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CLASS 12 MATHS · CHAPTER 8

Application of Integralsसमाकलनों के अनुप्रयोगApplication of Integrals

Area under simple curves using integrals: vertical and horizontal strips, area of a circle and an ellipse, regions partly below the x-axis — NCERT Chapter 8, in easy words.समाकलों द्वारा साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल: ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज पट्टियाँ, वृत्त और दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल, x-अक्ष के नीचे जाने वाले क्षेत्र — NCERT अध्याय 8, आसान शब्दों में।Integrals se simple curves ke neeche area: vertical aur horizontal strips, circle aur ellipse ka area, x-axis ke neeche jaane wale regions — NCERT Chapter 8, aasaan shabdon mein.

In this chapterइस अध्याय मेंIs chapter mein

Notesनोट्सNotesEasy words, step by stepआसान शब्दों में, क्रम सेAasaan shabdon mein, step by stepSolved examplesहल किए गए उदाहरणSolved examples4 NCERT examples, every step4 NCERT उदाहरण, हर चरण4 NCERT examples, har stepPicturesचित्रPicturesTap a label, it tells its nameलेबल पर टैप कीजिए, नाम बताएगाLabel par tap kijiye, naam batayegaTry it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiyeMove, drag and seeखिसकाइए, खींचिए और देखिएKhiskaiye, kheenchiye aur dekhiyeQuizक्विज़Quiz10 quick questions10 छोटे प्रश्न10 chhote sawaal

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Area under y = f(x): many thin vertical stripsy = f(x) के अंतर्गत क्षेत्रफल: अनेक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टियाँy = f(x) ke neeche area: bahut saari patli vertical stripsFig 8.1Area between x = g(y) and the y-axis: horizontal stripsx = g(y) और y-अक्ष के बीच क्षेत्रफल: क्षैतिज पट्टियाँx = g(y) aur y-axis ke beech area: horizontal stripsFig 8.2When the curve goes below the x-axis: Area = |A₁| + A₂जब वक्र x-अक्ष के नीचे जाए: क्षेत्रफल = |A₁| + A₂Jab curve x-axis ke neeche jaaye: Area = |A₁| + A₂Fig 8.3, 8.4Area of the circle x² + y² = a²: four equal quartersवृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल: चार बराबर चौथाई भागCircle x² + y² = a² ka area: chaar barabar quarterExample 1 (Fig 8.5, 8.6)Area of the ellipse x²/a² + y²/b² = 1 = πabदीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का क्षेत्रफल = πabEllipse x²/a² + y²/b² = 1 ka area = πabExample 2 (Fig 8.7, 8.8)Parabola y² = 4x, the y-axis and the line y = 3परवलय y² = 4x, y-अक्ष और रेखा y = 3Parabola y² = 4x, y-axis aur line y = 3Exercise 8.1, Q4y = 3x + 2 between x = −1 and x = 1: one piece below, one abovex = −1 और x = 1 के बीच y = 3x + 2: एक भाग नीचे, एक ऊपरx = −1 aur x = 1 ke beech y = 3x + 2: ek part neeche, ek uparExample 3 (Fig 8.9)Area under y = cos x from 0 to 2π = 1 + 2 + 1 = 4y = cos x के अंतर्गत 0 से 2π तक क्षेत्रफल = 1 + 2 + 1 = 4y = cos x ke neeche 0 se 2π tak area = 1 + 2 + 1 = 4Example 4 (Fig 8.10)

Try it yourselfखुद करके देखिएKhud karke dekhiye

Strip adderपट्टी जोड़कStrip adderMore thin strips → the exact areaअधिक पतली पट्टियाँ → सटीक क्षेत्रफलZyada patli strips → exact areaArea with draggable limitsखींचने योग्य सीमाओं से क्षेत्रफलDraggable limits se areaDrag a and b, see integral vs areaa और b खींचिए, समाकल बनाम क्षेत्रफल देखिएa aur b khinchiye, integral vs area dekhiyeEllipse & circle: πabदीर्घवृत्त और वृत्त: πabEllipse aur circle: πabChange a, b; area = 4 × quartera, b बदलिए; क्षेत्रफल = 4 × चौथाईa, b badaliye; area = 4 × quarter
All sections (NCERT order)सभी खंड (NCERT क्रम)Saare sections (NCERT order)
  1. 8.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 8.2Area under Simple Curvesसाधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफलSimple curves ke neeche area
  3. Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples
  4. Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet
  5. Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

