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Ch 11Introduction to Three Dimensional Geometryत्रिविमीय ज्यामिति का परिचयThree Dimensional Geometry ka parichay

Coordinate axes and planes in space, the eight octants, coordinates of a point and the distance between two points in 3D — with every NCERT exercise solved.आकाश में निर्देशांक अक्ष और तल, आठ अष्टांश, एक बिंदु के निर्देशांक और त्रिविमीय में दो बिंदुओं के बीच की दूरी — NCERT के सभी प्रश्नों के हल के साथ।Space mein coordinate axes aur planes, aath octants, point ke coordinates aur 3D mein do points ke beech ki doori — NCERT ke saare questions ke hal ke saath.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के चित्रIs chapter ke diagrams

A point P(x, y, z) in space: three axes and three coordinate planesआकाश में बिंदु P(x, y, z): तीन अक्ष और तीन निर्देशांक तलA point P(x, y, z) in space: three axes and three coordinate planesSections 11.2–11.4
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 11.2Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Spaceत्रिविमीय आकाश में निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक तल3D space mein coordinate axes aur coordinate planes
  2. 11.3Coordinates of a Point in Spaceआकाश में एक बिंदु के निर्देशांकSpace mein point ke coordinates
  3. 11.4Distance between Two Pointsदो बिंदुओं के बीच की दूरीDo points ke beech ki doori
  4. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  5. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  6. ✎NCERT exercises — solutionsNCERT प्रश्नावली — हलNCERT exercises — solutions
  7. 🎯Quizक्विज़Quiz

11.2Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Spaceत्रिविमीय आकाश में निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक तल3D space mein coordinate axes aur coordinate planes

Three mutually perpendicular lines XOX′, YOY′, ZOZ′ through a point O (the origin) are the coordinate axes. Each pair of axes fixes a coordinate plane: the XY-plane, the YZ-plane and the ZX-plane. These three planes divide space into eight octants.एक बिंदु O (मूल बिंदु) से होकर तीन परस्पर लंब रेखाएँ XOX′, YOY′, ZOZ′ निर्देशांक अक्ष हैं। अक्षों का हर युग्म एक निर्देशांक तल बनाता है: XY-तल, YZ-तल और ZX-तल। ये तीन तल आकाश को आठ अष्टांशों में बाँटते हैं।Ek point O (origin) se teen mutually perpendicular lines XOX′, YOY′, ZOZ′ coordinate axes hain. Har pair of axes ek coordinate plane banata hai: XY-plane, YZ-plane aur ZX-plane. Yeh teen planes space ko aath octants mein baantte hain.

A point P(x, y, z) in space: three axes and three coordinate planesआकाश में बिंदु P(x, y, z): तीन अक्ष और तीन निर्देशांक तलA point P(x, y, z) in space: three axes and three coordinate planesSections 11.2–11.4 · 10 tappable partsअनुभाग 11.2–11.4 · 10 टैप करने लायक हिस्सेSections 11.2–11.4 · 10 tappable partsOpen

11.3Coordinates of a Point in Spaceआकाश में एक बिंदु के निर्देशांकSpace mein point ke coordinates

Through P drop perpendiculars to the three coordinate planes: the signed distances give P(x, y, z) — x from the YZ-plane, y from the ZX-plane, z from the XY-plane. On the x-axis a point is (x, 0, 0); in the XY-plane it is (x, y, 0); the origin is (0, 0, 0).P से तीनों निर्देशांक तलों पर लंब डालिए: चिह्न सहित दूरियाँ P(x, y, z) देती हैं — x, YZ-तल से; y, ZX-तल से; z, XY-तल से। x-अक्ष पर बिंदु (x, 0, 0); XY-तल में (x, y, 0); मूल बिंदु (0, 0, 0)।P se teeno coordinate planes par perpendicular daaliye: sign ke saath dooriyan P(x, y, z) deti hain — x, YZ-plane se; y, ZX-plane se; z, XY-plane se. x-axis par point (x, 0, 0); XY-plane mein (x, y, 0); origin (0, 0, 0).

