🔗Relations and Functionsसंबंध एवं फलनRelations aur Functions

1. It is a boys school, so no student can be the sister of any student. No pair is in R.यह बालक विद्यालय है, इसलिए कोई भी विद्यार्थी किसी विद्यार्थी की बहन नहीं हो सकता। R में कोई युग्म नहीं।Ye boys school hai, isliye koi bhi student kisi student ki sister nahi ho sakta. R mein koi pair nahi.
   R = \varphi
2. Any two students differ in height by less than 3 m, so every pair is in R′.किन्हीं भी दो विद्यार्थियों की लंबाई का अंतर 3 मीटर से कम ही होगा, इसलिए हर युग्म R′ में है।Kinhi bhi do students ki height ka difference 3 m se kam hi hoga, isliye har pair R′ mein hai.
   R' = A \times A

✔ R is the empty relation and R′ is the universal relation.R रिक्त संबंध है और R′ सार्वत्रिक संबंध है।R empty relation hai aur R′ universal relation hai.

1. Reflexive: every triangle is congruent to itself.स्वतुल्य: हर त्रिभुज स्वयं के सर्वांगसम है।Reflexive: har triangle khud ke congruent hai.
   (T, T) \in R
2. Symmetric: if T₁ is congruent to T₂, then T₂ is congruent to T₁.सममित: यदि T₁, T₂ के सर्वांगसम है, तो T₂ भी T₁ के सर्वांगसम है।Symmetric: agar T₁, T₂ ke congruent hai to T₂ bhi T₁ ke congruent hai.
   (T_1, T_2) \in R \Rightarrow T_1 \cong T_2 \Rightarrow T_2 \cong T_1 \Rightarrow (T_2, T_1) \in R
3. Transitive: congruence passes along a chain.संक्रामक: सर्वांगसमता एक कड़ी में आगे बढ़ती है।Transitive: congruence chain mein aage badhti hai.
   T_1 \cong T_2,\ T_2 \cong T_3 \Rightarrow T_1 \cong T_3

✔ R is reflexive, symmetric and transitive, so R is an equivalence relation.R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है, अतः R एक तुल्यता संबंध है।R reflexive, symmetric aur transitive hai, isliye R equivalence relation hai.

1. Not reflexive: a line cannot be perpendicular to itself.स्वतुल्य नहीं: कोई रेखा स्वयं पर लंब नहीं हो सकती।Reflexive nahi: koi line khud par perpendicular nahi ho sakti.
   (L_1, L_1) \notin R
2. Symmetric: perpendicularity works both ways, so (L_2, L_1) \in R.सममित: लंबता दोनों ओर से होती है, इसलिए (L_2, L_1) \in R।Symmetric: perpendicular hona dono taraf se hota hai, isliye (L_2, L_1) \in R.
   L_1 \perp L_2 \Rightarrow L_2 \perp L_1
3. Not transitive: then L₁ is parallel to L₃, never perpendicular, so (L_1, L_3) \notin R (Fig 1.1).संक्रामक नहीं: तब L₁, L₃ के समांतर होती है, लंब कभी नहीं, इसलिए (L_1, L_3) \notin R (आकृति 1.1)।Transitive nahi: tab L₁, L₃ ke parallel hoti hai, perpendicular kabhi nahi, isliye (L_1, L_3) \notin R (Fig 1.1).
   L_1 \perp L_2,\ L_2 \perp L_3 \Rightarrow L_1 \parallel L_3

✔ R is symmetric, but neither reflexive nor transitive.R सममित है, परंतु न स्वतुल्य है और न संक्रामक।R symmetric hai, par na reflexive hai na transitive.

