactor of the element a_{ij}. Adjoint of the matrix A is denoted by adj A.परिभाषा 3 (सहखंडज)किसी वर्ग आव्यूह A = [a_{ij}]_{n \times n} का सहखंडज, आव्यूह [A_{ij}]_{n \times n} के परिवर्त के रूप में परिभाषित है, जहाँ A_{ij} अवयव a_{ij} का सहखंड है। आव्यूह A के सहखंडज को adj A से दर्शाते हैं।Definition 3 (Adjoint)Square matrix A = [a_{ij}]_{n \times n} ka adjoint, matrix [A_{ij}]_{n \times n} ka transpose hota hai, jahan A_{ij} element a_{ij} ka cofactor hai. Matrix A ke adjoint ko adj A likhte hain.
\text{adj}\,A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}
Adjoint = transpose of the cofactor matrixसहखंडज = सहखंड आव्यूह का परिवर्तAdjoint = cofactor matrix ka transpose
Adjoint = transpose of the cofactor matrix (Example 13)सहखंडज = सहखंड आव्यूह का परिवर्त (उदाहरण 13)Adjoint = cofactor matrix ka transpose (Example 13)NCERT Example 13 · 8 tappable partsOpen
Example 12Find adj A for A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}.उदाहरण 12A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} के लिए adj A ज्ञात कीजिए।Example 12A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} ke liye adj A nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Each cofactor is the opposite corner with the sign + − / − +.हर सहखंड सामने वाला कोना है, चिह्न + − / − + के साथ।Har cofactor saamne wala kona hai, sign + − / − + ke saath.
    A_{11} = 4,\ A_{12} = -1,\ A_{21} = -3,\ A_{22} = 2
  2. Transpose: the cofactors of row 1 go into column 1.परिवर्त: पंक्ति 1 के सहखंड स्तंभ 1 में जाते हैं।Transpose: row 1 ke cofactors column 1 mein jaate hain.
    \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

✔ \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\text{adj}\,A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\text{adj}\,A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

2 × 2 shortcut (NCERT Remark). For A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, adj A is obtained by interchanging a_{11} and a_{22} and changing the signs of a_{12} and a_{21}: \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}. "Swap the main diagonal, change the sign of the other."2 × 2 का छोटा तरीका (NCERT टिप्पणी)। A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} के लिए adj A, a_{11} और a_{22} की अदला-बदली करके और a_{12} व a_{21} के चिह्न बदलकर मिलता है: \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}। "मुख्य विकर्ण की अदला-बदली कीजिए, दूसरे का चिह्न बदलिए।"2 × 2 shortcut (NCERT Remark). A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} ke liye adj A, a_{11} aur a_{22} ko aapas mein badalkar aur a_{12}, a_{21} ke sign badalkar milta hai: \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}. "Main diagonal swap kijiye, doosre ka sign badaliye."
📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 1If A is any given square matrix of order n, then A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I, where I is the identity matrix of order n.प्रमेय 1यदि A कोटि n का कोई वर्ग आव्यूह है, तो A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I, जहाँ I कोटि n का तत्समक आव्यूह है।Theorem 1Agar A order n ka koi square matrix hai, to A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I, jahan I order n ka identity matrix hai.

Why it works (verification). The (i, j) entry of A(\text{adj}\,A) is (row i of A) · (cofactors of row j). If i = j this is |A| (an element row times its own cofactors); if i ≠ j it is 0 (the Note in 4.4). So A(\text{adj}\,A) = \begin{bmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{bmatrix} = |A|\,I.यह क्यों सही है (सत्यापन)। A(\text{adj}\,A) की (i, j) प्रविष्टि = (A की पंक्ति i) · (पंक्ति j के सहखंड)। यदि i = j तो यह |A| है (पंक्ति × अपने ही सहखंड); यदि i ≠ j तो 0 है (4.4 का 'ध्यान दीजिए')। इसलिए A(\text{adj}\,A) = \begin{bmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{bmatrix} = |A|\,I।Ye kyun sahi hai (verification). A(\text{adj}\,A) ki (i, j) entry = (A ki row i) · (row j ke cofactors). Agar i = j to ye |A| hai (row × apne hi cofactors); agar i ≠ j to 0 hai (4.4 ka Note). Isliye A(\text{adj}\,A) = \begin{bmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{bmatrix} = |A|\,I.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Definitions 4 and 5A square matrix A is said to be singular if |A| = 0, and non-singular if |A| \ne 0. Example: \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = 0, so \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} is singular; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \ne 0, so \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} is non-singular.परिभाषाएँ 4 और 5वर्ग आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय (singular) कहलाता है यदि |A| = 0, और व्युत्क्रमणीय (non-singular) यदि |A| \ne 0। उदाहरण: \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = 0, इसलिए \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} अव्युत्क्रमणीय है; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \ne 0, इसलिए \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} व्युत्क्रमणीय है।Definitions 4 aur 5Square matrix A singular kehlata hai agar |A| = 0, aur non-singular agar |A| \ne 0. Jaise \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = 0, isliye \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} singular hai; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \ne 0, isliye \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} non-singular hai.
📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorems 2 and 3Theorem 2: If A and B are non-singular matrices of the same order, then AB and BA are also non-singular matrices of the same order. Theorem 3: The determinant of the product of matrices is equal to the product of their respective determinants: |AB| = |A|\,|B|, where A and B are square matrices of the same order.प्रमेय 2 और 3प्रमेय 2: यदि A और B समान कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो AB और BA भी उसी कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं। प्रमेय 3: आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है: |AB| = |A|\,|B|, जहाँ A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं।Theorems 2 aur 3Theorem 2: Agar A aur B same order ke non-singular matrices hain, to AB aur BA bhi usi order ke non-singular matrices hain. Theorem 3: Matrices ke product ka determinant unke determinants ke product ke barabar hota hai: |AB| = |A|\,|B|, jahan A aur B same order ke square matrices hain.
|\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}. Take determinants in (\text{adj}\,A)A = |A|\,I: |\text{adj}\,A|\,|A| = |A|^3\,|I| = |A|^3 for order 3 (the diagonal matrix with |A| three times has determinant |A|^3). So |\text{adj}\,A| = |A|^2 when |A| \ne 0. In general, for order n, |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}.|\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}। (\text{adj}\,A)A = |A|\,I के दोनों ओर सारणिक लीजिए: कोटि 3 के लिए |\text{adj}\,A|\,|A| = |A|^3\,|I| = |A|^3 (जिस विकर्ण आव्यूह में तीन बार |A| है उसका सारणिक |A|^3 है)। इसलिए |A| \ne 0 होने पर |\text{adj}\,A| = |A|^2। व्यापक रूप में, कोटि n के लिए |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}।|\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}. (\text{adj}\,A)A = |A|\,I ke dono taraf determinant lijiye: order 3 ke liye |\text{adj}\,A|\,|A| = |A|^3\,|I| = |A|^3 (jis diagonal matrix mein teen baar |A| ho uska determinant |A|^3 hai). Isliye |A| \ne 0 hone par |\text{adj}\,A| = |A|^2. General order n ke liye |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}.
📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 4A square matrix A is invertible if and only if A is a non-singular matrix. In that case A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\text{adj}\,A.प्रमेय 4वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि A एक व्युत्क्रमणीय (non-singular, |A| \ne 0) आव्यूह है। उस स्थिति में A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\text{adj}\,A।Theorem 4Square matrix A invertible hai agar aur sirf agar A non-singular matrix hai. Us case mein A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\text{adj}\,A.