8.1IntroductionभूमिकाIntroduction

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeYou already know how to find the area of a rectangle, a triangle or a circle with a formula. But what about a region whose edge is a curve, like the region under y = x^2? No school formula works there. In this chapter we cut such a region into very thin strips, add their areas, and the definite integral gives the exact answer.आप आयत, त्रिभुज या वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र से निकालना जानते हैं। लेकिन उस क्षेत्र का क्या, जिसकी सीमा एक वक्र हो, जैसे y = x^2 के नीचे का क्षेत्र? वहाँ कोई सामान्य सूत्र काम नहीं करता। इस अध्याय में हम ऐसे क्षेत्र को बहुत पतली पट्टियों में काटते हैं, उनके क्षेत्रफल जोड़ते हैं, और निश्चित समाकल सटीक उत्तर देता है।Aap rectangle, triangle ya circle ka area formula se nikaalna jaante hain. Lekin us region ka kya, jiski boundary ek curve ho, jaise y = x^2 ke neeche ka region? Wahan koi school formula kaam nahi karta. Is chapter mein hum aise region ko bahut patli strips mein kaatte hain, unke area jodte hain, aur definite integral exact answer deta hai.

In geometry we learnt formulae for the areas of triangles, rectangles, trapezia and circles. These formulae are useful in many real-life problems, but they are not enough to find areas enclosed by curves. For that we need Integral Calculus. In the previous chapter we found the area bounded by y = f(x), the ordinates x = a, x = b and the x-axis while studying the definite integral as the limit of a sum. In this chapter we use integrals to find the area under simple curves, the area between lines and arcs of circles, parabolas and ellipses (standard forms only).ज्यामिति में हमने त्रिभुज, आयत, समलंब और वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र सीखे हैं। ये सूत्र कई वास्तविक समस्याओं में उपयोगी हैं, परंतु वक्रों से घिरे क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए हमें समाकलन गणित की आवश्यकता है। पिछले अध्याय में निश्चित समाकल को योगफल की सीमा के रूप में पढ़ते समय हमने वक्र y = f(x), कोटियों x = a, x = b और x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात किया था। इस अध्याय में हम समाकलों से साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल, तथा रेखाओं और वृत्तों, परवलयों और दीर्घवृत्तों (केवल मानक रूप) के चापों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।Geometry mein humne triangle, rectangle, trapezium aur circle ke area ke formulas seekhe hain. Ye formulas kai real-life problems mein kaam aate hain, par curves se ghire area nikaalne ke liye kaafi nahi hain. Iske liye Integral Calculus chahiye. Pichhle chapter mein definite integral ko limit of a sum ki tarah padhte waqt humne curve y = f(x), ordinates x = a, x = b aur x-axis se ghira area nikala tha. Is chapter mein hum integrals se simple curves ke neeche area, aur lines aur circles, parabolas aur ellipses (sirf standard form) ke arcs ke beech ka area nikalenge.

"Ordinate" simply means a vertical line x = \text{constant}, like x = a or x = b. They are the left and right walls of the region."कोटि" का अर्थ है एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = c (अचर), जैसे x = a या x = b। ये क्षेत्र की बाईं और दाईं दीवारें हैं।"Ordinate" ka matlab hai ek vertical line x = \text{constant}, jaise x = a ya x = b. Ye region ki left aur right deewarein hain.

8.2Area under Simple Curvesसाधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफलSimple curves ke neeche area

🌱 Start here🌱 यहाँ से शुरू कीजिए🌱 Yahan se shuru kijiyeThink of the region under a curve as a loaf of bread cut into very thin slices. Each slice is almost a rectangle: area = height × width. Add the areas of all the slices and you get the area of the whole loaf. The thinner the slices, the more exact the answer — and the integral is exactly this sum with infinitely thin slices.वक्र के नीचे के क्षेत्र को बहुत पतले स्लाइसों में कटी डबलरोटी की तरह सोचिए। हर स्लाइस लगभग एक आयत है: क्षेत्रफल = ऊँचाई × चौड़ाई। सभी स्लाइसों के क्षेत्रफल जोड़िए, तो पूरी डबलरोटी का क्षेत्रफल मिल जाता है। स्लाइस जितने पतले, उत्तर उतना सटीक — और समाकल ठीक यही योग है, अनंत पतले स्लाइसों के साथ।Curve ke neeche ke region ko bahut patli slices mein kati bread ki tarah sochiye. Har slice lagbhag ek rectangle hai: area = height × width. Saari slices ke area jodiye, to poori bread ka area mil jaata hai. Slices jitni patli, answer utna exact — aur integral theek yahi sum hai, infinitely patli slices ke saath.

