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Ch 14Probabilityप्रायिकताProbability

Events and their types, the algebra of events, mutually exclusive and exhaustive events, the axiomatic approach to probability, P(A or B) and P(not A) — with every NCERT exercise solved.घटनाएँ और उनके प्रकार, घटनाओं का बीजगणित, परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ, प्रायिकता का अभिगृहीतीय दृष्टिकोण, P(A या B) और P(A-नहीं) — NCERT के सभी प्रश्नों के हल के साथ।Events aur unke types, events ka algebra, mutually exclusive aur exhaustive events, probability ka axiomatic approach, P(A ya B) aur P(not A) — NCERT ke saare questions ke hal ke saath.

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Diagrams in this chapterइस अध्याय के चित्रIs chapter ke diagrams

Sample space of two dice: 36 equally likely outcomes (Ex 14.1 Q3)दो पासों की प्रतिदर्श समष्टि: 36 समसंभाव्य परिणाम (प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 3)Sample space of two dice: 36 equally likely outcomes (Ex 14.1 Q3)Section 14.1Venn diagram of two events — the addition ruleदो घटनाओं का वेन आरेख — योग नियमVenn diagram of two events — the addition ruleSection 14.2.3
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 14.1EventघटनाEvent
  2. 14.2Axiomatic Approach to Probabilityप्रायिकता का अभिगृहीतीय दृष्टिकोणProbability ka axiomatic approach
  3. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  4. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  5. ✎NCERT exercises — solutionsNCERT प्रश्नावली — हलNCERT exercises — solutions
  6. 🎯Quizक्विज़Quiz

14.1EventघटनाEvent

The set S of all outcomes of a random experiment is its sample space. Any subset E of S is an event; E occurs if the outcome ω belongs to E. Two dice give 36 equally likely outcomes.किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी परिणामों का समुच्चय S उसकी प्रतिदर्श समष्टि है। S का कोई भी उपसमुच्चय E एक घटना है; यदि परिणाम ω, E में हो तो E घटित होती है। दो पासों के 36 समसंभाव्य परिणाम होते हैं।Kisi random experiment ke saare outcomes ka set S uska sample space hai. S ka koi bhi subset E ek event hai; agar outcome ω, E mein ho to E occur hota hai. Do dice ke 36 equally likely outcomes hote hain.

Sample space of two dice: 36 equally likely outcomes (Ex 14.1 Q3)दो पासों की प्रतिदर्श समष्टि: 36 समसंभाव्य परिणाम (प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 3)Sample space of two dice: 36 equally likely outcomes (Ex 14.1 Q3)Section 14.1 · 5 tappable partsअनुभाग 14.1 · 5 टैप करने लायक हिस्सेSection 14.1 · 5 tappable partsOpen

14.1.2Types of eventsघटनाओं के प्रकारEvents ke types

Impossible event φ (never occurs); sure event S (always occurs); simple event — exactly one sample point; compound event — more than one sample point.असंभव घटना φ (कभी नहीं होती); निश्चित घटना S (सदा होती है); सरल घटना — केवल एक प्रतिदर्श बिंदु; मिश्र घटना — एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु।Impossible event φ (kabhi nahi hota); sure event S (hamesha hota hai); simple event — sirf ek sample point; compound event — ek se zyada sample points.

14.1.3Algebra of eventsघटनाओं का बीजगणितEvents ka algebra

Complement "not A" = A′ = S − A; "A or B" = A ∪ B; "A and B" = A ∩ B; "A but not B" = A − B = A ∩ B′.पूरक "A-नहीं" = A′ = S − A; "A या B" = A ∪ B; "A और B" = A ∩ B; "A परंतु B नहीं" = A − B = A ∩ B′।Complement "not A" = A′ = S − A; "A ya B" = A ∪ B; "A aur B" = A ∩ B; "A par B nahi" = A − B = A ∩ B′.

Mutually exclusive and exhaustiveA and B are mutually exclusive if A ∩ B = φ (both cannot happen together). E₁, …, Eₙ are exhaustive if E₁ ∪ … ∪ Eₙ = S. If they are pairwise disjoint as well, they are mutually exclusive and exhaustive.परस्पर अपवर्जी और निःशेषA और B परस्पर अपवर्जी हैं यदि A ∩ B = φ (दोनों साथ नहीं हो सकतीं)। E₁, …, Eₙ निःशेष हैं यदि E₁ ∪ … ∪ Eₙ = S। यदि साथ ही युग्मतः असंयुक्त हों, तो ये परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।Mutually exclusive aur exhaustiveA aur B mutually exclusive hain agar A ∩ B = φ (dono saath nahi ho sakte). E₁, …, Eₙ exhaustive hain agar E₁ ∪ … ∪ Eₙ = S. Agar saath hi pairwise disjoint hon, to yeh mutually exclusive aur exhaustive hain.

14.2Axiomatic Approach to Probabilityप्रायिकता का अभिगृहीतीय दृष्टिकोणProbability ka axiomatic approach

Axioms(i) P(E) ≥ 0 for every event E; (ii) P(S) = 1; (iii) if E and F are mutually exclusive, P(E ∪ F) = P(E) + P(F). Hence P(φ) = 0 and 0 ≤ P(E) ≤ 1.अभिगृहीत(i) हर घटना E के लिए P(E) ≥ 0; (ii) P(S) = 1; (iii) यदि E और F परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(E ∪ F) = P(E) + P(F)। अतः P(φ) = 0 और 0 ≤ P(E) ≤ 1।Axioms(i) har event E ke liye P(E) ≥ 0; (ii) P(S) = 1; (iii) agar E aur F mutually exclusive hain, to P(E ∪ F) = P(E) + P(F). Isliye P(φ) = 0 aur 0 ≤ P(E) ≤ 1.

