CLASS 12 MATHS · CHAPTER 13
Probabilityप्रायिकताProbability
Conditional probability and its properties, the multiplication rule, independent events, partition of a sample space, theorem of total probability and Bayes' theorem — NCERT Chapter 13, in easy words.सप्रतिबंध प्रायिकता और उसके गुण, प्रायिकता का गुणन नियम, स्वतंत्र घटनाएँ, प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन, संपूर्ण प्रायिकता की प्रमेय और बेज़-प्रमेय — NCERT अध्याय 13, आसान शब्दों में।Conditional probability aur uske properties, multiplication rule, independent events, sample space ka partition, total probability ka theorem aur Bayes' theorem — NCERT Chapter 13, aasaan shabdon mein.
In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein
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P(A|B): the share of B that is also AP(A|B): B का वह भाग जो A में भी हैP(A|B): B ka wo hissa jo A mein bhi haiDefinition 1
Tree diagram for Example 7उदाहरण 7 का वृक्ष आरेखExample 7 ka tree diagramFig 13.2
Multiplication rule on a tree (Example 8)वृक्ष पर गुणन नियम (उदाहरण 8)Tree par multiplication rule (Example 8)Example 8
Mutually exclusive vs independentपरस्पर अपवर्जी बनाम स्वतंत्रMutually exclusive vs independentRemark (ii), Example 10
E and F cut S into four piecesE और F, S को चार टुकड़ों में बाँटती हैंE aur F, S ko chaar tukdon mein baant-te hainFig 13.3
Partition of S and the theorem of total probabilityS का विभाजन और संपूर्ण प्रायिकता की प्रमेयS ka partition aur total probability ka theoremFig 13.4
Example 18 with 1,00,000 imaginary peopleउदाहरण 18, 1,00,000 काल्पनिक लोगों के साथExample 18, 1,00,000 imaginary logon ke saathExample 18Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye
All sections (NCERT order)सभी खंड (NCERT क्रम)Saare sections (NCERT order)
- 13.1IntroductionपरिचयIntroduction
- 13.2Conditional Probabilityसप्रतिबंध प्रायिकताConditional Probability
- 13.2.1Properties of conditional probabilityसप्रतिबंध प्रायिकता के गुणConditional probability ke properties
- 13.3Multiplication Theorem on Probabilityप्रायिकता का गुणन नियमProbability ka multiplication rule
- 13.4Independent Eventsस्वतंत्र घटनाएँIndependent Events
- 13.5Bayes' Theoremबेज़-प्रमेयBayes' Theorem
- 13.5.1Partition of a sample spaceएक प्रतिदर्श समष्टि का विभाजनSample space ka partition
- 13.5.2Theorem of total probabilityसंपूर्ण प्रायिकता की प्रमेयTotal probability ka theorem
- Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples
- Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet
- Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
13.1IntroductionपरिचयIntroduction
Recall from Class XI: the sample space S is the set of all outcomes of a random experiment, an event E is a subset of S, 0 \le P(E) \le 1, P(S) = 1, P(E') = 1 - P(E), and the addition rule P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Throughout this chapter, NCERT takes experiments with equally likely outcomes, unless stated otherwise.कक्षा XI से याद कीजिए: किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी परिणामों का समुच्चय प्रतिदर्श समष्टि S है, घटना E, S का एक उपसमुच्चय है, 0 \le P(E) \le 1, P(S) = 1, P(E') = 1 - P(E) और योग नियम P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)। इस पूरे अध्याय में NCERT, जब तक अलग से न कहा जाए, समसंभाव्य परिणामों वाले परीक्षण लेती है।Class XI se yaad kijiye: kisi random experiment ke saare outcomes ka set sample space S hai, event E, S ka ek subset hai, 0 \le P(E) \le 1, P(S) = 1, P(E') = 1 - P(E) aur addition rule P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Is poore chapter mein NCERT, jab tak alag se na kaha jaye, equally likely outcomes wale experiments leti hai.S = all outcomes, event = subset of S, P(E') = 1 − P(E), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
13.2Conditional Probabilityसप्रतिबंध प्रायिकताConditional Probability
NCERT's working: S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}, each outcome with probability \dfrac{1}{8}. E = "at least two heads" = \{HHH, HHT, HTH, THH\}, F = "first coin shows tail" = \{THH, THT, TTH, TTT\}. So P(E) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}, P(F) = \dfrac{1}{2}, E \cap F = \{THH\} and P(E \cap F) = \dfrac{1}{8}. Given F, the sample point of F favourable to E is only THH, so P(E|F) = \dfrac{1}{4}. The favourable points are exactly the points of E \cap F, so P(E|F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{n(E \cap F)/n(S)}{n(F)/n(S)} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} This is valid only when P(F) \ne 0, i.e. F \ne \varphi (we cannot divide by 0).NCERT का हल: S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}, हर परिणाम की प्रायिकता \dfrac{1}{8}। E = "कम से कम दो चित" = \{HHH, HHT, HTH, THH\}, F = "पहले सिक्के पर पट" = \{THH, THT, TTH, TTT\}। अतः P(E) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}, P(F) = \dfrac{1}{2}, E \cap F = \{THH\} तथा P(E \cap F) = \dfrac{1}{8}। F दिया होने पर F का केवल THH बिंदु E के अनुकूल है, इसलिए P(E|F) = \dfrac{1}{4}। अनुकूल बिंदु ठीक E \cap F के बिंदु हैं, इसलिए P(E|F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{n(E \cap F)/n(S)}{n(F)/n(S)} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} यह केवल तब मान्य है जब P(F) \ne 0 अर्थात् F \ne \varphi (0 से भाग नहीं दे सकते)।NCERT ka hal: S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}, har outcome ki probability \dfrac{1}{8}. E = "kam se kam do heads" = \{HHH, HHT, HTH, THH\}, F = "pehle coin par tail" = \{THH, THT, TTH, TTT\}. To P(E) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}, P(F) = \dfrac{1}{2}, E \cap F = \{THH\} aur P(E \cap F) = \dfrac{1}{8}. F diya ho to F ka sirf THH point E ke favour mein hai, isliye P(E|F) = \dfrac{1}{4}. Favourable points theek E \cap F ke points hain, isliye P(E|F) = \dfrac{n(E \cap F)}{n(F)} = \dfrac{n(E \cap F)/n(S)}{n(F)/n(S)} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} Ye sirf tab valid hai jab P(F) \ne 0 yaani F \ne \varphi (0 se divide nahi kar sakte).P(E|F) = n(E∩F)/n(F) = P(E∩F)/P(F), only when P(F) ≠ 0.
P(A|B): the share of B that is also AP(A|B): B का वह भाग जो A में भी हैP(A|B): B ka wo hissa jo A mein bhi haiNCERT Definition 1 · 5 tappable partsOpen13.2.1Properties of conditional probabilityसप्रतिबंध प्रायिकता के गुणConditional probability ke properties
Let E and F be events of a sample space S of an experiment. NCERT proves three properties.मान लीजिए E तथा F किसी परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि S की घटनाएँ हैं। NCERT तीन गुण सिद्ध करती है।Maan lijiye E aur F kisi experiment ke sample space S ke events hain. NCERT teen properties prove karti hai.Three properties of P(E|F).
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- B is given, so divide by P(B). (P(A) is not needed here.)B दिया है, इसलिए P(B) से भाग दीजिए। (यहाँ P(A) की ज़रूरत नहीं है।)B diya hai, isliye P(B) se divide kijiye. (Yahan P(A) ki zaroorat nahi hai.)P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}
- The 13s cancel.13 कट जाते हैं।13 cut jaate hain.= \dfrac{4/13}{9/13} = \dfrac{4}{9}
✔ P(A|B) = \dfrac{4}{9}P(A|B) = \dfrac{4}{9}P(A|B) = \dfrac{4}{9}
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- b = boy, g = girl. Four equally likely outcomes.b = लड़का, g = लड़की। चार समसंभाव्य परिणाम।b = boy, g = girl. Chaar equally likely outcomes.S = \{(b, b), (g, b), (b, g), (g, g)\}
- E: both boys. F: at least one boy.E: दोनों लड़के। F: कम से कम एक लड़का।E: dono ladke. F: kam se kam ek ladka.E = \{(b, b)\},\quad F = \{(b, b), (g, b), (b, g)\}
- Count the outcomes out of 4.4 में से परिणाम गिनिए।4 mein se outcomes giniye.E \cap F = \{(b, b)\},\quad P(F) = \dfrac{3}{4},\quad P(E \cap F) = \dfrac{1}{4}
- Divide by the given event F.दी गई घटना F से भाग दीजिए।Diye gaye event F se divide kijiye.P(E|F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} = \dfrac{1/4}{3/4} = \dfrac{1}{3}
✔ P(E|F) = \dfrac{1}{3} (not \dfrac{1}{2} — knowing 'at least one boy' leaves 3 cases, not 2).P(E|F) = \dfrac{1}{3} (\dfrac{1}{2} नहीं — 'कम से कम एक लड़का' जानने पर 3 स्थितियाँ बचती हैं, 2 नहीं)।P(E|F) = \dfrac{1}{3} (\dfrac{1}{2} nahi — 'kam se kam ek ladka' jaanne par 3 cases bachte hain, 2 nahi).