Signs in the eight octantsI (+, +, +) · II (−, +, +) · III (−, −, +) · IV (+, −, +) · V (+, +, −) · VI (−, +, −) · VII (−, −, −) · VIII (+, −, −)आठ अष्टांशों में चिह्नI (+, +, +) · II (−, +, +) · III (−, −, +) · IV (+, −, +) · V (+, +, −) · VI (−, +, −) · VII (−, −, −) · VIII (+, −, −)Aath octants mein signsI (+, +, +) · II (−, +, +) · III (−, −, +) · IV (+, −, +) · V (+, +, −) · VI (−, +, −) · VII (−, −, −) · VIII (+, −, −)
Example 2Find the octants of (−3, 1, 2) and (−3, 1, −2).उदाहरण 2(−3, 1, 2) और (−3, 1, −2) के अष्टांश ज्ञात कीजिए।Example 2(−3, 1, 2) aur (−3, 1, −2) ke octants nikaliye.
Solution — step by step (0)हल — चरण दर चरण (0)Hal — step by step (0)

✔ (−, +, +) → II; (−, +, −) → VI

11.4Distance between Two Pointsदो बिंदुओं के बीच की दूरीDo points ke beech ki doori

Distance formulaPQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}; from the origin OQ = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.दूरी सूत्रPQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}; मूल बिंदु से OQ = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}।Distance formulaPQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}; origin se OQ = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

The book's solved examples also use the mid-point \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) and the centroid \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) — the same as in 2D, with a z part added.पुस्तक के हल किए उदाहरण मध्य-बिंदु \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) और केंद्रक \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) भी लेते हैं — 2D जैसे ही, z भाग जोड़कर।Book ke solved examples mid-point \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) aur centroid \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) bhi use karte hain — 2D jaise hi, z part jodkar.

Example 3Distance between P(1, −3, 4) and Q(−4, 1, 2).उदाहरण 3P(1, −3, 4) और Q(−4, 1, 2) के बीच की दूरी।Example 3P(1, −3, 4) aur Q(−4, 1, 2) ke beech doori.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. PQ = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
Example 5Are A(3, 6, 9), B(10, 20, 30), C(25, −41, 5) the vertices of a right-angled triangle?उदाहरण 5क्या A(3, 6, 9), B(10, 20, 30), C(25, −41, 5) समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं?Example 5Kya A(3, 6, 9), B(10, 20, 30), C(25, −41, 5) right-angled triangle ke vertices hain?
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. AB^2 = 49 + 196 + 441 = 686,\quad BC^2 = 225 + 3721 + 625 = 4571,\quad CA^2 = 484 + 2209 + 16 = 2709
  2. 686 + 2709 = 3395 \ne 4571

✔ No — no square equals the sum of the other two.नहीं — कोई वर्ग शेष दो के योग के बराबर नहीं।Nahi — koi square baaki do ke jod ke barabar nahi.

Example 8Locus of P equidistant from A(3, 4, −5) and B(−2, 1, 4).उदाहरण 8A(3, 4, −5) और B(−2, 1, 4) से समदूरस्थ बिंदु P का बिंदुपथ।Example 8A(3, 4, −5) aur B(−2, 1, 4) se barabar doori wale P ka locus.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 5)^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2
  2. \Rightarrow 10x + 6y - 18z - 29 = 0
Example 9The centroid of triangle ABC is (1, 1, 1); A(3, −5, 7), B(−1, 7, −6). Find C.उदाहरण 9त्रिभुज ABC का केंद्रक (1, 1, 1) है; A(3, −5, 7), B(−1, 7, −6)। C ज्ञात कीजिए।Example 9Triangle ABC ka centroid (1, 1, 1) hai; A(3, −5, 7), B(−1, 7, −6). C nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \frac{3 - 1 + x}{3} = 1,\ \frac{-5 + 7 + y}{3} = 1,\ \frac{7 - 6 + z}{3} = 1 \Rightarrow C(1, 1, 2)

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. On the x-axis: (x, 0, 0); y-axis: (0, y, 0); z-axis: (0, 0, z).x-अक्ष पर: (x, 0, 0); y-अक्ष: (0, y, 0); z-अक्ष: (0, 0, z)।x-axis par: (x, 0, 0); y-axis: (0, y, 0); z-axis: (0, 0, z).
  2. XY-plane: z = 0; YZ-plane: x = 0; ZX-plane: y = 0.XY-तल: z = 0; YZ-तल: x = 0; ZX-तल: y = 0।XY-plane: z = 0; YZ-plane: x = 0; ZX-plane: y = 0.
  3. 8 octants; I = (+, +, +), VII = (−, −, −).8 अष्टांश; I = (+, +, +), VII = (−, −, −)।8 octants; I = (+, +, +), VII = (−, −, −).
  4. PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
  5. Collinear: the two smaller distances add up to the largest.संरेख: दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी के बराबर।Collinear: do chhoti dooriyon ka jod sabse badi ke barabar.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Mixing the planes: a point in the XZ-plane has y = 0 (not z = 0).तलों में गड़बड़: XZ-तल के बिंदु का y = 0 होता है (z = 0 नहीं)।Planes mein galti: XZ-plane ke point ka y = 0 hota hai (z = 0 nahi).
  • Forgetting the z-term in the distance formula.दूरी सूत्र में z-पद भूल जाना।Distance formula mein z-term bhool jaana.
  • Octant numbering: V to VIII are I to IV again but BELOW the XY-plane (z < 0).अष्टांश क्रम: V से VIII, I से IV जैसे ही हैं पर XY-तल के नीचे (z < 0)।Octant numbering: V se VIII, I se IV jaise hi hain par XY-plane ke neeche (z < 0).
  • For the fourth vertex of a parallelogram ABCD use D = A + C − B (diagonals bisect each other), not A + B − C.समांतर चतुर्भुज ABCD के चौथे शीर्ष के लिए D = A + C − B (विकर्ण परस्पर समद्विभाजित), A + B − C नहीं।Parallelogram ABCD ke chauthe vertex ke liye D = A + C − B (diagonals ek doosre ko bisect karte hain), A + B − C nahi.