For S = {ω₁, …, ωₙ}: each 0 ≤ P(ωᵢ) ≤ 1, the P(ωᵢ) add up to 1, and P(A) is the sum of P(ωᵢ) over ωᵢ in A.S = {ω₁, …, ωₙ} के लिए: हर 0 ≤ P(ωᵢ) ≤ 1, सभी P(ωᵢ) का योग 1, और P(A) = A के ωᵢ के P(ωᵢ) का योग।S = {ω₁, …, ωₙ} ke liye: har 0 ≤ P(ωᵢ) ≤ 1, saare P(ωᵢ) ka jod 1, aur P(A) = A ke ωᵢ ke P(ωᵢ) ka jod.

P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}
equally likely outcomesसमसंभाव्य परिणामequally likely outcomes
Venn diagram of two events — the addition ruleदो घटनाओं का वेन आरेख — योग नियमVenn diagram of two events — the addition ruleSection 14.2.3 · 6 tappable partsअनुभाग 14.2.3 · 6 टैप करने लायक हिस्सेSection 14.2.3 · 6 tappable partsOpen
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
A or BA या BA ya B
P(A') = 1 - P(A)
not AA-नहींnot A
ExampleOne card is drawn from a well-shuffled pack of 52. Find P(a diamond or a king).उदाहरण52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। P(ईंट या बादशाह) ज्ञात कीजिए।Example52 cards ki achhi tarah shuffle ki gaddi se ek card nikaala. P(diamond ya king) nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. P(D) = \frac{13}{52},\ P(K) = \frac{4}{52},\ P(D \cap K) = \frac{1}{52}
  2. P(D \cup K) = \frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
Example 9Veena visits four cities A, B, C, D in random order. Find P(A before B) and P(A first and B last).उदाहरण 9वीणा चार शहरों A, B, C, D की यात्रा यादृच्छिक क्रम में करती है। P(A, B से पहले) और P(A पहले और B अंत में) ज्ञात कीजिए।Example 9Veena chaar shehar A, B, C, D random order mein ghoomti hai. P(A, B se pehle) aur P(A pehle aur B aakhir mein) nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
  1. n(S) = 4! = 24
  2. P(A \text{ before } B) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}P(A,\ B \text{ से पहले}) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}P(A \text{ before } B) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}
  3. P(A \text{ first},\ B \text{ last}) = \frac{2!}{24} = \frac{1}{12}P(A \text{ पहले},\ B \text{ अंत में}) = \frac{2!}{24} = \frac{1}{12}P(A \text{ pehle},\ B \text{ aakhir}) = \frac{2!}{24} = \frac{1}{12}

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Event = subset of S; φ impossible, S sure.घटना = S का उपसमुच्चय; φ असंभव, S निश्चित।Event = S ka subset; φ impossible, S sure.
  2. Mutually exclusive: A ∩ B = φ. Exhaustive: union = S.परस्पर अपवर्जी: A ∩ B = φ। निःशेष: सम्मिलन = S।Mutually exclusive: A ∩ B = φ. Exhaustive: union = S.
  3. 0 ≤ P(E) ≤ 1, P(S) = 1, P(φ) = 0.0 ≤ P(E) ≤ 1, P(S) = 1, P(φ) = 0।0 ≤ P(E) ≤ 1, P(S) = 1, P(φ) = 0.
  4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A′) = 1 − P(A).P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A′) = 1 − P(A)।P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A′) = 1 − P(A).
  5. P(A ∩ B′) = P(A) − P(A ∩ B); P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B).P(A ∩ B′) = P(A) − P(A ∩ B); P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B)।P(A ∩ B′) = P(A) − P(A ∩ B); P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B).
  6. "At least one" = 1 − P(none)."कम से कम एक" = 1 − P(एक भी नहीं)।"Kam se kam ek" = 1 − P(ek bhi nahi).

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Adding P(A) + P(B) for events that overlap — subtract P(A ∩ B).ओवरलैप वाली घटनाओं के लिए सीधे P(A) + P(B) जोड़ना — P(A ∩ B) घटाइए।Overlap wale events ke liye seedha P(A) + P(B) jodna — P(A ∩ B) ghataiye.
  • Thinking "mutually exclusive" means "exhaustive" — A: 1 on a die, B: 2 on a die are exclusive but not exhaustive."परस्पर अपवर्जी" को "निःशेष" समझना — A: पासे पर 1, B: पासे पर 2 अपवर्जी हैं पर निःशेष नहीं।"Mutually exclusive" ko "exhaustive" samajhna — A: die par 1, B: die par 2 exclusive hain par exhaustive nahi.
  • Treating (1, 2) and (2, 1) as the same outcome for two dice — order matters, 36 outcomes.दो पासों में (1, 2) और (2, 1) को एक ही परिणाम मानना — क्रम मायने रखता है, 36 परिणाम।Do dice mein (1, 2) aur (2, 1) ko ek hi outcome maanna — order matter karta hai, 36 outcomes.
  • A probability assignment with a negative value or a total ≠ 1 is not valid.ऋणात्मक मान या कुल योग ≠ 1 वाला प्रायिकता निर्धारण मान्य नहीं।Negative value ya total ≠ 1 wala probability assignment valid nahi.
  • Using permutations where order does not matter (lottery, choosing cards) — use combinations.जहाँ क्रम मायने नहीं रखता (लॉटरी, पत्ते चुनना) वहाँ क्रमचय लेना — संचय लीजिए।Jahan order matter nahi karta (lottery, cards chunna) wahan permutation lena — combination lijiye.

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All 38 questions of the NCERT exercises. Tap a question to see the solution — try it yourself first!NCERT प्रश्नावली के सभी 38 प्रश्न। हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें — पहले स्वयं हल करके देखें!NCERT exercises ke saare 38 questions. Hal dekhne ke liye question par tap kijiye — pehle khud try kijiye!

