CLASS 12 MATHS · CHAPTER 11

🧊Three Dimensional Geometryत्रि-विमीय ज्यामितिThree Dimensional Geometry

Direction cosines and direction ratios of a line, equation of a line in space (vector and cartesian form), angle between two lines, shortest distance between skew and parallel lines — NCERT Chapter 11, in easy words.रेखा की दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात, अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण (सदिश और कार्तीय रूप), दो रेखाओं के बीच का कोण, विषमतलीय और समांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी — NCERT अध्याय 11, आसान शब्दों में।Line ke direction cosines aur direction ratios, space mein line ka equation (vector aur cartesian form), do lines ke beech ka angle, skew aur parallel lines ke beech shortest distance — NCERT Chapter 11, aasaan shabdon mein.

In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein

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Direction angles and direction cosines of a lineरेखा के दिक्-कोण और दिक्-कोसाइनLine ke direction angles aur direction cosinesFig 11.1 · 3DDirection cosines of the line through two pointsदो बिंदुओं से जाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइनDo points se jaane wali line ke direction cosinesFig 11.2 · 3DLine through a point A parallel to a vector bबिंदु A से जाने वाली और सदिश b के समांतर रेखाPoint A se jaane wali aur vector b ke parallel lineFig 11.3 · 3DAngle between two linesदो रेखाओं के बीच का कोणDo lines ke beech ka angleFig 11.4 · 3DSkew lines in a room: GE and DBकमरे में विषमतलीय रेखाएँ: GE और DBKamre mein skew lines: GE aur DBFig 11.5 · 3DShortest distance between two skew linesदो विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरीDo skew lines ke beech shortest distanceFig 11.6 · 3DDistance between two parallel linesदो समांतर रेखाओं के बीच की दूरीDo parallel lines ke beech ki distanceFig 11.7 · 3D

3D models3D मॉडल3D models

Direction angles α, β, γ of a lineरेखा के दिक्-कोण α, β, γLine ke direction angles α, β, γ3DThe line r = a + λb (NCERT Example 6)रेखा r = a + λb (NCERT उदाहरण 6)Line r = a + λb (NCERT Example 6)3DAngle between two lines (NCERT Example 7)दो रेखाओं के बीच का कोण (NCERT उदाहरण 7)Do lines ke beech ka angle (NCERT Example 7)3DNCERT's room: skew lines GE and DBNCERT का कमरा: विषमतलीय रेखाएँ GE और DBNCERT ka kamra: skew lines GE aur DB3DSkew lines and their shortest distance (NCERT Example 9)विषमतलीय रेखाएँ और उनकी न्यूनतम दूरी (NCERT उदाहरण 9)Skew lines aur unki shortest distance (NCERT Example 9)3DDistance between parallel lines (NCERT Example 10)समांतर रेखाओं के बीच की दूरी (NCERT उदाहरण 10)Parallel lines ke beech ki distance (NCERT Example 10)3D

Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye

11.1IntroductionपरिचयIntroduction

In Class XI you studied analytical geometry in two dimensions and an introduction to 3D geometry using only the Cartesian method. In Chapter 10 you learnt vectors. In this chapter we use vector algebra for three dimensional geometry, because it makes the study simple and elegant. We study the direction cosines and direction ratios of a line, the equation of a line in space, the angle between two lines and the shortest distance between two lines. Most results are found in vector form, and then also written in Cartesian form, which often gives a clearer picture.कक्षा XI में आपने द्वि-विमीय विश्लेषणात्मक ज्यामिति और त्रि-विमीय ज्यामिति का परिचय केवल कार्तीय विधि से पढ़ा था। अध्याय 10 में आपने सदिश पढ़े। इस अध्याय में हम त्रि-विमीय ज्यामिति के लिए सदिश बीजगणित का उपयोग करेंगे, क्योंकि इससे अध्ययन सरल और सुंदर हो जाता है। हम रेखा की दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात, अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण और दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी पढ़ेंगे। अधिकतर परिणाम सदिश रूप में निकाले जाते हैं और फिर कार्तीय रूप में भी लिखे जाते हैं, जो अक्सर ज़्यादा स्पष्ट चित्र देता है।Class XI mein aapne 2D analytical geometry aur 3D geometry ka introduction sirf Cartesian method se padha tha. Chapter 10 mein aapne vectors padhe. Is chapter mein hum 3D geometry ke liye vector algebra use karenge, kyunki isse padhai simple aur sundar ho jaati hai. Hum line ke direction cosines aur direction ratios, space mein line ka equation, do lines ke beech ka angle aur do lines ke beech ki shortest distance padhenge. Zyada tar results vector form mein nikalte hain, phir Cartesian form mein bhi likhe jaate hain, jo aksar zyada clear picture deta hai.अ

