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CLASS 12 MATHS · CHAPTER 12

Linear Programmingरैखिक प्रोग्रामनLinear Programming

Linear programming problems, their mathematical formulation, and the graphical (corner point) method: feasible region, corner points, bounded and unbounded regions — NCERT Chapter 12, in easy words.रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ, उनका गणितीय सूत्रीकरण और आलेखीय (कोनीय बिंदु) विधि: सुसंगत क्षेत्र, कोनीय बिंदु, परिबद्ध और अपरिबद्ध क्षेत्र — NCERT अध्याय 12, आसान भाषा में।Linear programming problems, unka mathematical formulation aur graphical (corner point) method: feasible region, corner points, bounded aur unbounded regions — NCERT Chapter 12, aasaan bhasha mein.

In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein

Notesनोट्सNotesEasy words, step by stepआसान शब्दों में, क्रम सेAasaan shabdon mein, step by stepSolved examplesहल किए गए उदाहरणSolved examples9 NCERT examples, every step9 NCERT उदाहरण, हर चरण9 NCERT examples, har stepPicturesचित्रPicturesTap a label, it tells its nameलेबल पर टैप कीजिए, नाम बताएगाLabel par tap kijiye, naam batayegaTry it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiyeMove, drag and seeखिसकाइए, खींचिए और देखिएKhiskaiye, kheenchiye aur dekhiyeQuizक्विज़Quiz10 quick questions10 छोटे प्रश्न10 chhote sawaal

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Graph of one linear inequality: x + y ≤ 60एक रैखिक असमिका का आलेख: x + y ≤ 60Ek linear inequality ka graph: x + y ≤ 60Class XI recapFurniture dealer: feasible region OABCफ़र्नीचर व्यापारी: सुसंगत क्षेत्र OABCFurniture dealer: feasible region OABCFig 12.1Why a corner? Iso-profit lines Z = 250x + 75yकोनीय बिंदु ही क्यों? समान-लाभ रेखाएँ Z = 250x + 75yCorner hi kyon? Iso-profit lines Z = 250x + 75yExtra (Fig 12.1)Example 1: maximise Z = 4x + yउदाहरण 1: Z = 4x + y का अधिकतमीकरणExample 1: Z = 4x + y maximise kijiyeFig 12.2Example 2: minimise Z = 200x + 500yउदाहरण 2: Z = 200x + 500y का न्यूनतमीकरणExample 2: Z = 200x + 500y minimise kijiyeFig 12.3Example 3: Z = 3x + 9y, multiple optimal solutionsउदाहरण 3: Z = 3x + 9y, अनेक इष्टतम हलExample 3: Z = 3x + 9y, multiple optimal solutionsFig 12.4Example 4: unbounded region — is −300 the minimum?उदाहरण 4: अपरिबद्ध क्षेत्र — क्या −300 न्यूनतम है?Example 4: unbounded region — kya −300 minimum hai?Fig 12.5Example 5: no feasible regionउदाहरण 5: कोई सुसंगत क्षेत्र नहींExample 5: koi feasible region nahiFig 12.6

Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye

Furniture dealer: best planफ़र्नीचर व्यापारी: सबसे अच्छी योजनाFurniture dealer: best planDrag tables/chairs, check money and space, find max profitमेज़/कुर्सियाँ खिसकाइए, धन और स्थान जाँचिए, अधिकतम लाभ खोजिएTables/chairs khiskaiye, paisa aur jagah jaanchiye, max profit khojiyeHalf-plane testerअर्धतल परीक्षकHalf-plane testerDrag a test point: which side of the line is the solution?परीक्षण बिंदु खिसकाइए: रेखा का कौन-सा भाग हल है?Test point khiskaiye: line ka kaun sa side solution hai?Objective line sliderउद्देश्य रेखा स्लाइडरObjective line sliderSlide Z = ax + by across the region; last touch = optimumZ = ax + by को क्षेत्र पर खिसकाइए; अंतिम स्पर्श = इष्टतमZ = ax + by ko region par khiskaiye; aakhri touch = optimumCorner point methodकोनीय बिंदु विधिCorner point methodShade constraints one by one, find corners, evaluate Zव्यवरोध एक-एक कर छायांकित कीजिए, कोनीय बिंदु और Z देखिएConstraints ek-ek karke shade kijiye, corners aur Z dekhiye
All sections (NCERT order)सभी खंड (NCERT क्रम)Saare sections (NCERT order)
  1. 12.1IntroductionपरिचयIntroduction
  2. 12.2Linear Programming Problem and its Mathematical Formulationरैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरणLinear programming problem aur uska mathematical formulation
  3. 12.2.1Mathematical formulation of the problemसमस्या का गणितीय सूत्रीकरणProblem ka mathematical formulation
  4. 12.2.2Graphical method of solving linear programming problemsरैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने की आलेखीय विधिLPP hal karne ka graphical method
  5. Practice: Exercise 12.1अभ्यास: प्रश्नावली 12.1Practice: Exercise 12.1
  6. Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet
  7. Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

12.1IntroductionपरिचयIntroduction

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeStart hereImagine a shopkeeper with limited money and limited space. He wants the most profit. He cannot buy "anything" — the money and the space put limits. Linear programming is simply a neat way to find the best choice inside the limits. All you need from Class XI: how to draw a line and shade one side of it (a linear inequality).यहाँ से शुरू कीजिएसोचिए, एक दुकानदार के पास सीमित धन और सीमित जगह है। वह सबसे अधिक लाभ चाहता है। वह "कुछ भी" नहीं खरीद सकता — धन और जगह सीमा लगाते हैं। रैखिक प्रोग्रामन बस सीमाओं के अंदर सबसे अच्छा विकल्प खोजने का एक साफ़ तरीका है। कक्षा XI से आपको बस इतना चाहिए: रेखा खींचना और उसके एक ओर छायांकन करना (रैखिक असमिका)।Yahan se shuru kijiyeSochiye, ek dukaandaar ke paas limited paisa aur limited jagah hai. Wo sabse zyada profit chahta hai. Wo "kuch bhi" nahi khareed sakta — paisa aur jagah limit lagate hain. Linear programming bas limits ke andar sabse accha choice khojne ka ek saaf tareeka hai. Class XI se aapko bas itna chahiye: line kheenchna aur uske ek taraf shading karna (linear inequality).

NCERT starts with a real problem. A furniture dealer deals in only two items — tables and chairs. He has Rs 50,000 to invest and storage space of at most 60 pieces. A table costs Rs 2500 and a chair Rs 500. He makes a profit of Rs 250 per table and Rs 75 per chair. How many tables and chairs should he buy to maximise his total profit (assuming he can sell all of them)?NCERT एक वास्तविक समस्या से शुरू करती है। एक फ़र्नीचर व्यापारी केवल दो वस्तुओं — मेज़ और कुर्सियों — का व्यापार करता है। उसके पास निवेश के लिए Rs 50,000 हैं और अधिकतम 60 वस्तुएँ रखने की जगह है। एक मेज़ Rs 2500 की और एक कुर्सी Rs 500 की है। एक मेज़ पर Rs 250 और एक कुर्सी पर Rs 75 लाभ होता है। कुल लाभ अधिकतम करने के लिए उसे कितनी मेज़ें और कुर्सियाँ खरीदनी चाहिए (मान लीजिए वह सब बेच सकता है)?NCERT ek real problem se shuru karti hai. Ek furniture dealer sirf do cheezon — tables aur chairs — ka business karta hai. Uske paas invest karne ke liye Rs 50,000 hain aur zyada se zyada 60 pieces rakhne ki jagah hai. Ek table Rs 2500 ki aur ek chair Rs 500 ki hai. Ek table par Rs 250 aur ek chair par Rs 75 profit hota hai. Total profit maximum karne ke liye use kitni tables aur chairs khareedni chahiye (maan lijiye wo sab bech sakta hai)?

Problems which seek to maximise (or minimise) profit (or cost) are called optimisation problems. A special but very important class of optimisation problems is the linear programming problem (LPP). LPPs are used widely in industry, commerce and management science. In this chapter we solve them by the graphical method only.जो समस्याएँ लाभ (या लागत) का अधिकतमीकरण (या न्यूनतमीकरण) चाहती हैं, उन्हें इष्टतमीकरण समस्याएँ कहते हैं। इष्टतमीकरण समस्याओं का एक विशेष परंतु बहुत महत्वपूर्ण वर्ग रैखिक प्रोग्रामन समस्या है। उद्योग, वाणिज्य और प्रबंधन विज्ञान में इनका बहुत उपयोग होता है। इस अध्याय में हम इन्हें केवल आलेखीय विधि से हल करेंगे।Jo problems profit (ya cost) ko maximise (ya minimise) karna chahti hain, unhe optimisation problems kehte hain. Optimisation problems ki ek special par bahut important class hai linear programming problem (LPP). Industry, commerce aur management science mein inka bahut use hota hai. Is chapter mein hum inhe sirf graphical method se hal karenge.

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12.2Linear Programming Problem and its Mathematical Formulationरैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरणLinear programming problem aur uska mathematical formulation

Look at the dealer again. (i) He can invest in tables, or chairs, or a mix — and each choice gives a different profit. (ii) There are constraints: investment at most Rs 50,000, storage at most 60 pieces.व्यापारी को फिर देखिए। (i) वह मेज़ों में, या कुर्सियों में, या दोनों के मेल में निवेश कर सकता है — और हर विकल्प पर लाभ अलग है। (ii) कुछ व्यवरोध हैं: निवेश अधिकतम Rs 50,000, संग्रहण अधिकतम 60 वस्तुएँ।Dealer ko phir dekhiye. (i) Wo tables mein, ya chairs mein, ya dono ke mix mein invest kar sakta hai — aur har choice par profit alag hai. (ii) Kuch constraints hain: investment zyada se zyada Rs 50,000, storage zyada se zyada 60 pieces.