Proof idea. If A is invertible, AB = I for some B, so |A|\,|B| = |I| = 1 and therefore |A| \ne 0. Conversely, if |A| \ne 0, divide Theorem 1 by |A|: A\left(\dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A\right) = \left(\dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A\right)A = I, so B = \dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A is the inverse.उपपत्ति का विचार। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो किसी B के लिए AB = I, इसलिए |A|\,|B| = |I| = 1, अतः |A| \ne 0। विलोमतः, यदि |A| \ne 0, तो प्रमेय 1 को |A| से भाग दीजिए: A\left(\dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A\right) = \left(\dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A\right)A = I, इसलिए B = \dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A ही व्युत्क्रम है।Proof ka idea. Agar A invertible hai, to kisi B ke liye AB = I, isliye |A|\,|B| = |I| = 1, yaani |A| \ne 0. Ulta, agar |A| \ne 0, to Theorem 1 ko |A| se divide kijiye: A\left(\dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A\right) = \left(\dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A\right)A = I, isliye B = \dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A hi inverse hai.

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,\text{adj}\,A,\qquad |A| \ne 0
Inverse of a matrixआव्यूह का व्युत्क्रमMatrix ka inverse
Example 13If A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}, then verify that A\,\text{adj}\,A = |A|\,I. Also find A^{-1}.उदाहरण 13यदि A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}, तो सत्यापित कीजिए कि A\,\text{adj}\,A = |A|\,I। A^{-1} भी ज्ञात कीजिए।Example 13Agar A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}, to verify kijiye ki A\,\text{adj}\,A = |A|\,I. A^{-1} bhi nikaliye.
Solution — step by step (6)हल — चरण दर चरण (6)Hal — step by step (6)
  1. Expand along R_1.R_1 के अनुदिश प्रसरण।R_1 ke along expand kiya.
    |A| = 1(16 - 9) - 3(4 - 3) + 3(3 - 4) = 7 - 3 - 3 = 1 \ne 0
  2. All nine cofactors, each with its sign from the chart.सभी नौ सहखंड, हर एक चिह्न सारणी के चिह्न के साथ।Saare nau cofactors, har ek sign chart ke sign ke saath.
    A_{11} = 7, A_{12} = -1, A_{13} = -1;\ A_{21} = -3, A_{22} = 1, A_{23} = 0;\ A_{31} = -3, A_{32} = 0, A_{33} = 1
  3. Transpose: cofactors of row 1 (7, −1, −1) become column 1.परिवर्त: पंक्ति 1 के सहखंड (7, −1, −1) स्तंभ 1 बनते हैं।Transpose: row 1 ke cofactors (7, −1, −1) column 1 bante hain.
    \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  4. Row × column multiplication.पंक्ति × स्तंभ गुणन।Row × column multiplication.
    A(\text{adj}\,A) = \begin{bmatrix} 7 - 3 - 3 & -3 + 3 + 0 & -3 + 0 + 3 \\ 7 - 4 - 3 & -3 + 4 + 0 & -3 + 0 + 3 \\ 7 - 3 - 4 & -3 + 3 + 0 & -3 + 0 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  5. Verified, since |A| = 1.सत्यापित, क्योंकि |A| = 1।Verified, kyunki |A| = 1.
    = (1)\,I = |A|\,I
  6. Theorem 4.प्रमेय 4।Theorem 4.
    A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\text{adj}\,A = \dfrac{1}{1}\begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

✔ A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Example 14If A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} and B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, then verify that (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.उदाहरण 14यदि A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} और B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, तो सत्यापित कीजिए कि (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}।Example 14Agar A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} aur B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, to verify kijiye ki (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. e.g. (1,1): 2(1) + 3(-1) = -1; (2,2): 1(-2) + (-4)(3) = -14.जैसे (1,1): 2(1) + 3(-1) = -1; (2,2): 1(-2) + (-4)(3) = -14।Jaise (1,1): 2(1) + 3(-1) = -1; (2,2): 1(-2) + (-4)(3) = -14.
    AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -14 \end{bmatrix}
  2. 2 × 2 shortcut for adj(AB), then divide by −11.adj(AB) के लिए 2 × 2 का छोटा तरीका, फिर −11 से भाग।adj(AB) ke liye 2 × 2 shortcut, phir −11 se divide.
    |AB| = 14 - 25 = -11 \ne 0,\quad (AB)^{-1} = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
  3. Both determinants are non-zero, so both inverses exist.दोनों सारणिक शून्येतर हैं, इसलिए दोनों व्युत्क्रम विद्यमान हैं।Dono determinants non-zero hain, isliye dono inverses exist karte hain.
    |A| = -11,\ |B| = 1;\quad A^{-1} = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix},\ B^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
  4. Multiply in the order B^{-1} first, then A^{-1}.क्रम: पहले B^{-1}, फिर A^{-1}।Order: pehle B^{-1}, phir A^{-1}.
    B^{-1}A^{-1} = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}

✔ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} — verified.(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} — सत्यापित।(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} — verified.