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- A: even number. B: more than 3. We need P(A|B).A: सम संख्या। B: 3 से अधिक। हमें P(A|B) चाहिए।A: even number. B: 3 se zyada. Hamein P(A|B) chahiye.S = \{1, 2, \ldots, 10\},\ A = \{2, 4, 6, 8, 10\},\ B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}
- Even numbers that are also more than 3.वे सम संख्याएँ जो 3 से अधिक भी हैं।Wo even numbers jo 3 se zyada bhi hain.A \cap B = \{4, 6, 8, 10\}
- Out of 10 cards. (Also P(A) = \frac{5}{10}.)10 कार्डों में से। (साथ ही P(A) = \frac{5}{10}।)10 cards mein se. (Saath hi P(A) = \frac{5}{10}.)P(B) = \dfrac{7}{10},\quad P(A \cap B) = \dfrac{4}{10}
- Divide by P(B).P(B) से भाग दीजिए।P(B) se divide kijiye.P(A|B) = \dfrac{4/10}{7/10} = \dfrac{4}{7}
✔ P(A|B) = \dfrac{4}{7}P(A|B) = \dfrac{4}{7}P(A|B) = \dfrac{4}{7}
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- We need P(E|F).हमें P(E|F) चाहिए।Hamein P(E|F) chahiye.E: \text{studies in Class XII},\quad F: \text{is a girl}
- 430 girls out of 1000 students.1000 विद्यार्थियों में 430 लड़कियाँ।1000 students mein 430 ladkiyaan.P(F) = \dfrac{430}{1000} = 0.43
- E ∩ F = girls who are in Class XII.E ∩ F = वे लड़कियाँ जो कक्षा XII में हैं।E ∩ F = wo ladkiyaan jo Class XII mein hain.10\% \text{ of } 430 = 43 \Rightarrow P(E \cap F) = \dfrac{43}{1000} = 0.043
- Divide by P(F).P(F) से भाग दीजिए।P(F) se divide kijiye.P(E|F) = \dfrac{0.043}{0.43} = 0.1
✔ P(E|F) = 0.1 — exactly the 10% given, because among girls 10% are in Class XII.P(E|F) = 0.1 — ठीक दिया गया 10%, क्योंकि लड़कियों में 10% कक्षा XII में हैं।P(E|F) = 0.1 — theek diya gaya 10%, kyunki ladkiyon mein 10% Class XII mein hain.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- Each throw has 6 outcomes.हर उछाल के 6 परिणाम।Har throw ke 6 outcomes.n(S) = 6^3 = 216
- First two fixed as 6, 5; third can be anything.पहले दो 6, 5 तय; तीसरा कुछ भी।Pehle do 6, 5 fixed; teesra kuch bhi.B = \{(6,5,1), (6,5,2), \ldots, (6,5,6)\},\quad n(B) = 6
- Only one outcome has 6, 5 and then 4.केवल एक परिणाम में 6, 5 और फिर 4 है।Sirf ek outcome mein 6, 5 aur phir 4 hai.A \cap B = \{(6, 5, 4)\}
- Divide by P(B).P(B) से भाग दीजिए।P(B) se divide kijiye.P(A|B) = \dfrac{1/216}{6/216} = \dfrac{1}{6}
✔ P(A|B) = \dfrac{1}{6} — the third throw does not care about the first two.P(A|B) = \dfrac{1}{6} — तीसरी उछाल पहली दो से प्रभावित नहीं होती।P(A|B) = \dfrac{1}{6} — teesra throw pehle do se affect nahi hota.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- E: 4 appears at least once — 11 outcomes out of 36.E: 4 कम से कम एक बार — 36 में से 11 परिणाम।E: 4 kam se kam ek baar — 36 mein se 11 outcomes.E = \{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\}
- F: sum is 6 — 5 outcomes.F: योग 6 — 5 परिणाम।F: sum 6 — 5 outcomes.F = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}
- Sum 6 with a 4 in it.योग 6 और उसमें एक 4।Sum 6 aur usmein ek 4.E \cap F = \{(2,4), (4,2)\},\quad P(E \cap F) = \dfrac{2}{36},\ P(F) = \dfrac{5}{36}
- Divide by P(F).P(F) से भाग दीजिए।P(F) se divide kijiye.P(E|F) = \dfrac{2/36}{5/36} = \dfrac{2}{5}
✔ P(E|F) = \dfrac{2}{5}P(E|F) = \dfrac{2}{5}P(E|F) = \dfrac{2}{5}
So far all outcomes were equally likely. The same definition works when they are not equally likely — we just find P(E \cap F) and P(F) by adding the probabilities of their outcomes. A tree diagram helps here.अब तक सभी परिणाम समसंभाव्य थे। जब परिणाम समसंभाव्य न हों, तब भी यही परिभाषा काम करती है — बस P(E \cap F) और P(F) उनके परिणामों की प्रायिकताएँ जोड़कर निकालते हैं। यहाँ वृक्ष आरेख मदद करता है।Ab tak saare outcomes equally likely the. Jab outcomes equally likely na hon, tab bhi yahi definition kaam karti hai — bas P(E \cap F) aur P(F) unke outcomes ki probabilities jod kar nikalte hain. Yahan tree diagram madad karta hai.Unequal outcomes: add their probabilities (use a tree).
Tree diagram for Example 7उदाहरण 7 का वृक्ष आरेखExample 7 ka tree diagramNCERT Fig 13.2 · 10 tappable partsOpenSolution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
- 8 outcomes — but NOT equally likely.8 परिणाम — परंतु समसंभाव्य नहीं।8 outcomes — par equally likely nahi.S = \{(H,H), (H,T), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)\}
- Multiply along the branches of the tree (Fig 13.2).वृक्ष (आकृति 13.2) की शाखाओं के साथ गुणा कीजिए।Tree (Fig 13.2) ki branches ke saath multiply kijiye.P(H,H) = P(H,T) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4},\quad P(T,i) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}
- F: at least one tail.F: कम से कम एक पट।F: kam se kam ek tail.F = \{(H,T), (T,1), \ldots, (T,6)\},\quad P(F) = \tfrac{1}{4} + 6 \times \tfrac{1}{12} = \tfrac{3}{4}
- E: die shows more than 4. All of E is inside F.E: पासे पर 4 से बड़ी संख्या। पूरी E, F के अंदर है।E: die par 4 se bada number. Poora E, F ke andar hai.E = \{(T,5), (T,6)\} = E \cap F,\quad P(E \cap F) = \tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{6}
- Divide by P(F).P(F) से भाग दीजिए।P(F) se divide kijiye.P(E|F) = \dfrac{1/6}{3/4} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{9}
✔ P(E|F) = \dfrac{2}{9}P(E|F) = \dfrac{2}{9}P(E|F) = \dfrac{2}{9}
(Exercise 13.1, Q1) P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 and P(E \cap F) = 0.2. Find P(E|F) and P(F|E).(प्रश्नावली 13.1, प्र. 1) P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 तथा P(E \cap F) = 0.2। P(E|F) और P(F|E) ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.1, Q1) P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 aur P(E \cap F) = 0.2. P(E|F) aur P(F|E) nikaliye.
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P(E|F) = \dfrac{0.2}{0.3} = \dfrac{2}{3}, P(F|E) = \dfrac{0.2}{0.6} = \dfrac{1}{3}P(E|F) = \dfrac{0.2}{0.3} = \dfrac{2}{3}, P(F|E) = \dfrac{0.2}{0.6} = \dfrac{1}{3}P(E|F) = \dfrac{0.2}{0.3} = \dfrac{2}{3}, P(F|E) = \dfrac{0.2}{0.6} = \dfrac{1}{3}
(Exercise 13.1, Q3) If P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 and P(B|A) = 0.4, find (i) P(A \cap B) (ii) P(A|B) (iii) P(A \cup B).(प्रश्नावली 13.1, प्र. 3) यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 तथा P(B|A) = 0.4, तो ज्ञात कीजिए (i) P(A \cap B) (ii) P(A|B) (iii) P(A \cup B)।(Exercise 13.1, Q3) Agar P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 aur P(B|A) = 0.4, to nikaliye (i) P(A \cap B) (ii) P(A|B) (iii) P(A \cup B).
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(i) 0.8 \times 0.4 = 0.32 (ii) \dfrac{0.32}{0.5} = 0.64 (iii) 0.8 + 0.5 - 0.32 = 0.98(i) 0.8 \times 0.4 = 0.32 (ii) \dfrac{0.32}{0.5} = 0.64 (iii) 0.8 + 0.5 - 0.32 = 0.98(i) 0.8 \times 0.4 = 0.32 (ii) \dfrac{0.32}{0.5} = 0.64 (iii) 0.8 + 0.5 - 0.32 = 0.98
(Exercise 13.1, Q4) Evaluate P(A \cup B), if 2P(A) = P(B) = \dfrac{5}{13} and P(A|B) = \dfrac{2}{5}.(प्रश्नावली 13.1, प्र. 4) यदि 2P(A) = P(B) = \dfrac{5}{13} तथा P(A|B) = \dfrac{2}{5}, तो P(A \cup B) का मान ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.1, Q4) Agar 2P(A) = P(B) = \dfrac{5}{13} aur P(A|B) = \dfrac{2}{5}, to P(A \cup B) nikaliye.
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P(A) = \frac{5}{26}, P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}, so P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \dfrac{11}{26}P(A) = \frac{5}{26}, P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}, अतः P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \dfrac{11}{26}P(A) = \frac{5}{26}, P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}, isliye P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \dfrac{11}{26}
(Exercise 13.1, Q6) A coin is tossed three times. Find P(E|F): (i) E: head on third toss, F: heads on first two tosses (ii) E: at least two heads, F: at most two heads (iii) E: at most two tails, F: at least one tail.(प्रश्नावली 13.1, प्र. 6) एक सिक्के को तीन बार उछाला गया। P(E|F) ज्ञात कीजिए: (i) E: तीसरी उछाल पर चित, F: पहली दोनों उछालों पर चित (ii) E: कम से कम दो चित, F: अधिकतम दो चित (iii) E: अधिकतम दो पट, F: कम से कम एक पट।(Exercise 13.1, Q6) Ek coin teen baar uchhala gaya. P(E|F) nikaliye: (i) E: teesri baar head, F: pehli do baar head (ii) E: kam se kam do heads, F: zyada se zyada do heads (iii) E: zyada se zyada do tails, F: kam se kam ek tail.
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(i) \dfrac{1}{2} (ii) \dfrac{3}{7} (iii) \dfrac{6}{7}(i) \dfrac{1}{2} (ii) \dfrac{3}{7} (iii) \dfrac{6}{7}(i) \dfrac{1}{2} (ii) \dfrac{3}{7} (iii) \dfrac{6}{7}
(Exercise 13.1, Q10) A black and a red die are rolled. (a) Find the conditional probability of obtaining a sum greater than 9, given that the black die resulted in a 5. (b) Find the conditional probability of obtaining the sum 8, given that the red die resulted in a number less than 4.(प्रश्नावली 13.1, प्र. 10) एक काला और एक लाल पासा उछाले गए। (a) काले पासे पर 5 आने पर, योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (b) लाल पासे पर 4 से कम संख्या आने पर, योग 8 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.1, Q10) Ek kaala aur ek laal die phenke gaye. (a) Kaale die par 5 aaya ho to sum 9 se zyada hone ki conditional probability nikaliye. (b) Laal die par 4 se kam number aaya ho to sum 8 hone ki conditional probability nikaliye.
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(a) \dfrac{1}{3} (b) \dfrac{1}{9}(a) \dfrac{1}{3} (b) \dfrac{1}{9}(a) \dfrac{1}{3} (b) \dfrac{1}{9}
(Exercise 13.1, Q12) Each child is equally likely to be a boy or a girl. A family has two children. Find the conditional probability that both are girls given that (i) the youngest is a girl (ii) at least one is a girl.(प्रश्नावली 13.1, प्र. 12) मान लीजिए कि हर बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। किसी परिवार में दो बच्चे हैं। दोनों के लड़की होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यदि (i) छोटा बच्चा लड़की है (ii) कम से कम एक बच्चा लड़की है।(Exercise 13.1, Q12) Har bachche ka ladka ya ladki hona equally likely hai. Ek family mein do bachche hain. Dono ke ladki hone ki conditional probability nikaliye, agar (i) chhota bachcha ladki hai (ii) kam se kam ek ladki hai.
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(i) \dfrac{1}{2} (ii) \dfrac{1}{3}(i) \dfrac{1}{2} (ii) \dfrac{1}{3}(i) \dfrac{1}{2} (ii) \dfrac{1}{3}
(Exercise 13.1, Q14) Given that the two numbers appearing on throwing two dice are different, find the probability of the event 'the sum of numbers on the dice is 4'.(प्रश्नावली 13.1, प्र. 14) दो पासे फेंकने पर प्रकट संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। 'पासों पर प्रकट संख्याओं का योग 4 है' घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.1, Q14) Do dice phenkne par aaye numbers alag-alag hain. 'Numbers ka sum 4 hai' event ki probability nikaliye.
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\dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15} (only (1, 3), (3, 1) out of 30 outcomes with different numbers)\dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15} (भिन्न संख्याओं वाले 30 परिणामों में केवल (1, 3), (3, 1))\dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15} (alag numbers wale 30 outcomes mein sirf (1, 3), (3, 1))
(Exercise 13.1, Q15) A die is thrown; if a multiple of 3 comes up, the die is thrown again, otherwise a coin is tossed. Find the conditional probability of 'the coin shows a tail', given that 'at least one die shows a 3'.(प्रश्नावली 13.1, प्र. 15) एक पासा फेंका जाता है; यदि 3 का गुणज आए तो पासा दोबारा फेंका जाता है, अन्यथा एक सिक्का उछाला जाता है। 'कम से कम एक पासे पर 3 प्रकट होना' दिया होने पर 'सिक्के पर पट प्रकट होने' की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.1, Q15) Ek die phenka jaata hai; 3 ka multiple aaye to die dobara phenkte hain, warna coin uchhalte hain. 'Kam se kam ek die par 3' diya ho to 'coin par tail' ki conditional probability nikaliye.