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Exercise 11.1प्रश्नावली 11.1Exercise 11.1 · 4 Q

Q1. A point is on the x-axis. What are its y- and z-coordinates?एक बिंदु x-अक्ष पर है। इसके y- और z-निर्देशांक क्या हैं?Ek point x-axis par hai. Iske y- aur z-coordinates kya hain?

✔ Both are zero: (x, 0, 0).दोनों शून्य: (x, 0, 0)।Dono zero: (x, 0, 0).

Q2. A point is in the XZ-plane. What about its y-coordinate?एक बिंदु XZ-तल में है। इसके y-निर्देशांक के बारे में?Ek point XZ-plane mein hai. Iske y-coordinate ke baare mein?

✔ y = 0

Q3. Name the octants of (1, 2, 3), (4, −2, 3), (4, −2, −5), (4, 2, −5), (−4, 2, −5), (−4, 2, 5), (−3, −1, 6), (−2, −4, −7).अष्टांश बताइए: (1, 2, 3), (4, −2, 3), (4, −2, −5), (4, 2, −5), (−4, 2, −5), (−4, 2, 5), (−3, −1, 6), (−2, −4, −7)।Octants bataiye: (1, 2, 3), (4, −2, 3), (4, −2, −5), (4, 2, −5), (−4, 2, −5), (−4, 2, 5), (−3, −1, 6), (−2, −4, −7).

✔ I, IV, VIII, V, VI, II, III, VII

Q4. Fill in the blanks: (i) The x- and y-axes together determine the ___. (ii) Points in the XY-plane have the form ___. (iii) Coordinate planes divide space into ___ octants.रिक्त स्थान भरिए: (i) x- और y-अक्ष मिलकर ___ बनाते हैं। (ii) XY-तल के बिंदुओं का रूप ___ है। (iii) निर्देशांक तल आकाश को ___ अष्टांशों में बाँटते हैं।Blanks bhariye: (i) x- aur y-axes milkar ___ banate hain. (ii) XY-plane ke points ka form ___ hai. (iii) Coordinate planes space ko ___ octants mein baantte hain.

✔ (i) XY-plane (ii) (x, y, 0) (iii) eight(i) XY-तल (ii) (x, y, 0) (iii) आठ(i) XY-plane (ii) (x, y, 0) (iii) aath