Exercise 14.1प्रश्नावली 14.1Exercise 14.1 · 7 Q

Q1. A die is rolled. E: "die shows 4", F: "die shows an even number". Are E and F mutually exclusive?एक पासा फेंका गया। E: "पासे पर 4", F: "पासे पर सम संख्या"। क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?Ek die phenka. E: "die par 4", F: "die par even number". Kya E aur F mutually exclusive hain?
  1. E = \{4\},\ F = \{2, 4, 6\},\ E \cap F = \{4\} \ne \varphi

✔ No.नहीं।Nahi.

Q2. A die is thrown. Describe A: number < 7, B: number > 7, C: multiple of 3, D: number < 4, E: even number > 4, F: number not less than 3. Also find A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩ F, D ∩ E, A − C, D − E, E ∩ F′, F′.एक पासा फेंका गया। A: संख्या < 7, B: संख्या > 7, C: 3 का गुणज, D: संख्या < 4, E: 4 से बड़ी सम संख्या, F: 3 से कम नहीं — इनका वर्णन कीजिए। A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩ F, D ∩ E, A − C, D − E, E ∩ F′, F′ भी ज्ञात कीजिए।Ek die phenka. A: number < 7, B: number > 7, C: 3 ka multiple, D: number < 4, E: 4 se bada even number, F: 3 se kam nahi — describe kijiye. A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩ F, D ∩ E, A − C, D − E, E ∩ F′, F′ bhi nikaliye.
  1. A = \{1, \dots, 6\},\ B = \varphi,\ C = \{3, 6\},\ D = \{1, 2, 3\},\ E = \{6\},\ F = \{3, 4, 5, 6\}
  2. A \cup B = \{1, \dots, 6\},\ A \cap B = \varphi,\ B \cup C = \{3, 6\},\ E \cap F = \{6\}
  3. D \cap E = \varphi,\ A - C = \{1, 2, 4, 5\},\ D - E = \{1, 2, 3\}
  4. F' = \{1, 2\},\ E \cap F' = \varphi
Q3. A pair of dice is rolled. A: sum > 8, B: 2 on either die, C: sum ≥ 7 and a multiple of 3. Describe them; which pairs are mutually exclusive?दो पासे फेंके गए। A: योग > 8, B: किसी पासे पर 2, C: योग ≥ 7 और 3 का गुणज। इनका वर्णन कीजिए; कौन-से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?Do dice phenke. A: sum > 8, B: kisi die par 2, C: sum ≥ 7 aur 3 ka multiple. Describe kijiye; kaun se pairs mutually exclusive hain?
  1. A = \{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)\}
  2. B = \{(2,1),(2,2),\dots,(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\}\ (11)
  3. C:\ \text{sum } 9 \text{ or } 12 = \{(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)\}C:\ \text{योग } 9 \text{ या } 12 = \{(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)\}C:\ \text{sum } 9 \text{ ya } 12 = \{(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)\}
  4. A \cap B = \varphi,\ B \cap C = \varphi,\ A \cap C \ne \varphi

✔ A and B; B and C are mutually exclusive.A और B; B और C परस्पर अपवर्जी हैं।A aur B; B aur C mutually exclusive hain.

Q4. Three coins are tossed. A: three heads, B: two heads and one tail, C: three tails, D: head on the first coin. Which events are (i) mutually exclusive (ii) simple (iii) compound?तीन सिक्के उछाले गए। A: तीन चित, B: दो चित एक पट, C: तीन पट, D: पहले सिक्के पर चित। कौन-सी घटनाएँ (i) परस्पर अपवर्जी (ii) सरल (iii) मिश्र हैं?Teen coins uchhale. A: teen heads, B: do heads ek tail, C: teen tails, D: pehle coin par head. Kaun se events (i) mutually exclusive (ii) simple (iii) compound hain?
  1. A = \{HHH\},\ B = \{HHT, HTH, THH\},\ C = \{TTT\},\ D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}

✔ (i) A & B, A & C, B & C, C & D (ii) A, C (iii) B, D(i) A व B, A व C, B व C, C व D (ii) A, C (iii) B, D(i) A & B, A & C, B & C, C & D (ii) A, C (iii) B, D

Q5. Three coins are tossed. Describe (i) two mutually exclusive events (ii) three mutually exclusive and exhaustive events (iii) two events that are not mutually exclusive (iv) two mutually exclusive but not exhaustive events (v) three mutually exclusive but not exhaustive events.तीन सिक्के उछाले गए। बताइए (i) दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (ii) तीन परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ (iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं (iv) दो परस्पर अपवर्जी पर निःशेष नहीं (v) तीन परस्पर अपवर्जी पर निःशेष नहीं।Teen coins uchhale. Bataiye (i) do mutually exclusive events (ii) teen mutually exclusive aur exhaustive events (iii) do events jo mutually exclusive nahi (iv) do mutually exclusive par exhaustive nahi (v) teen mutually exclusive par exhaustive nahi.

✔ (i) "at least two heads", "at least two tails" (ii) "no head", "exactly one head", "at least two heads" (iii) "at most two tails", "exactly two tails" (iv) "exactly one head", "exactly two heads" (v) "exactly one tail", "exactly two tails", "exactly three tails". Other correct answers are possible.(i) "कम से कम दो चित", "कम से कम दो पट" (ii) "कोई चित नहीं", "ठीक एक चित", "कम से कम दो चित" (iii) "अधिकतम दो पट", "ठीक दो पट" (iv) "ठीक एक चित", "ठीक दो चित" (v) "ठीक एक पट", "ठीक दो पट", "ठीक तीन पट"। अन्य सही उत्तर भी संभव हैं।(i) "kam se kam do heads", "kam se kam do tails" (ii) "koi head nahi", "theek ek head", "kam se kam do heads" (iii) "zyada se zyada do tails", "theek do tails" (iv) "theek ek head", "theek do heads" (v) "theek ek tail", "theek do tails", "theek teen tails". Aur bhi sahi answers ho sakte hain.