11.2Direction Cosines and Direction Ratios of a Lineरेखा की दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपातLine ke Direction Cosines aur Direction Ratios

Direction angles and direction cosines of a lineरेखा के दिक्-कोण और दिक्-कोसाइनLine ke direction angles aur direction cosinesNCERT Fig 11.1 · 11 tappable parts · 3DOpen

If we reverse the direction of L, the direction angles become their supplements \pi - \alpha, \pi - \beta, \pi - \gamma, so the signs of the direction cosines are reversed. A line in space can be extended in two opposite directions, so it has two sets of direction cosines. To get a unique set l, m, n, we must take the line as a directed line.यदि हम L की दिशा उलट दें, तो दिक्-कोण अपने संपूरक \pi - \alpha, \pi - \beta, \pi - \gamma बन जाते हैं, इसलिए दिक्-कोसाइन के चिह्न उलट जाते हैं। अंतरिक्ष में किसी रेखा को दो विपरीत दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है, इसलिए उसकी दिक्-कोसाइन के दो समुच्चय होते हैं। अद्वितीय समुच्चय l, m, n पाने के लिए रेखा को दिष्ट रेखा मानना होता है।Agar hum L ki direction ulat dein, to direction angles apne supplements \pi - \alpha, \pi - \beta, \pi - \gamma ban jaate hain, isliye direction cosines ke sign ulat jaate hain. Space mein kisi line ko do opposite directions mein badhaya ja sakta hai, isliye uske direction cosines ke do sets hote hain. Unique set l, m, n paane ke liye line ko directed line maanna hota hai.अ

From direction ratios to direction cosines. Let a, b, c be direction ratios and l, m, n the direction cosines of a line. Then \dfrac{l}{a} = \dfrac{m}{b} = \dfrac{n}{c} = k (say), so l = ak,\ m = bk,\ n = ck. Since l^2 + m^2 + n^2 = 1, we get k^2(a^2 + b^2 + c^2) = 1, i.e. k = \pm \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.दिक्-अनुपात से दिक्-कोसाइन तक। मान लीजिए a, b, c किसी रेखा के दिक्-अनुपात और l, m, n उसकी दिक्-कोसाइन हैं। तब \dfrac{l}{a} = \dfrac{m}{b} = \dfrac{n}{c} = k (मान लीजिए), अतः l = ak,\ m = bk,\ n = ck। क्योंकि l^2 + m^2 + n^2 = 1, इसलिए k^2(a^2 + b^2 + c^2) = 1, अर्थात् k = \pm \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}।Direction ratios se direction cosines tak. Maan lijiye a, b, c kisi line ke direction ratios aur l, m, n uske direction cosines hain. Tab \dfrac{l}{a} = \dfrac{m}{b} = \dfrac{n}{c} = k (maan lijiye), to l = ak,\ m = bk,\ n = ck. Kyunki l^2 + m^2 + n^2 = 1, isliye k^2(a^2 + b^2 + c^2) = 1, yaani k = \pm \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.अ

11.2.1Direction cosines of a line passing through two pointsदो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइनDo points se jaane wali line ke direction cosines