Consider the area bounded by the curve y = f(x), the x-axis and the ordinates x = a and x = b. We think of it as made of a large number of very thin vertical strips. Take an arbitrary strip of height y and width dx; then dA (the area of this elementary strip) = y\,dx, where y = f(x). This area is called the elementary area; it sits at an arbitrary position inside the region, given by some value of x between a and b.वक्र y = f(x), x-अक्ष और कोटियों x = a तथा x = b से घिरे क्षेत्रफल पर विचार कीजिए। हम इसे बहुत सारी बहुत पतली ऊर्ध्वाधर पट्टियों से बना हुआ मानते हैं। ऊँचाई y और चौड़ाई dx की एक स्वेच्छ पट्टी लीजिए; तब dA (इस प्रारंभिक पट्टी का क्षेत्रफल) = y\,dx, जहाँ y = f(x)। इस क्षेत्रफल को प्रारंभिक क्षेत्रफल कहते हैं; यह क्षेत्र के अंदर किसी स्वेच्छ स्थिति पर है, जो a और b के बीच x के किसी मान से तय होती है।Curve y = f(x), x-axis aur ordinates x = a aur x = b se ghire area par sochiye. Hum ise bahut saari bahut patli vertical strips se bana hua maante hain. Height y aur width dx ki ek arbitrary strip lijiye; tab dA (is elementary strip ka area) = y\,dx, jahan y = f(x). Is area ko elementary area kehte hain; ye region ke andar kisi arbitrary jagah par hai, jo a aur b ke beech x ki kisi value se tay hoti hai.

Area under y = f(x): many thin vertical stripsy = f(x) के अंतर्गत क्षेत्रफल: अनेक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टियाँy = f(x) ke neeche area: bahut saari patli vertical stripsNCERT Fig 8.1 · 10 tappable partsOpen

The total area A of the region is the result of adding up the elementary areas of all the thin strips across the region. Symbolically,क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल A, पूरे क्षेत्र में फैली सभी पतली पट्टियों के प्रारंभिक क्षेत्रफलों को जोड़ने का परिणाम है। प्रतीकों में,Region ka total area A, poore region mein phaili saari patli strips ke elementary areas ko jodne ka result hai. Symbols mein,

A = \int_a^b dA = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx
Area by vertical strips (curve above the x-axis)ऊर्ध्वाधर पट्टियों से क्षेत्रफल (वक्र x-अक्ष के ऊपर)Vertical strips se area (curve x-axis ke upar)
Loading experiment…

Similarly, the area A of the region bounded by the curve x = g(y), the y-axis and the lines y = c and y = d is found with horizontal strips: each strip has length x and height dy, so dA = x\,dy.इसी प्रकार, वक्र x = g(y), y-अक्ष और रेखाओं y = c तथा y = d से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A क्षैतिज पट्टियों से ज्ञात करते हैं: हर पट्टी की लंबाई x और ऊँचाई dy है, अतः dA = x\,dy।Isi tarah, curve x = g(y), y-axis aur lines y = c aur y = d se ghire region ka area A horizontal strips se nikalte hain: har strip ki length x aur height dy hai, isliye dA = x\,dy.