Q6. Two dice are thrown. A: even number on the first die, B: odd number on the first die, C: sum ≤ 5. Describe (i) A′ (ii) not B (iii) A or B (iv) A and B (v) A but not C (vi) B or C (vii) B and C (viii) A ∩ B′ ∩ C′.दो पासे फेंके गए। A: पहले पासे पर सम संख्या, B: पहले पासे पर विषम संख्या, C: योग ≤ 5। वर्णन कीजिए (i) A′ (ii) B-नहीं (iii) A या B (iv) A और B (v) A परंतु C नहीं (vi) B या C (vii) B और C (viii) A ∩ B′ ∩ C′।Do dice phenke. A: pehle die par even, B: pehle die par odd, C: sum ≤ 5. Describe kijiye (i) A′ (ii) not B (iii) A ya B (iv) A aur B (v) A par C nahi (vi) B ya C (vii) B aur C (viii) A ∩ B′ ∩ C′.
  1. C = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)\}
  2. (i)\ A' = B\quad (ii)\ B' = A\quad (iii)\ A \cup B = S\quad (iv)\ A \cap B = \varphi
  3. (v)\ A - C = \{(2,4),(2,5),(2,6),(4,2),\dots,(4,6),(6,1),\dots,(6,6)\}\ (14)
  4. (vi)\ B \cup C = B \cup \{(2,1),(2,2),(2,3),(4,1)\}\ (22)
  5. (vii)\ B \cap C = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2)\}
  6. (viii)\ A \cap B' \cap C' = A \cap C' = A - C\ (14)
Q7. With the events of Q6, true or false (with reason): (i) A and B are mutually exclusive (ii) A and B are mutually exclusive and exhaustive (iii) A = B′ (iv) A and C are mutually exclusive (v) A and B′ are mutually exclusive (vi) A′, B′, C are mutually exclusive and exhaustive.प्रश्न 6 की घटनाओं से, सत्य या असत्य (कारण सहित): (i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं (ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं (iii) A = B′ (iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं (v) A और B′ परस्पर अपवर्जी हैं (vi) A′, B′, C परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।Q6 ke events se, true ya false (reason ke saath): (i) A aur B mutually exclusive hain (ii) A aur B mutually exclusive aur exhaustive hain (iii) A = B′ (iv) A aur C mutually exclusive hain (v) A aur B′ mutually exclusive hain (vi) A′, B′, C mutually exclusive aur exhaustive hain.

✔ (i) True (A ∩ B = φ) (ii) True (also A ∪ B = S) (iii) True (iv) False — (2, 1) ∈ A ∩ C (v) False — B′ = A, so A ∩ B′ = A ≠ φ (vi) False — A′ = B and C overlap at (1, 1).(i) सत्य (A ∩ B = φ) (ii) सत्य (साथ ही A ∪ B = S) (iii) सत्य (iv) असत्य — (2, 1) ∈ A ∩ C (v) असत्य — B′ = A, अतः A ∩ B′ = A ≠ φ (vi) असत्य — A′ = B और C में (1, 1) उभयनिष्ठ।(i) True (A ∩ B = φ) (ii) True (saath hi A ∪ B = S) (iii) True (iv) False — (2, 1) ∈ A ∩ C (v) False — B′ = A, isliye A ∩ B′ = A ≠ φ (vi) False — A′ = B aur C mein (1, 1) common.

Exercise 14.2प्रश्नावली 14.2Exercise 14.2 · 21 Q

Q1. Which of these cannot be a valid assignment of probabilities for S = {ω₁, …, ω₇}? (a) 0.1, 0.01, 0.05, 0.03, 0.01, 0.2, 0.6 (b) each 1/7 (c) 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7 (d) −0.1, 0.2, 0.3, 0.4, −0.2, 0.1, 0.3 (e) 1/14, 2/14, 3/14, 4/14, 5/14, 6/14, 15/14S = {ω₁, …, ω₇} के लिए इनमें से कौन-सा प्रायिकता निर्धारण मान्य नहीं? (a) 0.1, 0.01, 0.05, 0.03, 0.01, 0.2, 0.6 (b) हर 1/7 (c) 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7 (d) −0.1, 0.2, 0.3, 0.4, −0.2, 0.1, 0.3 (e) 1/14, 2/14, 3/14, 4/14, 5/14, 6/14, 15/14S = {ω₁, …, ω₇} ke liye inmein se kaun sa probability assignment valid nahi? (a) 0.1, 0.01, 0.05, 0.03, 0.01, 0.2, 0.6 (b) har 1/7 (c) 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7 (d) −0.1, 0.2, 0.3, 0.4, −0.2, 0.1, 0.3 (e) 1/14, 2/14, 3/14, 4/14, 5/14, 6/14, 15/14
  1. (a)\ \text{sum} = 1 \checkmark\quad (b)\ 7 \cdot \tfrac{1}{7} = 1 \checkmark\quad (c)\ \text{sum} = 2.8 \times(a)\ \text{योग} = 1 \checkmark\quad (b)\ 7 \cdot \tfrac{1}{7} = 1 \checkmark\quad (c)\ \text{योग} = 2.8 \times(a)\ \text{sum} = 1 \checkmark\quad (b)\ 7 \cdot \tfrac{1}{7} = 1 \checkmark\quad (c)\ \text{sum} = 2.8 \times
  2. (d)\ \text{negative values} \times\quad (e)\ \tfrac{15}{14} > 1,\ \text{sum} = \tfrac{36}{14} \times(d)\ \text{ऋणात्मक मान} \times\quad (e)\ \tfrac{15}{14} > 1,\ \text{योग} = \tfrac{36}{14} \times(d)\ \text{negative values} \times\quad (e)\ \tfrac{15}{14} > 1,\ \text{sum} = \tfrac{36}{14} \times

✔ (a) valid (b) valid (c), (d), (e) not valid(a) मान्य (b) मान्य (c), (d), (e) मान्य नहीं(a) valid (b) valid (c), (d), (e) valid nahi