Example 15Show that the matrix A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} satisfies the equation A^2 - 4A + I = O, where I is the 2 × 2 identity matrix and O is the 2 × 2 zero matrix. Using this equation, find A^{-1}.उदाहरण 15दिखाइए कि आव्यूह A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} समीकरण A^2 - 4A + I = O को संतुष्ट करता है, जहाँ I, 2 × 2 का तत्समक आव्यूह और O, 2 × 2 का शून्य आव्यूह है। इस समीकरण से A^{-1} ज्ञात कीजिए।Example 15Dikhaiye ki matrix A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} equation A^2 - 4A + I = O ko satisfy karta hai, jahan I 2 × 2 identity matrix aur O 2 × 2 zero matrix hai. Is equation se A^{-1} nikaliye.
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
  1. e.g. (1,1): 4 + 3 = 7, (1,2): 6 + 6 = 12.जैसे (1,1): 4 + 3 = 7, (1,2): 6 + 6 = 12।Jaise (1,1): 4 + 3 = 7, (1,2): 6 + 6 = 12.
    A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}
  2. So A satisfies the equation.अतः A समीकरण को संतुष्ट करता है।To A equation ko satisfy karta hai.
    A^2 - 4A + I = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O
  3. From AA - 4A = -I, post-multiply by A^{-1} (it exists because |A| = 4 - 3 = 1 \ne 0).AA - 4A = -I से, दाईं ओर A^{-1} से गुणा कीजिए (यह विद्यमान है क्योंकि |A| = 4 - 3 = 1 \ne 0)।AA - 4A = -I se, right side se A^{-1} se multiply kijiye (ye exist karta hai kyunki |A| = 4 - 3 = 1 \ne 0).
    AA(A^{-1}) - 4AA^{-1} = -IA^{-1}
  4. AA^{-1} = I and IA^{-1} = A^{-1}.AA^{-1} = I और IA^{-1} = A^{-1}।AA^{-1} = I aur IA^{-1} = A^{-1}.
    AI - 4I = -A^{-1} \Rightarrow A^{-1} = 4I - A
  5. Subtract entry by entry.प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि घटाइए।Entry by entry ghataiye.
    A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

✔ A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(1) Forgetting to transpose the cofactor matrix — then you get (\text{adj}\,A)^T, not adj A. (2) Using A^{-1} before checking |A| \ne 0 — always write "|A| \ne 0, so A^{-1} exists". (3) (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} — the order reverses. (4) |\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}, so for 3 × 3 it is |A|^2, not |A|^3.(1) सहखंड आव्यूह का परिवर्त लेना भूल जाना — तब adj A नहीं, (\text{adj}\,A)^T मिलता है। (2) |A| \ne 0 जाँचे बिना A^{-1} लिखना — हमेशा लिखिए "|A| \ne 0, अतः A^{-1} विद्यमान है"। (3) (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} — क्रम उलट जाता है। (4) |\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}, इसलिए 3 × 3 के लिए |A|^2, |A|^3 नहीं।(1) Cofactor matrix ka transpose lena bhool jaana — tab adj A nahi, (\text{adj}\,A)^T milta hai. (2) |A| \ne 0 check kiye bina A^{-1} likhna — hamesha likhiye "|A| \ne 0, isliye A^{-1} exist karta hai". (3) (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} — order ulta ho jaata hai. (4) |\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}, isliye 3 × 3 ke liye |A|^2, |A|^3 nahi.
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxSelf-check that saves marks: after finding A^{-1}, multiply one row of A by one column of your answer — you must get 1 on the diagonal and 0 off it. Also, \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A} (Exercise 4.4, Q18) because |A|\,|A^{-1}| = |I| = 1.अंक बचाने वाली जाँच: A^{-1} निकालने के बाद A की एक पंक्ति को अपने उत्तर के एक स्तंभ से गुणा कीजिए — विकर्ण पर 1 और बाकी जगह 0 आना चाहिए। साथ ही \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A} (प्रश्नावली 4.4, प्र. 18), क्योंकि |A|\,|A^{-1}| = |I| = 1।Marks bachane wala check: A^{-1} nikaalne ke baad A ki ek row ko apne answer ke ek column se multiply kijiye — diagonal par 1 aur baaki jagah 0 aana chahiye. Saath hi \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A} (Exercise 4.4, Q18), kyunki |A|\,|A^{-1}| = |I| = 1.
✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.4, Q1) Find the adjoint of \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}.(प्रश्नावली 4.4, प्र. 1) \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} का सहखंडज ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.4, Q1) \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ka adjoint nikaliye.

Show answerउत्तर देखिएAnswer dekhiye

\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.4, Q2) Find the adjoint of \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}.(प्रश्नावली 4.4, प्र. 2) \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} का सहखंडज ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.4, Q2) \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} ka adjoint nikaliye.

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\begin{bmatrix} 3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}

✍️ Try it✍️ स्वयं हल कीजिए✍️ Khud try kijiye

(Exercise 4.4, Q5) Find the inverse of \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} (if it exists).(प्रश्नावली 4.4, प्र. 5) \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए (यदि विद्यमान हो)।(Exercise 4.4, Q5) \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} ka inverse nikaliye (agar exist kare).

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\dfrac{1}{14}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\dfrac{1}{14}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\dfrac{1}{14}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}

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(Exercise 4.4, Q7) Find the inverse of \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}.(प्रश्नावली 4.4, प्र. 7) \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.4, Q7) \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} ka inverse nikaliye.

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\dfrac{1}{10}\begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\dfrac{1}{10}\begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\dfrac{1}{10}\begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

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(Exercise 4.4, Q13) If A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, show that A^2 - 5A + 7I = O. Hence find A^{-1}.(प्रश्नावली 4.4, प्र. 13) यदि A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, तो दिखाइए कि A^2 - 5A + 7I = O। इससे A^{-1} ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.4, Q13) Agar A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, to dikhaiye ki A^2 - 5A + 7I = O. Isse A^{-1} nikaliye.

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A^{-1} = \dfrac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}A^{-1} = \dfrac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}A^{-1} = \dfrac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

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(Exercise 4.4, Q14) For A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, find numbers a and b such that A^2 + aA + bI = O.(प्रश्नावली 4.4, प्र. 14) A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} के लिए संख्याएँ a और b ज्ञात कीजिए ताकि A^2 + aA + bI = O।(Exercise 4.4, Q14) A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} ke liye numbers a aur b nikaliye taaki A^2 + aA + bI = O.

