CLASS 12 MATHS · CHAPTER 10

➡️Vector Algebraसदिश बीजगणितVector Algebra

Vectors and scalars, position vector, direction cosines, types of vectors, addition (triangle and parallelogram laws), multiplication by a scalar, components, section formula, dot product with projection, and cross product with areas — NCERT Chapter 10, in easy words.सदिश और अदिश, स्थिति सदिश, दिक्-कोसाइन, सदिशों के प्रकार, सदिशों का योगफल (त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम), अदिश से गुणन, घटक, खंड सूत्र, अदिश (बिंदु) गुणनफल और प्रक्षेप, सदिश (वज्र) गुणनफल और क्षेत्रफल — NCERT अध्याय 10, आसान शब्दों में।Vectors aur scalars, position vector, direction cosines, vectors ke types, addition (triangle aur parallelogram law), scalar se multiplication, components, section formula, dot product aur projection, cross product aur area — NCERT Chapter 10, aasaan shabdon mein.

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Position vector of P(x, y, z) and its componentsP(x, y, z) का स्थिति सदिश और उसके घटकP(x, y, z) ka position vector aur uske componentsFig 10.3 / 10.14 · 3DEqual, collinear and coinitial vectorsसमान, संरेख और सह-आदिम सदिशEqual, collinear aur coinitial vectorsFig 10.5 (Example 3)Example 1: 40 km, 30° west of southउदाहरण 1: 40 km, दक्षिण से 30° पश्चिमExample 1: 40 km, south se 30° westFig 10.4 (Example 1)Triangle law: a + b, and a − bत्रिभुज नियम: a + b और a − bTriangle law: a + b aur a − bFig 10.8Parallelogram law of vector additionसदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियमParallelogram law of vector additionFig 10.9 · 3DSection formula: R divides PQ in m : nखंड सूत्र: R, PQ को m : n में विभाजित करता हैSection formula: R, PQ ko m : n mein divide karta haiFig 10.16 · 3DProjection of a on bb पर a का प्रक्षेपb par a ka projectionFig 10.20Right-hand rule for a × ba × b के लिए दाएँ हाथ का नियमa × b ke liye right-hand ruleFig 10.23 · 3DArea of parallelogram and triangle = |a × b| and ½|a × b|समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज का क्षेत्रफल = |a × b| और ½|a × b|Parallelogram aur triangle ka area = |a × b| aur ½|a × b|Fig 10.26–10.27 · 3D

3D models3D मॉडल3D models

Position vector of P(2, 3, 4): components and direction anglesP(2, 3, 4) का स्थिति सदिश: घटक और दिशा कोणP(2, 3, 4) ka position vector: components aur direction angles3Da + b by the parallelogram law (in 3D)समांतर चतुर्भुज नियम से a + b (त्रि-विमीय)Parallelogram law se a + b (3D mein)3Da × b stands perpendicular to a and ba × b, a और b दोनों पर लंब खड़ा हैa × b, a aur b dono par perpendicular khada hai3D

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10.1IntroductionभूमिकाIntroduction

NCERT's examples: scalars — length, mass, time, distance, speed, area, volume, temperature, work, money, voltage, density, resistance. Vectors — displacement, velocity, acceleration, force, weight, momentum, electric field intensity.NCERT के उदाहरण: अदिश — लंबाई, द्रव्यमान, समय, दूरी, चाल, क्षेत्रफल, आयतन, ताप, कार्य, धन, वोल्टता, घनत्व, प्रतिरोध। सदिश — विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, भार, संवेग, विद्युत क्षेत्र की तीव्रता।NCERT ke examples: scalars — length, mass, time, distance, speed, area, volume, temperature, work, money, voltage, density, resistance. Vectors — displacement, velocity, acceleration, force, weight, momentum, electric field intensity.अ

10.2Some Basic Conceptsकुछ आधारभूत संकल्पनाएँSome Basic Concepts

Take any straight line l. It can be given two directions (shown by arrowheads). A line with one direction chosen is a directed line. If we keep only the piece AB of the line with a direction, we get a directed line segment — it has both magnitude (length) and direction.कोई सरल रेखा l लीजिए। इसे दो दिशाएँ दी जा सकती हैं (तीर के निशान से)। एक दिशा चुनी हुई रेखा दिष्ट रेखा कहलाती है। यदि रेखा का केवल टुकड़ा AB दिशा के साथ रखें, तो दिष्ट रेखाखंड मिलता है — इसमें परिमाण (लंबाई) और दिशा दोनों हैं।Koi seedhi line l lijiye. Ise do directions di ja sakti hain (arrowheads se). Ek direction chuni hui line directed line kehlati hai. Agar line ka sirf tukda AB direction ke saath rakhein, to directed line segment milta hai — ismein magnitude (length) aur direction dono hain.अ