1. Reflexive: every element must be related to itself. All three pairs (a, a) are present.स्वतुल्य: हर अवयव स्वयं से संबंधित होना चाहिए। तीनों युग्म (a, a) मौजूद हैं।Reflexive: har element khud se related hona chahiye. Teeno pairs (a, a) maujood hain.
   (1,1),\ (2,2),\ (3,3) \in R
2. Symmetric would need (2, 1) whenever (1, 2) is there. It is missing.सममित के लिए (1, 2) के साथ (2, 1) भी चाहिए। वह नहीं है।Symmetric ke liye (1, 2) ke saath (2, 1) bhi chahiye. Wo nahi hai.
   (1,2) \in R \text{ but } (2,1) \notin R
3. Transitive would need (1, 3). It is missing.संक्रामक के लिए (1, 3) चाहिए। वह नहीं है।Transitive ke liye (1, 3) chahiye. Wo nahi hai.
   (1,2) \in R,\ (2,3) \in R \text{ but } (1,3) \notin R

✔ R is reflexive, but neither symmetric nor transitive.R स्वतुल्य है, परंतु न सममित है और न संक्रामक।R reflexive hai, par na symmetric hai na transitive.

1. Reflexive: 2 divides a - a for every integer a, so (a, a) \in R.स्वतुल्य: हर पूर्णांक a के लिए 2, a - a को विभाजित करता है, इसलिए (a, a) \in R।Reflexive: har integer a ke liye 2, a - a ko divide karta hai, isliye (a, a) \in R.
   a - a = 0 = 2 \times 0
2. Symmetric: if 2 divides a − b, it also divides b − a, so (b, a) \in R.सममित: यदि 2, a − b को विभाजित करता है, तो b − a को भी करता है, इसलिए (b, a) \in R।Symmetric: agar 2, a − b ko divide karta hai to b − a ko bhi karta hai, isliye (b, a) \in R.
   a - b = 2k \Rightarrow b - a = 2(-k)
3. Transitive: the sum of two even numbers is even, so 2 divides a − c and (a, c) \in R.संक्रामक: दो सम संख्याओं का योग सम होता है, इसलिए 2, a − c को विभाजित करता है और (a, c) \in R।Transitive: do even numbers ka sum even hota hai, isliye 2, a − c ko divide karta hai aur (a, c) \in R.
   a - c = (a - b) + (b - c) = 2k + 2m = 2(k + m)

✔ R is an equivalence relation in Z.R, Z में एक तुल्यता संबंध है।R, Z mein ek equivalence relation hai.

1. Reflexive: a and a are both odd or both even.स्वतुल्य: a और a दोनों या तो विषम हैं या सम।Reflexive: a aur a dono ya to odd hain ya even.
   (a, a) \in R
2. Symmetric: "both odd or both even" does not depend on the order.सममित: "दोनों विषम या दोनों सम" क्रम पर निर्भर नहीं करता।Symmetric: "dono odd ya dono even" order par depend nahi karta.
   (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R
3. Transitive: then a, b, c are all odd or all even together.संक्रामक: तब a, b, c तीनों एक साथ विषम या एक साथ सम हैं।Transitive: tab a, b, c teeno ek saath odd ya ek saath even hain.
   (a, b), (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R
4. Inside each subset all elements are related; an odd and an even number are never related.हर उपसमुच्चय के भीतर सभी अवयव संबंधित हैं; एक विषम और एक सम संख्या कभी संबंधित नहीं।Har subset ke andar saare elements related hain; ek odd aur ek even number kabhi related nahi.
   \{1, 3, 5, 7\}:\ \text{all odd};\quad \{2, 4, 6\}:\ \text{all even}

✔ R is an equivalence relation with the two classes {1, 3, 5, 7} and {2, 4, 6}.R एक तुल्यता संबंध है, जिसके दो वर्ग {1, 3, 5, 7} और {2, 4, 6} हैं।R ek equivalence relation hai, jiski do classes {1, 3, 5, 7} aur {2, 4, 6} hain.

1. No two different students of the class have the same roll number, so f is one-one.कक्षा के दो अलग विद्यार्थियों का एक ही रोल नंबर नहीं हो सकता, इसलिए f एकैकी है।Class ke do alag students ka same roll number nahi ho sakta, isliye f one-one hai.
   x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)
2. Take the roll numbers to be 1 to 50. Then 51 ∈ N is nobody's roll number, so it is not an image.मान लीजिए रोल नंबर 1 से 50 हैं। तब 51 ∈ N किसी का रोल नंबर नहीं, इसलिए वह किसी का प्रतिबिंब नहीं।Maan lijiye roll numbers 1 se 50 hain. Tab 51 ∈ N kisi ka roll number nahi, isliye wo kisi ka image nahi.
   \text{Range} = \{1, 2, \ldots, 50\} \ne N

✔ f is one-one but not onto.f एकैकी है, परंतु आच्छादक नहीं है।f one-one hai, par onto nahi.