Area between x = g(y) and the y-axis: horizontal stripsx = g(y) और y-अक्ष के बीच क्षेत्रफल: क्षैतिज पट्टियाँx = g(y) aur y-axis ke beech area: horizontal stripsNCERT Fig 8.2 · 10 tappable partsOpen
A = \int_c^d x\,dy = \int_c^d g(y)\,dy
Area by horizontal strips (between the curve and the y-axis)क्षैतिज पट्टियों से क्षेत्रफल (वक्र और y-अक्ष के बीच)Horizontal strips se area (curve aur y-axis ke beech)
How to choose? If the region touches the x-axis and is closed by vertical lines x = a, x = b, use vertical strips and integrate in x. If it touches the y-axis and is closed by horizontal lines y = c, y = d, use horizontal strips and integrate in y.कैसे चुनें? यदि क्षेत्र x-अक्ष को छूता है और ऊर्ध्वाधर रेखाओं x = a, x = b से बंद है, तो ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लेकर x में समाकलन कीजिए। यदि वह y-अक्ष को छूता है और क्षैतिज रेखाओं y = c, y = d से बंद है, तो क्षैतिज पट्टियाँ लेकर y में समाकलन कीजिए।Kaise chunein? Agar region x-axis ko chhoota hai aur vertical lines x = a, x = b se band hai, to vertical strips lekar x mein integrate kijiye. Agar wo y-axis ko chhoota hai aur horizontal lines y = c, y = d se band hai, to horizontal strips lekar y mein integrate kijiye.
Remark (NCERT)If the curve lies below the x-axis, then f(x) < 0 from x = a to x = b, and the integral of the region bounded by the curve, the x-axis and the ordinates x = a, x = b comes out negative. But only the numerical value of the area is taken. So if the integral is negative, we take its absolute value: Area = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|. If some portion of the curve is above the x-axis and some below, with A_1 < 0 and A_2 > 0, then the area is A = |A_1| + A_2.टिप्पणी (NCERT)यदि वक्र x-अक्ष के नीचे है, तो x = a से x = b तक f(x) < 0, और वक्र, x-अक्ष तथा कोटियों x = a, x = b से घिरे क्षेत्र का समाकल ऋणात्मक आता है। परंतु क्षेत्रफल का केवल संख्यात्मक मान लिया जाता है। अतः यदि समाकल ऋणात्मक हो, तो हम उसका निरपेक्ष मान लेते हैं: क्षेत्रफल = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|। यदि वक्र का कुछ भाग x-अक्ष के ऊपर और कुछ नीचे हो, जहाँ A_1 < 0 और A_2 > 0, तो क्षेत्रफल A = |A_1| + A_2।Remark (NCERT)Agar curve x-axis ke neeche hai, to x = a se x = b tak f(x) < 0, aur curve, x-axis aur ordinates x = a, x = b se ghire region ka integral negative aata hai. Lekin area ki sirf numerical value li jaati hai. Isliye agar integral negative ho, to uska absolute value lete hain: Area = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|. Agar curve ka kuch part x-axis ke upar aur kuch neeche ho, jahan A_1 < 0 aur A_2 > 0, to area A = |A_1| + A_2.
When the curve goes below the x-axis: Area = |A₁| + A₂जब वक्र x-अक्ष के नीचे जाए: क्षेत्रफल = |A₁| + A₂Jab curve x-axis ke neeche jaaye: Area = |A₁| + A₂NCERT Fig 8.3, 8.4 · 9 tappable partsOpen
⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hain(1) Never integrate straight across a point where the curve crosses the x-axis — the negative part cancels the positive part and you get a wrong (too small) answer. First solve f(x) = 0, split the interval there, and add the absolute values. (2) In a circle or ellipse, take y = +\sqrt{\;\cdot\;} in the first quadrant, never \pm. (3) An area answer is a positive number with "square units"; a negative final area means a mistake.(1) जहाँ वक्र x-अक्ष को काटता है, उस बिंदु के आर-पार सीधे समाकलन कभी न कीजिए — ऋणात्मक भाग धनात्मक भाग को काट देता है और उत्तर गलत (बहुत छोटा) आता है। पहले f(x) = 0 हल कीजिए, वहीं अंतराल तोड़िए और निरपेक्ष मान जोड़िए। (2) वृत्त या दीर्घवृत्त में प्रथम चतुर्थांश के लिए y = +\sqrt{\;\cdot\;} लीजिए, \pm नहीं। (3) क्षेत्रफल का उत्तर "वर्ग इकाई" में एक धनात्मक संख्या है; ऋणात्मक अंतिम क्षेत्रफल का अर्थ है कहीं गलती है।(1) Jahan curve x-axis ko kaatta hai, us point ke aar-paar seedha integrate kabhi mat kijiye — negative part positive part ko cancel kar deta hai aur answer galat (bahut chhota) aata hai. Pehle f(x) = 0 solve kijiye, wahin interval todiye aur absolute values jodiye. (2) Circle ya ellipse mein first quadrant ke liye y = +\sqrt{\;\cdot\;} lijiye, \pm nahi. (3) Area ka answer "square units" mein positive number hota hai; negative final area ka matlab kahin galti hai.