A directed line segment is a vector, written \overrightarrow{AB} or simply \vec{a}, read "vector AB" or "vector a". A is its initial point and B its terminal point. The distance between them is the magnitude (length) of the vector, written |\overrightarrow{AB}|, |\vec{a}| or a. The arrow shows the direction.दिष्ट रेखाखंड एक सदिश है, जिसे \overrightarrow{AB} या केवल \vec{a} लिखते हैं और "सदिश AB" या "सदिश a" पढ़ते हैं। A इसका प्रारंभिक बिंदु और B अंतिम बिंदु है। इनके बीच की दूरी सदिश का परिमाण (लंबाई) है, जिसे |\overrightarrow{AB}|, |\vec{a}| या a लिखते हैं। तीर दिशा बताता है।Directed line segment ek vector hai, jise \overrightarrow{AB} ya sirf \vec{a} likhte hain aur "vector AB" ya "vector a" padhte hain. A iska initial point aur B terminal point hai. Inke beech ki doori vector ka magnitude (length) hai, jise |\overrightarrow{AB}|, |\vec{a}| ya a likhte hain. Arrow direction batata hai.अ

Position Vectorस्थिति सदिशPosition Vector

Recall the right-handed 3D coordinate system with origin O(0, 0, 0). For a point P(x, y, z), the vector \overrightarrow{OP} (from O to P) is called the position vector of P with respect to O. By the distance formula, its magnitude is |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. The position vectors of points A, B, C, … are usually written \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, ….मूल बिंदु O(0, 0, 0) वाली दक्षिणावर्ती त्रि-विमीय निर्देशांक पद्धति याद कीजिए। किसी बिंदु P(x, y, z) के लिए सदिश \overrightarrow{OP} (O से P तक) को O के सापेक्ष P का स्थिति सदिश कहते हैं। दूरी सूत्र से इसका परिमाण |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} है। बिंदुओं A, B, C, … के स्थिति सदिश प्रायः \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, … लिखे जाते हैं।Origin O(0, 0, 0) wala right-handed 3D coordinate system yaad kijiye. Kisi point P(x, y, z) ke liye vector \overrightarrow{OP} (O se P tak) ko O ke respect mein P ka position vector kehte hain. Distance formula se iska magnitude |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} hai. Points A, B, C, … ke position vectors aam taur par \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, … likhe jaate hain.अ

Position vector of P(x, y, z) and its componentsP(x, y, z) का स्थिति सदिश और उसके घटकP(x, y, z) ka position vector aur uske componentsNCERT Fig 10.3 / 10.14 · 14 tappable parts · 3DOpen

Direction Cosinesदिक्-कोसाइनDirection Cosines

Let \vec{r} = \overrightarrow{OP} be the position vector of P(x, y, z). The angles α, β, γ that \vec{r} makes with the positive directions of the x, y and z-axes are its direction angles. Their cosines \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma are the direction cosines of \vec{r}, written l, m, n.मान लीजिए \vec{r} = \overrightarrow{OP} बिंदु P(x, y, z) का स्थिति सदिश है। \vec{r} द्वारा x, y और z-अक्षों की धन दिशाओं के साथ बनाए गए कोण α, β, γ इसके दिशा कोण हैं। इनके कोसाइन \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma, \vec{r} की दिक्-कोसाइन हैं, जिन्हें l, m, n लिखते हैं।Maan lijiye \vec{r} = \overrightarrow{OP} point P(x, y, z) ka position vector hai. \vec{r} jo angles α, β, γ x, y aur z-axes ki positive directions ke saath banata hai, woh iske direction angles hain. Inke cosines \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma, \vec{r} ki direction cosines hain, jinhe l, m, n likhte hain.अ

In the right triangle OAP (A is the foot of the perpendicular from P on the x-axis), \cos\alpha = \dfrac{x}{r}, where r = |\vec{r}|. In the same way \cos\beta = \dfrac{y}{r} and \cos\gamma = \dfrac{z}{r}. So P can be written as (lr, mr, nr). The numbers lr, mr, nr, proportional to the direction cosines, are the direction ratios of \vec{r}, written a, b, c.समकोण त्रिभुज OAP में (A, P से x-अक्ष पर डाले गए लंब का पाद है) \cos\alpha = \dfrac{x}{r}, जहाँ r = |\vec{r}|। इसी प्रकार \cos\beta = \dfrac{y}{r} और \cos\gamma = \dfrac{z}{r}। अतः P को (lr, mr, nr) लिख सकते हैं। दिक्-कोसाइन के समानुपाती संख्याएँ lr, mr, nr, \vec{r} के दिक्-अनुपात हैं, जिन्हें a, b, c लिखते हैं।Right triangle OAP mein (A, P se x-axis par daale gaye perpendicular ka foot hai) \cos\alpha = \dfrac{x}{r}, jahan r = |\vec{r}|. Isi tarah \cos\beta = \dfrac{y}{r} aur \cos\gamma = \dfrac{z}{r}. Isliye P ko (lr, mr, nr) likh sakte hain. Direction cosines ke proportional numbers lr, mr, nr, \vec{r} ke direction ratios hain, jinhe a, b, c likhte hain.अ