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0 — if a die showed 3, the second action was a die throw, so no coin was tossed at all.0 — यदि किसी पासे पर 3 आया, तो दूसरी बार पासा ही फेंका गया, सिक्का उछाला ही नहीं गया।0 — agar kisi die par 3 aaya, to doosri baar die hi phenka gaya, coin uchhala hi nahi gaya.
(Exercise 13.1, Q17) If A and B are events such that P(A|B) = P(B|A), then (A) A \subset B but A \ne B (B) A = B (C) A \cap B = \varphi (D) P(A) = P(B)(प्रश्नावली 13.1, प्र. 17) यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A|B) = P(B|A), तो (A) A \subset B परंतु A \ne B (B) A = B (C) A \cap B = \varphi (D) P(A) = P(B)(Exercise 13.1, Q17) Agar A aur B aise events hain ki P(A|B) = P(B|A), to (A) A \subset B par A \ne B (B) A = B (C) A \cap B = \varphi (D) P(A) = P(B)
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(D) — \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} gives P(A) = P(B).(D) — \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} से P(A) = P(B)।(D) — \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} se P(A) = P(B).
13.3Multiplication Theorem on Probabilityप्रायिकता का गुणन नियमProbability ka multiplication rule
The event E \cap F means both E and F occur; it is also written EF. From the definition, P(E|F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} gives P(E \cap F) = P(F) \cdot P(E|F) … (1). Also P(F|E) = \dfrac{P(F \cap E)}{P(E)} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(E)} (since E \cap F = F \cap E), so P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E) … (2).घटना E \cap F का अर्थ है E और F दोनों घटित हों; इसे EF भी लिखते हैं। परिभाषा P(E|F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} से P(E \cap F) = P(F) \cdot P(E|F) … (1)। साथ ही P(F|E) = \dfrac{P(F \cap E)}{P(E)} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(E)} (क्योंकि E \cap F = F \cap E), अतः P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E) … (2)।Event E \cap F ka matlab hai E aur F dono hon; ise EF bhi likhte hain. Definition P(E|F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} se P(E \cap F) = P(F) \cdot P(E|F) … (1). Saath hi P(F|E) = \dfrac{P(F \cap E)}{P(E)} = \dfrac{P(E \cap F)}{P(E)} (kyunki E \cap F = F \cap E), isliye P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E) … (2).From the definition: P(E∩F) = P(F)·P(E|F) = P(E)·P(F|E).
Multiplication rule on a tree (Example 8)वृक्ष पर गुणन नियम (उदाहरण 8)Tree par multiplication rule (Example 8)NCERT Example 8 · 11 tappable partsOpenSolution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- We need P(E ∩ F).हमें P(E ∩ F) चाहिए।Hamein P(E ∩ F) chahiye.E: \text{1st ball black},\quad F: \text{2nd ball black}
- 10 black out of 15 balls.15 गेंदों में 10 काली।15 balls mein 10 kaali.P(E) = \dfrac{10}{15}
- After one black ball is taken out (no replacement): 9 black, 5 white, 14 in all.एक काली गेंद निकलने के बाद (बिना प्रतिस्थापन): 9 काली, 5 सफ़ेद, कुल 14।Ek kaali ball nikalne ke baad (bina replacement): 9 kaali, 5 safed, kul 14.P(F|E) = \dfrac{9}{14}
- Multiplication rule.गुणन नियम।Multiplication rule.P(E \cap F) = P(E)\, P(F|E) = \dfrac{10}{15} \times \dfrac{9}{14} = \dfrac{3}{7}
✔ P(\text{both black}) = \dfrac{3}{7}P(\text{दोनों काली}) = \dfrac{3}{7}P(\text{dono kaali}) = \dfrac{3}{7}
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- 4 kings in 52 cards. K = king, A = ace; we need P(KKA).52 पत्तों में 4 बादशाह। K = बादशाह, A = इक्का; हमें P(KKA) चाहिए।52 cards mein 4 kings. K = king, A = ace; hamein P(KKA) chahiye.P(K) = \dfrac{4}{52}
- One king gone: 3 kings left in 51 cards.एक बादशाह निकल गया: 51 पत्तों में 3 बादशाह बचे।Ek king nikal gaya: 51 cards mein 3 kings bache.P(K|K) = \dfrac{3}{51}
- Two kings gone: all 4 aces are still in the 50 cards left.दो बादशाह निकल गए: बचे 50 पत्तों में चारों इक्के अभी हैं।Do kings nikal gaye: bache 50 cards mein chaaron aces abhi hain.P(A|KK) = \dfrac{4}{50}
- Multiplication rule for three events.तीन घटनाओं का गुणन नियम।Teen events ka multiplication rule.P(KKA) = \dfrac{4}{52} \times \dfrac{3}{51} \times \dfrac{4}{50} = \dfrac{2}{5525}
✔ P(KKA) = \dfrac{2}{5525}P(KKA) = \dfrac{2}{5525}P(KKA) = \dfrac{2}{5525}
(Exercise 13.2, Q2) Two cards are drawn at random and without replacement from a pack of 52 playing cards. Find the probability that both the cards are black.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 2) 52 पत्तों की गड्डी में से दो पत्ते यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.2, Q2) 52 cards ki gaddi se do cards randomly bina wapas rakhe nikaale gaye. Dono cards ke kaale hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{26}{52} \times \dfrac{25}{51} = \dfrac{25}{102}\dfrac{26}{52} \times \dfrac{25}{51} = \dfrac{25}{102}\dfrac{26}{52} \times \dfrac{25}{51} = \dfrac{25}{102}
(Exercise 13.2, Q3) A box of 15 oranges has 12 good and 3 bad ones. Three oranges are drawn without replacement; the box is approved for sale only if all three are good. Find the probability that the box is approved.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 3) 15 संतरों के एक डिब्बे में 12 अच्छे और 3 खराब हैं। तीन संतरे बिना प्रतिस्थापित किए निकाले जाते हैं; डिब्बा तभी बिक्री के लिए स्वीकृत होता है जब तीनों अच्छे हों। डिब्बे के स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.2, Q3) 15 santron ke ek box mein 12 achchhe aur 3 kharaab hain. Teen santre bina wapas rakhe nikaale jaate hain; box tabhi approve hota hai jab teeno achchhe hon. Box ke approve hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{12}{15} \times \dfrac{11}{14} \times \dfrac{10}{13} = \dfrac{44}{91}\dfrac{12}{15} \times \dfrac{11}{14} \times \dfrac{10}{13} = \dfrac{44}{91}\dfrac{12}{15} \times \dfrac{11}{14} \times \dfrac{10}{13} = \dfrac{44}{91}
13.4Independent Eventsस्वतंत्र घटनाएँIndependent Events
NCERT's card example: draw one card from 52. E = "spade", F = "ace". P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, and E \cap F = "ace of spades", so P(E \cap F) = \frac{1}{52}. Then P(E|F) = \dfrac{1/52}{1/13} = \dfrac{1}{4} = P(E) and P(F|E) = \dfrac{1/52}{1/4} = \dfrac{1}{13} = P(F). Knowing the card is an ace did not change the chance of a spade, and the other way round. Such events are called independent events.NCERT का पत्तों वाला उदाहरण: 52 में से एक पत्ता निकालिए। E = "हुकुम (चिड़ी) का पत्ता", F = "इक्का"। P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, और E \cap F = "हुकुम का इक्का", अतः P(E \cap F) = \frac{1}{52}। तब P(E|F) = \dfrac{1/52}{1/13} = \dfrac{1}{4} = P(E) और P(F|E) = \dfrac{1/52}{1/4} = \dfrac{1}{13} = P(F)। इक्का होने की जानकारी ने हुकुम की संभावना नहीं बदली, और उलटे भी। ऐसी घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ कहते हैं।NCERT ka card wala example: 52 mein se ek card nikaaliye. E = "spade", F = "ace". P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, aur E \cap F = "ace of spades", isliye P(E \cap F) = \frac{1}{52}. Tab P(E|F) = \dfrac{1/52}{1/13} = \dfrac{1}{4} = P(E) aur P(F|E) = \dfrac{1/52}{1/4} = \dfrac{1}{13} = P(F). Ace hone ki jaankari ne spade ka chance nahi badla, aur ulta bhi. Aise events ko independent events kehte hain.Spade and ace: P(spade | ace) = 1/4 = P(spade). Knowing one did not change the other.
Definition 3 comes from the multiplication rule P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E) by putting P(F|E) = P(F). NCERT's remarks: (i) E and F are dependent if they are not independent, i.e. P(E \cap F) \ne P(E) \cdot P(F). (ii) "Independent" is defined using probabilities; "mutually exclusive" is defined using the events themselves (no common outcome). Independent events may have common outcomes. Two independent events with nonzero probabilities cannot be mutually exclusive, and two mutually exclusive events with nonzero probabilities cannot be independent. (iii) Two experiments are independent if P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) for every event E of the first and F of the second. (iv) Three events A, B, C are mutually independent if all four hold: P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C), P(B \cap C) = P(B)P(C) and P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C). If even one fails, they are not independent.परिभाषा 3, गुणन नियम P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E) में P(F|E) = P(F) रखने से मिलती है। NCERT की टिप्पणियाँ: (i) E और F पराश्रित हैं यदि वे स्वतंत्र नहीं हैं, अर्थात् P(E \cap F) \ne P(E) \cdot P(F)। (ii) "स्वतंत्र" की परिभाषा प्रायिकताओं से है; "परस्पर अपवर्जी" की परिभाषा घटनाओं से (कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं)। स्वतंत्र घटनाओं में उभयनिष्ठ परिणाम हो सकते हैं। शून्येतर प्रायिकता वाली दो स्वतंत्र घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकतीं, और शून्येतर प्रायिकता वाली दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हो सकतीं। (iii) दो परीक्षण स्वतंत्र हैं यदि पहले की हर घटना E और दूसरे की हर घटना F के लिए P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)। (iv) तीन घटनाएँ A, B, C परस्पर स्वतंत्र हैं यदि चारों सत्य हों: P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C), P(B \cap C) = P(B)P(C) तथा P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)। यदि एक भी असत्य हो, तो वे स्वतंत्र नहीं हैं।Definition 3, multiplication rule P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E) mein P(F|E) = P(F) rakhne se milti hai. NCERT ke remarks: (i) E aur F dependent hain agar wo independent nahi hain, yaani P(E \cap F) \ne P(E) \cdot P(F). (ii) "Independent" ki definition probabilities se hai; "mutually exclusive" ki definition events se (koi common outcome nahi). Independent events mein common outcomes ho sakte hain. Nonzero probability wale do independent events mutually exclusive nahi ho sakte, aur nonzero probability wale do mutually exclusive events independent nahi ho sakte. (iii) Do experiments independent hain agar pehle ke har event E aur doosre ke har event F ke liye P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F). (iv) Teen events A, B, C mutually independent hain agar chaaron sach hon: P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C), P(B \cap C) = P(B)P(C) aur P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C). Agar ek bhi galat ho, to wo independent nahi hain.Dependent = not independent. Independent ≠ mutually exclusive. Three events need all four product rules.