Dealer — three plans (Section 12.2)Find the profit for: (a) tables only, (b) chairs only, (c) 10 tables and 50 chairs.व्यापारी — तीन योजनाएँ (अनुच्छेद 12.2)लाभ ज्ञात कीजिए: (a) केवल मेज़, (b) केवल कुर्सियाँ, (c) 10 मेज़ और 50 कुर्सियाँ।Dealer — teen plans (Section 12.2)Profit nikaliye: (a) sirf tables, (b) sirf chairs, (c) 10 tables aur 50 chairs.
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
  1. (a) All the money on tables buys 20 tables (20 pieces fit in the space). Profit = Rs 5000.(a) पूरा धन मेज़ों पर: 20 मेज़ें आती हैं (20 वस्तुएँ जगह में आ जाती हैं)। लाभ = Rs 5000।(a) Poora paisa tables par: 20 tables aati hain (20 pieces jagah mein aa jaate hain). Profit = Rs 5000.
    50000 \div 2500 = 20,\qquad 250 \times 20 = 5000
  2. (b) Money allows 100 chairs, but storage allows only 60 pieces.(b) धन से 100 कुर्सियाँ आ सकती हैं, पर जगह केवल 60 वस्तुओं की है।(b) Paise se 100 chairs aa sakti hain, par jagah sirf 60 pieces ki hai.
    50000 \div 500 = 100 > 60
  3. So he is forced to buy only 60 chairs. Profit = Rs 4500.इसलिए वह केवल 60 कुर्सियाँ ही खरीद सकता है। लाभ = Rs 4500।Isliye wo sirf 60 chairs hi khareed sakta hai. Profit = Rs 4500.
    60 \times 75 = 4500
  4. (c) This plan uses exactly all the money and all the space — allowed.(c) यह योजना ठीक पूरा धन और पूरी जगह उपयोग करती है — मान्य है।(c) Ye plan theek poora paisa aur poori jagah use karta hai — allowed hai.
    10 \times 2500 + 50 \times 500 = 50000,\quad 10 + 50 = 60
  5. Profit = Rs 6250: the mixed plan earns the most of these three. But is it the best of ALL plans? We need a method.लाभ = Rs 6250: मिली-जुली योजना इन तीनों में सबसे अधिक कमाती है। पर क्या यह सभी योजनाओं में सबसे अच्छी है? इसके लिए विधि चाहिए।Profit = Rs 6250: mixed plan in teeno mein sabse zyada kamata hai. Par kya ye SAARE plans mein best hai? Iske liye method chahiye.
    10 \times 250 + 50 \times 75 = 2500 + 3750 = 6250

✔ Rs 5000, Rs 4500 and Rs 6250. Different plans give different profits.Rs 5000, Rs 4500 और Rs 6250। अलग-अलग योजनाओं पर अलग लाभ।Rs 5000, Rs 4500 aur Rs 6250. Alag plans par alag profit.

12.2.1Mathematical formulation of the problemसमस्या का गणितीय सूत्रीकरणProblem ka mathematical formulation

Formulating the dealer's problem (Section 12.2.1)Write the furniture dealer's problem in mathematical form.व्यापारी की समस्या का सूत्रीकरण (अनुच्छेद 12.2.1)फ़र्नीचर व्यापारी की समस्या को गणितीय रूप में लिखिए।Dealer ki problem ka formulation (Section 12.2.1)Furniture dealer ki problem ko mathematical form mein likhiye.
Solution — step by step (6)हल — चरण दर चरण (6)Hal — step by step (6)
  1. Step 1: name the unknowns: x = number of tables, y = number of chairs. These are the decision variables.चरण 1: अज्ञातों को नाम दीजिए: x = मेज़ों की संख्या, y = कुर्सियों की संख्या। ये निर्णायक चर हैं।Step 1: unknowns ko naam dijiye: x = tables ki sankhya, y = chairs ki sankhya. Ye decision variables hain.
    x,\ y
  2. Numbers of items cannot be negative: the non-negative constraints.वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती: ये ऋणेतर व्यवरोध हैं।Items ki sankhya negative nahi ho sakti: ye non-negative constraints hain.
    x \ge 0 \quad \dots(1),\qquad y \ge 0 \quad \dots(2)
  3. Investment constraint: total cost at most Rs 50,000. Divide every term by 500 (a positive number, so ≤ stays ≤).निवेश व्यवरोध: कुल लागत अधिकतम Rs 50,000। हर पद को 500 से भाग दीजिए (धनात्मक संख्या, इसलिए ≤ वैसा ही रहता है)।Investment constraint: total cost zyada se zyada Rs 50,000. Har term ko 500 se divide kijiye (positive number hai, isliye ≤ waisa hi rehta hai).
    2500x + 500y \le 50000 \;\Rightarrow\; 5x + y \le 100 \quad \dots(3)
  4. Storage constraint: at most 60 pieces.संग्रहण व्यवरोध: अधिकतम 60 वस्तुएँ।Storage constraint: zyada se zyada 60 pieces.
    x + y \le 60 \quad \dots(4)
  5. The profit Z is the objective function: Rs 250 per table plus Rs 75 per chair.लाभ Z उद्देश्य फलन है: प्रति मेज़ Rs 250 और प्रति कुर्सी Rs 75।Profit Z objective function hai: har table par Rs 250 aur har chair par Rs 75.
    Z = 250x + 75y \quad \dots(5)
  6. Put it together: this is a linear programming problem.सब मिलाइए: यही एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या है।Sab milaiye: yahi ek linear programming problem hai.
    \max Z = 250x + 75y;\quad 5x + y \le 100,\ x + y \le 60,\ x \ge 0,\ y \ge 0

✔ Maximise Z = 250x + 75y subject to 5x + y \le 100, x + y \le 60, x \ge 0, y \ge 0.5x + y \le 100, x + y \le 60, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 250x + 75y का अधिकतमीकरण कीजिए।5x + y \le 100, x + y \le 60, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 250x + 75y maximise kijiye.

📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Linear Programming ProblemA Linear Programming Problem is one that is concerned with finding the optimal value (maximum or minimum value) of a linear function (called objective function) of several variables (say x and y), subject to the conditions that the variables are non-negative and satisfy a set of linear inequalities (called linear constraints).रैखिक प्रोग्रामन समस्यारैखिक प्रोग्रामन समस्या वह समस्या है जो कई चरों (मान लीजिए x और y) के एक रैखिक फलन (जिसे उद्देश्य फलन कहते हैं) का इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम मान) ज्ञात करने से संबंधित है, इस प्रतिबंध के साथ कि चर ऋणेतर हैं और रैखिक असमिकाओं के एक समुच्चय (जिन्हें रैखिक व्यवरोध कहते हैं) को संतुष्ट करते हैं।Linear Programming ProblemLinear Programming Problem wo problem hai jo kai variables (maan lijiye x aur y) ke ek linear function (jise objective function kehte hain) ka optimal value (maximum ya minimum value) nikaalne se judi hai, is shart ke saath ki variables non-negative hain aur linear inequalities ke ek set (jinhe linear constraints kehte hain) ko satisfy karte hain.
The word linear means all the relations used in the problem are linear (first degree, like 5x + y; never x^2 or xy). The word programming means finding a particular programme or plan of action.रैखिक शब्द का अर्थ है कि समस्या में प्रयुक्त सभी संबंध रैखिक हैं (पहली घात के, जैसे 5x + y; कभी x^2 या xy नहीं)। प्रोग्रामन शब्द का अर्थ है किसी विशेष कार्यक्रम या कार्य-योजना को निर्धारित करना।Linear ka matlab hai ki problem ke saare relations linear hain (first degree, jaise 5x + y; kabhi x^2 ya xy nahi). Programming ka matlab hai koi khaas programme ya plan of action tay karna.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Objective functionLinear function Z = ax + by, where a, b are constants, which has to be maximised or minimized is called a linear objective function. In the example, Z = 250x + 75y is a linear objective function. Variables x and y are called decision variables.उद्देश्य फलनरैखिक फलन Z = ax + by, जहाँ a, b अचर हैं, जिसका अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण करना है, रैखिक उद्देश्य फलन कहलाता है। उदाहरण में Z = 250x + 75y एक रैखिक उद्देश्य फलन है। चर x और y निर्णायक चर कहलाते हैं।Objective functionLinear function Z = ax + by, jahan a, b constants hain, jise maximise ya minimise karna hai, linear objective function kehlata hai. Example mein Z = 250x + 75y ek linear objective function hai. Variables x aur y decision variables kehlate hain.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)ConstraintsThe linear inequalities or equations or restrictions on the variables of a linear programming problem are called constraints. The conditions x \ge 0,\ y \ge 0 are called non-negative restrictions. In the example, the inequalities (1) to (4) are constraints.व्यवरोधकिसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या के चरों पर लगी रैखिक असमिकाएँ या समीकरण या प्रतिबंध व्यवरोध कहलाते हैं। प्रतिबंध x \ge 0,\ y \ge 0 ऋणेतर प्रतिबंध कहलाते हैं। उदाहरण में असमिकाएँ (1) से (4) व्यवरोध हैं।ConstraintsKisi linear programming problem ke variables par lage linear inequalities ya equations ya restrictions constraints kehlate hain. Conditions x \ge 0,\ y \ge 0 non-negative restrictions kehlate hain. Example mein inequalities (1) se (4) constraints hain.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Optimisation problemA problem which seeks to maximise or minimise a linear function (say of two variables x and y) subject to certain constraints as determined by a set of linear inequalities is called an optimisation problem. Linear programming problems are special type of optimisation problems.इष्टतमीकरण समस्यावह समस्या जो रैखिक असमिकाओं के एक समुच्चय से निर्धारित कुछ व्यवरोधों के अंतर्गत किसी रैखिक फलन (मान लीजिए दो चरों x और y का) का अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण करना चाहती है, इष्टतमीकरण समस्या कहलाती है। रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ विशेष प्रकार की इष्टतमीकरण समस्याएँ हैं।Optimisation problemWo problem jo linear inequalities ke ek set se tay kuch constraints ke andar kisi linear function (maan lijiye do variables x aur y ka) ko maximise ya minimise karna chahti hai, optimisation problem kehlati hai. Linear programming problems ek special type ki optimisation problems hain.
Words → signs: "at most", "not more than", "maximum available" → \le. "At least", "not less than", "minimum requirement" → \ge. And always write x \ge 0,\ y \ge 0 for things you cannot have a negative amount of.शब्द → चिह्न: "अधिकतम", "से अधिक नहीं", "अधिकतम उपलब्ध" → \le। "कम से कम", "से कम नहीं", "न्यूनतम आवश्यकता" → \ge। और जिन चीज़ों की मात्रा ऋणात्मक नहीं हो सकती, उनके लिए हमेशा x \ge 0,\ y \ge 0 लिखिए।Words → signs: "at most", "se zyada nahi", "maximum available" → \le. "At least", "se kam nahi", "minimum requirement" → \ge. Aur jin cheezon ki maatra negative nahi ho sakti, unke liye hamesha x \ge 0,\ y \ge 0 likhiye.