10.3Types of Vectorsसदिशों के प्रकारTypes of Vectors

Equal, collinear and coinitial vectorsसमान, संरेख और सह-आदिम सदिशEqual, collinear aur coinitial vectorsNCERT Fig 10.5 (Example 3) · 6 tappable partsOpen

Example 1: 40 km, 30° west of southउदाहरण 1: 40 km, दक्षिण से 30° पश्चिमExample 1: 40 km, south se 30° westNCERT Fig 10.4 (Example 1) · 6 tappable partsOpen

10.4Addition of Vectorsसदिशों का योगफलAddition of Vectors

\overrightarrow{AB} simply means the displacement from A to B. A girl walks from A to B and then from B to C. Her net displacement from A to C is \overrightarrow{AC}, and we write \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. This is the triangle law of vector addition.\overrightarrow{AB} का अर्थ है A से B तक विस्थापन। एक लड़की A से B और फिर B से C तक चलती है। A से C तक उसका कुल विस्थापन \overrightarrow{AC} है, और हम लिखते हैं \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}। यह सदिश योग का त्रिभुज नियम है।\overrightarrow{AB} ka matlab hai A se B tak displacement. Ek ladki A se B aur phir B se C tak chalti hai. A se C tak uska net displacement \overrightarrow{AC} hai, aur hum likhte hain \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. Yeh triangle law of vector addition hai.अ

To add \vec{a} and \vec{b}, place them so that the initial point of \vec{b} is at the terminal point of \vec{a} (move \vec{b} parallel to itself). The third side AC of triangle ABC gives the sum (resultant) \vec{a} + \vec{b}. Since \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}, we get \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}: the sides of a triangle taken in order give zero resultant.\vec{a} और \vec{b} जोड़ने के लिए उन्हें ऐसे रखिए कि \vec{b} का प्रारंभिक बिंदु \vec{a} के अंतिम बिंदु पर हो (\vec{b} को समांतर खिसकाइए)। त्रिभुज ABC की तीसरी भुजा AC योगफल (परिणामी) \vec{a} + \vec{b} देती है। चूँकि \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}, इसलिए \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}: त्रिभुज की भुजाएँ क्रम में लेने पर परिणामी शून्य होता है।\vec{a} aur \vec{b} jodne ke liye unhe aise rakhiye ki \vec{b} ka initial point \vec{a} ke terminal point par ho (\vec{b} ko parallel khiskaiye). Triangle ABC ki teesri side AC sum (resultant) \vec{a} + \vec{b} deti hai. Kyonki \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}, isliye \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}: triangle ki sides order mein lene par resultant zero hota hai.अ

Difference. Draw \overrightarrow{BC'} with the same magnitude as \overrightarrow{BC} but opposite direction, so \overrightarrow{BC'} = -\overrightarrow{BC}. The triangle law gives \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}. So \overrightarrow{AC'} represents the difference \vec{a} - \vec{b}.अंतर। \overrightarrow{BC'} ऐसा बनाइए जिसका परिमाण \overrightarrow{BC} जितना हो पर दिशा उलटी, अर्थात् \overrightarrow{BC'} = -\overrightarrow{BC}। त्रिभुज नियम से \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}। अतः \overrightarrow{AC'} अंतर \vec{a} - \vec{b} को दर्शाता है।Difference. \overrightarrow{BC'} aisa banaiye jiska magnitude \overrightarrow{BC} jitna ho par direction ulti, yaani \overrightarrow{BC'} = -\overrightarrow{BC}. Triangle law se \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}. Isliye \overrightarrow{AC'} difference \vec{a} - \vec{b} ko dikhata hai.अ

Triangle law: a + b, and a − bत्रिभुज नियम: a + b और a − bTriangle law: a + b aur a − bNCERT Fig 10.8 · 9 tappable partsOpen

A boat crossing a river is pushed by two velocities at once: its engine's and the river's flow. Its actual (resultant) velocity comes from the parallelogram law: if two vectors \vec{a} and \vec{b} are represented by the two adjacent sides of a parallelogram in magnitude and direction, then their sum \vec{a} + \vec{b} is represented in magnitude and direction by the diagonal of the parallelogram through their common point.नदी पार करती नाव पर एक साथ दो वेग लगते हैं: इंजन का और नदी के बहाव का। उसका वास्तविक (परिणामी) वेग समांतर चतुर्भुज नियम से मिलता है: यदि दो सदिश \vec{a} और \vec{b} परिमाण और दिशा में किसी समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं से निरूपित हों, तो उनका योगफल \vec{a} + \vec{b} परिमाण और दिशा में उनके उभयनिष्ठ बिंदु से जाने वाले विकर्ण से निरूपित होता है।River paar karti naav par ek saath do velocities lagti hain: engine ki aur river ke flow ki. Uski actual (resultant) velocity parallelogram law se milti hai: agar do vectors \vec{a} aur \vec{b} magnitude aur direction mein kisi parallelogram ki do adjacent sides se represent hon, to unka sum \vec{a} + \vec{b} magnitude aur direction mein unke common point se jaane wale diagonal se represent hota hai.अ