Only one line passes through two given points, so we can find the direction cosines of the line through P(x_1, y_1, z_1) and Q(x_2, y_2, z_2). Let the line PQ make angles \alpha, \beta, \gamma with the x, y and z-axes. Draw perpendiculars from P and Q to the XY-plane meeting it at R and S, and a perpendicular from P to QS meeting it at N. In the right-angled triangle PNQ, \angle PQN = \gamma, so \cos\gamma = \dfrac{NQ}{PQ} = \dfrac{z_2 - z_1}{PQ}. In the same way \cos\alpha = \dfrac{x_2 - x_1}{PQ} and \cos\beta = \dfrac{y_2 - y_1}{PQ}.दो दिए गए बिंदुओं से केवल एक ही रेखा जाती है, इसलिए हम P(x_1, y_1, z_1) और Q(x_2, y_2, z_2) से जाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कर सकते हैं। मान लीजिए रेखा PQ, x, y और z-अक्षों से कोण \alpha, \beta, \gamma बनाती है। P और Q से XY-तल पर लंब खींचिए जो उसे R और S पर मिलते हैं, और P से QS पर लंब खींचिए जो उसे N पर मिलता है। समकोण त्रिभुज PNQ में \angle PQN = \gamma, इसलिए \cos\gamma = \dfrac{NQ}{PQ} = \dfrac{z_2 - z_1}{PQ}। इसी प्रकार \cos\alpha = \dfrac{x_2 - x_1}{PQ} और \cos\beta = \dfrac{y_2 - y_1}{PQ}।Do diye gaye points se sirf ek hi line jaati hai, isliye hum P(x_1, y_1, z_1) aur Q(x_2, y_2, z_2) se jaane wali line ke direction cosines nikal sakte hain. Maan lijiye line PQ, x, y aur z-axes se angles \alpha, \beta, \gamma banati hai. P aur Q se XY-plane par perpendicular kheenchiye jo use R aur S par milte hain, aur P se QS par perpendicular kheenchiye jo use N par milta hai. Right-angled triangle PNQ mein \angle PQN = \gamma, isliye \cos\gamma = \dfrac{NQ}{PQ} = \dfrac{z_2 - z_1}{PQ}. Isi tarah \cos\alpha = \dfrac{x_2 - x_1}{PQ} aur \cos\beta = \dfrac{y_2 - y_1}{PQ}.अ

Direction cosines of the line through two pointsदो बिंदुओं से जाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइनDo points se jaane wali line ke direction cosinesNCERT Fig 11.2 · 18 tappable parts · 3DOpen

11.3Equation of a Line in Spaceअंतरिक्ष में रेखा का समीकरणSpace mein Line ka Equation

A line is uniquely determined if (i) it passes through a given point and has a given direction, or (ii) it passes through two given points.एक रेखा अद्वितीयतः निर्धारित होती है यदि (i) वह एक दिए गए बिंदु से जाती है और उसकी दिशा दी गई है, या (ii) वह दो दिए गए बिंदुओं से होकर जाती है।Ek line unique roop se tay hoti hai agar (i) wo ek diye gaye point se jaati hai aur uski direction di gayi hai, ya (ii) wo do diye gaye points se jaati hai.अ

11.3.1Equation of a line through a given point and parallel to given vectorदिए गए बिंदु से जाने वाली और दिए गए सदिश के समांतर रेखा का समीकरणDiye gaye point se jaane wali aur diye gaye vector ke parallel line ka equation