12.2.2Graphical method of solving linear programming problemsरैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने की आलेखीय विधिLPP hal karne ka graphical method

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeRecap from Class XI: to graph ax + by \le c, (1) draw the line ax + by = c (solid, because "≤" includes the line), (2) take a test point, usually O(0, 0), (3) if the test point makes the inequality TRUE, shade the side containing it; if FALSE, shade the other side. Tap the picture below and try the tester.कक्षा XI से दोहराइए: ax + by \le c का आलेख बनाने के लिए, (1) रेखा ax + by = c खींचिए (ठोस, क्योंकि "≤" में रेखा शामिल है), (2) एक परीक्षण बिंदु लीजिए, प्रायः O(0, 0), (3) यदि परीक्षण बिंदु से असमिका सत्य हो, तो उस बिंदु वाला भाग छायांकित कीजिए; असत्य हो तो दूसरा भाग। नीचे का चित्र टैप कीजिए और परीक्षक आज़माइए।Class XI se dohraiye: ax + by \le c ka graph banane ke liye, (1) line ax + by = c kheenchiye (solid, kyonki "≤" mein line shamil hai), (2) ek test point lijiye, aksar O(0, 0), (3) agar test point se inequality TRUE ho, to us point wala side shade kijiye; FALSE ho to doosra side. Neeche ka picture tap kijiye aur tester try kijiye.
Graph of one linear inequality: x + y ≤ 60एक रैखिक असमिका का आलेख: x + y ≤ 60Ek linear inequality ka graph: x + y ≤ 60NCERT Class XI recap · 10 tappable partsOpen
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Now graph all four constraints of the dealer: 5x + y \le 100 (1), x + y \le 60 (2), x \ge 0 (3), y \ge 0 (4). The shaded region OABC is made of the points common to all four half-planes (Fig 12.1). Each point in it is a choice open to the dealer.अब व्यापारी के चारों व्यवरोधों का आलेख बनाइए: 5x + y \le 100 (1), x + y \le 60 (2), x \ge 0 (3), y \ge 0 (4)। छायांकित क्षेत्र OABC उन बिंदुओं से बना है जो चारों अर्धतलों में उभयनिष्ठ हैं (आकृति 12.1)। इसका हर बिंदु व्यापारी के लिए एक संभव विकल्प है।Ab dealer ke chaaron constraints ka graph banaiye: 5x + y \le 100 (1), x + y \le 60 (2), x \ge 0 (3), y \ge 0 (4). Shaded region OABC un points se bana hai jo chaaron half-planes mein common hain (Fig 12.1). Iska har point dealer ke liye ek possible choice hai.

Furniture dealer: feasible region OABCफ़र्नीचर व्यापारी: सुसंगत क्षेत्र OABCFurniture dealer: feasible region OABCNCERT Fig 12.1 · 11 tappable partsOpen
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Feasible regionThe common region determined by all the constraints including non-negative constraints x, y \ge 0 of a linear programming problem is called the feasible region (or solution region) for the problem. In Fig 12.1, the region OABC (shaded) is the feasible region. The region other than feasible region is called an infeasible region.सुसंगत क्षेत्रकिसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या के ऋणेतर व्यवरोधों x, y \ge 0 सहित सभी व्यवरोधों द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र उस समस्या का सुसंगत क्षेत्र (या हल क्षेत्र) कहलाता है। आकृति 12.1 में क्षेत्र OABC (छायांकित) सुसंगत क्षेत्र है। सुसंगत क्षेत्र के अतिरिक्त क्षेत्र को असुसंगत क्षेत्र कहते हैं।Feasible regionKisi LPP ke non-negative constraints x, y \ge 0 sahit saare constraints se bana common region us problem ka feasible region (ya solution region) kehlata hai. Fig 12.1 mein region OABC (shaded) feasible region hai. Feasible region ke alawa baaki region ko infeasible region kehte hain.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Feasible solutionsPoints within and on the boundary of the feasible region represent feasible solutions of the constraints. For example, the point (10, 50) is a feasible solution of the problem and so are the points (0, 60), (20, 0) etc. Any point outside the feasible region is called an infeasible solution. For example, the point (25, 40) is an infeasible solution.सुसंगत हलसुसंगत क्षेत्र के अंदर और उसकी सीमा पर स्थित बिंदु व्यवरोधों के सुसंगत हल दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु (10, 50) समस्या का एक सुसंगत हल है और इसी प्रकार बिंदु (0, 60), (20, 0) आदि भी। सुसंगत क्षेत्र के बाहर का कोई भी बिंदु असुसंगत हल कहलाता है। उदाहरण के लिए, बिंदु (25, 40) एक असुसंगत हल है।Feasible solutionsFeasible region ke andar aur uski boundary par ke points constraints ke feasible solutions hain. Jaise, point (10, 50) problem ka ek feasible solution hai, aur waise hi (0, 60), (20, 0) wagairah bhi. Feasible region ke bahar ka koi bhi point infeasible solution kehlata hai. Jaise, point (25, 40) ek infeasible solution hai.
📘 Definition (NCERT)📘 परिभाषा (NCERT)📘 Definition (NCERT)Optimal (feasible) solutionAny point in the feasible region that gives the optimal value (maximum or minimum) of the objective function is called an optimal solution.इष्टतम (सुसंगत) हलसुसंगत क्षेत्र का कोई भी बिंदु जो उद्देश्य फलन का इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) देता है, इष्टतम हल कहलाता है।Optimal (feasible) solutionFeasible region ka koi bhi point jo objective function ka optimal value (maximum ya minimum) deta hai, optimal solution kehlata hai.

But the region has infinitely many points — we cannot check them all! Two theorems save us (their proofs are beyond the scope of the book).पर क्षेत्र में अनंत बिंदु हैं — हम सबको नहीं जाँच सकते! दो प्रमेय हमारी मदद करते हैं (इनकी उपपत्ति इस पुस्तक के क्षेत्र से बाहर है)।Par region mein infinite points hain — hum sabko check nahi kar sakte! Do theorems hamari madad karte hain (inke proofs is book ke scope se bahar hain).

📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 1Let R be the feasible region (convex polygon) for a linear programming problem and let Z = ax + by be the objective function. When Z has an optimal value (maximum or minimum), where the variables x and y are subject to constraints described by linear inequalities, this optimal value must occur at a corner point (vertex) of the feasible region.प्रमेय 1मान लीजिए R किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और Z = ax + by उद्देश्य फलन है। जब Z का कोई इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) हो, जहाँ चर x और y रैखिक असमिकाओं द्वारा वर्णित व्यवरोधों के अधीन हैं, तो यह इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी कोनीय बिंदु (शीर्ष) पर ही होना चाहिए।Theorem 1Maan lijiye R kisi LPP ka feasible region (convex polygon) hai aur Z = ax + by objective function hai. Jab Z ka koi optimal value (maximum ya minimum) ho, jahan variables x aur y linear inequalities wale constraints ke andar hain, to ye optimal value feasible region ke kisi corner point (vertex) par hi hona chahiye.
📐 Theorem📐 प्रमेय📐 TheoremTheorem 2Let R be the feasible region for a linear programming problem, and let Z = ax + by be the objective function. If R is bounded, then the objective function Z has both a maximum and a minimum value on R and each of these occurs at a corner point (vertex) of R.प्रमेय 2मान लीजिए R किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र है और Z = ax + by उद्देश्य फलन है। यदि R परिबद्ध है, तो उद्देश्य फलन Z का R पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होते हैं और इनमें से प्रत्येक R के किसी कोनीय बिंदु (शीर्ष) पर होता है।Theorem 2Maan lijiye R kisi LPP ka feasible region hai aur Z = ax + by objective function hai. Agar R bounded hai, to objective function Z ka R par maximum aur minimum dono value hote hain aur har ek R ke kisi corner point (vertex) par hota hai.
Corner point: a point of the feasible region which is the intersection of two boundary lines. Bounded: a feasible region is bounded if it can be enclosed within a circle; otherwise it is unbounded (it extends indefinitely in some direction).कोनीय बिंदु: सुसंगत क्षेत्र का वह बिंदु जो दो सीमा रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु हो। परिबद्ध: यदि सुसंगत क्षेत्र किसी वृत्त के अंदर घेरा जा सके तो वह परिबद्ध है; अन्यथा वह अपरिबद्ध है (किसी दिशा में अनंत तक फैला)।Corner point: feasible region ka wo point jo do boundary lines ka intersection ho. Bounded: agar feasible region kisi circle ke andar ghera ja sake to wo bounded hai; warna wo unbounded hai (kisi direction mein infinite tak faila).
RemarkIf R is unbounded, then a maximum or a minimum value of the objective function may not exist. However, if it exists, it must occur at a corner point of R (by Theorem 1).टिप्पणीयदि R अपरिबद्ध है, तो उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। फिर भी, यदि वह है, तो R के किसी कोनीय बिंदु पर ही होगा (प्रमेय 1 से)।RemarkAgar R unbounded hai, to objective function ka maximum ya minimum value ho bhi sakta hai aur nahi bhi. Phir bhi, agar hai, to R ke kisi corner point par hi hoga (Theorem 1 se).
Dealer's problem solved (Section 12.2.2)Maximise Z = 250x + 75y subject to 5x + y \le 100, x + y \le 60, x \ge 0, y \ge 0.व्यापारी की समस्या का हल (अनुच्छेद 12.2.2)5x + y \le 100, x + y \le 60, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 250x + 75y का अधिकतमीकरण कीजिए।Dealer ki problem ka hal (Section 12.2.2)5x + y \le 100, x + y \le 60, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 250x + 75y maximise kijiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Draw the constraints; the common region is the quadrilateral OABC (Fig 12.1). It is bounded.व्यवरोधों का आलेख बनाइए; उभयनिष्ठ क्षेत्र चतुर्भुज OABC है (आकृति 12.1)। यह परिबद्ध है।Constraints ka graph banaiye; common region quadrilateral OABC hai (Fig 12.1). Ye bounded hai.
    OABC
  2. Corner B is where the two lines meet: subtract the second equation from the first.कोनीय बिंदु B वहाँ है जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं: पहले समीकरण में से दूसरा घटाइए।Corner B wahan hai jahan dono lines milti hain: pehli equation mein se doosri ghataiye.
    5x + y = 100,\ x + y = 60 \;\Rightarrow\; 4x = 40,\ x = 10,\ y = 50
  3. A: put y = 0 in 5x + y = 100 → x = 20. C: put x = 0 in x + y = 60 → y = 60.A: 5x + y = 100 में y = 0 रखिए → x = 20। C: x + y = 60 में x = 0 रखिए → y = 60।A: 5x + y = 100 mein y = 0 rakhiye → x = 20. C: x + y = 60 mein x = 0 rakhiye → y = 60.
    O(0, 0),\ A(20, 0),\ B(10, 50),\ C(0, 60)
  4. Evaluate Z at every corner. B: 2500 + 3750 = 6250.हर कोनीय बिंदु पर Z का मान निकालिए। B: 2500 + 3750 = 6250।Har corner par Z ki value nikaliye. B: 2500 + 3750 = 6250.
    \begin{array}{c|c} (x, y) & Z = 250x + 75y \\ \hline O(0, 0) & 0 \\ C(0, 60) & 4500 \\ B(10, 50) & 6250 \leftarrow \max \\ A(20, 0) & 5000 \end{array}