Parallelogram law of vector additionसदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियमParallelogram law of vector additionNCERT Fig 10.9 · 10 tappable parts · 3DOpen

Proof idea (parallelogram ABCD with \overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{BC} = \vec{b}): from triangle ABC, \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}. Opposite sides are equal and parallel, so \overrightarrow{AD} = \vec{b} and \overrightarrow{DC} = \vec{a}; from triangle ADC, \overrightarrow{AC} = \vec{b} + \vec{a}. Hence \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}.उपपत्ति का विचार (समांतर चतुर्भुज ABCD, \overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{BC} = \vec{b}): त्रिभुज ABC से \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}। सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर हैं, अतः \overrightarrow{AD} = \vec{b} और \overrightarrow{DC} = \vec{a}; त्रिभुज ADC से \overrightarrow{AC} = \vec{b} + \vec{a}। अतः \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}।Proof idea (parallelogram ABCD, \overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{BC} = \vec{b}): triangle ABC se \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}. Opposite sides barabar aur parallel hain, isliye \overrightarrow{AD} = \vec{b} aur \overrightarrow{DC} = \vec{a}; triangle ADC se \overrightarrow{AC} = \vec{b} + \vec{a}. Isliye \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}.अ

Proof idea: let \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} be \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QR}, \overrightarrow{RS}. Then (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS} and \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{PS}. Because of this we write \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} without brackets. Also \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}: the zero vector is the additive identity.उपपत्ति का विचार: मान लीजिए \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} क्रमशः \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QR}, \overrightarrow{RS} हैं। तब (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS} और \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{PS}। इसी कारण हम कोष्ठक के बिना \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} लिखते हैं। साथ ही \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}: शून्य सदिश योज्य तत्समक है।Proof idea: maan lijiye \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} kramashah \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QR}, \overrightarrow{RS} hain. Tab (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS} aur \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{PS}. Isi wajah se hum brackets ke bina \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} likhte hain. Saath hi \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}: zero vector additive identity hai.अ

10.5Multiplication of a Vector by a Scalarएक अदिश से सदिश का गुणनVector ka Scalar se Multiplication

Let \vec{a} be a vector and λ a scalar. The product \lambda\vec{a} is again a vector, collinear to \vec{a}. It has the same direction as \vec{a} if λ > 0 and the opposite direction if λ < 0. Its magnitude is |\lambda| times that of \vec{a}: |\lambda\vec{a}| = |\lambda|\,|\vec{a}|.मान लीजिए \vec{a} एक सदिश और λ एक अदिश है। गुणनफल \lambda\vec{a} भी एक सदिश है, जो \vec{a} के संरेख है। λ > 0 हो तो इसकी दिशा \vec{a} वाली और λ < 0 हो तो उलटी होती है। इसका परिमाण \vec{a} के परिमाण का |\lambda| गुना है: |\lambda\vec{a}| = |\lambda|\,|\vec{a}|।Maan lijiye \vec{a} ek vector aur λ ek scalar hai. Product \lambda\vec{a} bhi ek vector hai, jo \vec{a} ke collinear hai. λ > 0 ho to iski direction \vec{a} wali aur λ < 0 ho to ulti hoti hai. Iska magnitude \vec{a} ke magnitude ka |\lambda| guna hai: |\lambda\vec{a}| = |\lambda|\,|\vec{a}|.अ

For λ = −1, -\vec{a} has the same magnitude as \vec{a} and the opposite direction. It is the negative (or additive inverse) of \vec{a}: \vec{a} + (-\vec{a}) = (-\vec{a}) + \vec{a} = \vec{0}. If \vec{a} \ne \vec{0} and \lambda = \dfrac{1}{|\vec{a}|}, then |\lambda\vec{a}| = 1, so \lambda\vec{a} is the unit vector in the direction of \vec{a}: \hat{a} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}. For any scalar k, k\vec{0} = \vec{0}.λ = −1 के लिए -\vec{a} का परिमाण \vec{a} जितना और दिशा उलटी है। यह \vec{a} का ऋणात्मक (या योज्य प्रतिलोम) है: \vec{a} + (-\vec{a}) = (-\vec{a}) + \vec{a} = \vec{0}। यदि \vec{a} \ne \vec{0} और \lambda = \dfrac{1}{|\vec{a}|}, तो |\lambda\vec{a}| = 1, अतः \lambda\vec{a}, \vec{a} की दिशा में मात्रक सदिश है: \hat{a} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}। किसी भी अदिश k के लिए k\vec{0} = \vec{0}।λ = −1 ke liye -\vec{a} ka magnitude \vec{a} jitna aur direction ulti hai. Yeh \vec{a} ka negative (ya additive inverse) hai: \vec{a} + (-\vec{a}) = (-\vec{a}) + \vec{a} = \vec{0}. Agar \vec{a} \ne \vec{0} aur \lambda = \dfrac{1}{|\vec{a}|}, to |\lambda\vec{a}| = 1, isliye \lambda\vec{a}, \vec{a} ki direction mein unit vector hai: \hat{a} = \dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}. Kisi bhi scalar k ke liye k\vec{0} = \vec{0}.अ