Let \vec{a} be the position vector of the given point A with respect to the origin O. Let the line l pass through A and be parallel to the vector \vec{b}. Let \vec{r} be the position vector of any point P on the line. Then \overrightarrow{AP} is parallel to \vec{b}, i.e. \overrightarrow{AP} = \lambda\vec{b} for some real number \lambda. But \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \vec{r} - \vec{a}. So \lambda\vec{b} = \vec{r} - \vec{a}. Conversely, for each value of the parameter \lambda this gives the position vector of a point P on the line.मान लीजिए मूल बिंदु O के सापेक्ष दिए गए बिंदु A का स्थिति सदिश \vec{a} है। रेखा l, A से होकर जाती है और सदिश \vec{b} के समांतर है। मान लीजिए रेखा पर किसी भी बिंदु P का स्थिति सदिश \vec{r} है। तब \overrightarrow{AP}, \vec{b} के समांतर है, अर्थात् किसी वास्तविक संख्या \lambda के लिए \overrightarrow{AP} = \lambda\vec{b}। परंतु \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \vec{r} - \vec{a}। अतः \lambda\vec{b} = \vec{r} - \vec{a}। विलोमतः, प्राचल \lambda के हर मान के लिए यह रेखा पर किसी बिंदु P का स्थिति सदिश देता है।Maan lijiye origin O ke respect mein diye gaye point A ka position vector \vec{a} hai. Line l, A se jaati hai aur vector \vec{b} ke parallel hai. Maan lijiye line par kisi bhi point P ka position vector \vec{r} hai. Tab \overrightarrow{AP}, \vec{b} ke parallel hai, yaani kisi real number \lambda ke liye \overrightarrow{AP} = \lambda\vec{b}. Lekin \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \vec{r} - \vec{a}. Isliye \lambda\vec{b} = \vec{r} - \vec{a}. Ulta bhi sahi hai: parameter \lambda ki har value ke liye ye line par kisi point P ka position vector deta hai.अ

Line through a point A parallel to a vector bबिंदु A से जाने वाली और सदिश b के समांतर रेखाPoint A se jaane wali aur vector b ke parallel lineNCERT Fig 11.3 · 12 tappable parts · 3DOpen

Cartesian form from vector form. Let A be (x_1, y_1, z_1), let the direction ratios be a, b, c and let P be (x, y, z). Then \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}, \vec{a} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}, \vec{b} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}. Putting these in \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} and equating the coefficients of \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}: \;x = x_1 + \lambda a, y = y_1 + \lambda b, z = z_1 + \lambda c. These are the parametric equations of the line. Eliminating \lambda gives the Cartesian equation.सदिश रूप से कार्तीय रूप। मान लीजिए A बिंदु (x_1, y_1, z_1) है, दिक्-अनुपात a, b, c हैं और P बिंदु (x, y, z) है। तब \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}, \vec{a} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}, \vec{b} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}। इन्हें \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} में रखकर \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} के गुणांकों की तुलना करने पर: \;x = x_1 + \lambda a, y = y_1 + \lambda b, z = z_1 + \lambda c। ये रेखा के प्राचलिक समीकरण हैं। \lambda का विलोपन करने पर कार्तीय समीकरण मिलता है।Vector form se Cartesian form. Maan lijiye A point (x_1, y_1, z_1) hai, direction ratios a, b, c hain aur P point (x, y, z) hai. Tab \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}, \vec{a} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}, \vec{b} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}. Inhe \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} mein rakh kar \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} ke coefficients compare karne par: \;x = x_1 + \lambda a, y = y_1 + \lambda b, z = z_1 + \lambda c. Ye line ke parametric equations hain. \lambda ko eliminate karne par Cartesian equation milta hai.अ