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a = -4,\ b = 1a = -4,\ b = 1a = -4,\ b = 1

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(Exercise 4.4, Q17) Let A be a non-singular square matrix of order 3 × 3. Then |\text{adj}\,A| is equal to (A) |A| (B) |A|^2 (C) |A|^3 (D) 3|A|(प्रश्नावली 4.4, प्र. 17) मान लीजिए A कोटि 3 × 3 का व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह है। तब |\text{adj}\,A| बराबर है (A) |A| (B) |A|^2 (C) |A|^3 (D) 3|A|(Exercise 4.4, Q17) Maan lijiye A order 3 × 3 ka non-singular square matrix hai. To |\text{adj}\,A| barabar hai (A) |A| (B) |A|^2 (C) |A|^3 (D) 3|A|

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(B) |A|^2(B) |A|^2(B) |A|^2

4.6Applications of Determinants and Matricesसारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोगDeterminants aur matrices ke applications

Now we use determinants and matrices to solve a system of linear equations in two or three variables and to check its consistency.अब हम सारणिकों और आव्यूहों से दो या तीन चरों वाले रैखिक समीकरण निकाय को हल करेंगे और उसकी संगतता की जाँच करेंगे।Ab hum determinants aur matrices se 2 ya 3 variables wale linear equations ko solve karenge aur unki consistency check karenge.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Consistent and inconsistent systemsA system of equations is said to be consistent if its solution (one or more) exists. A system of equations is said to be inconsistent if its solution does not exist.संगत और असंगत निकायसमीकरण निकाय संगत कहलाता है यदि उसका हल (एक या अधिक) विद्यमान हो। समीकरण निकाय असंगत कहलाता है यदि उसका हल विद्यमान न हो।Consistent aur inconsistent systemEquations ka system consistent kehlata hai agar uska solution (ek ya zyada) exist kare. System inconsistent kehlata hai agar uska solution exist na kare.
🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyePicture two lines on a graph. Cutting lines meet at exactly one point → one solution (consistent). Parallel lines never meet → no solution (inconsistent). The same line drawn twice → every point is common → infinitely many solutions (consistent). The determinant |A| of the coefficients is 0 exactly when the lines are parallel or the same.ग्राफ़ पर दो रेखाएँ सोचिए। काटती रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं → एक हल (संगत)। समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं → कोई हल नहीं (असंगत)। एक ही रेखा दो बार → हर बिंदु उभयनिष्ठ → अनंत हल (संगत)। गुणांकों का सारणिक |A| ठीक तभी 0 होता है जब रेखाएँ समांतर हों या एक ही हों।Graph par do lines sochiye. Kaatne wali lines theek ek point par milti hain → ek solution (consistent). Parallel lines kabhi nahi miltin → koi solution nahi (inconsistent). Ek hi line do baar → har point common → infinite solutions (consistent). Coefficients ka determinant |A| theek tabhi 0 hota hai jab lines parallel hon ya ek hi hon.
Two lines: one solution, no solution, infinitely many solutionsदो रेखाएँ: एक हल, कोई हल नहीं, अनंत हलDo lines: ek solution, koi solution nahi, infinite solutionsNCERT 4.6 · 11 tappable partsOpen

Note (NCERT): in this chapter we restrict ourselves to systems of linear equations having unique solutions only.ध्यान दीजिए (NCERT): इस अध्याय में हम केवल अद्वितीय हल वाले रैखिक समीकरण निकायों तक सीमित हैं।Note (NCERT): is chapter mein hum sirf unique solution wale linear equations tak seemit hain.

4.6.1Solution of system of linear equations using inverse of a matrixआव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा रैखिक समीकरण निकाय का हलMatrix ke inverse se linear equations ka solution

Write the system a_1x + b_1y + c_1z = d_1, a_2x + b_2y + c_2z = d_2, a_3x + b_3y + c_3z = d_3 as AX = B, where A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}.निकाय a_1x + b_1y + c_1z = d_1, a_2x + b_2y + c_2z = d_2, a_3x + b_3y + c_3z = d_3 को AX = B लिखिए, जहाँ A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}।System a_1x + b_1y + c_1z = d_1, a_2x + b_2y + c_2z = d_2, a_3x + b_3y + c_3z = d_3 ko AX = B likhiye, jahan A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}.

Case I — A is non-singular (|A| \ne 0)Then A^{-1} exists. AX = B \Rightarrow A^{-1}(AX) = A^{-1}B (pre-multiplying by A^{-1}) \Rightarrow (A^{-1}A)X = A^{-1}B (associative property) \Rightarrow IX = A^{-1}B \Rightarrow X = A^{-1}B. This gives the unique solution, as the inverse of a matrix is unique. This method is called the Matrix Method.स्थिति I — A व्युत्क्रमणीय (|A| \ne 0)तब A^{-1} विद्यमान है। AX = B \Rightarrow A^{-1}(AX) = A^{-1}B (बाईं ओर A^{-1} से गुणा) \Rightarrow (A^{-1}A)X = A^{-1}B (साहचर्य गुण) \Rightarrow IX = A^{-1}B \Rightarrow X = A^{-1}B। आव्यूह का व्युत्क्रम अद्वितीय होता है, इसलिए यह अद्वितीय हल देता है। इस विधि को आव्यूह विधि कहते हैं।Case I — A non-singular (|A| \ne 0)Tab A^{-1} exist karta hai. AX = B \Rightarrow A^{-1}(AX) = A^{-1}B (left se A^{-1} se multiply) \Rightarrow (A^{-1}A)X = A^{-1}B (associative property) \Rightarrow IX = A^{-1}B \Rightarrow X = A^{-1}B. Matrix ka inverse unique hota hai, isliye ye unique solution deta hai. Is method ko Matrix Method kehte hain.
Case II — A is singular (|A| = 0)Calculate (\text{adj}\,A)B. If (\text{adj}\,A)B \ne O (O being the zero matrix), the solution does not exist and the system is inconsistent. If (\text{adj}\,A)B = O, the system may be either consistent or inconsistent according as it has either infinitely many solutions or no solution.स्थिति II — A अव्युत्क्रमणीय (|A| = 0)(\text{adj}\,A)B निकालिए। यदि (\text{adj}\,A)B \ne O (O शून्य आव्यूह), तो हल विद्यमान नहीं है और निकाय असंगत है। यदि (\text{adj}\,A)B = O, तो निकाय संगत या असंगत हो सकता है — इस पर निर्भर कि उसके अनंत हल हैं या कोई हल नहीं।Case II — A singular (|A| = 0)(\text{adj}\,A)B nikaliye. Agar (\text{adj}\,A)B \ne O (O zero matrix), to solution exist nahi karta aur system inconsistent hai. Agar (\text{adj}\,A)B = O, to system consistent ya inconsistent ho sakta hai — is par depend ki uske infinite solutions hain ya koi solution nahi.
Loading experiment…
Example 16Solve the system of equations 2x + 5y = 1, 3x + 2y = 7.उदाहरण 16समीकरण निकाय 2x + 5y = 1, 3x + 2y = 7 को हल कीजिए।Example 16Equations 2x + 5y = 1, 3x + 2y = 7 ko solve kijiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Write the system as AX = B.निकाय को AX = B के रूप में लिखिए।System ko AX = B ke roop mein likhiye.
    A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix},\ X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}
  2. A is non-singular, so there is a unique solution.A व्युत्क्रमणीय है, इसलिए अद्वितीय हल है।A non-singular hai, isliye unique solution hai.
    |A| = 4 - 15 = -11 \ne 0
  3. 2 × 2 shortcut: swap 2 and 2, change signs of 5 and 3; divide by |A| = -11.2 × 2 का छोटा तरीका: 2 और 2 की अदला-बदली, 5 और 3 के चिह्न बदलिए; |A| = -11 से भाग दीजिए।2 × 2 shortcut: 2 aur 2 swap, 5 aur 3 ke sign badaliye; |A| = -11 se divide kijiye.
    A^{-1} = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}
  4. 2 - 35 = -33 and -3 + 14 = 11.2 - 35 = -33 और -3 + 14 = 11।2 - 35 = -33 aur -3 + 14 = 11.
    X = A^{-1}B = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} = -\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} -33 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}