Q2. A coin is tossed twice. P(at least one tail)?एक सिक्का दो बार उछाला गया। P(कम से कम एक पट)?Ek coin do baar uchhala. P(kam se kam ek tail)?
  1. S = \{HH, HT, TH, TT\}:\ 1 - P(HH) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
Q3. A die is thrown. Find P of (i) a prime (ii) a number ≥ 3 (iii) a number ≤ 1 (iv) a number > 6 (v) a number < 6.एक पासा फेंका गया। P ज्ञात कीजिए (i) अभाज्य संख्या (ii) संख्या ≥ 3 (iii) संख्या ≤ 1 (iv) संख्या > 6 (v) संख्या < 6।Ek die phenka. P nikaliye (i) prime number (ii) number ≥ 3 (iii) number ≤ 1 (iv) number > 6 (v) number < 6.
  1. (i)\ \{2, 3, 5\}:\ \tfrac{1}{2}\quad (ii)\ \{3, 4, 5, 6\}:\ \tfrac{2}{3}\quad (iii)\ \{1\}:\ \tfrac{1}{6}
  2. (iv)\ \varphi:\ 0\quad (v)\ \{1, \dots, 5\}:\ \tfrac{5}{6}
Q4. One card from a pack of 52: (a) points in the sample space (b) P(ace of spades) (c) P(i) an ace (ii) a black card.52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता: (a) प्रतिदर्श समष्टि में बिंदु (b) P(हुकुम का इक्का) (c) P (i) इक्का (ii) काला पत्ता।52 cards se ek card: (a) sample space mein points (b) P(ace of spades) (c) P (i) ace (ii) black card.
  1. (a)\ 52\quad (b)\ \tfrac{1}{52}\quad (c)\ (i)\ \tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13}\ \ (ii)\ \tfrac{26}{52} = \tfrac{1}{2}
Q5. A fair coin marked 1 and 6 and a fair die are tossed. P(sum is (i) 3 (ii) 12)?1 और 6 अंकित एक सिक्का और एक पासा उछाले गए। P(योग (i) 3 (ii) 12)?1 aur 6 likha ek coin aur ek die uchhale. P(sum (i) 3 (ii) 12)?
  1. n(S) = 2 \times 6 = 12
  2. (i)\ \{(1, 2)\}:\ \tfrac{1}{12}\qquad (ii)\ \{(6, 6)\}:\ \tfrac{1}{12}
Q6. 4 men and 6 women on a council; one is chosen at random. P(a woman)?परिषद में 4 पुरुष और 6 महिलाएँ; एक यादृच्छिक चुना गया। P(महिला)?Council mein 4 aadmi aur 6 auratein; ek random chuna. P(aurat)?
  1. \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
Q7. A coin is tossed four times; win ₹1 per head, lose ₹1.50 per tail. Find the possible amounts and their probabilities.एक सिक्का चार बार उछाला; हर चित पर ₹1 जीत, हर पट पर ₹1.50 हार। संभव राशियाँ और उनकी प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।Ek coin chaar baar uchhala; har head par ₹1 jeet, har tail par ₹1.50 haar. Possible amounts aur unki probabilities nikaliye.
  1. k \text{ heads}:\ k - 1.5(4 - k) = 2.5k - 6;\ \ P = \frac{\binom{4}{k}}{16}k \text{ चित}:\ k - 1.5(4 - k) = 2.5k - 6;\ \ P = \frac{\binom{4}{k}}{16}k \text{ heads}:\ k - 1.5(4 - k) = 2.5k - 6;\ \ P = \frac{\binom{4}{k}}{16}

✔ Gain ₹4.00: 1/16; gain ₹1.50: 1/4; lose ₹1.00: 3/8; lose ₹3.50: 1/4; lose ₹6.00: 1/16 — five amounts.₹4.00 लाभ: 1/16; ₹1.50 लाभ: 1/4; ₹1.00 हानि: 3/8; ₹3.50 हानि: 1/4; ₹6.00 हानि: 1/16 — पाँच राशियाँ।₹4.00 faayda: 1/16; ₹1.50 faayda: 1/4; ₹1.00 nuksaan: 3/8; ₹3.50 nuksaan: 1/4; ₹6.00 nuksaan: 1/16 — paanch amounts.

Q8. Three coins tossed. P of (i) 3 heads (ii) 2 heads (iii) at least 2 heads (iv) at most 2 heads (v) no head (vi) 3 tails (vii) exactly two tails (viii) no tail (ix) at most two tailsतीन सिक्के उछाले। P ज्ञात कीजिए (i) 3 चित (ii) 2 चित (iii) कम से कम 2 चित (iv) अधिकतम 2 चित (v) कोई चित नहीं (vi) 3 पट (vii) ठीक दो पट (viii) कोई पट नहीं (ix) अधिकतम दो पटTeen coins uchhale. P nikaliye (i) 3 heads (ii) 2 heads (iii) kam se kam 2 heads (iv) zyada se zyada 2 heads (v) koi head nahi (vi) 3 tails (vii) theek do tails (viii) koi tail nahi (ix) zyada se zyada do tails
  1. n(S) = 8
  2. (i)\ \tfrac{1}{8}\ (ii)\ \tfrac{3}{8}\ (iii)\ \tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}\ (iv)\ \tfrac{7}{8}\ (v)\ \tfrac{1}{8}
  3. (vi)\ \tfrac{1}{8}\ (vii)\ \tfrac{3}{8}\ (viii)\ \tfrac{1}{8}\ (ix)\ \tfrac{7}{8}
Q9. If 2/11 is the probability of an event A, what is P(not A)?यदि घटना A की प्रायिकता 2/11 है, तो P(A-नहीं)?Agar event A ki probability 2/11 hai, to P(not A)?
  1. 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11}
Q10. A letter is chosen at random from ASSASSINATION. P(i) a vowel (ii) a consonant?ASSASSINATION से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। P (i) स्वर (ii) व्यंजन?ASSASSINATION se ek letter random chuna. P (i) vowel (ii) consonant?
  1. 13 \text{ letters; vowels } A, A, A, I, I, O = 613 \text{ अक्षर; स्वर } A, A, A, I, I, O = 613 \text{ letters; vowels } A, A, A, I, I, O = 6
  2. (i)\ \frac{6}{13}\qquad (ii)\ \frac{7}{13}
Q11. A person chooses 6 different numbers from 1 to 20; he wins if they match the 6 fixed numbers. P(winning)?एक व्यक्ति 1 से 20 तक 6 भिन्न संख्याएँ चुनता है; निर्धारित 6 संख्याओं से मेल खाने पर जीतता है। P(जीत)?Ek vyakti 1 se 20 tak 6 alag numbers chunta hai; fixed 6 numbers se match hone par jeetta hai. P(jeet)?
  1. \frac{1}{\binom{20}{6}} = \frac{1}{38760}
Q12. Are these consistently defined? (i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6 (ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8क्या ये संगत रूप से परिभाषित हैं? (i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6 (ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8Kya yeh consistently defined hain? (i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6 (ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8
  1. (i)\ P(A \cap B) = 0.6 > P(A) = 0.5 \times
  2. (ii)\ P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.8 = 0.1 \le P(A), P(B) \checkmark