10.5.1Components of a vectorएक सदिश के घटकVector ke components

Take A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) on the x, y, z-axes. The vectors \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} each have magnitude 1; they are the unit vectors along the axes, written \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}.x, y, z-अक्षों पर A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) लीजिए। सदिश \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} में से हर एक का परिमाण 1 है; ये अक्षों के अनुदिश मात्रक सदिश हैं, जिन्हें \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} लिखते हैं।x, y, z-axes par A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) lijiye. Vectors \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} mein har ek ka magnitude 1 hai; yeh axes ke along unit vectors hain, jinhe \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} likhte hain.अ

For P(x, y, z), let P_1 be the foot of the perpendicular from P on the XOY-plane and Q the foot from P_1 on the x-axis. Then \overrightarrow{OQ} = x\hat{i}, \overrightarrow{QP_1} = y\hat{j}, \overrightarrow{P_1P} = z\hat{k}, and \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP_1} + \overrightarrow{P_1P}, so \vec{r} = \overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}. This is the component form. x, y, z are the scalar components and x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k} the vector components of \vec{r} along the axes (also called rectangular components).P(x, y, z) के लिए मान लीजिए P_1, P से XOY-तल पर डाले गए लंब का पाद है और Q, P_1 से x-अक्ष पर लंब का पाद। तब \overrightarrow{OQ} = x\hat{i}, \overrightarrow{QP_1} = y\hat{j}, \overrightarrow{P_1P} = z\hat{k}, और \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP_1} + \overrightarrow{P_1P}, अतः \vec{r} = \overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}. यह घटक रूप है। x, y, z, \vec{r} के अदिश घटक और x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k} अक्षों के अनुदिश सदिश घटक हैं (इन्हें आयतीय घटक भी कहते हैं)।P(x, y, z) ke liye maan lijiye P_1, P se XOY-plane par daale gaye perpendicular ka foot hai aur Q, P_1 se x-axis par perpendicular ka foot. Tab \overrightarrow{OQ} = x\hat{i}, \overrightarrow{QP_1} = y\hat{j}, \overrightarrow{P_1P} = z\hat{k}, aur \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP_1} + \overrightarrow{P_1P}, isliye \vec{r} = \overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}. Yeh component form hai. x, y, z, \vec{r} ke scalar components aur x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k} axes ke along vector components hain (inhe rectangular components bhi kehte hain).अ

Length by Pythagoras twice: in right triangle OQP_1, |\overrightarrow{OP_1}| = \sqrt{x^2 + y^2}; in right triangle OP_1P, |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{(x^2 + y^2) + z^2}. Hence |\vec{r}| = |x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.पाइथागोरस प्रमेय दो बार: समकोण त्रिभुज OQP_1 में |\overrightarrow{OP_1}| = \sqrt{x^2 + y^2}; समकोण त्रिभुज OP_1P में |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{(x^2 + y^2) + z^2}। अतः |\vec{r}| = |x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.Pythagoras do baar: right triangle OQP_1 mein |\overrightarrow{OP_1}| = \sqrt{x^2 + y^2}; right triangle OP_1P mein |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{(x^2 + y^2) + z^2}. Isliye |\vec{r}| = |x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.अ

Distributive laws: for vectors \vec{a}, \vec{b} and scalars k, m: (i) k\vec{a} + m\vec{a} = (k + m)\vec{a} (ii) k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} (iii) k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}.वितरण नियम: सदिशों \vec{a}, \vec{b} और अदिशों k, m के लिए: (i) k\vec{a} + m\vec{a} = (k + m)\vec{a} (ii) k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} (iii) k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}।Distributive laws: vectors \vec{a}, \vec{b} aur scalars k, m ke liye: (i) k\vec{a} + m\vec{a} = (k + m)\vec{a} (ii) k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} (iii) k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}.अ

10.5.2Vector joining two pointsदो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिशDo points ko jodne wala vector

For P_1(x_1, y_1, z_1) and P_2(x_2, y_2, z_2), the vector joining P_1 to P_2 is \overrightarrow{P_1P_2}. In triangle OP_1P_2 the triangle law gives \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2}, so \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}, |\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.P_1(x_1, y_1, z_1) और P_2(x_2, y_2, z_2) के लिए P_1 से P_2 को मिलाने वाला सदिश \overrightarrow{P_1P_2} है। त्रिभुज OP_1P_2 में त्रिभुज नियम से \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2}, अतः \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}, |\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.P_1(x_1, y_1, z_1) aur P_2(x_2, y_2, z_2) ke liye P_1 se P_2 ko jodne wala vector \overrightarrow{P_1P_2} hai. Triangle OP_1P_2 mein triangle law se \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2}, isliye \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}, |\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.अ