✔ x = 3,\ y = -1 (check: 2(3) + 5(-1) = 1 ✓, 3(3) + 2(-1) = 7 ✓)x = 3,\ y = -1 (जाँच: 2(3) + 5(-1) = 1 ✓, 3(3) + 2(-1) = 7 ✓)x = 3,\ y = -1 (check: 2(3) + 5(-1) = 1 ✓, 3(3) + 2(-1) = 7 ✓)

Example 17Solve the following system of equations by matrix method: 3x - 2y + 3z = 8, 2x + y - z = 1, 4x - 3y + 2z = 4.उदाहरण 17आव्यूह विधि से निम्न समीकरण निकाय हल कीजिए: 3x - 2y + 3z = 8, 2x + y - z = 1, 4x - 3y + 2z = 4।Example 17Matrix method se ye equations solve kijiye: 3x - 2y + 3z = 8, 2x + y - z = 1, 4x - 3y + 2z = 4.
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
  1. Coefficients row by row; constants in B.गुणांक पंक्ति-दर-पंक्ति; अचर B में।Coefficients row by row; constants B mein.
    A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}
  2. Expand along R_1; the middle term is -(-2)(4 + 4) = +16.R_1 के अनुदिश प्रसरण; बीच का पद -(-2)(4 + 4) = +16 है।R_1 ke along expand; beech ka term -(-2)(4 + 4) = +16 hai.
    |A| = 3(2 - 3) + 2(4 + 4) + 3(-6 - 4) = -3 + 16 - 30 = -17 \ne 0
  3. All nine cofactors with signs.चिह्नों सहित सभी नौ सहखंड।Signs ke saath saare nau cofactors.
    A_{11} = -1, A_{12} = -8, A_{13} = -10;\ A_{21} = -5, A_{22} = -6, A_{23} = 1;\ A_{31} = -1, A_{32} = 9, A_{33} = 7
  4. adj A = transpose of the cofactor matrix, divided by |A| = -17.adj A = सहखंड आव्यूह का परिवर्त, |A| = -17 से भाग।adj A = cofactor matrix ka transpose, |A| = -17 se divide.
    A^{-1} = -\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix}
  5. Multiply each row of adj A by B = (8, 1, 4).adj A की हर पंक्ति को B = (8, 1, 4) से गुणा कीजिए।adj A ki har row ko B = (8, 1, 4) se multiply kijiye.
    X = A^{-1}B = -\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix} -8 - 5 - 4 \\ -64 - 6 + 36 \\ -80 + 1 + 28 \end{bmatrix} = -\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix} -17 \\ -34 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

✔ x = 1,\ y = 2,\ z = 3x = 1,\ y = 2,\ z = 3x = 1,\ y = 2,\ z = 3

Example 18The sum of three numbers is 6. If we multiply the third number by 3 and add the second number to it, we get 11. By adding the first and third numbers, we get double of the second number. Represent it algebraically and find the numbers using matrix method.उदाहरण 18तीन संख्याओं का योग 6 है। यदि तीसरी संख्या को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ें, तो 11 मिलता है। पहली और तीसरी संख्या जोड़ने पर दूसरी संख्या का दुगुना मिलता है। इसे बीजगणितीय रूप में लिखिए और आव्यूह विधि से संख्याएँ ज्ञात कीजिए।Example 18Teen numbers ka sum 6 hai. Teesre number ko 3 se multiply karke doosra number jodne par 11 milta hai. Pehla aur teesra number jodne par doosre number ka double milta hai. Ise algebra mein likhiye aur matrix method se numbers nikaliye.
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
  1. Let the numbers be x, y, z. "x + z = 2y" is rewritten as x - 2y + z = 0.मान लीजिए संख्याएँ x, y, z हैं। "x + z = 2y" को x - 2y + z = 0 लिखा।Maan lijiye numbers x, y, z hain. "x + z = 2y" ko x - 2y + z = 0 likha.
    x + y + z = 6,\quad y + 3z = 11,\quad x - 2y + z = 0
  2. Missing x in the 2nd equation means coefficient 0.दूसरे समीकरण में x नहीं है, यानी गुणांक 0।Doosri equation mein x nahi hai, yaani coefficient 0.
    A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix};\quad |A| = 1(1 + 6) - 1(0 - 3) + 1(0 - 1) = 9 \ne 0
  3. e.g. A_{12} = -(0 - 3) = 3, A_{23} = -(-2 - 1) = 3.जैसे A_{12} = -(0 - 3) = 3, A_{23} = -(-2 - 1) = 3।Jaise A_{12} = -(0 - 3) = 3, A_{23} = -(-2 - 1) = 3.
    A_{11} = 7, A_{12} = 3, A_{13} = -1;\ A_{21} = -3, A_{22} = 0, A_{23} = 3;\ A_{31} = 2, A_{32} = -3, A_{33} = 1
  4. Transpose the cofactors, divide by |A| = 9.सहखंडों का परिवर्त, |A| = 9 से भाग।Cofactors ka transpose, |A| = 9 se divide.
    \text{adj}\,A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix},\quad A^{-1} = \dfrac{1}{9}\,\text{adj}\,A
  5. X = A^{-1}B with B = (6, 11, 0).X = A^{-1}B, जहाँ B = (6, 11, 0)।X = A^{-1}B, jahan B = (6, 11, 0).
    X = \dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 42 - 33 + 0 \\ 18 + 0 + 0 \\ -6 + 33 + 0 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 9 \\ 18 \\ 27 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