✔ Maximum profit Rs 6250 at (10, 50), i.e. buying 10 tables and 50 chairs.अधिकतम लाभ Rs 6250, बिंदु (10, 50) पर, अर्थात् 10 मेज़ें और 50 कुर्सियाँ खरीदकर।Maximum profit Rs 6250, point (10, 50) par, yaani 10 tables aur 50 chairs khareedkar.

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxWhy must the best value sit at a corner? Draw the [[iso-profitlines 250x + 75y = k]] for different k: they are all parallel, and Z grows as the line moves away from O. Slide the line as far as it can go while still touching the region — the last touch happens at a corner (here B), or along a whole edge if the line is parallel to that edge. (This picture is our extra help; NCERT uses the theorems.)सबसे अच्छा मान कोनीय बिंदु पर ही क्यों? अलग-अलग k के लिए [[iso-profitरेखाएँ 250x + 75y = k]] खींचिए: ये सब समांतर हैं, और रेखा O से दूर जाने पर Z बढ़ता है। रेखा को उतना खिसकाइए जितना वह क्षेत्र को छूते हुए जा सके — अंतिम स्पर्श कोनीय बिंदु (यहाँ B) पर होता है, या पूरी भुजा पर यदि रेखा उस भुजा के समांतर हो। (यह चित्र हमारी अतिरिक्त सहायता है; NCERT प्रमेयों का उपयोग करती है।)Best value corner par hi kyon? Alag-alag k ke liye [[iso-profitlines 250x + 75y = k]] kheenchiye: ye sab parallel hain, aur line O se door jaane par Z badhta hai. Line ko utna khiskaiye jitna wo region ko chhoote hue ja sake — aakhri touch corner (yahan B) par hota hai, ya poore edge par agar line us edge ke parallel ho. (Ye picture hamari extra help hai; NCERT theorems use karti hai.)
Why a corner? Iso-profit lines Z = 250x + 75yकोनीय बिंदु ही क्यों? समान-लाभ रेखाएँ Z = 250x + 75yCorner hi kyon? Iso-profit lines Z = 250x + 75yNCERT Extra (Fig 12.1) · 10 tappable partsOpen
Loading experiment…
Corner Point Method (NCERT steps). 1. Find the feasible region and its corner points (by inspection or by solving the two equations of the lines meeting there). 2. Evaluate Z = ax + by at each corner point; let M = largest and m = smallest of these values. 3. (i) If the region is bounded, M and m are the maximum and minimum of Z. (ii) If the region is unbounded: 4. (a) M is the maximum of Z if the open half-plane ax + by > M has no point in common with the feasible region; otherwise Z has no maximum. (b) m is the minimum of Z if the open half-plane ax + by < m has no point in common with the feasible region; otherwise Z has no minimum.कोनीय बिंदु विधि (NCERT चरण)। 1. सुसंगत क्षेत्र और उसके कोनीय बिंदु ज्ञात कीजिए (देखकर या वहाँ मिलने वाली दो रेखाओं के समीकरण हल करके)। 2. हर कोनीय बिंदु पर Z = ax + by का मान निकालिए; M = इनमें सबसे बड़ा और m = सबसे छोटा मान। 3. (i) यदि क्षेत्र परिबद्ध है, तो M और m ही Z के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं। (ii) यदि क्षेत्र अपरिबद्ध है: 4. (a) M, Z का अधिकतम मान है यदि खुले अर्धतल ax + by > M का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं; अन्यथा Z का कोई अधिकतम मान नहीं। (b) m, Z का न्यूनतम मान है यदि खुले अर्धतल ax + by < m का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं; अन्यथा Z का कोई न्यूनतम मान नहीं।Corner Point Method (NCERT steps). 1. Feasible region aur uske corner points nikaliye (dekhkar ya wahan milne wali do lines ki equations hal karke). 2. Har corner par Z = ax + by ki value nikaliye; M = sabse badi aur m = sabse chhoti value. 3. (i) Agar region bounded hai, to M aur m hi Z ke maximum aur minimum hain. (ii) Agar region unbounded hai: 4. (a) M, Z ka maximum hai agar open half-plane ax + by > M ka feasible region se koi common point nahi; warna Z ka koi maximum nahi. (b) m, Z ka minimum hai agar open half-plane ax + by < m ka feasible region se koi common point nahi; warna Z ka koi minimum nahi.
Loading experiment…
Example 1Solve the following linear programming problem graphically: Maximise Z = 4x + y subject to the constraints: x + y \le 50, 3x + y \le 90, x \ge 0, y \ge 0.उदाहरण 1निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए: व्यवरोधों x + y \le 50, 3x + y \le 90, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 4x + y का अधिकतमीकरण कीजिए।Example 1Is LPP ko graphically hal kijiye: Constraints x + y \le 50, 3x + y \le 90, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 4x + y maximise kijiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Draw both boundary lines using their intercepts. O(0, 0) satisfies both (0 ≤ 50, 0 ≤ 90), so shade towards O.दोनों सीमा रेखाएँ उनके अंतःखंडों से खींचिए। O(0, 0) दोनों को संतुष्ट करता है (0 ≤ 50, 0 ≤ 90), इसलिए O की ओर छायांकन कीजिए।Dono boundary lines unke intercepts se kheenchiye. O(0, 0) dono ko satisfy karta hai (0 ≤ 50, 0 ≤ 90), isliye O ki taraf shading kijiye.
    x + y = 50:\ (50, 0),\ (0, 50);\qquad 3x + y = 90:\ (30, 0),\ (0, 90)
  2. The lines meet at B(20, 30): subtract the equations.रेखाएँ B(20, 30) पर मिलती हैं: समीकरणों को घटाइए।Lines B(20, 30) par milti hain: equations ko ghataiye.
    3x + y = 90,\ x + y = 50 \;\Rightarrow\; 2x = 40,\ x = 20,\ y = 30
  3. The feasible region OABC is bounded (Fig 12.2). A comes from 3x + y = 90 (it cuts the x-axis first); C from x + y = 50 (it cuts the y-axis first).सुसंगत क्षेत्र OABC परिबद्ध है (आकृति 12.2)। A, 3x + y = 90 से (यह x-अक्ष को पहले काटती है); C, x + y = 50 से (यह y-अक्ष को पहले काटती है)।Feasible region OABC bounded hai (Fig 12.2). A, 3x + y = 90 se (ye x-axis ko pehle kaatti hai); C, x + y = 50 se (ye y-axis ko pehle kaatti hai).
    O(0, 0),\ A(30, 0),\ B(20, 30),\ C(0, 50)
  4. Corner point method: evaluate Z at each corner. (30, 0): 4 × 30 = 120; (20, 30): 80 + 30 = 110.कोनीय बिंदु विधि: हर कोनीय बिंदु पर Z का मान निकालिए। (30, 0): 4 × 30 = 120; (20, 30): 80 + 30 = 110।Corner point method: har corner par Z ki value nikaliye. (30, 0): 4 × 30 = 120; (20, 30): 80 + 30 = 110.
    \begin{array}{c|c} (x, y) & Z = 4x + y \\ \hline (0, 0) & 0 \\ (30, 0) & 120 \leftarrow \max \\ (20, 30) & 110 \\ (0, 50) & 50 \end{array}

✔ Maximum value of Z is 120 at the point (30, 0).Z का अधिकतम मान 120 है, बिंदु (30, 0) पर।Z ki maximum value 120 hai, point (30, 0) par.