✔ (i) No (ii) Yes(i) नहीं (ii) हाँ(i) Nahi (ii) Haan

Q13. Fill in the blanks — P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B): (i) 1/3, 1/5, 1/15, … (ii) 0.35, …, 0.25, 0.6 (iii) 0.5, 0.35, …, 0.7रिक्त स्थान भरिए — P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B): (i) 1/3, 1/5, 1/15, … (ii) 0.35, …, 0.25, 0.6 (iii) 0.5, 0.35, …, 0.7Blanks bhariye — P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B): (i) 1/3, 1/5, 1/15, … (ii) 0.35, …, 0.25, 0.6 (iii) 0.5, 0.35, …, 0.7
  1. (i)\ \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{15} = \tfrac{7}{15}\quad (ii)\ P(B) = 0.6 - 0.35 + 0.25 = 0.5
  2. (iii)\ P(A \cap B) = 0.5 + 0.35 - 0.7 = 0.15
Q14. P(A) = 3/5, P(B) = 1/5, A and B mutually exclusive. P(A or B)?P(A) = 3/5, P(B) = 1/5, A और B परस्पर अपवर्जी। P(A या B)?P(A) = 3/5, P(B) = 1/5, A aur B mutually exclusive. P(A ya B)?
  1. \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
Q15. P(E) = 1/4, P(F) = 1/2, P(E and F) = 1/8. Find (i) P(E or F) (ii) P(not E and not F).P(E) = 1/4, P(F) = 1/2, P(E और F) = 1/8। ज्ञात कीजिए (i) P(E या F) (ii) P(E-नहीं और F-नहीं)।P(E) = 1/4, P(F) = 1/2, P(E aur F) = 1/8. Nikaliye (i) P(E ya F) (ii) P(not E aur not F).
  1. (i)\ \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{5}{8}
  2. (ii)\ P(E' \cap F') = 1 - P(E \cup F) = \tfrac{3}{8}
Q16. P(not E or not F) = 0.25. Are E and F mutually exclusive?P(E-नहीं या F-नहीं) = 0.25। क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?P(not E ya not F) = 0.25. Kya E aur F mutually exclusive hain?
  1. P(E' \cup F') = P((E \cap F)') = 0.25 \Rightarrow P(E \cap F) = 0.75 \ne 0

✔ No.नहीं।Nahi.

Q17. P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A and B) = 0.16. Find (i) P(not A) (ii) P(not B) (iii) P(A or B).P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A और B) = 0.16। ज्ञात कीजिए (i) P(A-नहीं) (ii) P(B-नहीं) (iii) P(A या B)।P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A aur B) = 0.16. Nikaliye (i) P(not A) (ii) P(not B) (iii) P(A ya B).
  1. (i)\ 0.58\quad (ii)\ 0.52\quad (iii)\ 0.42 + 0.48 - 0.16 = 0.74
Q18. 40% study Maths, 30% Biology, 10% both. P(Maths or Biology)?40% गणित, 30% जीव विज्ञान, 10% दोनों पढ़ते हैं। P(गणित या जीव विज्ञान)?40% Maths, 30% Biology, 10% dono padhte hain. P(Maths ya Biology)?
  1. 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6
Q19. P(pass 1st exam) = 0.8, P(pass 2nd) = 0.7, P(pass at least one) = 0.95. P(pass both)?P(पहली परीक्षा पास) = 0.8, P(दूसरी पास) = 0.7, P(कम से कम एक पास) = 0.95। P(दोनों पास)?P(pehla exam pass) = 0.8, P(doosra pass) = 0.7, P(kam se kam ek pass) = 0.95. P(dono pass)?
  1. P(A \cap B) = 0.8 + 0.7 - 0.95 = 0.55
Q20. P(pass both English and Hindi) = 0.5, P(pass neither) = 0.1, P(pass English) = 0.75. P(pass Hindi)?P(अंग्रेज़ी और हिंदी दोनों पास) = 0.5, P(कोई नहीं) = 0.1, P(अंग्रेज़ी पास) = 0.75। P(हिंदी पास)?P(English aur Hindi dono pass) = 0.5, P(koi nahi) = 0.1, P(English pass) = 0.75. P(Hindi pass)?
  1. P(E \cup H) = 1 - 0.1 = 0.9
  2. P(H) = 0.9 - 0.75 + 0.5 = 0.65
Q21. 60 students: 30 NCC, 32 NSS, 24 both. P that a random student opted (i) NCC or NSS (ii) neither (iii) NSS but not NCC.60 विद्यार्थी: 30 NCC, 32 NSS, 24 दोनों। P कि यादृच्छिक विद्यार्थी ने (i) NCC या NSS (ii) कोई नहीं (iii) NSS पर NCC नहीं चुना।60 students: 30 NCC, 32 NSS, 24 dono. P ki random student ne (i) NCC ya NSS (ii) koi nahi (iii) NSS par NCC nahi chuna.
  1. (i)\ \frac{30 + 32 - 24}{60} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}\quad (ii)\ \frac{22}{60} = \frac{11}{30}
  2. (iii)\ \frac{32 - 24}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}