✔ The numbers are x = 1,\ y = 2,\ z = 3.संख्याएँ x = 1,\ y = 2,\ z = 3 हैं।Numbers x = 1,\ y = 2,\ z = 3 hain.

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(1) Writing X = BA^{-1} — wrong order; it is always X = A^{-1}B. (2) A missing variable is a 0 in A (Example 18: no x in y + 3z = 11). (3) Declaring "no solution" just because |A| = 0 — you must compute (\text{adj}\,A)B: only (\text{adj}\,A)B \ne O proves inconsistency. (4) Not checking the answer in the original equations — it takes 20 seconds.(1) X = BA^{-1} लिखना — गलत क्रम; हमेशा X = A^{-1}B। (2) जो चर न हो, A में उसका 0 लिखिए (उदाहरण 18: y + 3z = 11 में x नहीं)। (3) केवल |A| = 0 देखकर "कोई हल नहीं" कह देना — (\text{adj}\,A)B निकालना ज़रूरी है: केवल (\text{adj}\,A)B \ne O से असंगतता सिद्ध होती है। (4) उत्तर को मूल समीकरणों में न जाँचना — इसमें 20 सेकंड लगते हैं।(1) X = BA^{-1} likhna — galat order; hamesha X = A^{-1}B. (2) Jo variable na ho, A mein uska 0 likhiye (Example 18: y + 3z = 11 mein x nahi). (3) Sirf |A| = 0 dekhkar "koi solution nahi" keh dena — (\text{adj}\,A)B nikalna zaroori hai: sirf (\text{adj}\,A)B \ne O se inconsistency prove hoti hai. (4) Answer ko original equations mein check na karna — isme 20 second lagte hain.
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxConsistency in 3 lines: (i) |A| \ne 0 → consistent, unique solution. (ii) |A| = 0 and (\text{adj}\,A)B \ne O → inconsistent. (iii) |A| = 0 and (\text{adj}\,A)B = O → may have infinitely many solutions or none. Example: x + 3y = 5,\ 2x + 6y = 8 (Exercise 4.5, Q3): |A| = 6 - 6 = 0, (\text{adj}\,A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \ne O → inconsistent (the lines are parallel).3 पंक्तियों में संगतता: (i) |A| \ne 0 → संगत, अद्वितीय हल। (ii) |A| = 0 और (\text{adj}\,A)B \ne O → असंगत। (iii) |A| = 0 और (\text{adj}\,A)B = O → अनंत हल या कोई हल नहीं हो सकता है। उदाहरण: x + 3y = 5,\ 2x + 6y = 8 (प्रश्नावली 4.5, प्र. 3): |A| = 6 - 6 = 0, (\text{adj}\,A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \ne O → असंगत (रेखाएँ समांतर हैं)।3 lines mein consistency: (i) |A| \ne 0 → consistent, unique solution. (ii) |A| = 0 aur (\text{adj}\,A)B \ne O → inconsistent. (iii) |A| = 0 aur (\text{adj}\,A)B = O → infinite solutions ya koi solution nahi ho sakta hai. Example: x + 3y = 5,\ 2x + 6y = 8 (Exercise 4.5, Q3): |A| = 6 - 6 = 0, (\text{adj}\,A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \ne O → inconsistent (lines parallel hain).
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(Exercise 4.5, Q1) Examine the consistency of x + 2y = 2, 2x + 3y = 3.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 1) x + 2y = 2, 2x + 3y = 3 की संगतता की जाँच कीजिए।(Exercise 4.5, Q1) x + 2y = 2, 2x + 3y = 3 ki consistency check kijiye.

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Consistent (|A| = -1 \ne 0)संगत (|A| = -1 \ne 0)Consistent (|A| = -1 \ne 0)

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(Exercise 4.5, Q5) Examine the consistency of 3x - y - 2z = 2, 2y - z = -1, 3x - 5y = 3.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 5) 3x - y - 2z = 2, 2y - z = -1, 3x - 5y = 3 की संगतता की जाँच कीजिए।(Exercise 4.5, Q5) 3x - y - 2z = 2, 2y - z = -1, 3x - 5y = 3 ki consistency check kijiye.

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Inconsistent (|A| = 0 and (\text{adj}\,A)B \ne O)असंगत (|A| = 0 और (\text{adj}\,A)B \ne O)Inconsistent (|A| = 0 aur (\text{adj}\,A)B \ne O)

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(Exercise 4.5, Q7) Solve by matrix method: 5x + 2y = 4, 7x + 3y = 5.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 7) आव्यूह विधि से हल कीजिए: 5x + 2y = 4, 7x + 3y = 5।(Exercise 4.5, Q7) Matrix method se solve kijiye: 5x + 2y = 4, 7x + 3y = 5.

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x = 2,\ y = -3x = 2,\ y = -3x = 2,\ y = -3

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(Exercise 4.5, Q8) Solve by matrix method: 2x - y = -2, 3x + 4y = 3.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 8) आव्यूह विधि से हल कीजिए: 2x - y = -2, 3x + 4y = 3।(Exercise 4.5, Q8) Matrix method se solve kijiye: 2x - y = -2, 3x + 4y = 3.

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x = \dfrac{-5}{11},\ y = \dfrac{12}{11}x = \dfrac{-5}{11},\ y = \dfrac{12}{11}x = \dfrac{-5}{11},\ y = \dfrac{12}{11}

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(Exercise 4.5, Q11) Solve: 2x + y + z = 1, x - 2y - z = \dfrac{3}{2}, 3y - 5z = 9.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 11) हल कीजिए: 2x + y + z = 1, x - 2y - z = \dfrac{3}{2}, 3y - 5z = 9।(Exercise 4.5, Q11) Solve kijiye: 2x + y + z = 1, x - 2y - z = \dfrac{3}{2}, 3y - 5z = 9.