Mutually exclusive vs independentपरस्पर अपवर्जी बनाम स्वतंत्रMutually exclusive vs independentNCERT Remark (ii), Example 10 · 9 tappable partsOpenSolution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- List the sets.समुच्चय लिखिए।Sets likhiye.S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\},\ E = \{3, 6\},\ F = \{2, 4, 6\},\ E \cap F = \{6\}
- Count out of 6.6 में से गिनिए।6 mein se giniye.P(E) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3},\ P(F) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\ P(E \cap F) = \dfrac{1}{6}
- The product test of Definition 3 holds.परिभाषा 3 का गुणनफल परीक्षण सत्य है।Definition 3 ka product test sach hai.P(E) \cdot P(F) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} = P(E \cap F)
✔ E and F are independent events.E और F स्वतंत्र घटनाएँ हैं।E aur F independent events hain.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- 36 equally likely outcomes; 3 × 6 = 18 have an odd first number (same for second).36 समसंभाव्य परिणाम; 3 × 6 = 18 में पहली संख्या विषम (दूसरी के लिए भी यही)।36 equally likely outcomes; 3 × 6 = 18 mein pehla number odd (doosre ke liye bhi yahi).P(A) = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2},\quad P(B) = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}
- Both odd: 3 × 3 = 9 outcomes.दोनों विषम: 3 × 3 = 9 परिणाम।Dono odd: 3 × 3 = 9 outcomes.P(A \cap B) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}
- Product test holds.गुणनफल परीक्षण सत्य।Product test sach.P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} = P(A \cap B)
✔ A and B are independent events.A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।A aur B independent events hain.
Solution — step by step (6)हल — चरण दर चरण (6)Hal — step by step (6)
- From the 8 outcomes of S.S के 8 परिणामों से।S ke 8 outcomes se.\begin{gathered} E = \{HHH, TTT\},\quad F = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \\ G = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} \end{gathered}
- 2, 4 and 7 outcomes out of 8.8 में से 2, 4 और 7 परिणाम।8 mein se 2, 4 aur 7 outcomes.P(E) = \tfrac{1}{4},\ P(F) = \tfrac{1}{2},\ P(G) = \tfrac{7}{8}
- Intersections.सर्वनिष्ठ।Intersections.\begin{gathered} E \cap F = \{HHH\},\quad E \cap G = \{TTT\} \\ F \cap G = \{HHT, HTH, THH\} \end{gathered}
- So E and F are independent.अतः E और F स्वतंत्र हैं।To E aur F independent hain.P(E \cap F) = \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{4} \times \tfrac{1}{2} = P(E)\,P(F)
- So E and G are dependent.अतः E और G पराश्रित हैं।To E aur G dependent hain.P(E \cap G) = \tfrac{1}{8} \ne \tfrac{7}{32} = P(E)\,P(G)
- So F and G are dependent.अतः F और G पराश्रित हैं।To F aur G dependent hain.P(F \cap G) = \tfrac{3}{8} \ne \tfrac{7}{16} = P(F)\,P(G)
✔ E and F are independent; E and G, and F and G, are dependent.E और F स्वतंत्र हैं; E और G, तथा F और G पराश्रित हैं।E aur F independent hain; E aur G, aur F aur G dependent hain.
E and F cut S into four piecesE और F, S को चार टुकड़ों में बाँटती हैंE aur F, S ko chaar tukdon mein baant-te hainNCERT Fig 13.3 · 5 tappable partsOpenSolution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- Given: E and F are independent.दिया है: E और F स्वतंत्र हैं।Diya hai: E aur F independent hain.P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \quad \ldots (1)
- From the Venn diagram (Fig 13.3): E is split into the part inside F and the part outside F; these two parts are mutually exclusive.वेन आरेख (आकृति 13.3) से: E, F के अंदर वाले भाग और F के बाहर वाले भाग में बँटती है; ये दोनों भाग परस्पर अपवर्जी हैं।Venn diagram (Fig 13.3) se: E, F ke andar wale hisse aur F ke bahar wale hisse mein bantta hai; ye dono hisse mutually exclusive hain.E = (E \cap F) \cup (E \cap F')
- Add probabilities of exclusive parts.अपवर्जी भागों की प्रायिकताएँ जोड़िए।Exclusive hisson ki probabilities jodiye.P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap F') \Rightarrow P(E \cap F') = P(E) - P(E \cap F)
- Use (1), then 1 - P(F) = P(F').(1) लगाइए, फिर 1 - P(F) = P(F')।(1) lagaiye, phir 1 - P(F) = P(F').= P(E) - P(E)\,P(F) = P(E)\,(1 - P(F)) = P(E) \cdot P(F')
✔ Hence E and F′ are independent. In the same way, E′ and F are independent, and E′ and F′ are independent.अतः E और F′ स्वतंत्र हैं। इसी प्रकार E′ और F स्वतंत्र हैं, तथा E′ और F′ स्वतंत्र हैं।Isliye E aur F′ independent hain. Isi tarah E′ aur F independent hain, aur E′ aur F′ bhi independent hain.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- At least one of A, B = A ∪ B; addition rule.A, B में से कम से कम एक = A ∪ B; योग नियम।A, B mein se kam se kam ek = A ∪ B; addition rule.P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
- Independent, so P(A \cap B) = P(A)P(B).स्वतंत्र हैं, इसलिए P(A \cap B) = P(A)P(B)।Independent hain, isliye P(A \cap B) = P(A)P(B).= P(A) + P(B) - P(A)\,P(B) = P(A) + P(B)\,[1 - P(A)]
- P(A) = 1 - P(A') and 1 - P(A) = P(A'); then take P(A') common.P(A) = 1 - P(A') और 1 - P(A) = P(A'); फिर P(A') उभयनिष्ठ लीजिए।P(A) = 1 - P(A') aur 1 - P(A) = P(A'); phir P(A') common lijiye.= 1 - P(A') + P(B)\,P(A') = 1 - P(A')\,[1 - P(B)]
- 1 - P(B) = P(B').1 - P(B) = P(B')।1 - P(B) = P(B').= 1 - P(A')\,P(B')
✔ P(\text{at least one of A and B}) = 1 - P(A')\,P(B')P(\text{A और B में से कम से कम एक}) = 1 - P(A')\,P(B')P(\text{A aur B mein se kam se kam ek}) = 1 - P(A')\,P(B')
(Exercise 13.2, Q1) If P(A) = \dfrac{3}{5} and P(B) = \dfrac{1}{5}, find P(A \cap B) if A and B are independent events.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 1) यदि P(A) = \dfrac{3}{5} तथा P(B) = \dfrac{1}{5} और A, B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(A \cap B) ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.2, Q1) Agar P(A) = \dfrac{3}{5} aur P(B) = \dfrac{1}{5} aur A, B independent hain, to P(A \cap B) nikaliye.
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\dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{25}\dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{25}\dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{25}
(Exercise 13.2, Q5) A die marked 1, 2, 3 in red and 4, 5, 6 in green is tossed. A: 'the number is even', B: 'the number is red'. Are A and B independent?(प्रश्नावली 13.2, प्र. 5) एक पासे पर 1, 2, 3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे हैं। पासा उछाला गया। A: 'संख्या सम है', B: 'संख्या लाल है'। क्या A और B स्वतंत्र हैं?(Exercise 13.2, Q5) Ek die par 1, 2, 3 laal aur 4, 5, 6 hare rang se likhe hain. A: 'number even hai', B: 'number laal hai'. Kya A aur B independent hain?
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A and B are not independent: P(A \cap B) = P(\{2\}) = \dfrac{1}{6} \ne \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}A और B स्वतंत्र नहीं हैं: P(A \cap B) = P(\{2\}) = \dfrac{1}{6} \ne \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}A aur B independent nahi hain: P(A \cap B) = P(\{2\}) = \dfrac{1}{6} \ne \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}
(Exercise 13.2, Q7) P(A) = \dfrac{1}{2}, P(A \cup B) = \dfrac{3}{5} and P(B) = p. Find p if A and B are (i) mutually exclusive (ii) independent.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 7) P(A) = \dfrac{1}{2}, P(A \cup B) = \dfrac{3}{5} तथा P(B) = p। p ज्ञात कीजिए यदि A और B (i) परस्पर अपवर्जी हैं (ii) स्वतंत्र हैं।(Exercise 13.2, Q7) P(A) = \dfrac{1}{2}, P(A \cup B) = \dfrac{3}{5} aur P(B) = p. p nikaliye agar A aur B (i) mutually exclusive hain (ii) independent hain.
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(i) \frac{1}{2} + p = \frac{3}{5} \Rightarrow p = \dfrac{1}{10} (ii) \frac{1}{2} + p - \frac{p}{2} = \frac{3}{5} \Rightarrow p = \dfrac{1}{5}(i) \frac{1}{2} + p = \frac{3}{5} \Rightarrow p = \dfrac{1}{10} (ii) \frac{1}{2} + p - \frac{p}{2} = \frac{3}{5} \Rightarrow p = \dfrac{1}{5}(i) \frac{1}{2} + p = \frac{3}{5} \Rightarrow p = \dfrac{1}{10} (ii) \frac{1}{2} + p - \frac{p}{2} = \frac{3}{5} \Rightarrow p = \dfrac{1}{5}
(Exercise 13.2, Q8) A and B are independent with P(A) = 0.3 and P(B) = 0.4. Find (i) P(A \cap B) (ii) P(A \cup B) (iii) P(A|B) (iv) P(B|A).(प्रश्नावली 13.2, प्र. 8) A और B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3 तथा P(B) = 0.4। ज्ञात कीजिए (i) P(A \cap B) (ii) P(A \cup B) (iii) P(A|B) (iv) P(B|A)।(Exercise 13.2, Q8) A aur B independent hain, P(A) = 0.3 aur P(B) = 0.4. Nikaliye (i) P(A \cap B) (ii) P(A \cup B) (iii) P(A|B) (iv) P(B|A).
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(i) 0.12 (ii) 0.58 (iii) 0.3 (iv) 0.4(i) 0.12 (ii) 0.58 (iii) 0.3 (iv) 0.4(i) 0.12 (ii) 0.58 (iii) 0.3 (iv) 0.4
(Exercise 13.2, Q11) A and B are independent with P(A) = 0.3, P(B) = 0.6. Find (i) P(A and B) (ii) P(A and not B) (iii) P(A or B) (iv) P(neither A nor B).(प्रश्नावली 13.2, प्र. 11) A और B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3, P(B) = 0.6। ज्ञात कीजिए (i) P(A और B) (ii) P(A और B नहीं) (iii) P(A या B) (iv) P(न A न B)।(Exercise 13.2, Q11) A aur B independent hain, P(A) = 0.3, P(B) = 0.6. Nikaliye (i) P(A aur B) (ii) P(A aur B nahi) (iii) P(A ya B) (iv) P(na A na B).
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(i) 0.18 (ii) 0.12 (iii) 0.72 (iv) 0.28(i) 0.18 (ii) 0.12 (iii) 0.72 (iv) 0.28(i) 0.18 (ii) 0.12 (iii) 0.72 (iv) 0.28
(Exercise 13.2, Q12) A die is tossed thrice. Find the probability of getting an odd number at least once.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 12) एक पासे को तीन बार उछाला गया। कम से कम एक बार विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.2, Q12) Ek die teen baar uchhala gaya. Kam se kam ek baar odd number aane ki probability nikaliye.
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1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{7}{8}1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{7}{8}1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{7}{8}
(Exercise 13.2, Q13) Two balls are drawn at random with replacement from a box of 10 black and 8 red balls. Find the probability that (i) both are red (ii) first is black and second is red (iii) one is black and the other is red.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 13) 10 काली और 8 लाल गेंदों वाले डिब्बे से दो गेंदें प्रतिस्थापना सहित यादृच्छया निकाली गईं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों लाल हैं (ii) पहली काली और दूसरी लाल है (iii) एक काली और दूसरी लाल है।(Exercise 13.2, Q13) 10 kaali aur 8 laal balls wale box se do balls replacement ke saath randomly nikaali gayin. Probability nikaliye ki (i) dono laal (ii) pehli kaali aur doosri laal (iii) ek kaali aur doosri laal.