11.4Angle between Two Linesदो रेखाओं के बीच का कोणDo Lines ke beech ka Angle

Let L_1 and L_2 be two lines through the origin with direction ratios a_1, b_1, c_1 and a_2, b_2, c_2. Let P be a point on L_1 and Q a point on L_2, and let \theta be the acute angle between OP and OQ. The directed segments OP and OQ are vectors with components a_1, b_1, c_1 and a_2, b_2, c_2, so the angle between them is given by the dot product formula. If the lines do not pass through the origin, take lines L_1' and L_2' through the origin parallel to L_1 and L_2.मान लीजिए L_1 और L_2 मूल बिंदु से जाने वाली दो रेखाएँ हैं जिनके दिक्-अनुपात a_1, b_1, c_1 और a_2, b_2, c_2 हैं। मान लीजिए P, L_1 पर और Q, L_2 पर एक बिंदु है, और \theta, OP तथा OQ के बीच का न्यून कोण है। दिष्ट रेखाखंड OP और OQ ऐसे सदिश हैं जिनके घटक a_1, b_1, c_1 और a_2, b_2, c_2 हैं, इसलिए उनके बीच का कोण अदिश गुणनफल के सूत्र से मिलता है। यदि रेखाएँ मूल बिंदु से नहीं जातीं, तो मूल बिंदु से L_1 और L_2 के समांतर रेखाएँ L_1' और L_2' लीजिए।Maan lijiye L_1 aur L_2 origin se jaane wali do lines hain jinke direction ratios a_1, b_1, c_1 aur a_2, b_2, c_2 hain. Maan lijiye P, L_1 par aur Q, L_2 par ek point hai, aur \theta, OP aur OQ ke beech ka acute angle hai. Directed segments OP aur OQ aise vectors hain jinke components a_1, b_1, c_1 aur a_2, b_2, c_2 hain, isliye unke beech ka angle dot product formula se milta hai. Agar lines origin se nahi jaatin, to origin se L_1 aur L_2 ke parallel lines L_1' aur L_2' lijiye.अ

Angle between two linesदो रेखाओं के बीच का कोणDo lines ke beech ka angleNCERT Fig 11.4 · 10 tappable parts · 3DOpen

The angle can also be written with \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}: \sin\theta = \dfrac{\sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2}}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\,\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}, and with direction cosines \sin\theta = \sqrt{(l_1m_2 - l_2m_1)^2 + (m_1n_2 - m_2n_1)^2 + (n_1l_2 - n_2l_1)^2}.कोण को \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} से भी लिखा जा सकता है: \sin\theta = \dfrac{\sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2}}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\,\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}, और दिक्-कोसाइन के साथ \sin\theta = \sqrt{(l_1m_2 - l_2m_1)^2 + (m_1n_2 - m_2n_1)^2 + (n_1l_2 - n_2l_1)^2}।Angle ko \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} se bhi likh sakte hain: \sin\theta = \dfrac{\sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2}}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\,\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}, aur direction cosines ke saath \sin\theta = \sqrt{(l_1m_2 - l_2m_1)^2 + (m_1n_2 - m_2n_1)^2 + (n_1l_2 - n_2l_1)^2}.अ

11.5Shortest Distance between Two Linesदो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरीDo Lines ke beech ki Shortest Distance

If two lines in space intersect, the shortest distance between them is zero. If two lines are parallel, the shortest distance is the perpendicular distance, i.e. the length of the perpendicular drawn from a point on one line onto the other. In space there are also lines which are neither intersecting nor parallel; such a pair is non coplanar and the lines are called skew lines.यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके बीच की न्यूनतम दूरी शून्य है। यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो न्यूनतम दूरी उनके बीच की लांबिक दूरी है, अर्थात् एक रेखा के किसी बिंदु से दूसरी रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई। अंतरिक्ष में ऐसी रेखाएँ भी होती हैं जो न प्रतिच्छेद करती हैं न समांतर हैं; ऐसा युग्म असमतलीय होता है और ये रेखाएँ विषमतलीय रेखाएँ कहलाती हैं।Agar space mein do lines intersect karti hain, to unke beech ki shortest distance zero hai. Agar do lines parallel hain, to shortest distance unke beech ki perpendicular distance hai, yaani ek line ke kisi point se doosri line par kheenche gaye perpendicular ki length. Space mein aisi lines bhi hoti hain jo na intersect karti hain na parallel hain; aisa pair non coplanar hota hai aur ye lines skew lines kehlaati hain.अ

Skew lines in a room: GE and DBकमरे में विषमतलीय रेखाएँ: GE और DBKamre mein skew lines: GE aur DBNCERT Fig 11.5 · 12 tappable parts · 3DOpen