1. Equal outputs force equal inputs: one-one.बराबर आउटपुट से इनपुट भी बराबर होते हैं: एकैकी।Same output se input bhi same hote hain: one-one.
   f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2
2. For 1 \in N there is no natural number x with 2x = 1, so 1 is not an image.1 \in N के लिए कोई प्राकृत संख्या x ऐसी नहीं कि 2x = 1, इसलिए 1 किसी का प्रतिबिंब नहीं।1 \in N ke liye koi natural number x aisa nahi ki 2x = 1, isliye 1 kisi ka image nahi.
   2x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{1}{2} \notin N

✔ f is one-one but not onto.f एकैकी है, परंतु आच्छादक नहीं।f one-one hai, par onto nahi.

1. One-one, as in Example 8.एकैकी, उदाहरण 8 की तरह।One-one, Example 8 ki tarah.
   f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2
2. Onto: for any real y, the real number y/2 is sent to y. (Now halves are allowed because the domain is R, not N.)आच्छादक: किसी भी वास्तविक y के लिए, वास्तविक संख्या y/2, y पर जाती है। (अब आधी संख्याएँ चलती हैं क्योंकि प्रांत R है, N नहीं।)Onto: kisi bhi real y ke liye real number y/2, y par jaata hai. (Ab halves chalte hain kyunki domain R hai, N nahi.)
   y \in R \Rightarrow \dfrac{y}{2} \in R,\quad f\!\left(\dfrac{y}{2}\right) = 2 \cdot \dfrac{y}{2} = y

✔ f is one-one and onto (bijective).f एकैकी तथा आच्छादक (एकैकी आच्छादक) है।f one-one aur onto (bijective) hai.

1. Two different inputs, same output: not one-one.दो अलग इनपुट, एक ही आउटपुट: एकैकी नहीं।Do alag inputs, same output: one-one nahi.
   f(1) = f(2) = 1,\ 1 \ne 2
2. Onto: for any y \ne 1 choose x = y + 1 > 2.आच्छादक: किसी भी y \ne 1 के लिए x = y + 1 > 2 चुनिए।Onto: kisi bhi y \ne 1 ke liye x = y + 1 > 2 chuniye.
   y \ne 1:\ f(y + 1) = (y + 1) - 1 = y
3. And 1 itself is the image of 1. So every natural number is an image.और 1 स्वयं 1 का प्रतिबिंब है। इसलिए हर प्राकृत संख्या किसी का प्रतिबिंब है।Aur 1 khud 1 ka image hai. Isliye har natural number kisi ka image hai.
   y = 1:\ f(1) = 1

✔ f is onto but not one-one.f आच्छादक है, परंतु एकैकी नहीं।f onto hai, par one-one nahi.

1. Not one-one.एकैकी नहीं।One-one nahi.
   f(-1) = 1 = f(1),\ -1 \ne 1
2. The element −2 of the co-domain R is not the image of any x (a square is never negative): not onto.सहप्रांत R का अवयव −2 किसी x का प्रतिबिंब नहीं (वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता): आच्छादक नहीं।Co-domain R ka element −2 kisi x ka image nahi (square kabhi negative nahi hota): onto nahi.
   x^2 = -2 \text{ has no real solution}

✔ f is neither one-one nor onto.f न एकैकी है, न आच्छादक।f na one-one hai, na onto.