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(i) \dfrac{16}{81} (ii) \dfrac{20}{81} (iii) \dfrac{40}{81} (both orders: 2 \times \frac{20}{81})(i) \dfrac{16}{81} (ii) \dfrac{20}{81} (iii) \dfrac{40}{81} (दोनों क्रम: 2 \times \frac{20}{81})(i) \dfrac{16}{81} (ii) \dfrac{20}{81} (iii) \dfrac{40}{81} (dono order: 2 \times \frac{20}{81})
(Exercise 13.2, Q14) A and B independently solve a problem with probabilities \dfrac{1}{2} and \dfrac{1}{3}. Find the probability that (i) the problem is solved (ii) exactly one of them solves it.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 14) A और B स्वतंत्र रूप से किसी प्रश्न को \dfrac{1}{2} और \dfrac{1}{3} प्रायिकता से हल करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) प्रश्न हल हो जाता है (ii) उनमें से ठीक एक ही प्रश्न हल करता है।(Exercise 13.2, Q14) A aur B independently ek problem ko \dfrac{1}{2} aur \dfrac{1}{3} probability se solve karte hain. Probability nikaliye ki (i) problem solve ho jaati hai (ii) theek ek hi use solve karta hai.
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(i) \dfrac{2}{3} (ii) \dfrac{1}{2}(i) \dfrac{2}{3} (ii) \dfrac{1}{2}(i) \dfrac{2}{3} (ii) \dfrac{1}{2}
(Exercise 13.2, Q15) One card is drawn from a deck of 52. In which cases are E and F independent? (i) E: spade, F: ace (ii) E: black card, F: king (iii) E: king or queen, F: queen or jack.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 15) 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। किन स्थितियों में E और F स्वतंत्र हैं? (i) E: हुकुम, F: इक्का (ii) E: काला पत्ता, F: बादशाह (iii) E: बादशाह या बेगम, F: बेगम या गुलाम।(Exercise 13.2, Q15) 52 cards se ek card nikala gaya. Kin cases mein E aur F independent hain? (i) E: spade, F: ace (ii) E: kaala card, F: king (iii) E: king ya queen, F: queen ya jack.
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(i) and (ii). In (iii), P(E \cap F) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} but P(E)P(F) = \dfrac{2}{13} \cdot \dfrac{2}{13} = \dfrac{4}{169}.(i) और (ii)। (iii) में P(E \cap F) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} परंतु P(E)P(F) = \dfrac{2}{13} \cdot \dfrac{2}{13} = \dfrac{4}{169}।(i) aur (ii). (iii) mein P(E \cap F) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} par P(E)P(F) = \dfrac{2}{13} \cdot \dfrac{2}{13} = \dfrac{4}{169}.
(Exercise 13.2, Q16) In a hostel, 60% read a Hindi newspaper, 40% read an English newspaper and 20% read both. A student is selected at random. Find the probability that (a) she reads neither (b) she reads English given she reads Hindi (c) she reads Hindi given she reads English.(प्रश्नावली 13.2, प्र. 16) एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेज़ी का और 20% दोनों अख़बार पढ़ते हैं। एक छात्रा यादृच्छया चुनी गई। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (a) वह कोई अख़बार नहीं पढ़ती (b) यदि वह हिंदी पढ़ती है तो अंग्रेज़ी भी पढ़ती है (c) यदि वह अंग्रेज़ी पढ़ती है तो हिंदी भी पढ़ती है।(Exercise 13.2, Q16) Ek hostel mein 60% Hindi, 40% English aur 20% dono akhbaar padhte hain. Ek chhatra randomly chuni gayi. Probability nikaliye ki (a) wo koi akhbaar nahi padhti (b) agar wo Hindi padhti hai to English bhi padhti hai (c) agar wo English padhti hai to Hindi bhi padhti hai.
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(a) \dfrac{1}{5} (b) \dfrac{1}{3} (c) \dfrac{1}{2}(a) \dfrac{1}{5} (b) \dfrac{1}{3} (c) \dfrac{1}{2}(a) \dfrac{1}{5} (b) \dfrac{1}{3} (c) \dfrac{1}{2}
(Exercise 13.2, Q18) Two events A and B will be independent, if (A) A and B are mutually exclusive (B) P(A'B') = [1 - P(A)]\,[1 - P(B)] (C) P(A) = P(B) (D) P(A) + P(B) = 1(प्रश्नावली 13.2, प्र. 18) दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र होंगी, यदि (A) A और B परस्पर अपवर्जी हैं (B) P(A'B') = [1 - P(A)]\,[1 - P(B)] (C) P(A) = P(B) (D) P(A) + P(B) = 1(Exercise 13.2, Q18) Do events A aur B independent honge, agar (A) A aur B mutually exclusive hain (B) P(A'B') = [1 - P(A)]\,[1 - P(B)] (C) P(A) = P(B) (D) P(A) + P(B) = 1
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(B) — it says A′ and B′ are independent, and then A and B are independent too (Example 13 idea).(B) — इसका अर्थ A′ और B′ स्वतंत्र हैं, और तब A और B भी स्वतंत्र हैं (उदाहरण 13 का विचार)।(B) — iska matlab A′ aur B′ independent hain, aur tab A aur B bhi independent hain (Example 13 ka idea).
13.5Bayes' Theoremबेज़-प्रमेयBayes' Theorem
NCERT's opening picture: Bag I has 2 white and 3 red balls, Bag II has 4 white and 5 red balls. One ball is drawn at random from one of the bags. We can find P(\text{Bag I}) = \frac{1}{2} or P(\text{white}|\text{Bag I}) = \frac{2}{5} easily. But can we find the probability that the ball came from Bag II, if we are told its colour? Thomas Bayes solved this problem of reverse probability using conditional probability; his result was published after his death, in 1763. First we need two ideas: a partition, and the theorem of total probability.NCERT का आरंभिक उदाहरण: थैले I में 2 सफ़ेद और 3 लाल गेंदें हैं, थैले II में 4 सफ़ेद और 5 लाल। किसी एक थैले से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। P(\text{थैला I}) = \frac{1}{2} या P(\text{सफ़ेद}|\text{थैला I}) = \frac{2}{5} आसानी से मिलते हैं। परंतु क्या हम गेंद के रंग की सूचना मिलने पर उसके थैले II से आने की प्रायिकता निकाल सकते हैं? बेज़ ने प्रतिलोम प्रायिकता की यह समस्या सप्रतिबंध प्रायिकता से हल की; उनका परिणाम उनकी मृत्यु के बाद 1763 में प्रकाशित हुआ। पहले दो विचार चाहिए: विभाजन, और संपूर्ण प्रायिकता की प्रमेय।NCERT ka shuruaati example: Bag I mein 2 safed aur 3 laal balls hain, Bag II mein 4 safed aur 5 laal. Kisi ek bag se ek ball randomly nikaali jaati hai. P(\text{Bag I}) = \frac{1}{2} ya P(\text{white}|\text{Bag I}) = \frac{2}{5} aasaani se milte hain. Par kya hum ball ka rang pata hone par uske Bag II se aane ki probability nikaal sakte hain? Bayes ne reverse probability ki ye problem conditional probability se solve ki; unka result unki death ke baad 1763 mein publish hua. Pehle do ideas chahiye: partition, aur total probability ka theorem.Two bags: we can find P(white | Bag I); Bayes finds P(Bag II | white).
13.5.1Partition of a sample spaceएक प्रतिदर्श समष्टि का विभाजनSample space ka partition
Examples from NCERT: any nonempty event E and its complement E′ form a partition of S, since E \cap E' = \varphi and E \cup E' = S. For any two events E and F, the four pieces \{E \cap F', E \cap F, E' \cap F, E' \cap F'\} form a partition of S (Fig 13.3). A partition is not unique — the same S can be cut up in many ways.NCERT के उदाहरण: कोई भी अरिक्त घटना E और उसकी पूरक E′, S का विभाजन बनाती हैं, क्योंकि E \cap E' = \varphi तथा E \cup E' = S। किन्हीं दो घटनाओं E और F के लिए चार टुकड़े \{E \cap F', E \cap F, E' \cap F, E' \cap F'\}, S का विभाजन बनाते हैं (आकृति 13.3)। विभाजन अद्वितीय नहीं होता — एक ही S को कई तरह से बाँटा जा सकता है।NCERT ke examples: koi bhi nonempty event E aur uska complement E′, S ka partition banate hain, kyunki E \cap E' = \varphi aur E \cup E' = S. Kinhi do events E aur F ke liye chaar tukde \{E \cap F', E \cap F, E' \cap F, E' \cap F'\}, S ka partition banate hain (Fig 13.3). Partition unique nahi hota — ek hi S ko kai tarah baanta ja sakta hai.E and E′ form a partition; so do the four pieces E∩F′, E∩F, E′∩F, E′∩F′.
Partition of S and the theorem of total probabilityS का विभाजन और संपूर्ण प्रायिकता की प्रमेयS ka partition aur total probability ka theoremNCERT Fig 13.4 · 11 tappable partsOpen13.5.2Theorem of total probabilityसंपूर्ण प्रायिकता की प्रमेयTotal probability ka theorem
Proof (NCERT). Since E_1, \ldots, E_n is a partition, S = E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n and E_i \cap E_j = \varphi for i \ne j. For any event A, A = A \cap S = A \cap (E_1 \cup \ldots \cup E_n) = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup \ldots \cup (A \cap E_n). Here A \cap E_i \subseteq E_i and A \cap E_j \subseteq E_j, and E_i, E_j are disjoint for i \ne j, so the pieces A \cap E_i are also disjoint. Hence P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + \ldots + P(A \cap E_n). By the multiplication rule, P(A \cap E_i) = P(E_i)\,P(A|E_i) (as P(E_i) \ne 0), which gives the result.उपपत्ति (NCERT)। चूँकि E_1, \ldots, E_n एक विभाजन है, S = E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n तथा i \ne j के लिए E_i \cap E_j = \varphi। किसी भी घटना A के लिए A = A \cap S = A \cap (E_1 \cup \ldots \cup E_n) = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup \ldots \cup (A \cap E_n)। यहाँ A \cap E_i \subseteq E_i और A \cap E_j \subseteq E_j, तथा i \ne j के लिए E_i, E_j असंयुक्त हैं, इसलिए टुकड़े A \cap E_i भी असंयुक्त हैं। अतः P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + \ldots + P(A \cap E_n)। गुणन नियम से P(A \cap E_i) = P(E_i)\,P(A|E_i) (क्योंकि P(E_i) \ne 0), जिससे परिणाम मिलता है।Proof (NCERT). Kyunki E_1, \ldots, E_n ek partition hai, S = E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n aur i \ne j ke liye E_i \cap E_j = \varphi. Kisi bhi event A ke liye A = A \cap S = A \cap (E_1 \cup \ldots \cup E_n) = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup \ldots \cup (A \cap E_n). Yahan A \cap E_i \subseteq E_i aur A \cap E_j \subseteq E_j, aur i \ne j ke liye E_i, E_j disjoint hain, isliye tukde A \cap E_i bhi disjoint hain. Isliye P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + \ldots + P(A \cap E_n). Multiplication rule se P(A \cap E_i) = P(E_i)\,P(A|E_i) (kyunki P(E_i) \ne 0), jisse result milta hai.A is cut into disjoint pieces A∩Eᵢ; add them; each piece = P(Eᵢ)·P(A|Eᵢ).
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
- We need P(A).हमें P(A) चाहिए।Hamein P(A) chahiye.A: \text{completed on time},\quad B: \text{there is a strike}
- No strike is the complement.हड़ताल न होना पूरक घटना है।Strike na hona complement hai.P(B) = 0.65,\quad P(B') = 1 - 0.65 = 0.35
- Given in the question.प्रश्न में दिया है।Sawaal mein diya hai.P(A|B) = 0.32,\quad P(A|B') = 0.80
- B and B′ form a partition, so use total probability.B और B′ विभाजन बनाते हैं, इसलिए संपूर्ण प्रायिकता लगाइए।B aur B′ partition banate hain, isliye total probability lagaiye.P(A) = P(B)P(A|B) + P(B')P(A|B') = 0.65 \times 0.32 + 0.35 \times 0.8
- Add the two branches.दोनों शाखाएँ जोड़िए।Dono branches jodiye.= 0.208 + 0.28 = 0.488
✔ The probability that the job is completed on time is 0.488.कार्य के समय पर पूरा होने की प्रायिकता 0.488 है।Kaam ke time par poora hone ki probability 0.488 hai.