10.5.3Section formulaखंड सूत्रSection formula

Let P and Q have position vectors \overrightarrow{OP} = \vec{a} and \overrightarrow{OQ} = \vec{b}. A third point R on line PQ can divide PQ internally (R between P and Q) or externally (R outside segment PQ). We find the position vector \overrightarrow{OR} = \vec{r}.मान लीजिए P और Q के स्थिति सदिश \overrightarrow{OP} = \vec{a} और \overrightarrow{OQ} = \vec{b} हैं। रेखा PQ पर तीसरा बिंदु R, PQ को अंतः (R, P और Q के बीच) या बाह्य (R, खंड PQ के बाहर) रूप से विभाजित कर सकता है। हम स्थिति सदिश \overrightarrow{OR} = \vec{r} ज्ञात करते हैं।Maan lijiye P aur Q ke position vectors \overrightarrow{OP} = \vec{a} aur \overrightarrow{OQ} = \vec{b} hain. Line PQ par teesra point R, PQ ko internally (R, P aur Q ke beech) ya externally (R, segment PQ ke bahar) divide kar sakta hai. Hum position vector \overrightarrow{OR} = \vec{r} nikalte hain.अ

Case I (internal). If m\,\overrightarrow{RQ} = n\,\overrightarrow{PR} (m, n positive), R divides PQ internally in the ratio m : n. From triangles ORQ and OPR: \overrightarrow{RQ} = \vec{b} - \vec{r} and \overrightarrow{PR} = \vec{r} - \vec{a}. So m(\vec{b} - \vec{r}) = n(\vec{r} - \vec{a}), which simplifies to \vec{r} = \dfrac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}.स्थिति I (अंतः)। यदि m\,\overrightarrow{RQ} = n\,\overrightarrow{PR} (m, n धनात्मक), तो R, PQ को m : n में अंतः विभाजित करता है। त्रिभुजों ORQ और OPR से: \overrightarrow{RQ} = \vec{b} - \vec{r} और \overrightarrow{PR} = \vec{r} - \vec{a}। अतः m(\vec{b} - \vec{r}) = n(\vec{r} - \vec{a}), जिसे सरल करने पर \vec{r} = \dfrac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}.Case I (internal). Agar m\,\overrightarrow{RQ} = n\,\overrightarrow{PR} (m, n positive), to R, PQ ko m : n mein internally divide karta hai. Triangles ORQ aur OPR se: \overrightarrow{RQ} = \vec{b} - \vec{r} aur \overrightarrow{PR} = \vec{r} - \vec{a}. Isliye m(\vec{b} - \vec{r}) = n(\vec{r} - \vec{a}), jise simplify karne par \vec{r} = \dfrac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}.अ

Case II (external). If R divides PQ externally in the ratio m : n, i.e. \dfrac{PR}{QR} = \dfrac{m}{n}, then \vec{r} = \dfrac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}. Midpoint: if R is the midpoint of PQ, then m = n and \vec{r} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.स्थिति II (बाह्य)। यदि R, PQ को m : n में बाह्य विभाजित करे, अर्थात् \dfrac{PR}{QR} = \dfrac{m}{n}, तो \vec{r} = \dfrac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}. मध्य-बिंदु: यदि R, PQ का मध्य-बिंदु है, तो m = n और \vec{r} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}।Case II (external). Agar R, PQ ko m : n mein externally divide kare, yaani \dfrac{PR}{QR} = \dfrac{m}{n}, to \vec{r} = \dfrac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}. Midpoint: agar R, PQ ka midpoint hai, to m = n aur \vec{r} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.अ

Section formula: R divides PQ in m : nखंड सूत्र: R, PQ को m : n में विभाजित करता हैSection formula: R, PQ ko m : n mein divide karta haiNCERT Fig 10.16 · 10 tappable parts · 3DOpen

10.6Product of Two Vectorsदो सदिशों का गुणनफलDo vectors ka product

Two numbers multiply to a number; two matrices to a matrix. For functions we had two kinds of multiplication (pointwise and composition). Vectors also have two products: the scalar (dot) product, whose result is a scalar, and the vector (cross) product, whose result is a vector.दो संख्याओं का गुणनफल संख्या, दो आव्यूहों का आव्यूह होता है। फलनों के दो प्रकार के गुणन थे (बिंदुवार और संयोजन)। सदिशों के भी दो गुणनफल हैं: अदिश (बिंदु) गुणनफल, जिसका परिणाम अदिश है, और सदिश (वज्र) गुणनफल, जिसका परिणाम सदिश है।Do numbers ka product number, do matrices ka matrix hota hai. Functions ke do tarah ke multiplication the (pointwise aur composition). Vectors ke bhi do products hain: scalar (dot) product, jiska result scalar hai, aur vector (cross) product, jiska result vector hai.अ

10.6.1Scalar (or dot) product of two vectorsदो सदिशों का अदिश (या बिंदु) गुणनफलScalar (ya dot) product