Example 1: maximise Z = 4x + yउदाहरण 1: Z = 4x + y का अधिकतमीकरणExample 1: Z = 4x + y maximise kijiyeNCERT Fig 12.2 · 10 tappable partsOpen
Example 2Solve the following linear programming problem graphically: Minimise Z = 200x + 500y subject to the constraints: x + 2y \ge 10, 3x + 4y \le 24, x \ge 0, y \ge 0.उदाहरण 2निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए: व्यवरोधों x + 2y \ge 10, 3x + 4y \le 24, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 200x + 500y का न्यूनतमीकरण कीजिए।Example 2Is LPP ko graphically hal kijiye: Constraints x + 2y \ge 10, 3x + 4y \le 24, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 200x + 500y minimise kijiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Draw the lines. For x + 2y \ge 10, O gives 0 ≥ 10 — FALSE, so shade AWAY from O. For 3x + 4y \le 24, shade towards O.रेखाएँ खींचिए। x + 2y \ge 10 के लिए O पर 0 ≥ 10 — असत्य, इसलिए O से दूर छायांकन। 3x + 4y \le 24 के लिए O की ओर।Lines kheenchiye. x + 2y \ge 10 ke liye O par 0 ≥ 10 — FALSE, isliye O se DOOR shading. 3x + 4y \le 24 ke liye O ki taraf.
    x + 2y = 10:\ (10, 0),\ (0, 5);\qquad 3x + 4y = 24:\ (8, 0),\ (0, 6)
  2. Double the first equation and subtract it from the second: x = 4, then 4 + 2y = 10 gives y = 3.पहले समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरे में से घटाइए: x = 4, फिर 4 + 2y = 10 से y = 3।Pehli equation ko 2 se multiply karke doosri mein se ghataiye: x = 4, phir 4 + 2y = 10 se y = 3.
    x + 2y = 10,\ 3x + 4y = 24 \;\Rightarrow\; 2x + 4y = 20 \Rightarrow x = 4,\ y = 3
  3. The feasible region ABC is a small bounded triangle between the two lines and the y-axis (Fig 12.3).सुसंगत क्षेत्र ABC दोनों रेखाओं और y-अक्ष के बीच एक छोटा परिबद्ध त्रिभुज है (आकृति 12.3)।Feasible region ABC dono lines aur y-axis ke beech ek chhota bounded triangle hai (Fig 12.3).
    A(0, 5),\ B(4, 3),\ C(0, 6)
  4. (4, 3): 800 + 1500 = 2300 — the smallest. The region is bounded, so this is the minimum.(4, 3): 800 + 1500 = 2300 — सबसे छोटा। क्षेत्र परिबद्ध है, इसलिए यही न्यूनतम है।(4, 3): 800 + 1500 = 2300 — sabse chhota. Region bounded hai, isliye yahi minimum hai.
    \begin{array}{c|c} (x, y) & Z = 200x + 500y \\ \hline (0, 5) & 2500 \\ (4, 3) & 2300 \leftarrow \min \\ (0, 6) & 3000 \end{array}

✔ Minimum value of Z is 2300, attained at the point (4, 3).Z का न्यूनतम मान 2300 है, जो बिंदु (4, 3) पर प्राप्त होता है।Z ki minimum value 2300 hai, jo point (4, 3) par milti hai.

Example 2: minimise Z = 200x + 500yउदाहरण 2: Z = 200x + 500y का न्यूनतमीकरणExample 2: Z = 200x + 500y minimise kijiyeNCERT Fig 12.3 · 9 tappable partsOpen
Example 3Solve the following problem graphically: Minimise and Maximise Z = 3x + 9y subject to the constraints: x + 3y \le 60, x + y \ge 10, x \le y, x \ge 0, y \ge 0.उदाहरण 3निम्नलिखित समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए: व्यवरोधों x + 3y \le 60, x + y \ge 10, x \le y, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 3x + 9y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए।Example 3Is problem ko graphically hal kijiye: Constraints x + 3y \le 60, x + y \ge 10, x \le y, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 3x + 9y ko minimise aur maximise kijiye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Draw the three lines. x \le y means the side ABOVE the line y = x (test (0, 1): 0 ≤ 1 true).तीनों रेखाएँ खींचिए। x \le y का अर्थ है रेखा y = x के ऊपर वाला भाग (परीक्षण (0, 1): 0 ≤ 1 सत्य)।Teeno lines kheenchiye. x \le y ka matlab hai line y = x ke UPAR wala side (test (0, 1): 0 ≤ 1 true).
    x + 3y = 60:\ (60, 0),\ (0, 20);\quad x + y = 10:\ (10, 0),\ (0, 10);\quad x = y
  2. Find the corners where the slanted lines meet y = x.जहाँ तिरछी रेखाएँ y = x से मिलती हैं, वे कोनीय बिंदु ज्ञात कीजिए।Jahan tirchhi lines y = x se milti hain, wo corner points nikaliye.
    x + y = 10,\ x = y \Rightarrow B(5, 5);\qquad x + 3y = 60,\ x = y \Rightarrow 4x = 60,\ C(15, 15)
  3. The feasible region ABCD is bounded (Fig 12.4). A and D are on the y-axis.सुसंगत क्षेत्र ABCD परिबद्ध है (आकृति 12.4)। A और D, y-अक्ष पर हैं।Feasible region ABCD bounded hai (Fig 12.4). A aur D, y-axis par hain.
    A(0, 10),\ B(5, 5),\ C(15, 15),\ D(0, 20)
  4. C: 45 + 135 = 180 and D: 9 × 20 = 180 — the same maximum at two corners.C: 45 + 135 = 180 और D: 9 × 20 = 180 — दो कोनीय बिंदुओं पर समान अधिकतम।C: 45 + 135 = 180 aur D: 9 × 20 = 180 — do corners par same maximum.
    \begin{array}{c|c} (x, y) & Z = 3x + 9y \\ \hline A(0, 10) & 90 \\ B(5, 5) & 60 \leftarrow \min \\ C(15, 15) & 180 \leftarrow \max \\ D(0, 20) & 180 \leftarrow \max \end{array}

✔ Minimum Z = 60 at B(5, 5). Maximum Z = 180 at both C(15, 15) and D(0, 20) — in fact at every point of the segment CD (multiple optimal solutions).न्यूनतम Z = 60, B(5, 5) पर। अधिकतम Z = 180, C(15, 15) और D(0, 20) दोनों पर — वास्तव में रेखाखंड CD के हर बिंदु पर (अनेक इष्टतम हल)।Minimum Z = 60, B(5, 5) par. Maximum Z = 180, C(15, 15) aur D(0, 20) dono par — asal mein segment CD ke har point par (multiple optimal solutions).

Example 3: Z = 3x + 9y, multiple optimal solutionsउदाहरण 3: Z = 3x + 9y, अनेक इष्टतम हलExample 3: Z = 3x + 9y, multiple optimal solutionsNCERT Fig 12.4 · 12 tappable partsOpen
Remark (multiple optimal solutions)In Example 3 the problem has multiple optimal solutions at the corner points C and D: both give the same maximum 180. In such cases every point on the line segment CD joining them also gives the same maximum value. The same is true if two points give the same minimum value.टिप्पणी (अनेक इष्टतम हल)उदाहरण 3 में समस्या के कोनीय बिंदुओं C और D पर अनेक इष्टतम हल हैं: दोनों समान अधिकतम 180 देते हैं। ऐसी स्थिति में उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड CD का हर बिंदु भी वही अधिकतम मान देता है। यदि दो बिंदु समान न्यूनतम मान दें तब भी यही सत्य है।Remark (multiple optimal solutions)Example 3 mein problem ke corner points C aur D par multiple optimal solutions hain: dono same maximum 180 dete hain. Aise case mein unhe jodne wale line segment CD ka har point bhi wahi maximum value deta hai. Agar do points same minimum value dein tab bhi yahi sach hai.
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxSpot it early: Z = 3x + 9y = 3(x + 3y) is a multiple of the left side of x + 3y \le 60. So the objective line is parallel to the edge CD, and the "last touch" happens along the whole edge: max = 3 \times 60 = 180 without any table!इसे पहले ही पहचानिए: Z = 3x + 9y = 3(x + 3y), व्यवरोध x + 3y \le 60 के बाएँ पक्ष का गुणज है। इसलिए उद्देश्य रेखा भुजा CD के समांतर है, और "अंतिम स्पर्श" पूरी भुजा पर होता है: अधिकतम = 3 \times 60 = 180, बिना सारणी के!Ise pehle hi pehchaniye: Z = 3x + 9y = 3(x + 3y), constraint x + 3y \le 60 ke left side ka multiple hai. Isliye objective line edge CD ke parallel hai, aur "aakhri touch" poore edge par hota hai: maximum = 3 \times 60 = 180, bina table ke!
Example 4Determine graphically the minimum value of the objective function Z = -50x + 20y subject to the constraints: 2x - y \ge -5, 3x + y \ge 3, 2x - 3y \le 12, x \ge 0, y \ge 0.उदाहरण 4व्यवरोधों 2x - y \ge -5, 3x + y \ge 3, 2x - 3y \le 12, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत उद्देश्य फलन Z = -50x + 20y का न्यूनतम मान आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए।Example 4Constraints 2x - y \ge -5, 3x + y \ge 3, 2x - 3y \le 12, x \ge 0, y \ge 0 ke andar objective function Z = -50x + 20y ki minimum value graphically nikaliye.
Solution — step by step (5)हल — चरण दर चरण (5)Hal — step by step (5)
  1. Draw the lines. O(0, 0) satisfies 2x - y \ge -5 and 2x - 3y \le 12 but not 3x + y \ge 3 (0 ≥ 3 is false).रेखाएँ खींचिए। O(0, 0), 2x - y \ge -5 और 2x - 3y \le 12 को संतुष्ट करता है, पर 3x + y \ge 3 को नहीं (0 ≥ 3 असत्य)।Lines kheenchiye. O(0, 0), 2x - y \ge -5 aur 2x - 3y \le 12 ko satisfy karta hai, par 3x + y \ge 3 ko nahi (0 ≥ 3 false).
    2x - y = -5:\ (0, 5);\quad 3x + y = 3:\ (1, 0),\ (0, 3);\quad 2x - 3y = 12:\ (6, 0)
  2. These are the corner points. The feasible region (Fig 12.5) opens out to the upper right — it cannot be enclosed in a circle.ये कोनीय बिंदु हैं। सुसंगत क्षेत्र (आकृति 12.5) ऊपर-दाईं ओर खुला है — इसे किसी वृत्त में नहीं घेरा जा सकता।Ye corner points hain. Feasible region (Fig 12.5) upar-daayin taraf khula hai — ise kisi circle mein nahi ghera ja sakta.
    (0, 5),\ (0, 3),\ (1, 0),\ (6, 0)
  3. (6, 0): −50 × 6 = −300 is the smallest corner value. But the region is unbounded, so −300 may or may not be the minimum.(6, 0): −50 × 6 = −300 सबसे छोटा कोनीय मान है। पर क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए −300 न्यूनतम हो भी सकता है और नहीं भी।(6, 0): −50 × 6 = −300 sabse chhota corner value hai. Par region unbounded hai, isliye −300 minimum ho bhi sakta hai aur nahi bhi.
    \begin{array}{c|c} (x, y) & Z = -50x + 20y \\ \hline (0, 5) & 100 \\ (0, 3) & 60 \\ (1, 0) & -50 \\ (6, 0) & -300 \leftarrow m \end{array}
  4. Step 3(ii) of the corner point method: graph this open half-plane (divide by 10) and check if it has points in common with the feasible region.कोनीय बिंदु विधि का चरण 3(ii): यह खुला अर्धतल खींचिए (10 से भाग देकर) और देखिए कि क्या इसका सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु है।Corner point method ka step 3(ii): ye open half-plane kheenchiye (10 se divide karke) aur dekhiye ki kya iska feasible region se koi common point hai.
    -50x + 20y < -300 \iff -5x + 2y < -30
  5. Yes, it has common points (Fig 12.5). For example (9, 3) is feasible and gives Z = −450 + 60 = −390, which is less than −300.हाँ, उभयनिष्ठ बिंदु हैं (आकृति 12.5)। उदाहरण के लिए (9, 3) सुसंगत है और Z = −450 + 60 = −390 देता है, जो −300 से कम है।Haan, common points hain (Fig 12.5). Jaise (9, 3) feasible hai aur Z = −450 + 60 = −390 deta hai, jo −300 se kam hai.
    (9, 3):\ -45 + 6 = -39 < -30,\quad 2(9) - 3(3) = 9 \le 12