11.5.1Distance between two skew linesदो विषमतलीय रेखाओं के बीच की दूरीDo skew lines ke beech ki distance

Let l_1: \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} and l_2: \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} be skew lines. Take S on l_1 with position vector \vec{a_1} and T on l_2 with position vector \vec{a_2}. If PQ is the shortest distance vector, it is perpendicular to both \vec{b_1} and \vec{b_2}, so the unit vector along PQ is \hat{n} = \dfrac{\vec{b_1} \times \vec{b_2}}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}. The shortest distance d is the length of the projection of \overrightarrow{ST} = \vec{a_2} - \vec{a_1} on \hat{n}: \;d = PQ = ST\,|\cos\theta| = |\hat{n}\cdot(\vec{a_2} - \vec{a_1})|, where \theta is the angle between \overrightarrow{ST} and \overrightarrow{PQ}.मान लीजिए l_1: \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} और l_2: \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} विषमतलीय रेखाएँ हैं। l_1 पर स्थिति सदिश \vec{a_1} वाला बिंदु S और l_2 पर स्थिति सदिश \vec{a_2} वाला बिंदु T लीजिए। यदि PQ न्यूनतम दूरी सदिश है, तो यह \vec{b_1} और \vec{b_2} दोनों पर लंब है, इसलिए PQ के अनुदिश मात्रक सदिश \hat{n} = \dfrac{\vec{b_1} \times \vec{b_2}}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} है। न्यूनतम दूरी d, \overrightarrow{ST} = \vec{a_2} - \vec{a_1} के \hat{n} पर प्रक्षेप की लंबाई है: \;d = PQ = ST\,|\cos\theta| = |\hat{n}\cdot(\vec{a_2} - \vec{a_1})|, जहाँ \theta, \overrightarrow{ST} और \overrightarrow{PQ} के बीच का कोण है।Maan lijiye l_1: \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} aur l_2: \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} skew lines hain. l_1 par position vector \vec{a_1} wala point S aur l_2 par position vector \vec{a_2} wala point T lijiye. Agar PQ shortest distance vector hai, to ye \vec{b_1} aur \vec{b_2} dono par perpendicular hai, isliye PQ ke along unit vector \hat{n} = \dfrac{\vec{b_1} \times \vec{b_2}}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} hai. Shortest distance d, \overrightarrow{ST} = \vec{a_2} - \vec{a_1} ke \hat{n} par projection ki length hai: \;d = PQ = ST\,|\cos\theta| = |\hat{n}\cdot(\vec{a_2} - \vec{a_1})|, jahan \theta, \overrightarrow{ST} aur \overrightarrow{PQ} ke beech ka angle hai.अ

Shortest distance between two skew linesदो विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरीDo skew lines ke beech shortest distanceNCERT Fig 11.6 · 10 tappable parts · 3DOpen

Cartesian form. The shortest distance between l_1: \dfrac{x - x_1}{a_1} = \dfrac{y - y_1}{b_1} = \dfrac{z - z_1}{c_1} and l_2: \dfrac{x - x_2}{a_2} = \dfrac{y - y_2}{b_2} = \dfrac{z - z_2}{c_2} is the absolute value of the determinant below divided by \sqrt{(b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2}.कार्तीय रूप। l_1: \dfrac{x - x_1}{a_1} = \dfrac{y - y_1}{b_1} = \dfrac{z - z_1}{c_1} और l_2: \dfrac{x - x_2}{a_2} = \dfrac{y - y_2}{b_2} = \dfrac{z - z_2}{c_2} के बीच की न्यूनतम दूरी नीचे दिए सारणिक के निरपेक्ष मान को \sqrt{(b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2} से भाग देने पर मिलती है।Cartesian form. l_1: \dfrac{x - x_1}{a_1} = \dfrac{y - y_1}{b_1} = \dfrac{z - z_1}{c_1} aur l_2: \dfrac{x - x_2}{a_2} = \dfrac{y - y_2}{b_2} = \dfrac{z - z_2}{c_2} ke beech ki shortest distance neeche diye determinant ki absolute value ko \sqrt{(b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2} se divide karne par milti hai.अ