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x = 1,\ y = \dfrac{1}{2},\ z = -\dfrac{3}{2}x = 1,\ y = \dfrac{1}{2},\ z = -\dfrac{3}{2}x = 1,\ y = \dfrac{1}{2},\ z = -\dfrac{3}{2}

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(Exercise 4.5, Q14) Solve: x - y + 2z = 7, 3x + 4y - 5z = -5, 2x - y + 3z = 12.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 14) हल कीजिए: x - y + 2z = 7, 3x + 4y - 5z = -5, 2x - y + 3z = 12।(Exercise 4.5, Q14) Solve kijiye: x - y + 2z = 7, 3x + 4y - 5z = -5, 2x - y + 3z = 12.

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x = 2,\ y = 1,\ z = 3x = 2,\ y = 1,\ z = 3x = 2,\ y = 1,\ z = 3

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(Exercise 4.5, Q16) The cost of 4 kg onion, 3 kg wheat and 2 kg rice is ₹ 60. The cost of 2 kg onion, 4 kg wheat and 6 kg rice is ₹ 90. The cost of 6 kg onion, 2 kg wheat and 3 kg rice is ₹ 70. Find the cost of each item per kg by matrix method.(प्रश्नावली 4.5, प्र. 16) 4 kg प्याज़, 3 kg गेहूँ और 2 kg चावल का मूल्य ₹ 60 है। 2 kg प्याज़, 4 kg गेहूँ और 6 kg चावल का मूल्य ₹ 90 है। 6 kg प्याज़, 2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य ₹ 70 है। आव्यूह विधि से हर वस्तु का प्रति kg मूल्य ज्ञात कीजिए।(Exercise 4.5, Q16) 4 kg pyaaz, 3 kg gehun aur 2 kg chawal ki keemat ₹ 60 hai. 2 kg pyaaz, 4 kg gehun aur 6 kg chawal ki keemat ₹ 90 hai. 6 kg pyaaz, 2 kg gehun aur 3 kg chawal ki keemat ₹ 70 hai. Matrix method se har cheez ki per kg keemat nikaliye.

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Onion ₹ 5 per kg, wheat ₹ 8 per kg, rice ₹ 8 per kgप्याज़ ₹ 5 प्रति kg, गेहूँ ₹ 8 प्रति kg, चावल ₹ 8 प्रति kgPyaaz ₹ 5 per kg, gehun ₹ 8 per kg, chawal ₹ 8 per kg

Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples

Example 19Use product \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix} to solve the system of equations x - y + 2z = 1, 2y - 3z = 1, 3x - 2y + 4z = 2.उदाहरण 19गुणनफल \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix} का प्रयोग करके समीकरण निकाय x - y + 2z = 1, 2y - 3z = 1, 3x - 2y + 4z = 2 को हल कीजिए।Example 19Product \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix} ka use karke equations x - y + 2z = 1, 2y - 3z = 1, 3x - 2y + 4z = 2 solve kijiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Multiply row by column; the product is the identity matrix.पंक्ति × स्तंभ गुणा; गुणनफल तत्समक आव्यूह है।Row × column multiply; product identity matrix hai.
    \begin{bmatrix} -2 - 9 + 12 & 0 - 2 + 2 & 1 + 3 - 4 \\ 0 + 18 - 18 & 0 + 4 - 3 & 0 - 6 + 6 \\ -6 - 18 + 24 & 0 - 4 + 4 & 3 + 6 - 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  2. If AB = I, then B is the inverse of A.यदि AB = I, तो B, A का व्युत्क्रम है।Agar AB = I, to B, A ka inverse hai.
    \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix}
  3. The given system in matrix form AX = B — the same A as in the product.दिया गया निकाय आव्यूह रूप AX = B में — वही A जो गुणनफल में है।Diya gaya system matrix form AX = B mein — wahi A jo product mein hai.
    \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}
  4. No need to find the inverse again — the product already gave it.व्युत्क्रम दोबारा निकालने की ज़रूरत नहीं — गुणनफल ने वह दे दिया।Inverse dobara nikaalne ki zaroorat nahi — product ne wo de diya.
    X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 + 0 + 2 \\ 9 + 2 - 6 \\ 6 + 1 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}

✔ x = 0,\ y = 5,\ z = 3x = 0,\ y = 5,\ z = 3x = 0,\ y = 5,\ z = 3

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(Miscellaneous Exercise, Q2) Evaluate \begin{vmatrix} \cos\alpha\cos\beta & \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha \\ -\sin\beta & \cos\beta & 0 \\ \sin\alpha\cos\beta & \sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha \end{vmatrix}.(विविध प्रश्नावली, प्र. 2) \begin{vmatrix} \cos\alpha\cos\beta & \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha \\ -\sin\beta & \cos\beta & 0 \\ \sin\alpha\cos\beta & \sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Miscellaneous Exercise, Q2) \begin{vmatrix} \cos\alpha\cos\beta & \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha \\ -\sin\beta & \cos\beta & 0 \\ \sin\alpha\cos\beta & \sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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111

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(Miscellaneous Exercise, Q6) Evaluate \begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 1 & x + y & y \\ 1 & x & x + y \end{vmatrix}.(विविध प्रश्नावली, प्र. 6) \begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 1 & x + y & y \\ 1 & x & x + y \end{vmatrix} का मान ज्ञात कीजिए।(Miscellaneous Exercise, Q6) \begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 1 & x + y & y \\ 1 & x & x + y \end{vmatrix} ki value nikaliye.

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xyxyxy

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(Miscellaneous Exercise, Q7) Solve: \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{10}{z} = 4, \dfrac{4}{x} - \dfrac{6}{y} + \dfrac{5}{z} = 1, \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{y} - \dfrac{20}{z} = 2.(विविध प्रश्नावली, प्र. 7) हल कीजिए: \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{10}{z} = 4, \dfrac{4}{x} - \dfrac{6}{y} + \dfrac{5}{z} = 1, \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{y} - \dfrac{20}{z} = 2।(Miscellaneous Exercise, Q7) Solve kijiye: \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{10}{z} = 4, \dfrac{4}{x} - \dfrac{6}{y} + \dfrac{5}{z} = 1, \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{y} - \dfrac{20}{z} = 2.