✔ Z = −50x + 20y has no minimum value subject to the given constraints.दिए गए व्यवरोधों के अंतर्गत Z = −50x + 20y का कोई न्यूनतम मान नहीं है।Diye gaye constraints ke andar Z = −50x + 20y ki koi minimum value nahi hai.

Example 4: unbounded region — is −300 the minimum?उदाहरण 4: अपरिबद्ध क्षेत्र — क्या −300 न्यूनतम है?Example 4: unbounded region — kya −300 minimum hai?NCERT Fig 12.5 · 14 tappable partsOpen
Example 4 (NCERT's follow-up question)In the above example, does Z = -50x + 20y have the maximum value 100 at (0, 5)?उदाहरण 4 (NCERT का आगे का प्रश्न)उपर्युक्त उदाहरण में, क्या Z = -50x + 20y का अधिकतम मान 100, बिंदु (0, 5) पर है?Example 4 (NCERT ka aage ka sawaal)Upar wale example mein, kya Z = -50x + 20y ki maximum value 100, point (0, 5) par hai?
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. The region is unbounded, so check whether this open half-plane has points in common with the feasible region (Step 4(a)).क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए जाँचिए कि क्या इस खुले अर्धतल का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु है (चरण 4(a))।Region unbounded hai, isliye check kijiye ki kya is open half-plane ka feasible region se koi common point hai (Step 4(a)).
    -50x + 20y > 100 \iff -5x + 2y > 10
  2. Every feasible point has y ≤ 2x + 5 and x ≥ 0, so −5x + 2y can never exceed 10.हर सुसंगत बिंदु पर y ≤ 2x + 5 और x ≥ 0 है, इसलिए −5x + 2y कभी 10 से अधिक नहीं हो सकता।Har feasible point par y ≤ 2x + 5 aur x ≥ 0 hai, isliye −5x + 2y kabhi 10 se zyada nahi ho sakta.
    2x - y \ge -5 \Rightarrow 2y \le 4x + 10 \Rightarrow -5x + 2y \le -x + 10 \le 10

✔ The half-plane has no point in common with the feasible region, so yes: the maximum value of Z is 100, at (0, 5).अर्धतल का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, इसलिए हाँ: Z का अधिकतम मान 100 है, बिंदु (0, 5) पर।Half-plane ka feasible region se koi common point nahi hai, isliye haan: Z ki maximum value 100 hai, point (0, 5) par.

Example 5Minimise Z = 3x + 2y subject to the constraints: x + y \ge 8, 3x + 5y \le 15, x \ge 0, y \ge 0.उदाहरण 5व्यवरोधों x + y \ge 8, 3x + 5y \le 15, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए।Example 5Constraints x + y \ge 8, 3x + 5y \le 15, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 3x + 2y minimise kijiye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Draw the lines. x + y \ge 8: shade away from O. 3x + 5y \le 15: shade towards O — a small triangle.रेखाएँ खींचिए। x + y \ge 8: O से दूर छायांकन। 3x + 5y \le 15: O की ओर — एक छोटा त्रिभुज।Lines kheenchiye. x + y \ge 8: O se door shading. 3x + 5y \le 15: O ki taraf — ek chhota triangle.
    x + y = 8:\ (8, 0),\ (0, 8);\qquad 3x + 5y = 15:\ (5, 0),\ (0, 3)
  2. In the triangle the largest value of x + y is 5 (at (5, 0)), which is less than 8. So the two shaded parts never meet (Fig 12.6).त्रिभुज में x + y का सबसे बड़ा मान 5 है ((5, 0) पर), जो 8 से कम है। इसलिए दोनों छायांकित भाग कभी नहीं मिलते (आकृति 12.6)।Triangle mein x + y ki sabse badi value 5 hai ((5, 0) par), jo 8 se kam hai. Isliye dono shaded hisse kabhi nahi milte (Fig 12.6).
    x, y \ge 0,\ 3x + 5y \le 15 \;\Rightarrow\; x + y \le \dfrac{3x + 5y}{3} \le 5 < 8

✔ There is no point satisfying all the constraints simultaneously: no feasible region, hence no feasible solution.कोई भी बिंदु सभी व्यवरोधों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता: कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं, अतः कोई सुसंगत हल नहीं।Koi bhi point saare constraints ko ek saath satisfy nahi karta: koi feasible region nahi, isliye koi feasible solution nahi.

Example 5: no feasible regionउदाहरण 5: कोई सुसंगत क्षेत्र नहींExample 5: koi feasible region nahiNCERT Fig 12.6 · 8 tappable partsOpen
Remarks (NCERT)From these examples we notice some general features of linear programming problems: (i) The feasible region is always a convex region. (ii) The maximum (or minimum) solution of the objective function occurs at the vertex (corner) of the feasible region. If two corner points produce the same maximum (or minimum) value of the objective function, then every point on the line segment joining these points will also give the same maximum (or minimum) value.टिप्पणियाँ (NCERT)इन उदाहरणों से हम रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की कुछ सामान्य विशेषताएँ देखते हैं: (i) सुसंगत क्षेत्र सदैव एक उत्तल क्षेत्र होता है। (ii) उद्देश्य फलन का अधिकतम (या न्यूनतम) हल सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष (कोने) पर होता है। यदि दो कोनीय बिंदु उद्देश्य फलन का समान अधिकतम (या न्यूनतम) मान दें, तो इन बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड का हर बिंदु भी वही अधिकतम (या न्यूनतम) मान देगा।Remarks (NCERT)In examples se hum LPP ki kuch general baatein dekhte hain: (i) Feasible region hamesha ek convex region hota hai. (ii) Objective function ka maximum (ya minimum) solution feasible region ke vertex (corner) par hota hai. Agar do corner points objective function ki same maximum (ya minimum) value dein, to in points ko jodne wale line segment ka har point bhi wahi maximum (ya minimum) value dega.
A region is convex if the line segment joining any two of its points lies completely inside it (no dents). That is why the "last touch" of a sliding line is always at a corner or along an edge.कोई क्षेत्र उत्तल है यदि उसके किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड पूरी तरह उसके अंदर रहे (कोई गड्ढा नहीं)। इसीलिए खिसकती रेखा का "अंतिम स्पर्श" हमेशा कोनीय बिंदु पर या किसी भुजा पर होता है।Koi region convex hai agar uske kinhi do points ko jodne wala line segment poori tarah uske andar rahe (koi dent nahi). Isiliye khiskti line ka "aakhri touch" hamesha corner par ya kisi edge par hota hai.
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(1) Forgetting x \ge 0,\ y \ge 0 — the region must stay in the first quadrant. (2) Shading the wrong side: always test a point (O, unless the line passes through O — then use a point like (1, 0) or (0, 1)). (3) Reading a corner from the graph by eye — solve the two line equations to get exact corners like \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right). (4) Missing a corner: list every point where two boundary lines (including the axes) meet ON the region. (5) Unbounded region: writing the smallest corner value as "minimum" without the open half-plane check. (6) Two equal best corners: write "at every point of the segment joining them", not just one point. (7) Dividing an inequality by a negative number without reversing the sign.(1) x \ge 0,\ y \ge 0 भूल जाना — क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में ही रहना चाहिए। (2) ग़लत भाग छायांकित करना: हमेशा किसी बिंदु से जाँचिए (O, जब तक रेखा O से न गुज़रे — तब (1, 0) या (0, 1) जैसा बिंदु लीजिए)। (3) कोनीय बिंदु आलेख से अंदाज़े से पढ़ना — सटीक बिंदु जैसे \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) के लिए दोनों रेखाओं के समीकरण हल कीजिए। (4) कोई कोनीय बिंदु छूट जाना: जहाँ भी दो सीमा रेखाएँ (अक्षों सहित) क्षेत्र पर मिलती हैं, सब लिखिए। (5) अपरिबद्ध क्षेत्र: खुले अर्धतल की जाँच के बिना सबसे छोटे कोनीय मान को "न्यूनतम" लिख देना। (6) दो समान सर्वोत्तम कोनीय बिंदु: केवल एक बिंदु नहीं, "उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड के हर बिंदु पर" लिखिए। (7) असमिका को ऋणात्मक संख्या से भाग देकर चिह्न न पलटना।(1) x \ge 0,\ y \ge 0 bhool jaana — region first quadrant mein hi rehna chahiye. (2) Galat side shade karna: hamesha kisi point se check kijiye (O, jab tak line O se na guzre — tab (1, 0) ya (0, 1) jaisa point lijiye). (3) Corner graph se andaaze se padhna — exact corners jaise \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) ke liye dono lines ki equations hal kijiye. (4) Koi corner chhoot jaana: jahan bhi do boundary lines (axes sahit) region par milti hain, sab likhiye. (5) Unbounded region: open half-plane check ke bina sabse chhote corner value ko "minimum" likh dena. (6) Do equal best corners: sirf ek point nahi, "unhe jodne wale segment ke har point par" likhiye. (7) Inequality ko negative number se divide karke sign na palatna.
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxShortcut for "no maximum" in an unbounded region: if Z keeps growing along a direction that stays inside the region, there is no maximum. In Exercise 12.1 Q9 (Z = -x + 2y, region going upwards), moving up from (3, 2) to (3, 2 + t) stays feasible and Z grows by 2t — so no maximum. Still write the NCERT check: the half-plane -x + 2y > 1 meets the region.अपरिबद्ध क्षेत्र में "कोई अधिकतम नहीं" का छोटा तरीका: यदि क्षेत्र के अंदर किसी दिशा में चलते हुए Z बढ़ता ही जाए, तो अधिकतम नहीं है। प्रश्नावली 12.1 प्र. 9 (Z = -x + 2y, क्षेत्र ऊपर की ओर) में (3, 2) से (3, 2 + t) तक ऊपर जाने पर बिंदु सुसंगत रहता है और Z, 2t बढ़ता है — अतः अधिकतम नहीं। फिर भी NCERT की जाँच लिखिए: अर्धतल -x + 2y > 1 क्षेत्र से मिलता है।Unbounded region mein "koi maximum nahi" ka shortcut: agar region ke andar kisi direction mein chalte hue Z badhta hi jaaye, to maximum nahi hai. Exercise 12.1 Q9 (Z = -x + 2y, region upar ki taraf) mein (3, 2) se (3, 2 + t) tak upar jaane par point feasible rehta hai aur Z, 2t badhta hai — isliye maximum nahi. Phir bhi NCERT wala check likhiye: half-plane -x + 2y > 1 region se milta hai.