1. Impossible: an even number minus an odd number is odd, never 2. (The case x_1 even, x_2 odd is ruled out the same way.) So x_1, x_2 are both odd or both even.असंभव: सम संख्या में से विषम घटाने पर विषम मिलता है, 2 कभी नहीं। (x_1 सम, x_2 विषम की स्थिति भी इसी तरह असंभव है।) अतः x_1, x_2 दोनों विषम या दोनों सम हैं।Impossible: even mein se odd ghataane par odd milta hai, 2 kabhi nahi. (x_1 even, x_2 odd wala case bhi aise hi ruled out.) Isliye x_1, x_2 dono odd ya dono even hain.
   x_1 \text{ odd},\ x_2 \text{ even}:\ x_1 + 1 = x_2 - 1 \Rightarrow x_2 - x_1 = 2
2. In both cases equal outputs give equal inputs: f is one-one.दोनों स्थितियों में बराबर आउटपुट से बराबर इनपुट मिलते हैं: f एकैकी है।Dono cases mein same output se same input milta hai: f one-one hai.
   x_1 + 1 = x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2 \quad\text{or}\quad x_1 - 1 = x_2 - 1 \Rightarrow x_1 = x_2
3. Onto: any odd number 2r + 1 is the image of 2r + 2, and any even number 2r is the image of 2r − 1.आच्छादक: कोई भी विषम संख्या 2r + 1, 2r + 2 का प्रतिबिंब है, और कोई भी सम संख्या 2r, 2r − 1 का प्रतिबिंब है।Onto: koi bhi odd number 2r + 1, 2r + 2 ka image hai, aur koi bhi even number 2r, 2r − 1 ka image hai.
   f(2r + 2) = 2r + 1,\quad f(2r - 1) = 2r

✔ f is both one-one and onto.f एकैकी तथा आच्छादक दोनों है।f one-one aur onto dono hai.

1. Suppose f is not one-one: then two elements, say 1 and 2, have the same image.मान लीजिए f एकैकी नहीं: तब दो अवयवों, मान लीजिए 1 और 2, का प्रतिबिंब एक ही है।Maan lijiye f one-one nahi: tab do elements, maan lijiye 1 aur 2, ka image same hai.
   \text{Suppose } f(1) = f(2)
2. The image of 3 is only one element, so the range has at most two elements — f is not onto. Contradiction.3 का प्रतिबिंब केवल एक अवयव है, इसलिए परिसर में अधिक से अधिक दो अवयव हैं — f आच्छादक नहीं। विरोधाभास।3 ka image sirf ek element hai, isliye range mein zyada se zyada do elements — f onto nahi. Contradiction.
   \lvert \text{Range} \rvert \le 2 < 3

✔ f must be one-one.f अवश्य एकैकी है।f zaroor one-one hai.

1. One-one: the three elements go to three different elements of {1, 2, 3}.एकैकी: तीनों अवयव {1, 2, 3} के तीन अलग अवयवों पर जाते हैं।One-one: teeno elements {1, 2, 3} ke teen alag elements par jaate hain.
   f(1),\ f(2),\ f(3) \text{ are all different}
2. Three different values inside a 3-element set use up the whole set.3 अवयवों वाले समुच्चय में तीन अलग मान पूरा समुच्चय भर देते हैं।3 elements wale set mein teen alag values poora set bhar deti hain.
   \{f(1), f(2), f(3)\} = \{1, 2, 3\}

✔ f has to be onto.f अवश्य आच्छादक है।f zaroor onto hai.

1. Apply f first, then g.पहले f, फिर g लगाइए।Pehle f, phir g lagaiye.
   g \circ f(2) = g(f(2)) = g(3) = 7
2. g \circ f(3) = g(f(3)) = g(4) = 7
3. g \circ f(4) = g(f(4)) = g(5) = 11
4. g \circ f(5) = g(f(5)) = g(5) = 11

✔ g \circ f(2) = 7,\ g \circ f(3) = 7,\ g \circ f(4) = 11,\ g \circ f(5) = 11g \circ f(2) = 7,\ g \circ f(3) = 7,\ g \circ f(4) = 11,\ g \circ f(5) = 11g \circ f(2) = 7,\ g \circ f(3) = 7,\ g \circ f(4) = 11,\ g \circ f(5) = 11