Miscellaneous Exercise on Chapter 14अध्याय 14 पर विविध प्रश्नावलीMiscellaneous Exercise on Chapter 14 · 10 Q

Q1. A box has 10 red, 20 blue and 30 green marbles; 5 are drawn. P(i) all blue (ii) at least one green?एक डिब्बे में 10 लाल, 20 नीली और 30 हरी गोलियाँ; 5 निकाली गईं। P (i) सभी नीली (ii) कम से कम एक हरी?Ek box mein 10 laal, 20 neeli aur 30 hari marbles; 5 nikaali. P (i) saari neeli (ii) kam se kam ek hari?
  1. (i)\ \frac{\binom{20}{5}}{\binom{60}{5}}\qquad (ii)\ 1 - \frac{\binom{30}{5}}{\binom{60}{5}}\ \text{(no green = all 5 from the 30 non-green)}(i)\ \frac{\binom{20}{5}}{\binom{60}{5}}\qquad (ii)\ 1 - \frac{\binom{30}{5}}{\binom{60}{5}}\ \text{(कोई हरी नहीं = 30 गैर-हरी से पाँचों)}(i)\ \frac{\binom{20}{5}}{\binom{60}{5}}\qquad (ii)\ 1 - \frac{\binom{30}{5}}{\binom{60}{5}}\ \text{(koi hari nahi = 30 non-green se paanchon)}
Q2. 4 cards from 52. P(3 diamonds and one spade)?52 पत्तों से 4 पत्ते। P(3 ईंट और एक हुकुम)?52 cards se 4 cards. P(3 diamonds aur ek spade)?
  1. \frac{\binom{13}{3}\binom{13}{1}}{\binom{52}{4}}
Q3. A die has two faces "1", three faces "2", one face "3". Find (i) P(2) (ii) P(1 or 3) (iii) P(not 3).एक पासे के दो फलकों पर "1", तीन पर "2", एक पर "3"। ज्ञात कीजिए (i) P(2) (ii) P(1 या 3) (iii) P(3-नहीं)।Ek die ke do faces par "1", teen par "2", ek par "3". Nikaliye (i) P(2) (ii) P(1 ya 3) (iii) P(not 3).
  1. (i)\ \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}\quad (ii)\ \tfrac{2 + 1}{6} = \tfrac{1}{2}\quad (iii)\ 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}
Q4. 10,000 tickets, 10 equal prizes. P(no prize) if you buy (a) one (b) two (c) 10 tickets?10,000 टिकट, 10 समान इनाम। P(कोई इनाम नहीं) यदि आप खरीदें (a) एक (b) दो (c) 10 टिकट?10,000 tickets, 10 barabar prizes. P(koi prize nahi) agar aap khareedein (a) ek (b) do (c) 10 tickets?
  1. (a)\ \frac{9990}{10000}\quad (b)\ \frac{\binom{9990}{2}}{\binom{10000}{2}}\quad (c)\ \frac{\binom{9990}{10}}{\binom{10000}{10}}
Q5. 100 students split into sections of 40 and 60. P that you and your friend are (a) in the same section (b) in different sections?100 विद्यार्थी 40 और 60 के खंडों में। P कि आप और आपका मित्र (a) एक ही खंड में (b) अलग खंडों में?100 students 40 aur 60 ke sections mein. P ki aap aur aapka dost (a) ek hi section mein (b) alag sections mein?
  1. (a)\ \frac{\binom{40}{2} + \binom{60}{2}}{\binom{100}{2}} = \frac{780 + 1770}{4950} = \frac{17}{33}
  2. (b)\ 1 - \frac{17}{33} = \frac{16}{33}
Q6. Three letters go into three addressed envelopes at random. P(at least one letter in its proper envelope)?तीन पत्र तीन पता लिखे लिफाफों में यादृच्छिक डाले गए। P(कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में)?Teen letters teen address wale envelopes mein random daale. P(kam se kam ek letter sahi envelope mein)?
  1. 3! = 6 \text{ ways; none correct: } 2 \text{ (cyclic shifts)}3! = 6 \text{ तरीके; कोई सही नहीं: } 23! = 6 \text{ tareeke; koi sahi nahi: } 2
  2. P = 1 - \frac{2}{6} = \frac{2}{3}
Q7. P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A ∩ B) = 0.35. Find (i) P(A ∪ B) (ii) P(A′ ∩ B′) (iii) P(A ∩ B′) (iv) P(B ∩ A′).P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A ∩ B) = 0.35। ज्ञात कीजिए (i) P(A ∪ B) (ii) P(A′ ∩ B′) (iii) P(A ∩ B′) (iv) P(B ∩ A′)।P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A ∩ B) = 0.35. Nikaliye (i) P(A ∪ B) (ii) P(A′ ∩ B′) (iii) P(A ∩ B′) (iv) P(B ∩ A′).
  1. (i)\ 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88\quad (ii)\ 1 - 0.88 = 0.12
  2. (iii)\ 0.54 - 0.35 = 0.19\quad (iv)\ 0.69 - 0.35 = 0.34
Q8. Five persons: Harish M 30, Rohan M 33, Sheetal F 46, Alis F 28, Salim M 41. One is chosen as spokesperson. P(male or over 35)?पाँच व्यक्ति: हरीश पु 30, रोहन पु 33, शीतल म 46, एलिस म 28, सलीम पु 41। एक प्रवक्ता चुना गया। P(पुरुष या 35 से अधिक आयु)?Paanch log: Harish M 30, Rohan M 33, Sheetal F 46, Alis F 28, Salim M 41. Ek spokesperson chuna. P(male ya 35 se zyada umar)?
  1. P(M) = \tfrac{3}{5},\ P(>35) = \tfrac{2}{5},\ P(M \cap >35) = \tfrac{1}{5}\ (\text{Salim})P(\text{पु}) = \tfrac{3}{5},\ P(>35) = \tfrac{2}{5},\ P(\text{पु} \cap >35) = \tfrac{1}{5}\ (\text{सलीम})P(M) = \tfrac{3}{5},\ P(>35) = \tfrac{2}{5},\ P(M \cap >35) = \tfrac{1}{5}\ (\text{Salim})
  2. \tfrac{3}{5} + \tfrac{2}{5} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{5}
Q9. 4-digit numbers greater than 5000 are formed from 0, 1, 3, 5, 7. P(divisible by 5) if (i) digits may repeat (ii) digits may not repeat?अंकों 0, 1, 3, 5, 7 से 5000 से बड़ी 4-अंकीय संख्याएँ बनाई गईं। P(5 से विभाज्य) यदि (i) अंक दोहरा सकते हैं (ii) अंक नहीं दोहरा सकते?Digits 0, 1, 3, 5, 7 se 5000 se badi 4-digit numbers banaayi. P(5 se divisible) agar (i) digits repeat ho sakte hain (ii) repeat nahi ho sakte?
  1. (i)\ \text{total} = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 - 1 = 249\ (\text{exclude } 5000);\ \text{last digit } 0/5:\ 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 - 1 = 99(i)\ \text{कुल} = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 - 1 = 249\ (5000 \text{ छोड़कर});\ \text{अंतिम अंक } 0/5:\ 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 - 1 = 99(i)\ \text{total} = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 - 1 = 249\ (5000 \text{ chhodkar});\ \text{last digit } 0/5:\ 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 - 1 = 99
  2. P = \frac{99}{249} = \frac{33}{83}
  3. (ii)\ \text{total} = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48;\ \text{first }5 \to \text{last }0:\ 6;\ \text{first }7 \to \text{last }0/5:\ 12(ii)\ \text{कुल} = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48;\ \text{पहला }5 \to \text{अंतिम }0:\ 6;\ \text{पहला }7 \to \text{अंतिम }0/5:\ 12(ii)\ \text{total} = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48;\ \text{pehla }5 \to \text{aakhri }0:\ 6;\ \text{pehla }7 \to \text{aakhri }0/5:\ 12
  4. P = \frac{18}{48} = \frac{3}{8}
Q10. A 4-wheel lock (digits 0–9) opens with one sequence of four different digits. P(getting it right)?4 पहियों वाला ताला (अंक 0–9) चार भिन्न अंकों के एक क्रम से खुलता है। P(सही क्रम)?4 wheels wala lock (digits 0–9) chaar alag digits ke ek sequence se khulta hai. P(sahi sequence)?
  1. {}^{10}P_4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \Rightarrow P = \frac{1}{5040}