1. \vec{a} \cdot \vec{b} is a real number.\vec{a} \cdot \vec{b} एक वास्तविक संख्या है।\vec{a} \cdot \vec{b} ek real number hai.अ
2. For nonzero \vec{a}, \vec{b}: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 if and only if \vec{a} and \vec{b} are perpendicular, i.e. \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}.शून्येतर \vec{a}, \vec{b} के लिए: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 यदि और केवल यदि \vec{a} और \vec{b} परस्पर लंब हों, अर्थात् \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}।Non-zero \vec{a}, \vec{b} ke liye: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 agar aur sirf agar \vec{a} aur \vec{b} perpendicular hon, yaani \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}.अ
3. If θ = 0, then \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|; in particular \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2. If θ = π, then \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}|\,|\vec{b}|; in particular \vec{a} \cdot (-\vec{a}) = -|\vec{a}|^2.यदि θ = 0, तो \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|; विशेषतः \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2। यदि θ = π, तो \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}|\,|\vec{b}|; विशेषतः \vec{a} \cdot (-\vec{a}) = -|\vec{a}|^2।Agar θ = 0, to \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|; khaas taur par \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2. Agar θ = π, to \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}|\,|\vec{b}|; khaas taur par \vec{a} \cdot (-\vec{a}) = -|\vec{a}|^2.अ
4. For the mutually perpendicular unit vectors: \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 and \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0.परस्पर लंब मात्रक सदिशों के लिए: \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 और \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0।Perpendicular unit vectors ke liye: \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 aur \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0.अ
5. The angle between nonzero \vec{a}, \vec{b}: \cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}, or \theta = \cos^{-1}\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\right). The scalar product is commutative: \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}.शून्येतर \vec{a}, \vec{b} के बीच का कोण: \cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}, या \theta = \cos^{-1}\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\right)। अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है: \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}।Non-zero \vec{a}, \vec{b} ke beech ka angle: \cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}, ya \theta = \cos^{-1}\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\right). Scalar product commutative hai: \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}.अ

Using these properties and \hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0 etc., all nine cross-terms collapse to three: for \vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} and \vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}, \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.इन गुणधर्मों और \hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0 आदि से नौ पदों में से केवल तीन बचते हैं: \vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} और \vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k} के लिए \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.In properties aur \hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0 waghairah se nau terms mein se sirf teen bachte hain: \vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} aur \vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k} ke liye \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.अ

10.6.2Projection of a vector on a lineएक सदिश का किसी रेखा पर प्रक्षेपVector ka line par projection

Suppose \vec{a} = \overrightarrow{AB} makes an angle θ with a directed line l (anticlockwise). The projection vector of \vec{a} on l is the vector \vec{p} = \overrightarrow{AC} (C is the foot of the perpendicular from B on l) with magnitude |\vec{a}|\,|\cos\theta|; its direction is the same as l if cos θ > 0 and opposite if cos θ < 0. Its magnitude |\vec{p}| is simply called the projection of \vec{a} on the directed line l.मान लीजिए \vec{a} = \overrightarrow{AB} किसी दिष्ट रेखा l से (वामावर्त) कोण θ बनाता है। l पर \vec{a} का प्रक्षेप सदिश वह सदिश \vec{p} = \overrightarrow{AC} है (C, B से l पर लंब का पाद) जिसका परिमाण |\vec{a}|\,|\cos\theta| है; cos θ > 0 हो तो इसकी दिशा l वाली और cos θ < 0 हो तो उलटी। इसका परिमाण |\vec{p}| केवल दिष्ट रेखा l पर \vec{a} का प्रक्षेप कहलाता है।Maan lijiye \vec{a} = \overrightarrow{AB} kisi directed line l se (anticlockwise) angle θ banata hai. l par \vec{a} ka projection vector woh vector \vec{p} = \overrightarrow{AC} hai (C, B se l par perpendicular ka foot) jiska magnitude |\vec{a}|\,|\cos\theta| hai; cos θ > 0 ho to iski direction l wali aur cos θ < 0 ho to ulti. Iska magnitude |\vec{p}| sirf directed line l par \vec{a} ka projection kehlata hai.अ

Projection of a on bb पर a का प्रक्षेपb par a ka projectionNCERT Fig 10.20 · 7 tappable partsOpen

10.6.3Vector (or cross) product of two vectorsदो सदिशों का सदिश (या वज्र) गुणनफलVector (ya cross) product

In the right-handed coordinate system, when the positive x-axis is rotated counterclockwise into the positive y-axis, a right-handed (standard) screw advances in the direction of the positive z-axis. Equivalently: curl the fingers of the right hand from the positive x-axis towards the positive y-axis — the thumb points along the positive z-axis.दक्षिणावर्ती निर्देशांक पद्धति में जब धन x-अक्ष को वामावर्त घुमाकर धन y-अक्ष पर लाते हैं, तो दक्षिणावर्ती (मानक) पेंच धन z-अक्ष की दिशा में आगे बढ़ता है। या: दाएँ हाथ की उँगलियों को धन x-अक्ष से धन y-अक्ष की ओर मोड़िए — अँगूठा धन z-अक्ष की दिशा बताता है।Right-handed coordinate system mein jab positive x-axis ko anticlockwise ghumakar positive y-axis par laate hain, to right-handed (standard) screw positive z-axis ki direction mein aage badhta hai. Ya: right hand ki ungliyon ko positive x-axis se positive y-axis ki taraf modiye — angootha positive z-axis ki direction batata hai.अ