1. Put cos x into g.cos x को g में रखिए।cos x ko g mein rakhiye.
   g \circ f(x) = g(\cos x) = 3(\cos x)^2 = 3\cos^2 x
2. Put 3x² into f.3x² को f में रखिए।3x² ko f mein rakhiye.
   f \circ g(x) = f(3x^2) = \cos(3x^2)
3. One value where they differ is enough.एक मान पर अलग होना काफ़ी है।Ek value par alag hona kaafi hai.
   x = 0:\ 3\cos^2 0 = 3,\quad \cos(3 \cdot 0^2) = \cos 0 = 1

✔ g \circ f(x) = 3\cos^2 x,\ f \circ g(x) = \cos 3x^2, and g \circ f \ne f \circ g.g \circ f(x) = 3\cos^2 x,\ f \circ g(x) = \cos 3x^2, और g \circ f \ne f \circ g।g \circ f(x) = 3\cos^2 x,\ f \circ g(x) = \cos 3x^2, aur g \circ f \ne f \circ g.

1. Take any y in Y; by the definition of Y, y = 4x + 3 for some x in N. Solve for x.Y का कोई y लीजिए; Y की परिभाषा से किसी x ∈ N के लिए y = 4x + 3। x के लिए हल कीजिए।Y ka koi y lijiye; Y ki definition se kisi x ∈ N ke liye y = 4x + 3. x ke liye solve kijiye.
   y = 4x + 3 \Rightarrow x = \dfrac{y - 3}{4}
2. Define g by this formula.इस सूत्र से g परिभाषित कीजिए।Is formula se g define kijiye.
   g : Y \to N,\quad g(y) = \dfrac{y - 3}{4}
3. g undoes f, so g \circ f = I_N.g, f को उलट देता है, इसलिए g \circ f = I_N।g, f ko ulta kar deta hai, isliye g \circ f = I_N.
   g \circ f(x) = g(4x + 3) = \dfrac{4x + 3 - 3}{4} = x
4. And f undoes g, so f \circ g = I_Y.और f, g को उलट देता है, इसलिए f \circ g = I_Y।Aur f, g ko ulta kar deta hai, isliye f \circ g = I_Y.
   f \circ g(y) = f\!\left(\dfrac{y - 3}{4}\right) = \dfrac{4(y - 3)}{4} + 3 = y - 3 + 3 = y

✔ f is invertible and f^{-1}(y) = \dfrac{y - 3}{4}.f व्युत्क्रमणीय है और f^{-1}(y) = \dfrac{y - 3}{4}।f invertible hai aur f^{-1}(y) = \dfrac{y - 3}{4}.

1. Reflexive, for every a ∈ A.स्वतुल्य, हर a ∈ A के लिए।Reflexive, har a ∈ A ke liye.
   (a, a) \in R_1,\ (a, a) \in R_2 \Rightarrow (a, a) \in R_1 \cap R_2
2. Symmetric, because each of R_1, R_2 is symmetric.सममित, क्योंकि R_1, R_2 दोनों सममित हैं।Symmetric, kyunki R_1, R_2 dono symmetric hain.
   (a, b) \in R_1 \cap R_2 \Rightarrow (b, a) \in R_1 \text{ and } (b, a) \in R_2 \Rightarrow (b, a) \in R_1 \cap R_2
3. Transitive, because each is transitive.संक्रामक, क्योंकि दोनों संक्रामक हैं।Transitive, kyunki dono transitive hain.
   (a, b), (b, c) \in R_1 \cap R_2 \Rightarrow (a, c) \in R_1 \text{ and } (a, c) \in R_2

✔ R_1 \cap R_2 is an equivalence relation.R_1 \cap R_2 एक तुल्यता संबंध है।R_1 \cap R_2 ek equivalence relation hai.