Exercise 11.2प्रश्नावली 11.2Exercise 11.2 · 5 Q

Q1. Find the distance between (i) (2, 3, 5) and (4, 3, 1) (ii) (−3, 7, 2) and (2, 4, −1) (iii) (−1, 3, −4) and (1, −3, 4) (iv) (2, −1, 3) and (−2, 1, 3).दूरी ज्ञात कीजिए (i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1) (ii) (−3, 7, 2) और (2, 4, −1) (iii) (−1, 3, −4) और (1, −3, 4) (iv) (2, −1, 3) और (−2, 1, 3)।Doori nikaliye (i) (2, 3, 5) aur (4, 3, 1) (ii) (−3, 7, 2) aur (2, 4, −1) (iii) (−1, 3, −4) aur (1, −3, 4) (iv) (2, −1, 3) aur (−2, 1, 3).
  1. (i)\ \sqrt{4 + 0 + 16} = 2\sqrt{5}\qquad (ii)\ \sqrt{25 + 9 + 9} = \sqrt{43}
  2. (iii)\ \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}\qquad (iv)\ \sqrt{16 + 4 + 0} = 2\sqrt{5}
Q2. Show that (−2, 3, 5), (1, 2, 3) and (7, 0, −1) are collinear.दर्शाइए कि (−2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, −1) संरेख हैं।Dikhaiye ki (−2, 3, 5), (1, 2, 3) aur (7, 0, −1) collinear hain.
  1. PQ = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14},\ QR = \sqrt{36 + 4 + 16} = 2\sqrt{14},\ PR = \sqrt{81 + 9 + 36} = 3\sqrt{14}
  2. PQ + QR = 3\sqrt{14} = PR
Q3. Verify: (i) (0, 7, −10), (1, 6, −6), (4, 9, −6) form an isosceles triangle (ii) (0, 7, 10), (−1, 6, 6), (−4, 9, 6) form a right-angled triangle (iii) (−1, 2, 1), (1, −2, 5), (4, −7, 8), (2, −3, 4) form a parallelogram.सत्यापित कीजिए: (i) (0, 7, −10), (1, 6, −6), (4, 9, −6) समद्विबाहु त्रिभुज (ii) (0, 7, 10), (−1, 6, 6), (−4, 9, 6) समकोण त्रिभुज (iii) (−1, 2, 1), (1, −2, 5), (4, −7, 8), (2, −3, 4) समांतर चतुर्भुज।Verify kijiye: (i) (0, 7, −10), (1, 6, −6), (4, 9, −6) isosceles triangle (ii) (0, 7, 10), (−1, 6, 6), (−4, 9, 6) right-angled triangle (iii) (−1, 2, 1), (1, −2, 5), (4, −7, 8), (2, −3, 4) parallelogram.
  1. (i)\ AB = \sqrt{1 + 1 + 16} = 3\sqrt{2},\ BC = \sqrt{9 + 9 + 0} = 3\sqrt{2},\ AC = 6 \Rightarrow AB = BC
  2. (ii)\ AB^2 = 18,\ BC^2 = 18,\ AC^2 = 16 + 4 + 16 = 36 = AB^2 + BC^2
  3. (iii)\ AB = CD = 6,\ BC = DA = \sqrt{43};\ \ AC = \sqrt{155} \ne BD = \sqrt{3}

✔ (i) isosceles (ii) right angle at B (iii) opposite sides equal (diagonals unequal) → parallelogram(i) समद्विबाहु (ii) B पर समकोण (iii) सम्मुख भुजाएँ बराबर (विकर्ण असमान) → समांतर चतुर्भुज(i) isosceles (ii) B par right angle (iii) opposite sides barabar (diagonals alag) → parallelogram

Q4. Equation of the set of points equidistant from (1, 2, 3) and (3, 2, −1).(1, 2, 3) और (3, 2, −1) से समदूरस्थ बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण।(1, 2, 3) aur (3, 2, −1) se barabar doori wale points ke set ka equation.
  1. (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \Rightarrow 4x - 8z = 0

✔ x - 2z = 0

Q5. Points P whose distances from A(4, 0, 0) and B(−4, 0, 0) add up to 10.वे बिंदु P जिनकी A(4, 0, 0) और B(−4, 0, 0) से दूरियों का योग 10 है।Woh points P jinki A(4, 0, 0) aur B(−4, 0, 0) se dooriyon ka jod 10 hai.
  1. \sqrt{(x - 4)^2 + y^2 + z^2} = 10 - \sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2}
  2. \text{square twice: } 5\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} = 4x + 25\text{दो बार वर्ग: } 5\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} = 4x + 25\text{do baar square: } 5\sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + z^2} = 4x + 25

✔ 9x^2 + 25y^2 + 25z^2 - 225 = 0

Miscellaneous Exercise on Chapter 11अध्याय 11 पर विविध प्रश्नावलीMiscellaneous Exercise on Chapter 11 · 4 Q

Q1. Parallelogram ABCD: A(3, −1, 2), B(1, 2, −4), C(−1, 1, 2). Find D.समांतर चतुर्भुज ABCD: A(3, −1, 2), B(1, 2, −4), C(−1, 1, 2)। D ज्ञात कीजिए।Parallelogram ABCD: A(3, −1, 2), B(1, 2, −4), C(−1, 1, 2). D nikaliye.
  1. \text{mid}(AC) = \text{mid}(BD) \Rightarrow D = A + C - B = (3 - 1 - 1,\ -1 + 1 - 2,\ 2 + 2 + 4)AC \text{ का मध्य} = BD \text{ का मध्य} \Rightarrow D = A + C - B = (3 - 1 - 1,\ -1 + 1 - 2,\ 2 + 2 + 4)AC \text{ ka mid} = BD \text{ ka mid} \Rightarrow D = A + C - B = (3 - 1 - 1,\ -1 + 1 - 2,\ 2 + 2 + 4)