Practice: Exercise 12.1अभ्यास: प्रश्नावली 12.1Practice: Exercise 12.1

Solve these graphically (NCERT Exercise 12.1). First try on paper, then tap to see the answer. You can check the bounded ones in the corner point lab above.इन्हें आलेखीय विधि से हल कीजिए (NCERT प्रश्नावली 12.1)। पहले कागज़ पर हल कीजिए, फिर उत्तर देखने के लिए टैप कीजिए। परिबद्ध प्रश्नों को ऊपर की कोनीय बिंदु विधि लैब में भी जाँच सकते हैं।Inhe graphically hal kijiye (NCERT Exercise 12.1). Pehle kaagaz par hal kijiye, phir answer dekhne ke liye tap kijiye. Bounded wale sawaal upar ki corner point lab mein bhi check kar sakte hain.

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(Q1) Maximise Z = 3x + 4y subject to x + y \le 4, x \ge 0, y \ge 0.(प्र. 1) x + y \le 4, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए।(Q1) x + y \le 4, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 3x + 4y maximise kijiye.

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Maximum Z = 16 at (0, 4). Corners: (0, 0) → 0, (4, 0) → 12, (0, 4) → 16.अधिकतम Z = 16, बिंदु (0, 4) पर। कोनीय बिंदु: (0, 0) → 0, (4, 0) → 12, (0, 4) → 16।Maximum Z = 16, point (0, 4) par. Corners: (0, 0) → 0, (4, 0) → 12, (0, 4) → 16.

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(Q2) Minimise Z = -3x + 4y subject to x + 2y \le 8, 3x + 2y \le 12, x \ge 0, y \ge 0.(प्र. 2) x + 2y \le 8, 3x + 2y \le 12, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए।(Q2) x + 2y \le 8, 3x + 2y \le 12, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = -3x + 4y minimise kijiye.

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Minimum Z = −12 at (4, 0). Corners: (0, 0) → 0, (4, 0) → −12, (2, 3) → 6, (0, 4) → 16.न्यूनतम Z = −12, बिंदु (4, 0) पर। कोनीय बिंदु: (0, 0) → 0, (4, 0) → −12, (2, 3) → 6, (0, 4) → 16।Minimum Z = −12, point (4, 0) par. Corners: (0, 0) → 0, (4, 0) → −12, (2, 3) → 6, (0, 4) → 16.

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(Q3) Maximise Z = 5x + 3y subject to 3x + 5y \le 15, 5x + 2y \le 10, x \ge 0, y \ge 0.(प्र. 3) 3x + 5y \le 15, 5x + 2y \le 10, x \ge 0, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए।(Q3) 3x + 5y \le 15, 5x + 2y \le 10, x \ge 0, y \ge 0 ke andar Z = 5x + 3y maximise kijiye.

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Maximum Z = \dfrac{235}{19} at \left(\dfrac{20}{19}, \dfrac{45}{19}\right). Corners: (0, 0) → 0, (2, 0) → 10, (0, 3) → 9, \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) \to \frac{100 + 135}{19} = \frac{235}{19}.अधिकतम Z = \dfrac{235}{19}, बिंदु \left(\dfrac{20}{19}, \dfrac{45}{19}\right) पर। कोनीय बिंदु: (0, 0) → 0, (2, 0) → 10, (0, 3) → 9, \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) \to \frac{100 + 135}{19} = \frac{235}{19}।Maximum Z = \dfrac{235}{19}, point \left(\dfrac{20}{19}, \dfrac{45}{19}\right) par. Corners: (0, 0) → 0, (2, 0) → 10, (0, 3) → 9, \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) \to \frac{100 + 135}{19} = \frac{235}{19}.

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(Q4) Minimise Z = 3x + 5y such that x + 3y \ge 3, x + y \ge 2, x, y \ge 0.(प्र. 4) x + 3y \ge 3, x + y \ge 2, x, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए।(Q4) x + 3y \ge 3, x + y \ge 2, x, y \ge 0 ke andar Z = 3x + 5y minimise kijiye.

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Minimum Z = 7 at \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right). Corners: (3, 0) → 9, \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) → 7, (0, 2) → 10. The region is unbounded, but 3x + 5y < 7 has no point in common with it, so 7 is the minimum.न्यूनतम Z = 7, बिंदु \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) पर। कोनीय बिंदु: (3, 0) → 9, \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) → 7, (0, 2) → 10। क्षेत्र अपरिबद्ध है, पर 3x + 5y < 7 का उससे कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, इसलिए 7 ही न्यूनतम है।Minimum Z = 7, point \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) par. Corners: (3, 0) → 9, \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) → 7, (0, 2) → 10. Region unbounded hai, par 3x + 5y < 7 ka usse koi common point nahi, isliye 7 hi minimum hai.

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(Q5) Maximise Z = 3x + 2y subject to x + 2y \le 10, 3x + y \le 15, x, y \ge 0.(प्र. 5) x + 2y \le 10, 3x + y \le 15, x, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 3x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए।(Q5) x + 2y \le 10, 3x + y \le 15, x, y \ge 0 ke andar Z = 3x + 2y maximise kijiye.

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Maximum Z = 18 at (4, 3). Corners: (0, 0) → 0, (5, 0) → 15, (4, 3) → 18, (0, 5) → 10.अधिकतम Z = 18, बिंदु (4, 3) पर। कोनीय बिंदु: (0, 0) → 0, (5, 0) → 15, (4, 3) → 18, (0, 5) → 10।Maximum Z = 18, point (4, 3) par. Corners: (0, 0) → 0, (5, 0) → 15, (4, 3) → 18, (0, 5) → 10.

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(Q6) Minimise Z = x + 2y subject to 2x + y \ge 3, x + 2y \ge 6, x, y \ge 0. Show that the minimum of Z occurs at more than two points.(प्र. 6) 2x + y \ge 3, x + 2y \ge 6, x, y \ge 0 के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए। दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो से अधिक बिंदुओं पर होता है।(Q6) 2x + y \ge 3, x + 2y \ge 6, x, y \ge 0 ke andar Z = x + 2y minimise kijiye. Dikhaiye ki Z ka minimum do se zyada points par hota hai.

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Minimum Z = 6 at all the points on the line segment joining the points (6, 0) and (0, 3). Both corners give 6, and x + 2y < 6 has no point in common with the (unbounded) region — it is a constraint that x + 2y \ge 6.न्यूनतम Z = 6, बिंदुओं (6, 0) और (0, 3) को मिलाने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर। दोनों कोनीय बिंदुओं पर 6 है, और x + 2y < 6 का (अपरिबद्ध) क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं — क्योंकि x + 2y \ge 6 स्वयं एक व्यवरोध है।Minimum Z = 6, points (6, 0) aur (0, 3) ko jodne wale line segment ke saare points par. Dono corners par 6 hai, aur x + 2y < 6 ka (unbounded) region se koi common point nahi — kyonki x + 2y \ge 6 khud ek constraint hai.

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(Q7) Minimise and Maximise Z = 5x + 10y subject to x + 2y \le 120, x + y \ge 60, x - 2y \ge 0, x, y \ge 0.(प्र. 7) x + 2y \le 120, x + y \ge 60, x - 2y \ge 0, x, y \ge 0 के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए।(Q7) x + 2y \le 120, x + y \ge 60, x - 2y \ge 0, x, y \ge 0 ke andar Z = 5x + 10y minimise aur maximise kijiye.

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Minimum Z = 300 at (60, 0); Maximum Z = 600 at all the points on the line segment joining the points (120, 0) and (60, 30). Corners: (60, 0) → 300, (120, 0) → 600, (60, 30) → 600, (40, 20) → 400.न्यूनतम Z = 300, (60, 0) पर; अधिकतम Z = 600, बिंदुओं (120, 0) और (60, 30) को मिलाने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर। कोनीय बिंदु: (60, 0) → 300, (120, 0) → 600, (60, 30) → 600, (40, 20) → 400।Minimum Z = 300, (60, 0) par; Maximum Z = 600, points (120, 0) aur (60, 30) ko jodne wale line segment ke saare points par. Corners: (60, 0) → 300, (120, 0) → 600, (60, 30) → 600, (40, 20) → 400.