1. Reflexive.स्वतुल्य।Reflexive.
   xy = yx \Rightarrow (x, y)\,R\,(x, y)
2. Symmetric.सममित।Symmetric.
   xv = yu \Rightarrow uy = vx \Rightarrow (u, v)\,R\,(x, y)
3. Transitive: multiply by a/u and use a/u = b/v (from ub = va; all numbers are positive, so division is allowed).संक्रामक: a/u से गुणा कीजिए और a/u = b/v (ub = va से; सभी संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए भाग दे सकते हैं) का प्रयोग कीजिए।Transitive: a/u se multiply kijiye aur a/u = b/v (ub = va se; saari numbers positive hain, isliye divide kar sakte hain) use kijiye.
   xv = yu,\ ub = va \Rightarrow xv\dfrac{a}{u} = yu\dfrac{a}{u} \Rightarrow xv\dfrac{b}{v} = yu\dfrac{a}{u} \Rightarrow xb = ya

✔ (x, y)\,R\,(a, b), so R is transitive; R is an equivalence relation.(x, y)\,R\,(a, b), अतः R संक्रामक है; R एक तुल्यता संबंध है।(x, y)\,R\,(a, b), isliye R transitive hai; R equivalence relation hai.

1. Key fact: inside each of these sets, the difference of any two elements is a multiple of 3 (they leave the same remainder on division by 3).मुख्य बात: इन समुच्चयों में से हर एक के भीतर किन्हीं दो अवयवों का अंतर 3 का गुणज है (3 से भाग देने पर शेषफल समान)।Main baat: in sets mein se har ek ke andar kinhi do elements ka difference 3 ka multiple hai (3 se divide karne par remainder same).
   \{1,4,7\},\ \{2,5,8\},\ \{3,6,9\}
2. So R_1 \subset R_2.अतः R_1 \subset R_2।Isliye R_1 \subset R_2.
   (x, y) \in R_1 \Rightarrow 3 \mid (x - y) \Rightarrow \{x, y\} \text{ lie in the same one of the three sets} \Rightarrow (x, y) \in R_2
3. So R_2 \subset R_1.अतः R_2 \subset R_1।Isliye R_2 \subset R_1.
   (x, y) \in R_2 \Rightarrow \{x, y\} \subset \text{one set} \Rightarrow 3 \mid (x - y) \Rightarrow (x, y) \in R_1

✔ R_1 = R_2R_1 = R_2R_1 = R_2

1. Reflexive.स्वतुल्य।Reflexive.
   f(a) = f(a) \Rightarrow (a, a) \in R
2. Symmetric.सममित।Symmetric.
   f(a) = f(b) \Rightarrow f(b) = f(a) \Rightarrow (b, a) \in R
3. Transitive.संक्रामक।Transitive.
   f(a) = f(b),\ f(b) = f(c) \Rightarrow f(a) = f(c) \Rightarrow (a, c) \in R

✔ R is an equivalence relation.R एक तुल्यता संबंध है।R ek equivalence relation hai.

1. A one-one function from {1, 2, 3} to itself just arranges 1, 2, 3 in some order.{1, 2, 3} से स्वयं तक एकैकी फलन बस 1, 2, 3 को किसी क्रम में रखता है (क्रमचय)।{1, 2, 3} se khud tak one-one function bas 1, 2, 3 ko kisi order mein rakhta hai (permutation).
   \text{one-one } f : \{1,2,3\} \to \{1,2,3\} = \text{a permutation of } 1, 2, 3
2. f(1) has 3 choices, f(2) then 2, f(3) then 1.f(1) के 3 विकल्प, फिर f(2) के 2, फिर f(3) का 1।f(1) ke 3 choices, phir f(2) ke 2, phir f(3) ka 1.
   3! = 3 \times 2 \times 1 = 6