Proof (NCERT). By the formula of conditional probability, P(E_i|A) = \dfrac{P(A \cap E_i)}{P(A)} = \dfrac{P(E_i)\,P(A|E_i)}{P(A)} (multiplication rule) = \dfrac{P(E_i)\,P(A|E_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_j)\,P(A|E_j)} (theorem of total probability).उपपत्ति (NCERT)। सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से P(E_i|A) = \dfrac{P(A \cap E_i)}{P(A)} = \dfrac{P(E_i)\,P(A|E_i)}{P(A)} (गुणन नियम) = \dfrac{P(E_i)\,P(A|E_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_j)\,P(A|E_j)} (संपूर्ण प्रायिकता की प्रमेय)।Proof (NCERT). Conditional probability ke formula se P(E_i|A) = \dfrac{P(A \cap E_i)}{P(A)} = \dfrac{P(E_i)\,P(A|E_i)}{P(A)} (multiplication rule) = \dfrac{P(E_i)\,P(A|E_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_j)\,P(A|E_j)} (total probability ka theorem).Definition → multiplication rule on top → total probability on the bottom.
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
- Two hypotheses (the bags) and the observed result (red).दो परिकल्पनाएँ (थैले) और देखा गया परिणाम (लाल)।Do hypotheses (bags) aur dekha gaya result (laal).E_1: \text{Bag I chosen},\ E_2: \text{Bag II chosen},\ A: \text{red ball}
- A bag is chosen at random.थैला यादृच्छया चुना गया।Bag randomly chuna gaya.P(E_1) = P(E_2) = \dfrac{1}{2}
- Red balls / all balls in each bag.हर थैले में लाल गेंदें / कुल गेंदें।Har bag mein laal balls / kul balls.P(A|E_1) = \dfrac{3}{7},\quad P(A|E_2) = \dfrac{5}{11}
- Bayes' theorem: the Bag II branch over both branches.बेज़-प्रमेय: थैले II की शाखा ÷ दोनों शाखाएँ।Bayes' theorem: Bag II ki branch ÷ dono branches.P(E_2|A) = \dfrac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}
- The \frac{1}{2} cancels; \frac{3}{7} + \frac{5}{11} = \frac{33 + 35}{77} = \frac{68}{77}.\frac{1}{2} कट जाता है; \frac{3}{7} + \frac{5}{11} = \frac{33 + 35}{77} = \frac{68}{77}।\frac{1}{2} cut jaata hai; \frac{3}{7} + \frac{5}{11} = \frac{33 + 35}{77} = \frac{68}{77}.= \dfrac{5/11}{3/7 + 5/11} = \dfrac{5/11}{68/77} = \dfrac{35}{68}
✔ P(E_2|A) = \dfrac{35}{68}P(E_2|A) = \dfrac{35}{68}P(E_2|A) = \dfrac{35}{68}
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- E_1, E_2, E_3: box I, II, III chosen. A: the coin drawn is gold.E_1, E_2, E_3: डिब्बा I, II, III चुना गया। A: निकाला गया सिक्का सोने का है।E_1, E_2, E_3: box I, II, III chuna gaya. A: nikala gaya coin sone ka hai.P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \dfrac{1}{3}
- Gold coins out of 2 in each box.हर डिब्बे के 2 सिक्कों में सोने के सिक्के।Har box ke 2 coins mein sone ke coins.P(A|E_1) = \dfrac{2}{2} = 1,\quad P(A|E_2) = 0,\quad P(A|E_3) = \dfrac{1}{2}
- Only box I has a second gold coin, so we need P(E_1|A).केवल डिब्बे I में दूसरा सोने का सिक्का है, इसलिए हमें P(E_1|A) चाहिए।Sirf box I mein doosra sone ka coin hai, isliye hamein P(E_1|A) chahiye.\text{Other coin gold} \iff \text{box I was chosen}
- Bayes' theorem with three hypotheses.तीन परिकल्पनाओं के साथ बेज़-प्रमेय।Teen hypotheses ke saath Bayes' theorem.P(E_1|A) = \dfrac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}
✔ \dfrac{2}{3} (not \dfrac{1}{2} — a gold coin is twice as likely to come from box I)\dfrac{2}{3} (\dfrac{1}{2} नहीं — सोने का सिक्का डिब्बे I से आने की संभावना दुगुनी है)\dfrac{2}{3} (\dfrac{1}{2} nahi — sone ka coin box I se aane ka chance dugna hai)
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
- Let E = the person has HIV, E′ = does not have HIV, A = the test is positive. {E, E′} is a partition of all people. We need P(E|A).माना E = व्यक्ति को HIV है, E′ = HIV नहीं है, A = परीक्षण पॉज़िटिव है। {E, E′} सभी लोगों का विभाजन है। हमें P(E|A) चाहिए।Maana E = vyakti ko HIV hai, E′ = HIV nahi hai, A = test positive hai. {E, E′} saare logon ka partition hai. Hamein P(E|A) chahiye.P(E|A) = \,?
- Prior probabilities (0.1% of people have HIV).पूर्वकालीन प्रायिकताएँ (0.1% लोगों को HIV है)।Prior probabilities (0.1% logon ko HIV hai).P(E) = 0.001,\quad P(E') = 0.999
- Test detects 90% of HIV cases; 1% of healthy people also test positive.परीक्षण 90% HIV मामले पकड़ता है; 1% स्वस्थ लोग भी पॉज़िटिव आते हैं।Test 90% HIV cases pakadta hai; 1% healthy log bhi positive aate hain.P(A|E) = 0.9,\quad P(A|E') = 0.01
- Bayes' theorem.बेज़-प्रमेय।Bayes' theorem.P(E|A) = \dfrac{0.001 \times 0.9}{0.001 \times 0.9 + 0.999 \times 0.01} = \dfrac{0.0009}{0.01089}
- Multiply top and bottom by 100000.अंश और हर को 100000 से गुणा कीजिए।Upar aur neeche 100000 se multiply kijiye.= \dfrac{90}{1089} \approx 0.083
✔ P(E|A) = \dfrac{90}{1089} \approx 0.083 — only about 8%, because the disease is so rare that most positive reports come from the healthy 99.9%.P(E|A) = \dfrac{90}{1089} \approx 0.083 — केवल लगभग 8%, क्योंकि रोग इतना दुर्लभ है कि अधिकतर पॉज़िटिव रिपोर्ट 99.9% स्वस्थ लोगों से आती हैं।P(E|A) = \dfrac{90}{1089} \approx 0.083 — sirf lagbhag 8%, kyunki bimari itni rare hai ki zyaadatar positive reports 99.9% healthy logon se aati hain.
Example 18 with 1,00,000 imaginary peopleउदाहरण 18, 1,00,000 काल्पनिक लोगों के साथExample 18, 1,00,000 imaginary logon ke saathNCERT Example 18 · 8 tappable partsOpenSolution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
- B_1, B_2, B_3 are mutually exclusive and exhaustive — a partition.B_1, B_2, B_3 परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं — एक विभाजन।B_1, B_2, B_3 mutually exclusive aur exhaustive hain — ek partition.B_1, B_2, B_3: \text{made by A, B, C};\quad E: \text{defective}
- Share of each machine.हर मशीन का हिस्सा।Har machine ka hissa.P(B_1) = 0.25,\ P(B_2) = 0.35,\ P(B_3) = 0.40
- Defective rate of each machine.हर मशीन की त्रुटि दर।Har machine ka defective rate.P(E|B_1) = 0.05,\ P(E|B_2) = 0.04,\ P(E|B_3) = 0.02
- Bayes' theorem.बेज़-प्रमेय।Bayes' theorem.P(B_2|E) = \dfrac{0.35 \times 0.04}{0.25 \times 0.05 + 0.35 \times 0.04 + 0.40 \times 0.02}
- Multiply each pair; the bottom is P(E), the total probability of a defective bolt.हर जोड़ी का गुणा कीजिए; हर (नीचे) P(E) है, त्रुटिपूर्ण बोल्ट की संपूर्ण प्रायिकता।Har jodi ka multiply kijiye; neeche P(E) hai, defective bolt ki total probability.= \dfrac{0.0140}{0.0125 + 0.0140 + 0.0080} = \dfrac{0.0140}{0.0345} = \dfrac{28}{69}
✔ P(B_2|E) = \dfrac{28}{69}P(B_2|E) = \dfrac{28}{69}P(B_2|E) = \dfrac{28}{69}
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- T_1, T_2, T_3, T_4: train, bus, scooter, other. E: he is late. (They add to 1 — a partition.)T_1, T_2, T_3, T_4: ट्रेन, बस, स्कूटर, अन्य। E: वह देर से आता है। (योग 1 — एक विभाजन।)T_1, T_2, T_3, T_4: train, bus, scooter, other. E: wo late aata hai. (Sum 1 — ek partition.)P(T_1) = \tfrac{3}{10},\ P(T_2) = \tfrac{1}{5},\ P(T_3) = \tfrac{1}{10},\ P(T_4) = \tfrac{2}{5}
- He is never late by other means.अन्य वाहन से वह कभी देर से नहीं आता।Doosre vaahan se wo kabhi late nahi hota.P(E|T_1) = \tfrac{1}{4},\ P(E|T_2) = \tfrac{1}{3},\ P(E|T_3) = \tfrac{1}{12},\ P(E|T_4) = 0
- Total probability of being late.देर से आने की संपूर्ण प्रायिकता।Late hone ki total probability.P(E) = \tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{5} \cdot \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{10} \cdot \tfrac{1}{12} + \tfrac{2}{5} \cdot 0 = \tfrac{9 + 8 + 1}{120} = \tfrac{18}{120}
- Bayes: the train branch over the total.बेज़: ट्रेन की शाखा ÷ कुल।Bayes: train ki branch ÷ total.P(T_1|E) = \dfrac{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{18}{120}} = \dfrac{3}{40} \times \dfrac{120}{18} = \dfrac{1}{2}
✔ P(T_1|E) = \dfrac{1}{2}P(T_1|E) = \dfrac{1}{2}P(T_1|E) = \dfrac{1}{2}
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- Two hypotheses and the report.दो परिकल्पनाएँ और व्यक्ति की सूचना।Do hypotheses aur vyakti ki report.S_1: \text{six occurs},\ S_2: \text{six does not occur},\ E: \text{he reports a six}
- Fair die.सामान्य (अनभिनत) पासा।Fair die.P(S_1) = \dfrac{1}{6},\quad P(S_2) = \dfrac{5}{6}
- Six came → he says six if he tells the truth. No six → he says six only if he lies.छह आया → सत्य बोले तो छह बताएगा। छह नहीं आया → झूठ बोले तभी छह बताएगा।Six aaya → sach bole to six batayega. Six nahi aaya → jhooth bole tabhi six batayega.P(E|S_1) = \dfrac{3}{4},\quad P(E|S_2) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}
- Bayes: \frac{1}{8} on top, \frac{3}{24} + \frac{5}{24} = \frac{8}{24} below.बेज़: ऊपर \frac{1}{8}, नीचे \frac{3}{24} + \frac{5}{24} = \frac{8}{24}।Bayes: upar \frac{1}{8}, neeche \frac{3}{24} + \frac{5}{24} = \frac{8}{24}.P(S_1|E) = \dfrac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}} = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{24}{8} = \dfrac{3}{8}
✔ P(S_1|E) = \dfrac{3}{8}P(S_1|E) = \dfrac{3}{8}P(S_1|E) = \dfrac{3}{8}
(Exercise 13.3, Q1) An urn has 5 red and 5 black balls. A ball is drawn, its colour noted, and it is returned along with 2 more balls of the same colour. Then a ball is drawn. Find the probability that the second ball is red.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 1) एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद निकालकर उसका रंग नोट किया जाता है और उसे वापस रखकर उसी रंग की 2 गेंदें और डाली जाती हैं। फिर एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q1) Ek urn mein 5 laal aur 5 kaali balls hain. Ek ball nikaal kar rang note karte hain, use wapas daal kar usi rang ki 2 aur balls daalte hain. Phir ek ball nikaalte hain. Doosri ball ke laal hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{2}
(Exercise 13.3, Q2) Bag 1 has 4 red and 4 black balls, bag 2 has 2 red and 6 black balls. A bag is chosen at random and a ball drawn from it is red. Find the probability that it came from the first bag.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 2) एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं, दूसरे में 2 लाल और 6 काली। यादृच्छया एक थैला चुनकर निकाली गई गेंद लाल है। इसके पहले थैले से आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q2) Ek bag mein 4 laal aur 4 kaali balls hain, doosre mein 2 laal aur 6 kaali. Randomly ek bag chun kar nikaali gayi ball laal hai. Uske pehle bag se aane ki probability nikaliye.