11.5.2Distance between parallel linesसमांतर रेखाओं के बीच की दूरीParallel lines ke beech ki distance

If two lines l_1 and l_2 are parallel, they are coplanar. Let them be \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b} and \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b} (same \vec{b}), with S on l_1 (position vector \vec{a_1}) and T on l_2 (position vector \vec{a_2}). If P is the foot of the perpendicular from T on l_1, the distance between the lines is |TP|. Let \theta be the angle between \vec{b} and \overrightarrow{ST}. Then \vec{b}\times\overrightarrow{ST} = (|\vec{b}|\,|\overrightarrow{ST}|\sin\theta)\,\hat{n}, where \hat{n} is the unit vector perpendicular to the plane of the lines. Since \overrightarrow{ST} = \vec{a_2} - \vec{a_1} and PT = ST\sin\theta: \;|\vec{b}\times(\vec{a_2} - \vec{a_1})| = |\vec{b}|\,PT.यदि दो रेखाएँ l_1 और l_2 समांतर हैं, तो वे समतलीय हैं। मान लीजिए वे \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b} और \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b} हैं (एक ही \vec{b}), l_1 पर S (स्थिति सदिश \vec{a_1}) और l_2 पर T (स्थिति सदिश \vec{a_2})। यदि T से l_1 पर डाले गए लंब का पाद P है, तो रेखाओं के बीच की दूरी |TP| है। मान लीजिए \vec{b} और \overrightarrow{ST} के बीच का कोण \theta है। तब \vec{b}\times\overrightarrow{ST} = (|\vec{b}|\,|\overrightarrow{ST}|\sin\theta)\,\hat{n}, जहाँ \hat{n} रेखाओं के तल पर लंब मात्रक सदिश है। क्योंकि \overrightarrow{ST} = \vec{a_2} - \vec{a_1} और PT = ST\sin\theta: \;|\vec{b}\times(\vec{a_2} - \vec{a_1})| = |\vec{b}|\,PT।Agar do lines l_1 aur l_2 parallel hain, to wo coplanar hain. Maan lijiye wo \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b} aur \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b} hain (same \vec{b}), l_1 par S (position vector \vec{a_1}) aur l_2 par T (position vector \vec{a_2}). Agar T se l_1 par daale gaye perpendicular ka foot P hai, to lines ke beech ki distance |TP| hai. Maan lijiye \vec{b} aur \overrightarrow{ST} ke beech ka angle \theta hai. Tab \vec{b}\times\overrightarrow{ST} = (|\vec{b}|\,|\overrightarrow{ST}|\sin\theta)\,\hat{n}, jahan \hat{n} lines ke plane par perpendicular unit vector hai. Kyunki \overrightarrow{ST} = \vec{a_2} - \vec{a_1} aur PT = ST\sin\theta: \;|\vec{b}\times(\vec{a_2} - \vec{a_1})| = |\vec{b}|\,PT.अ

Distance between two parallel linesदो समांतर रेखाओं के बीच की दूरीDo parallel lines ke beech ki distanceNCERT Fig 11.7 · 9 tappable parts · 3DOpen

Miscellaneous Exercise (selected)विविध प्रश्नावली (चुने हुए)Miscellaneous Exercise (chune hue)

These questions from the end of the chapter mix all the ideas. Try each one yourself first, then tap to see the answer.अध्याय के अंत के ये प्रश्न सभी विचारों को मिलाते हैं। पहले हर प्रश्न स्वयं हल कीजिए, फिर उत्तर देखने के लिए टैप कीजिए।Chapter ke end ke ye questions saare ideas ko milaate hain. Pehle har question khud solve kijiye, phir answer dekhne ke liye tap kijiye.अ

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