✔ 666

1. The smallest such relation: reflexive pairs, the given pairs, and (1, 3) for transitivity.सबसे छोटा ऐसा संबंध: स्वतुल्य युग्म, दिए गए युग्म, और संक्रामकता के लिए (1, 3)।Sabse chhota aisa relation: reflexive pairs, diye gaye pairs, aur transitivity ke liye (1, 3).
   R_1 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)\}
2. Adding just (2, 1), or just (3, 2), keeps it reflexive and transitive and not symmetric.केवल (2, 1), या केवल (3, 2) जोड़ने पर भी यह स्वतुल्य और संक्रामक रहता है, पर सममित नहीं होता।Sirf (2, 1), ya sirf (3, 2) jodne par bhi ye reflexive, transitive aur non-symmetric rehta hai.
   R_2 = R_1 \cup \{(2,1)\},\quad R_3 = R_1 \cup \{(3,2)\}
3. Adding (3, 1), or both (2, 1) and (3, 2), forces the remaining pairs (for transitivity) and the relation becomes symmetric, which is not wanted.(3, 1) जोड़ने पर, या (2, 1) और (3, 2) दोनों जोड़ने पर, संक्रामकता के लिए बाकी युग्म भी जोड़ने पड़ते हैं और संबंध सममित हो जाता है, जो नहीं चाहिए।(3, 1) jodne par, ya (2, 1) aur (3, 2) dono jodne par, transitivity ke liye baaki pairs bhi jodne padte hain aur relation symmetric ho jaata hai, jo nahi chahiye.
   \text{adding } (3,1) \text{ or both } (2,1), (3,2) \Rightarrow \text{forced to become } A \times A

✔ Exactly three relations: R_1, R_2, R_3.ठीक तीन संबंध: R_1, R_2, R_3।Theek teen relations: R_1, R_2, R_3.

1. The smallest equivalence relation containing (1, 2) and (2, 1).(1, 2) और (2, 1) वाला सबसे छोटा तुल्यता संबंध।(1, 2) aur (2, 1) wala sabse chhota equivalence relation.
   R_1 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}
2. Only (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1) are left. Adding any one forces all four (symmetry, then transitivity), giving the universal relation.केवल (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1) बचे हैं। इनमें से कोई एक जोड़ने पर चारों जोड़ने पड़ते हैं (पहले सममिति, फिर संक्रामकता) और सार्वत्रिक संबंध बन जाता है।Sirf (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1) bache hain. Inmein se koi ek jodne par chaaron jodne padte hain (pehle symmetry, phir transitivity) aur universal relation ban jaata hai.
   \text{add } (2,3) \Rightarrow \text{need } (3,2) \Rightarrow \text{need } (1,3), (3,1)

✔ Two equivalence relations: R_1 and the universal relation A \times A.दो तुल्यता संबंध: R_1 और सार्वत्रिक संबंध A \times A।Do equivalence relations: R_1 aur universal relation A \times A.

1. I_N is onto: every y is the image of itself.I_N आच्छादक है: हर y स्वयं का प्रतिबिंब है।I_N onto hai: har y khud ka image hai.
   I_N(x) = y \text{ for } x = y
2. 3 in the co-domain is not reached, so I_N + I_N is not onto.सहप्रांत का 3 कभी नहीं मिलता, इसलिए I_N + I_N आच्छादक नहीं।Co-domain ka 3 kabhi nahi milta, isliye I_N + I_N onto nahi.
   2x = 3 \Rightarrow x = \tfrac{3}{2} \notin N

✔ I_N is onto but I_N + I_N is not onto.I_N आच्छादक है, परंतु I_N + I_N आच्छादक नहीं।I_N onto hai, par I_N + I_N onto nahi.

1. On [0, \pi/2], sin only increases and cos only decreases, so both are one-one.[0, \pi/2] पर sin केवल बढ़ता है और cos केवल घटता है, इसलिए दोनों एकैकी हैं।[0, \pi/2] par sin sirf badhta hai aur cos sirf ghatta hai, isliye dono one-one hain.
   x_1 \ne x_2 \in \left[0, \tfrac{\pi}{2}\right] \Rightarrow \sin x_1 \ne \sin x_2,\ \cos x_1 \ne \cos x_2
2. Two different inputs, same output.दो अलग इनपुट, एक ही आउटपुट।Do alag inputs, same output.
   (f + g)(0) = \sin 0 + \cos 0 = 1,\quad (f + g)\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \sin\tfrac{\pi}{2} + \cos\tfrac{\pi}{2} = 1

✔ f and g are one-one, but f + g is not one-one.f और g एकैकी हैं, परंतु f + g एकैकी नहीं।f aur g one-one hain, par f + g one-one nahi.