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(Q8) Minimise and Maximise Z = x + 2y subject to x + 2y \ge 100, 2x - y \le 0, 2x + y \le 200; x, y \ge 0.(प्र. 8) x + 2y \ge 100, 2x - y \le 0, 2x + y \le 200; x, y \ge 0 के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए।(Q8) x + 2y \ge 100, 2x - y \le 0, 2x + y \le 200; x, y \ge 0 ke andar Z = x + 2y minimise aur maximise kijiye.

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Minimum Z = 100 at all the points on the line segment joining the points (0, 50) and (20, 40); Maximum Z = 400 at (0, 200). Corners: (0, 50) → 100, (20, 40) → 100, (50, 100) → 250, (0, 200) → 400.न्यूनतम Z = 100, बिंदुओं (0, 50) और (20, 40) को मिलाने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर; अधिकतम Z = 400, (0, 200) पर। कोनीय बिंदु: (0, 50) → 100, (20, 40) → 100, (50, 100) → 250, (0, 200) → 400।Minimum Z = 100, points (0, 50) aur (20, 40) ko jodne wale line segment ke saare points par; Maximum Z = 400, (0, 200) par. Corners: (0, 50) → 100, (20, 40) → 100, (50, 100) → 250, (0, 200) → 400.

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(Q9) Maximise Z = -x + 2y, subject to the constraints: x \ge 3, x + y \ge 5, x + 2y \ge 6, y \ge 0.(प्र. 9) व्यवरोधों x \ge 3, x + y \ge 5, x + 2y \ge 6, y \ge 0 के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए।(Q9) Constraints x \ge 3, x + y \ge 5, x + 2y \ge 6, y \ge 0 ke andar Z = -x + 2y maximise kijiye.

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Z has no maximum value. Corners: (3, 2) → 1, (4, 1) → −2, (6, 0) → −6. The region is unbounded and the open half-plane -x + 2y > 1 has points in common with it (e.g. (3, 3) gives Z = 3).Z का कोई अधिकतम मान नहीं है। कोनीय बिंदु: (3, 2) → 1, (4, 1) → −2, (6, 0) → −6। क्षेत्र अपरिबद्ध है और खुले अर्धतल -x + 2y > 1 के उससे उभयनिष्ठ बिंदु हैं (जैसे (3, 3) पर Z = 3)।Z ki koi maximum value nahi hai. Corners: (3, 2) → 1, (4, 1) → −2, (6, 0) → −6. Region unbounded hai aur open half-plane -x + 2y > 1 ke usse common points hain (jaise (3, 3) par Z = 3).

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(Q10) Maximise Z = x + y, subject to x - y \le -1, -x + y \le 0, x, y \ge 0.(प्र. 10) x - y \le -1, -x + y \le 0, x, y \ge 0 के अंतर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए।(Q10) x - y \le -1, -x + y \le 0, x, y \ge 0 ke andar Z = x + y maximise kijiye.

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No feasible region, hence no maximum value of Z. (x - y \le -1 means y \ge x + 1, while -x + y \le 0 means y \le x — both cannot hold.)कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं, अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं। (x - y \le -1 का अर्थ y \ge x + 1, जबकि -x + y \le 0 का अर्थ y \le x — दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते।)Koi feasible region nahi, isliye Z ki koi maximum value nahi. (x - y \le -1 ka matlab y \ge x + 1, jabki -x + y \le 0 ka matlab y \le x — dono ek saath sach nahi ho sakte.)

Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet

\text{Max or Min } Z = ax + by
Objective function (a, b constants; x, y decision variables)उद्देश्य फलन (a, b अचर; x, y निर्णायक चर)Objective function (a, b constants; x, y decision variables)
a_1x + b_1y \le c_1,\ \ a_2x + b_2y \ge c_2,\ \dots,\ \ x \ge 0,\ y \ge 0
Constraints (with the non-negative restrictions)व्यवरोध (ऋणेतर प्रतिबंधों सहित)Constraints (non-negative restrictions ke saath)
a_1x + b_1y = c_1,\ a_2x + b_2y = c_2 \;\Rightarrow\; x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1},\ y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}
Corner point = meeting point of two boundary linesकोनीय बिंदु = दो सीमा रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदुCorner point = do boundary lines ka intersection
\text{Bounded: } \max Z = M,\ \ \min Z = m \ \ (\text{largest / smallest corner value})
Bounded region: the answer comes straight from the corner tableपरिबद्ध क्षेत्र: उत्तर सीधे कोनीय सारणी सेBounded region: answer seedha corner table se
\text{Unbounded: } ax + by > M \text{ meets region} \Rightarrow \text{no max};\ \ ax + by < m \text{ meets region} \Rightarrow \text{no min}
Unbounded region: the open half-plane checkअपरिबद्ध क्षेत्र: खुले अर्धतल की जाँचUnbounded region: open half-plane check
Z(P) = Z(Q) = \text{optimum} \;\Rightarrow\; \text{every point of } \overline{PQ} \text{ is optimal}
Multiple optimal solutionsअनेक इष्टतम हलMultiple optimal solutions

Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

Summary (NCERT). A linear programming problem is one that is concerned with finding the optimal value (maximum or minimum) of a linear function of several variables (called objective function) subject to the conditions that the variables are non-negative and satisfy a set of linear inequalities (called linear constraints). Variables are sometimes called decision variables and are non-negative.सारांश (NCERT)। रैखिक प्रोग्रामन समस्या वह समस्या है जो कई चरों के एक रैखिक फलन (जिसे उद्देश्य फलन कहते हैं) का इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) ज्ञात करने से संबंधित है, इस प्रतिबंध के साथ कि चर ऋणेतर हैं और रैखिक असमिकाओं के एक समुच्चय (जिन्हें रैखिक व्यवरोध कहते हैं) को संतुष्ट करते हैं। चरों को कभी-कभी निर्णायक चर भी कहते हैं और ये ऋणेतर होते हैं।Summary (NCERT). Linear programming problem wo problem hai jo kai variables ke ek linear function (jise objective function kehte hain) ka optimal value (maximum ya minimum) nikaalne se judi hai, is shart ke saath ki variables non-negative hain aur linear inequalities ke ek set (jinhe linear constraints kehte hain) ko satisfy karte hain. Variables ko kabhi-kabhi decision variables bhi kehte hain aur ye non-negative hote hain.
Feasible region = common region of all constraints (incl. x, y \ge 0); points in it or on its boundary = feasible solutions; a point giving the best Z = optimal solution. Theorem 1: an optimal value, if it exists, is at a corner point. Theorem 2: bounded region → both max and min exist, at corners. Unbounded region → use the open half-plane check. No feasible region → no feasible solution.सुसंगत क्षेत्र = सभी व्यवरोधों (x, y \ge 0 सहित) का उभयनिष्ठ क्षेत्र; इसके अंदर या सीमा पर के बिंदु = सुसंगत हल; सर्वोत्तम Z देने वाला बिंदु = इष्टतम हल। प्रमेय 1: इष्टतम मान, यदि है, तो कोनीय बिंदु पर है। प्रमेय 2: परिबद्ध क्षेत्र → अधिकतम और न्यूनतम दोनों हैं, कोनीय बिंदुओं पर। अपरिबद्ध क्षेत्र → खुले अर्धतल की जाँच। कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं → कोई सुसंगत हल नहीं।Feasible region = saare constraints (x, y \ge 0 sahit) ka common region; iske andar ya boundary par ke points = feasible solutions; best Z dene wala point = optimal solution. Theorem 1: optimal value, agar hai, to corner par hai. Theorem 2: bounded region → max aur min dono hain, corners par. Unbounded region → open half-plane check. Koi feasible region nahi → koi feasible solution nahi.
Historical Note (NCERT)Linear programming problems came to the forefront in World War II, when war operations had to be planned to economise expenditure. NCERT's note says the first LPP — the transportation problem — was formulated in 1941 by the Russian mathematician L. Kantorovich and the American economist F. L. Hitchcock, working independently. In 1945 the English economist G. Stigler described the problem of determining an optimal diet. In 1947 the American economist G. B. Dantzig suggested the simplex method, an iterative procedure that solves any LPP in a finite number of steps. L. Kantorovich and the American mathematical economist T. C. Koopmans were awarded the Nobel Prize in Economics in 1975 for their pioneering work in linear programming.ऐतिहासिक टिप्पणी (NCERT)द्वितीय विश्व युद्ध में, जब युद्ध की कार्यवाहियों की योजना ख़र्च कम करने के लिए बनानी पड़ी, तब रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ सामने आईं। NCERT की टिप्पणी के अनुसार पहली रैखिक प्रोग्रामन समस्या — परिवहन समस्या — 1941 में रूसी गणितज्ञ L. Kantorovich और अमेरिकी अर्थशास्त्री F. L. Hitchcock ने एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से सूत्रबद्ध की। 1945 में अंग्रेज़ अर्थशास्त्री G. Stigler ने इष्टतम आहार निर्धारित करने की समस्या बताई। 1947 में अमेरिकी अर्थशास्त्री G. B. Dantzig ने सिंप्लेक्स विधि सुझाई, जो किसी भी रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सीमित चरणों में हल करने की पुनरावृत्त विधि है। रैखिक प्रोग्रामन में अग्रणी कार्य के लिए L. Kantorovich और अमेरिकी गणितीय अर्थशास्त्री T. C. Koopmans को 1975 में अर्थशास्त्र का नोबेल पुरस्कार मिला।Historical Note (NCERT)World War II mein, jab war operations ki planning kharcha kam karne ke liye karni padi, tab linear programming problems saamne aayin. NCERT ke note ke anusaar pehli LPP — transportation problem — 1941 mein Russian mathematician L. Kantorovich aur American economist F. L. Hitchcock ne ek-doosre se alag-alag formulate ki. 1945 mein English economist G. Stigler ne optimal diet tay karne ki problem batayi. 1947 mein American economist G. B. Dantzig ne simplex method suggest kiya, jo kisi bhi LPP ko finite steps mein hal karne ka iterative tareeka hai. Linear programming mein pioneering kaam ke liye L. Kantorovich aur American mathematical economist T. C. Koopmans ko 1975 mein Economics ka Nobel Prize mila.

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