Right-hand rule for a × ba × b के लिए दाएँ हाथ का नियमa × b ke liye right-hand ruleNCERT Fig 10.23 · 6 tappable parts · 3DOpen

1. \vec{a} \times \vec{b} is a vector.\vec{a} \times \vec{b} एक सदिश है।\vec{a} \times \vec{b} ek vector hai.अ
2. For nonzero \vec{a}, \vec{b}: \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} if and only if \vec{a} and \vec{b} are parallel (collinear). In particular \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} and \vec{a} \times (-\vec{a}) = \vec{0} (θ = 0 or π makes sin θ = 0).शून्येतर \vec{a}, \vec{b} के लिए: \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} यदि और केवल यदि \vec{a} और \vec{b} समांतर (संरेख) हों। विशेषतः \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} और \vec{a} \times (-\vec{a}) = \vec{0} (θ = 0 या π पर sin θ = 0)।Non-zero \vec{a}, \vec{b} ke liye: \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} agar aur sirf agar \vec{a} aur \vec{b} parallel (collinear) hon. Khaas taur par \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} aur \vec{a} \times (-\vec{a}) = \vec{0} (θ = 0 ya π par sin θ = 0).अ
3. If θ = π/2, then |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|. For the unit vectors: \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} and \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k},\ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i},\ \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}.यदि θ = π/2, तो |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|। मात्रक सदिशों के लिए: \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} और \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k},\ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i},\ \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}।Agar θ = π/2, to |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|. Unit vectors ke liye: \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} aur \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k},\ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i},\ \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}.अ
4. The angle between two vectors: \sin\theta = \dfrac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.दो सदिशों के बीच का कोण: \sin\theta = \dfrac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}।Do vectors ke beech ka angle: \sin\theta = \dfrac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.अ
5. The vector product is not commutative: \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}. (For \vec{a} \times \vec{b}, θ is traversed from \vec{a} to \vec{b} and \hat{n} points up; for \vec{b} \times \vec{a} it is traversed from \vec{b} to \vec{a}, so \hat{n}_1 = -\hat{n} points down.) Hence \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k},\ \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i},\ \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}.सदिश गुणनफल क्रमविनिमेय नहीं है: \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}। (\vec{a} \times \vec{b} में θ, \vec{a} से \vec{b} की ओर लिया जाता है और \hat{n} ऊपर की ओर; \vec{b} \times \vec{a} में \vec{b} से \vec{a} की ओर, अतः \hat{n}_1 = -\hat{n} नीचे की ओर।) अतः \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k},\ \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i},\ \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}।Vector product commutative nahi hai: \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}. (\vec{a} \times \vec{b} mein θ, \vec{a} se \vec{b} ki taraf liya jaata hai aur \hat{n} upar ki taraf; \vec{b} \times \vec{a} mein \vec{b} se \vec{a} ki taraf, isliye \hat{n}_1 = -\hat{n} neeche ki taraf.) Isliye \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k},\ \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i},\ \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}.अ
6. If \vec{a} and \vec{b} represent adjacent sides of a triangle, its area is \dfrac12|\vec{a} \times \vec{b}| (because area = ½·AB·CD and CD = |\vec{b}|\sin\theta). If they represent adjacent sides of a parallelogram, its area is |\vec{a} \times \vec{b}| (area = AB·DE, DE = |\vec{b}|\sin\theta).यदि \vec{a} और \vec{b} किसी त्रिभुज की आसन्न भुजाएँ हैं, तो उसका क्षेत्रफल \dfrac12|\vec{a} \times \vec{b}| है (क्योंकि क्षेत्रफल = ½·AB·CD और CD = |\vec{b}|\sin\theta)। यदि वे किसी समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं, तो क्षेत्रफल |\vec{a} \times \vec{b}| है (क्षेत्रफल = AB·DE, DE = |\vec{b}|\sin\theta)।Agar \vec{a} aur \vec{b} kisi triangle ki adjacent sides hain, to uska area \dfrac12|\vec{a} \times \vec{b}| hai (kyonki area = ½·AB·CD aur CD = |\vec{b}|\sin\theta). Agar woh kisi parallelogram ki adjacent sides hain, to area |\vec{a} \times \vec{b}| hai (area = AB·DE, DE = |\vec{b}|\sin\theta).अ

Area of parallelogram and triangle = |a × b| and ½|a × b|समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज का क्षेत्रफल = |a × b| और ½|a × b|Parallelogram aur triangle ka area = |a × b| aur ½|a × b|NCERT Fig 10.26–10.27 · 6 tappable parts · 3DOpen

Expanding (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}) with these rules gives \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.इन नियमों से (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}) का विस्तार करने पर \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.In rules se (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}) ko expand karne par \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.अ

Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples

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