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Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. A die is thrown. P(a number greater than 4) isएक पासा फेंका गया। P(4 से बड़ी संख्या) हैEk die phenka. P(4 se bada number) hai

2. Two dice are thrown. The number of outcomes in the sample space isदो पासे फेंके गए। प्रतिदर्श समष्टि में परिणामों की संख्या हैDo dice phenke. Sample space mein outcomes ki sankhya hai

3. Events A and B are mutually exclusive whenघटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं जबEvents A aur B mutually exclusive hain jab

4. If P(A) = 0.35, then P(not A) =यदि P(A) = 0.35, तो P(A-नहीं) =Agar P(A) = 0.35, to P(not A) =

5. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2. P(A ∪ B) =P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2। P(A ∪ B) =P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2. P(A ∪ B) =

6. The probability of the impossible event isअसंभव घटना की प्रायिकता हैImpossible event ki probability hai

7. Which can NOT be a probability?इनमें से कौन प्रायिकता नहीं हो सकती?Inmein se kaun probability nahi ho sakti?

8. Three coins are tossed. P(exactly two heads) isतीन सिक्के उछाले गए। P(ठीक दो चित) हैTeen coins uchhale. P(theek do heads) hai

9. One card is drawn from 52. P(a king) is52 पत्तों से एक पत्ता। P(बादशाह) है52 cards se ek card. P(king) hai

10. A coin is tossed twice. P(at least one head) isएक सिक्का दो बार उछाला। P(कम से कम एक चित) हैEk coin do baar uchhala. P(kam se kam ek head) hai

11. An event with exactly one sample point is calledकेवल एक प्रतिदर्श बिंदु वाली घटना कहलाती हैSirf ek sample point wala event kehlata hai

12. P(A) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.2. P(A but not B) =P(A) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.2। P(A परंतु B नहीं) =P(A) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.2. P(A par B nahi) =

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Found a mistake?कोई गलती दिखी?Koi galti dikhi? Report a mistakeगलती बताइएGalti bataiye — we fix confirmed errors quickly.— पक्की गलतियाँ हम जल्दी ठीक करते हैं।— confirm galtiyan hum jaldi theek karte hain.

These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 11 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. Diagrams are original SLH drawings.ये Simple Learning Hub के अपने स्टडी नोट्स हैं, जो NCERT कक्षा 11 गणित की किताब (2026-27) के हर अनुभाग के साथ लिखे गए हैं; इन्हें NCERT के आधिकारिक अध्याय के साथ पढ़िए। डायग्राम SLH के अपने बनाए चित्र हैं।Ye Simple Learning Hub ke apne study notes hain, jo NCERT Class 11 Maths ki kitaab (2026-27) ke har section ke saath likhe gaye hain; inhe NCERT ke official chapter ke saath padhiye. Diagrams SLH ki apni drawings hain.