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\dfrac{2}{3}\dfrac{2}{3}\dfrac{2}{3}
(Exercise 13.3, Q3) 60% of students live in the hostel, 40% are day scholars. 30% of hostellers and 20% of day scholars get an A grade. A student chosen at random has an A grade. Find the probability that the student is a hosteller.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 3) किसी कॉलेज के 60% विद्यार्थी छात्रावास में रहते हैं और 40% दिवा छात्र हैं। छात्रावास वालों में 30% और दिवा छात्रों में 20% A ग्रेड पाते हैं। यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी का A ग्रेड है। उसके छात्रावासी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q3) Ek college ke 60% students hostel mein rehte hain aur 40% day scholars hain. Hostel walon mein 30% aur day scholars mein 20% A grade laate hain. Randomly chune student ka A grade hai. Uske hosteller hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{0.18}{0.18 + 0.08} = \dfrac{9}{13}\dfrac{0.18}{0.18 + 0.08} = \dfrac{9}{13}\dfrac{0.18}{0.18 + 0.08} = \dfrac{9}{13}
(Exercise 13.3, Q4) A student knows the answer with probability \dfrac{3}{4} and guesses with probability \dfrac{1}{4}; a guess is correct with probability \dfrac{1}{4}. Given that he answered correctly, find the probability that he knew the answer.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 4) एक विद्यार्थी को उत्तर ज्ञात होने की प्रायिकता \dfrac{3}{4} है और अनुमान लगाने की \dfrac{1}{4}; अनुमान से उत्तर सही होने की प्रायिकता \dfrac{1}{4} है। यदि उसने सही उत्तर दिया, तो उसे उत्तर ज्ञात होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q4) Ek student ko answer pata hone ki probability \dfrac{3}{4} hai aur guess karne ki \dfrac{1}{4}; guess se answer sahi hone ki probability \dfrac{1}{4} hai. Agar usne sahi answer diya, to use answer pata hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{12}{13}\dfrac{12}{13}\dfrac{12}{13}
(Exercise 13.3, Q5) A blood test is 99% effective in detecting a disease when it is present, and gives a false positive for 0.5% of healthy persons. If 0.1% of the population has the disease, find the probability that a person has the disease given that the test is positive.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 5) एक रक्त परीक्षण रोग होने पर 99% मामलों में उसे पकड़ लेता है, और 0.5% स्वस्थ व्यक्तियों में भी (गलत) पॉज़िटिव परिणाम देता है। यदि जनसंख्या के 0.1% को रोग है, तो परीक्षण पॉज़िटिव आने पर व्यक्ति को रोग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q5) Ek blood test bimari hone par 99% cases mein use pakad leta hai, aur 0.5% healthy logon mein bhi (galat) positive deta hai. Agar population ke 0.1% ko bimari hai, to test positive aane par vyakti ko bimari hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{22}{133}\dfrac{22}{133}\dfrac{22}{133}
(Exercise 13.3, Q6) Three coins: one two-headed, one biased showing heads 75% of the time, one unbiased. A coin chosen at random shows heads. Find the probability that it was the two-headed coin.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 6) तीन सिक्के हैं: एक दोनों ओर चित वाला, एक अभिनत जो 75% बार चित दिखाता है, और एक अनभिनत। यादृच्छया चुना गया सिक्का उछालने पर चित दिखाता है। उसके दोनों ओर चित वाला सिक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q6) Teen coins hain: ek dono taraf head wala, ek biased jo 75% baar head dikhata hai, aur ek unbiased. Randomly chuna coin head dikhata hai. Uske dono taraf head wala coin hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{4}{9}\dfrac{4}{9}\dfrac{4}{9}
(Exercise 13.3, Q8) Machine A makes 60% and machine B 40% of the items; 2% of A's and 1% of B's items are defective. An item chosen at random is defective. Find the probability that it was produced by B.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 8) मशीन A 60% और मशीन B 40% वस्तुएँ बनाती है; A की 2% और B की 1% वस्तुएँ त्रुटिपूर्ण हैं। यादृच्छया चुनी वस्तु त्रुटिपूर्ण है। उसके B द्वारा बनाए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q8) Machine A 60% aur machine B 40% items banati hai; A ke 2% aur B ke 1% items defective hain. Randomly chuna item defective hai. Uske B se bane hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}
(Exercise 13.3, Q10) A girl throws a die. On 5 or 6 she tosses a coin three times and notes the number of heads; on 1, 2, 3 or 4 she tosses a coin once. If she obtained exactly one head, find the probability that she threw 1, 2, 3 or 4.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 10) एक लड़की पासा फेंकती है। 5 या 6 आने पर वह सिक्का तीन बार उछालकर चितों की संख्या नोट करती है; 1, 2, 3 या 4 आने पर सिक्का एक बार उछालती है। यदि उसे ठीक एक चित मिला, तो उसके 1, 2, 3 या 4 फेंकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q10) Ek ladki die phenkti hai. 5 ya 6 aaye to coin teen baar uchhaal kar heads ginti hai; 1, 2, 3 ya 4 aaye to coin ek baar uchhaalti hai. Agar use theek ek head mila, to uske 1, 2, 3 ya 4 phenkne ki probability nikaliye.
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\dfrac{\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{8}} = \dfrac{8}{11}\dfrac{\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{8}} = \dfrac{8}{11}\dfrac{\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{8}} = \dfrac{8}{11}
(Exercise 13.3, Q12) A card from a pack of 52 is lost. From the remaining cards, two cards are drawn and both are diamonds. Find the probability that the lost card is a diamond.(प्रश्नावली 13.3, प्र. 12) 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता खो गया। बचे पत्तों में से दो पत्ते निकाले गए और दोनों ईंट के हैं। खोए पत्ते के ईंट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Exercise 13.3, Q12) 52 cards ki gaddi se ek card kho gaya. Bache cards mein se do cards nikaale gaye aur dono diamond (eent) hain. Khoye card ke diamond hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{11}{50}\dfrac{11}{50}\dfrac{11}{50}
(Exercise 13.3, Q13) A speaks truth with probability \dfrac{4}{5}. A coin is tossed and A reports a head. The probability that there actually was a head is (A) \dfrac{4}{5} (B) \dfrac{1}{2} (C) \dfrac{1}{5} (D) \dfrac{2}{5}(प्रश्नावली 13.3, प्र. 13) A के सत्य बोलने की प्रायिकता \dfrac{4}{5} है। एक सिक्का उछाला गया और A ने चित बताया। वास्तव में चित आने की प्रायिकता है (A) \dfrac{4}{5} (B) \dfrac{1}{2} (C) \dfrac{1}{5} (D) \dfrac{2}{5}(Exercise 13.3, Q13) A ke sach bolne ki probability \dfrac{4}{5} hai. Ek coin uchhala gaya aur A ne head bataya. Sach mein head aane ki probability hai (A) \dfrac{4}{5} (B) \dfrac{1}{2} (C) \dfrac{1}{5} (D) \dfrac{2}{5}
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(A) \dfrac{4}{5}(A) \dfrac{4}{5}(A) \dfrac{4}{5}
(Exercise 13.3, Q14) If A and B are events with A \subset B and P(B) \ne 0, which is correct? (A) P(A|B) = \dfrac{P(B)}{P(A)} (B) P(A|B) < P(A) (C) P(A|B) \ge P(A) (D) None of these(प्रश्नावली 13.3, प्र. 14) यदि A और B घटनाएँ हैं, A \subset B तथा P(B) \ne 0, तो कौन-सा सही है? (A) P(A|B) = \dfrac{P(B)}{P(A)} (B) P(A|B) < P(A) (C) P(A|B) \ge P(A) (D) इनमें से कोई नहीं(Exercise 13.3, Q14) Agar A aur B events hain, A \subset B aur P(B) \ne 0, to kaun-sa sahi hai? (A) P(A|B) = \dfrac{P(B)}{P(A)} (B) P(A|B) < P(A) (C) P(A|B) \ge P(A) (D) inmein se koi nahi
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(C) — A \cap B = A, so P(A|B) = \dfrac{P(A)}{P(B)} \ge P(A) because P(B) \le 1.(C) — A \cap B = A, अतः P(A|B) = \dfrac{P(A)}{P(B)} \ge P(A) क्योंकि P(B) \le 1।(C) — A \cap B = A, isliye P(A|B) = \dfrac{P(A)}{P(B)} \ge P(A) kyunki P(B) \le 1.
Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- E_i: box i is selected; A: a black ball is drawn.E_i: डिब्बा i चुना गया; A: काली गेंद निकली।E_i: box i chuna gaya; A: kaali ball nikli.P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \dfrac{1}{4}
- Black balls / total balls in each box (18, 8, 7 and 13 balls).हर डिब्बे में काली गेंदें / कुल गेंदें (18, 8, 7 और 13 गेंदें)।Har box mein kaali balls / kul balls (18, 8, 7 aur 13 balls).P(A|E_1) = \dfrac{3}{18},\ P(A|E_2) = \dfrac{2}{8},\ P(A|E_3) = \dfrac{1}{7},\ P(A|E_4) = \dfrac{4}{13}
- Bayes' theorem with four boxes.चार डिब्बों के साथ बेज़-प्रमेय।Chaar boxes ke saath Bayes' theorem.P(E_3|A) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{4} \times \frac{3}{18} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{8} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{4} \times \frac{4}{13}}
- The \frac{1}{4} cancels. Exact value \frac{156}{947}; NCERT gives 0.165.\frac{1}{4} कट जाता है। सटीक मान \frac{156}{947}; NCERT 0.165 देती है।\frac{1}{4} cut jaata hai. Exact value \frac{156}{947}; NCERT 0.165 deti hai.= \dfrac{1/7}{\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{4}{13}} = \dfrac{156}{947} \approx 0.165
✔ P(E_3|A) \approx 0.165P(E_3|A) \approx 0.165P(E_3|A) \approx 0.165
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
- S: success (a 6), F: failure (not a 6).S: सफलता (6 आना), F: असफलता (6 न आना)।S: success (6 aana), F: failure (6 na aana).P(S) = \dfrac{1}{6},\quad P(F) = \dfrac{5}{6}
- A throws first.A पहले फेंकता है।A pehle phenkta hai.P(\text{A wins in 1st throw}) = \dfrac{1}{6}
- A gets the 3rd throw only if A and B both failed first (independent throws multiply).A को तीसरी बारी तभी मिलती है जब A और B दोनों पहले असफल हों (स्वतंत्र उछालें — गुणा)।A ko teesri baari tabhi milti hai jab A aur B dono pehle fail hon (independent throws — multiply).P(\text{A wins in 3rd throw}) = P(FFS) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \dfrac{1}{6},\quad P(FFFFS) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \dfrac{1}{6}
- Infinite G.P. with a = \frac{1}{6}, r = \frac{25}{36}: sum = \frac{a}{1 - r} (since |r| < 1).अनंत गुणोत्तर श्रेणी, a = \frac{1}{6}, r = \frac{25}{36}: योग = \frac{a}{1 - r} (क्योंकि |r| < 1)।Infinite G.P., a = \frac{1}{6}, r = \frac{25}{36}: sum = \frac{a}{1 - r} (kyunki |r| < 1).P(\text{A wins}) = \dfrac{1}{6} + \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \dfrac{1}{6} + \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \dfrac{1}{6} + \ldots = \dfrac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{25}{36}} = \dfrac{6}{11}
- One of them must win.उनमें से एक को जीतना ही है।Unmein se ek ko jeetna hi hai.P(\text{B wins}) = 1 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11}
✔ P(\text{A wins}) = \dfrac{6}{11}, P(\text{B wins}) = \dfrac{5}{11} — starting first is an advantage.P(\text{A जीते}) = \dfrac{6}{11}, P(\text{B जीते}) = \dfrac{5}{11} — पहले शुरू करना लाभदायक है।P(\text{A jeete}) = \dfrac{6}{11}, P(\text{B jeete}) = \dfrac{5}{11} — pehle shuru karna faaydemand hai.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- B_1: correct set-up, B_2: incorrect set-up; A: 2 acceptable items.B_1: सही स्थापन, B_2: गलत स्थापन; A: 2 स्वीकार्य वस्तुएँ।B_1: sahi set-up, B_2: galat set-up; A: 2 acceptable items.P(B_1) = 0.8,\quad P(B_2) = 0.2
- Two items, each acceptable independently: multiply.दो वस्तुएँ, हर एक स्वतंत्र रूप से स्वीकार्य: गुणा कीजिए।Do items, har ek independently acceptable: multiply kijiye.P(A|B_1) = 0.9 \times 0.9,\quad P(A|B_2) = 0.4 \times 0.4
- Bayes' theorem.बेज़-प्रमेय।Bayes' theorem.P(B_1|A) = \dfrac{0.8 \times 0.9 \times 0.9}{0.8 \times 0.9 \times 0.9 + 0.2 \times 0.4 \times 0.4} = \dfrac{0.648}{0.680}
- Simplify.सरल कीजिए।Simplify kijiye.= \dfrac{648}{680} = \dfrac{81}{85} \approx 0.95
✔ P(B_1|A) = \dfrac{648}{680} \approx 0.95P(B_1|A) = \dfrac{648}{680} \approx 0.95P(B_1|A) = \dfrac{648}{680} \approx 0.95
(Miscellaneous Exercise, Q1) A and B are events with P(A) \ne 0. Find P(B|A) if (i) A is a subset of B (ii) A \cap B = \varphi.(विविध प्रश्नावली, प्र. 1) A और B घटनाएँ हैं, P(A) \ne 0। P(B|A) ज्ञात कीजिए यदि (i) A, B का उपसमुच्चय है (ii) A \cap B = \varphi।(Miscellaneous Exercise, Q1) A aur B events hain, P(A) \ne 0. P(B|A) nikaliye agar (i) A, B ka subset hai (ii) A \cap B = \varphi.
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(i) 1 (ii) 0(i) 1 (ii) 0(i) 1 (ii) 0
(Miscellaneous Exercise, Q3) 5% of men and 0.25% of women have grey hair. A grey haired person is selected at random. What is the probability that this person is male? (Equal numbers of males and females.)(विविध प्रश्नावली, प्र. 3) 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफ़ेद हैं। सफ़ेद बालों वाला एक व्यक्ति यादृच्छया चुना गया। उसके पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? (पुरुषों और महिलाओं की संख्या बराबर है।)(Miscellaneous Exercise, Q3) 5% purushon aur 0.25% mahilaon ke baal safed hain. Safed baalon wala ek vyakti randomly chuna gaya. Uske purush hone ki probability kya hai? (Purush aur mahilaayein barabar sankhya mein.)
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\dfrac{20}{21}\dfrac{20}{21}\dfrac{20}{21}
(Miscellaneous Exercise, Q5) If a leap year is selected at random, what is the chance that it will contain 53 Tuesdays?(विविध प्रश्नावली, प्र. 5) यदि एक लीप वर्ष यादृच्छया चुना जाए, तो उसमें 53 मंगलवार होने की संभावना क्या है?(Miscellaneous Exercise, Q5) Agar ek leap year randomly chuna jaye, to usmein 53 Tuesday hone ka chance kya hai?
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\dfrac{2}{7} (366 days = 52 weeks + 2 days; 2 of the 7 possible day-pairs contain a Tuesday)\dfrac{2}{7} (366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन; 7 संभव दिन-युग्मों में से 2 में मंगलवार है)\dfrac{2}{7} (366 din = 52 hafte + 2 din; 7 possible day-pairs mein se 2 mein Tuesday hai)
(Miscellaneous Exercise, Q6) Boxes A, B, C, D have (red, white, black) marbles: A (1, 6, 3), B (6, 2, 2), C (8, 1, 1), D (0, 6, 4). A box is selected at random and a marble drawn is red. Find the probability that it came from box A, box B, box C.(विविध प्रश्नावली, प्र. 6) डिब्बों A, B, C, D में (लाल, सफ़ेद, काले) कंचे हैं: A (1, 6, 3), B (6, 2, 2), C (8, 1, 1), D (0, 6, 4)। यादृच्छया चुने डिब्बे से निकला कंचा लाल है। उसके डिब्बा A, B, C से आने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।(Miscellaneous Exercise, Q6) Boxes A, B, C, D mein (laal, safed, kaale) kanche hain: A (1, 6, 3), B (6, 2, 2), C (8, 1, 1), D (0, 6, 4). Randomly chune box se nikla kancha laal hai. Uske box A, B, C se aane ki probabilities nikaliye.
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\dfrac{1}{15}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{8}{15}\dfrac{1}{15}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{8}{15}\dfrac{1}{15}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{8}{15}
(Miscellaneous Exercise, Q7) The chance of a heart attack is 40%. A meditation and yoga course reduces the risk by 30%, a certain drug by 25%. A patient chooses one of the two options with equal probability, and the patient selected at random suffers a heart attack. Find the probability that the patient followed meditation and yoga.(विविध प्रश्नावली, प्र. 7) किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने की संभावना 40% है। ध्यान और योग का कोर्स जोखिम 30% घटाता है और एक दवा 25%। रोगी दोनों में से कोई एक विकल्प समान प्रायिकता से चुनता है, और यादृच्छया चुने रोगी को दिल का दौरा पड़ता है। उसके ध्यान और योग अपनाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Miscellaneous Exercise, Q7) Kisi patient ko heart attack ka chance 40% hai. Meditation aur yoga course risk 30% ghatata hai aur ek dawa 25%. Patient dono mein se koi ek option barabar probability se chunta hai, aur randomly chune patient ko heart attack aata hai. Uske meditation aur yoga apnane ki probability nikaliye.
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\dfrac{0.4 \times 0.7}{0.4 \times 0.7 + 0.4 \times 0.75} = \dfrac{14}{29}\dfrac{0.4 \times 0.7}{0.4 \times 0.7 + 0.4 \times 0.75} = \dfrac{14}{29}\dfrac{0.4 \times 0.7}{0.4 \times 0.7 + 0.4 \times 0.75} = \dfrac{14}{29}
(Miscellaneous Exercise, Q8) Each element of a second order determinant is either 0 or 1, chosen independently with probability 1/2 each. What is the probability that the value of the determinant is positive?(विविध प्रश्नावली, प्र. 8) द्वितीय कोटि के सारणिक का हर अवयव 0 या 1 है, हर एक स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 1/2 से चुना जाता है। सारणिक का मान धनात्मक होने की प्रायिकता क्या है?(Miscellaneous Exercise, Q8) Second order determinant ka har element 0 ya 1 hai, har ek independently probability 1/2 se chuna jaata hai. Determinant ki value positive hone ki probability kya hai?
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\dfrac{3}{16} (3 of the 16 matrices have ad - bc = 1)\dfrac{3}{16} (16 आव्यूहों में से 3 में ad - bc = 1)\dfrac{3}{16} (16 matrices mein se 3 mein ad - bc = 1)
(Miscellaneous Exercise, Q10) Bag I has 3 red and 4 black balls, Bag II has 4 red and 5 black balls. One ball is transferred from Bag I to Bag II, then a ball drawn from Bag II is red. Find the probability that the transferred ball was black.(विविध प्रश्नावली, प्र. 10) थैले I में 3 लाल और 4 काली, थैले II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। थैले I से एक गेंद थैले II में डाली गई, फिर थैले II से निकाली गई गेंद लाल है। डाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।(Miscellaneous Exercise, Q10) Bag I mein 3 laal aur 4 kaali, Bag II mein 4 laal aur 5 kaali balls hain. Bag I se ek ball Bag II mein daali gayi, phir Bag II se nikaali gayi ball laal hai. Daali gayi ball ke kaali hone ki probability nikaliye.
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\dfrac{\frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10}}{\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{10} + \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10}} = \dfrac{16}{31}\dfrac{\frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10}}{\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{10} + \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10}} = \dfrac{16}{31}\dfrac{\frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10}}{\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{10} + \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10}} = \dfrac{16}{31}
(Miscellaneous Exercise, Q12) If P(A|B) > P(A), then which is correct? (A) P(B|A) < P(B) (B) P(A \cap B) < P(A) \cdot P(B) (C) P(B|A) > P(B) (D) P(B|A) = P(B)(विविध प्रश्नावली, प्र. 12) यदि P(A|B) > P(A), तो कौन-सा सही है? (A) P(B|A) < P(B) (B) P(A \cap B) < P(A) \cdot P(B) (C) P(B|A) > P(B) (D) P(B|A) = P(B)(Miscellaneous Exercise, Q12) Agar P(A|B) > P(A), to kaun-sa sahi hai? (A) P(B|A) < P(B) (B) P(A \cap B) < P(A) \cdot P(B) (C) P(B|A) > P(B) (D) P(B|A) = P(B)
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(C) — P(A \cap B) > P(A)P(B), so dividing by P(A) gives P(B|A) > P(B).(C) — P(A \cap B) > P(A)P(B), अतः P(A) से भाग देने पर P(B|A) > P(B)।(C) — P(A \cap B) > P(A)P(B), isliye P(A) se divide karne par P(B|A) > P(B).
(Miscellaneous Exercise, Q13) If P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B) = P(A), then (A) P(B|A) = 1 (B) P(A|B) = 1 (C) P(B|A) = 0 (D) P(A|B) = 0(विविध प्रश्नावली, प्र. 13) यदि P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) = P(A), तो (A) P(B|A) = 1 (B) P(A|B) = 1 (C) P(B|A) = 0 (D) P(A|B) = 0(Miscellaneous Exercise, Q13) Agar P(A) + P(B) - P(A \text{ aur } B) = P(A), to (A) P(B|A) = 1 (B) P(A|B) = 1 (C) P(B|A) = 0 (D) P(A|B) = 0
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(B) — it gives P(B) = P(A \cap B), so P(A|B) = 1.(B) — इससे P(B) = P(A \cap B), अतः P(A|B) = 1।(B) — isse P(B) = P(A \cap B), isliye P(A|B) = 1.
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