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x = 2,\ y = 3,\ z = 5 (put u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z}; then u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{3}, w = \frac{1}{5})x = 2,\ y = 3,\ z = 5 (u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z} रखिए; तब u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{3}, w = \frac{1}{5})x = 2,\ y = 3,\ z = 5 (u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z} rakhiye; tab u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{3}, w = \frac{1}{5})

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(Miscellaneous Exercise, Q8) If x, y, z are non-zero real numbers, then the inverse of A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} is (A) \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix} (B) xyz\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix} (C) \dfrac{1}{xyz}\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} (D) \dfrac{1}{xyz}I(विविध प्रश्नावली, प्र. 8) यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, तो A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} का व्युत्क्रम है (A) \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix} (B) xyz\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix} (C) \dfrac{1}{xyz}\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} (D) \dfrac{1}{xyz}I(Miscellaneous Exercise, Q8) Agar x, y, z non-zero real numbers hain, to A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} ka inverse hai (A) \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix} (B) xyz\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix} (C) \dfrac{1}{xyz}\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} (D) \dfrac{1}{xyz}I

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(A)(A)(A)

Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet

|[a]| = a,\qquad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
Order 1 and order 2कोटि 1 और कोटि 2Order 1 aur order 2
|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}
Expansion along R₁ (any row/column works)R_1 के अनुदिश प्रसरण (कोई भी पंक्ति/स्तंभ चलेगा)R_1 ke along expansion (koi bhi row/column chalega)
\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}\qquad \text{sign of } a_{ij} = (-1)^{i+j}
Sign chartचिह्न सारणीSign chart
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
Cofactor from minorउपसारणिक से सहखंडMinor se cofactor
a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} = 0
Row × cofactors of a different row = 0पंक्ति × किसी दूसरी पंक्ति के सहखंड = 0Row × doosri row ke cofactors = 0
|kA| = k^n |A|\quad (A \text{ of order } n)
Scalar multipleअदिश गुणजScalar multiple
\text{Area} = \left|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right|;\quad = 0 \iff \text{collinear}
Area of a triangleत्रिभुज का क्षेत्रफल; 0 ⇔ संरेखTriangle ka area; 0 ⇔ collinear
\text{adj}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
2 × 2 adjoint shortcut2 × 2 सहखंडज का छोटा तरीका2 × 2 adjoint shortcut
A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I
Theorem 1प्रमेय 1Theorem 1
A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,\text{adj}\,A\quad (|A| \ne 0)
Inverseव्युत्क्रमInverse
|AB| = |A|\,|B|,\quad |\text{adj}\,A| = |A|^{n-1},\quad |A^{-1}| = \frac{1}{|A|},\quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
Useful resultsउपयोगी परिणामKaam ke results
AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B\quad (|A| \ne 0)
Matrix methodआव्यूह विधिMatrix method
|A| = 0:\ (\text{adj}\,A)B \ne O \Rightarrow \text{inconsistent};\ \ (\text{adj}\,A)B = O \Rightarrow \text{infinitely many or no solution}
Singular caseअव्युत्क्रमणीय स्थिति: असंगत / अनंत हल या कोई हल नहींSingular case: inconsistent / infinite ya koi solution nahi

Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

Summary (NCERT). |[a_{11}]| = a_{11}. \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}. A 3 × 3 determinant is expanded along any row or column: \Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} (and the same with any other row or column). Area of a triangle = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} (absolute value).सारांश (NCERT)। |[a_{11}]| = a_{11}। \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}। 3 × 3 सारणिक का प्रसरण किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश: \Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} (और किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ से भी वैसे ही)। त्रिभुज का क्षेत्रफल = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} (निरपेक्ष मान)।Summary (NCERT). |[a_{11}]| = a_{11}. \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}. 3 × 3 determinant kisi bhi row ya column ke along expand hota hai: \Delta = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} (aur kisi doosri row/column se bhi waise hi). Triangle ka area = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} (absolute value).
Minor M_{ij}: the determinant left after deleting row i and column j. Cofactor A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}. Elements of a row (or column) × cofactors of another row (or column) add to 0. adj A = transpose of the matrix of cofactors. A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I. A is singular if |A| = 0, non-singular if |A| \ne 0; A^{-1} exists only when A is non-singular, and A^{-1} = \frac{1}{|A|}\text{adj}\,A.उपसारणिक M_{ij}: पंक्ति i और स्तंभ j हटाने पर बचा सारणिक। सहखंड A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}। एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयव × दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों का योग 0। adj A = सहखंडों के आव्यूह का परिवर्त। A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I। |A| = 0 हो तो A अव्युत्क्रमणीय, |A| \ne 0 हो तो व्युत्क्रमणीय; A^{-1} केवल व्युत्क्रमणीय A का होता है, और A^{-1} = \frac{1}{|A|}\text{adj}\,A।Minor M_{ij}: row i aur column j hatane par bacha determinant. Cofactor A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}. Ek row (ya column) ke elements × doosri row (ya column) ke cofactors ka sum 0. adj A = cofactors ke matrix ka transpose. A(\text{adj}\,A) = (\text{adj}\,A)A = |A|\,I. |A| = 0 ho to A singular, |A| \ne 0 ho to non-singular; A^{-1} sirf non-singular A ka hota hai, aur A^{-1} = \frac{1}{|A|}\text{adj}\,A.
For AX = B: if |A| \ne 0, the unique solution is X = A^{-1}B (consistent). If |A| = 0 and (\text{adj}\,A)B \ne O: no solution (inconsistent). If |A| = 0 and (\text{adj}\,A)B = O: the system may be consistent (infinitely many solutions) or inconsistent (no solution).AX = B के लिए: यदि |A| \ne 0, तो अद्वितीय हल X = A^{-1}B (संगत)। यदि |A| = 0 और (\text{adj}\,A)B \ne O: कोई हल नहीं (असंगत)। यदि |A| = 0 और (\text{adj}\,A)B = O: निकाय संगत (अनंत हल) या असंगत (कोई हल नहीं) हो सकता है।AX = B ke liye: agar |A| \ne 0, to unique solution X = A^{-1}B (consistent). Agar |A| = 0 aur (\text{adj}\,A)B \ne O: koi solution nahi (inconsistent). Agar |A| = 0 aur (\text{adj}\,A)B = O: system consistent (infinite solutions) ya inconsistent (koi solution nahi) ho sakta hai.

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