✔ D(1, −2, 8)

Q2. Lengths of the medians of the triangle A(0, 0, 6), B(0, 4, 0), C(6, 0, 0).त्रिभुज A(0, 0, 6), B(0, 4, 0), C(6, 0, 0) की माध्यिकाओं की लंबाइयाँ।Triangle A(0, 0, 6), B(0, 4, 0), C(6, 0, 0) ki medians ki lengths.
  1. \text{mid}(BC) = (3, 2, 0):\ \sqrt{9 + 4 + 36} = 7BC \text{ का मध्य} = (3, 2, 0):\ \sqrt{9 + 4 + 36} = 7BC \text{ ka mid} = (3, 2, 0):\ \sqrt{9 + 4 + 36} = 7
  2. \text{mid}(CA) = (3, 0, 3):\ \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34};\quad \text{mid}(AB) = (0, 2, 3):\ \sqrt{36 + 4 + 9} = 7CA \text{ का मध्य} = (3, 0, 3):\ \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34};\quad AB \text{ का मध्य} = (0, 2, 3):\ \sqrt{36 + 4 + 9} = 7CA \text{ ka mid} = (3, 0, 3):\ \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34};\quad AB \text{ ka mid} = (0, 2, 3):\ \sqrt{36 + 4 + 9} = 7

✔ 7, √34, 7

Q3. The origin is the centroid of P(2a, 2, 6), Q(−4, 3b, −10), R(8, 14, 2c). Find a, b, c.मूल बिंदु त्रिभुज P(2a, 2, 6), Q(−4, 3b, −10), R(8, 14, 2c) का केंद्रक है। a, b, c ज्ञात कीजिए।Origin triangle P(2a, 2, 6), Q(−4, 3b, −10), R(8, 14, 2c) ka centroid hai. a, b, c nikaliye.
  1. 2a - 4 + 8 = 0,\ \ 2 + 3b + 14 = 0,\ \ 6 - 10 + 2c = 0

✔ a = −2, b = −16/3, c = 2

Q4. A(3, 4, 5), B(−1, 3, −7). Find the locus of P with PA² + PB² = k².A(3, 4, 5), B(−1, 3, −7)। PA² + PB² = k² वाले P का बिंदुपथ।A(3, 4, 5), B(−1, 3, −7). PA² + PB² = k² wale P ka locus.
  1. 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4x - 14y + 4z + 109 = k^2

✔ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 7y + 2z = \frac{k^2 - 109}{2}

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1. A point on the z-axis has the formz-अक्ष पर बिंदु का रूप हैz-axis par point ka form hai

2. Every point of the YZ-plane hasYZ-तल के हर बिंदु काYZ-plane ke har point ka

3. The point (−2, −3, 4) lies in octantबिंदु (−2, −3, 4) किस अष्टांश में हैPoint (−2, −3, 4) kis octant mein hai

4. The coordinate planes divide space intoनिर्देशांक तल आकाश को बाँटते हैंCoordinate planes space ko baantte hain

5. Distance of (3, 4, 12) from the origin is(3, 4, 12) की मूल बिंदु से दूरी है(3, 4, 12) ki origin se doori hai

6. Distance between (1, 2, 3) and (4, 6, 3) is(1, 2, 3) और (4, 6, 3) के बीच की दूरी है(1, 2, 3) aur (4, 6, 3) ke beech doori hai

7. The distance of P(x, y, z) from the XY-plane isP(x, y, z) की XY-तल से दूरी हैP(x, y, z) ki XY-plane se doori hai

8. The mid-point of (2, −4, 6) and (4, 0, −2) is(2, −4, 6) और (4, 0, −2) का मध्य-बिंदु है(2, −4, 6) aur (4, 0, −2) ka mid-point hai

9. The foot of the perpendicular from (5, −3, 7) to the x-axis is(5, −3, 7) से x-अक्ष पर लंब का पाद है(5, −3, 7) se x-axis par perpendicular ka foot hai

10. Points (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) areबिंदु (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) हैंPoints (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) hain

11. In octant V the signs of (x, y, z) areअष्टांश V में (x, y, z) के चिह्न हैंOctant V mein (x, y, z) ke signs hain

12. The fourth vertex D of parallelogram ABCD with A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) isसमांतर चतुर्भुज ABCD का चौथा शीर्ष D, जहाँ A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)Parallelogram ABCD ka chautha vertex D, jahan A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 11 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 गणित की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Maths ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.