Loading experiment…
Example 1Find the area enclosed by the circle x^2 + y^2 = a^2.उदाहरण 1वृत्त x^2 + y^2 = a^2 से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Example 1Circle x^2 + y^2 = a^2 se ghira area nikaliye.
Solution — step by step (10)हल — चरण दर चरण (10)Hal — step by step (10)
  1. The circle is symmetrical about both the x-axis and the y-axis, so the whole area is 4 times the quarter AOBA in the first quadrant (bounded by the curve, the x-axis and the ordinates x = 0, x = a).वृत्त x-अक्ष और y-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है, इसलिए पूरा क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के भाग AOBA (वक्र, x-अक्ष और कोटियों x = 0, x = a से घिरा) का 4 गुना है।Circle x-axis aur y-axis dono ke saapeksh symmetric hai, isliye poora area first quadrant ke part AOBA (curve, x-axis aur ordinates x = 0, x = a se ghira) ka 4 guna hai.
    \text{Area} = 4 \times \text{area of region AOBA}
  2. Taking vertical strips: each strip has area y\,dx, and x runs from 0 to a.ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लेने पर: हर पट्टी का क्षेत्रफल y\,dx है, और x, 0 से a तक चलता है।Vertical strips lene par: har strip ka area y\,dx hai, aur x, 0 se a tak chalta hai.
    = 4\int_0^a y\,dx
  3. Solve the circle's equation for y.वृत्त के समीकरण को y के लिए हल कीजिए।Circle ki equation ko y ke liye solve kijiye.
    x^2 + y^2 = a^2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{a^2 - x^2}
  4. The region AOBA lies in the first quadrant, so y is taken as positive.क्षेत्र AOBA प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए y को धनात्मक लिया जाता है।Region AOBA first quadrant mein hai, isliye y ko positive liya jaata hai.
    y = \sqrt{a^2 - x^2}
  5. Substitute this y into the integral.यह y समाकल में रखिए।Ye y integral mein rakhiye.
    \text{Area} = 4\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx
  6. Standard integral: \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C (Chapter 7).मानक समाकल: \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C (अध्याय 7)।Standard integral: \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C (Chapter 7).
    = 4\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin-1\frac{x}{a}\right]_0^a
  7. Put x = a: \sqrt{a^2 - a^2} = 0. Put x = 0: both terms are 0, since \sin^{-1}0 = 0.x = a रखिए: \sqrt{a^2 - a^2} = 0। x = 0 रखिए: दोनों पद 0 हैं, क्योंकि \sin^{-1}0 = 0।x = a rakhiye: \sqrt{a^2 - a^2} = 0. x = 0 rakhiye: dono terms 0 hain, kyunki \sin^{-1}0 = 0.
    = 4\left[\left(\frac{a}{2} \times 0 + \frac{a^2}{2}\sin-11\right) - 0\right]
  8. \sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}.\sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}।\sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}.
    = 4 \times \frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{2} = \pi a^2
  9. Horizontal strips (the book asks "Why?"): in the first quadrant each strip has length x = \sqrt{a^2 - y^2} (positive root) and height dy, and y runs from 0 to a.क्षैतिज पट्टियाँ (पुस्तक पूछती है "क्यों?"): प्रथम चतुर्थांश में हर पट्टी की लंबाई x = \sqrt{a^2 - y^2} (धनात्मक मूल) और ऊँचाई dy है, तथा y, 0 से a तक चलता है।Horizontal strips (book poochti hai "Why?"): first quadrant mein har strip ki length x = \sqrt{a^2 - y^2} (positive root) aur height dy hai, aur y, 0 se a tak chalta hai.
    \text{Alternatively: } 4\int_0^a x\,dy = 4\int_0^a \sqrt{a^2 - y^2}\,dy
  10. Same standard integral with y in place of x — the same answer, as it must be.x के स्थान पर y के साथ वही मानक समाकल — उत्तर वही, जैसा होना चाहिए।x ki jagah y ke saath wahi standard integral — answer wahi, jaisa hona chahiye.
    = 4\left[\frac{y}{2}\sqrt{a^2 - y^2} + \frac{a^2}{2}\sin-1\frac{y}{a}\right]_0^a = 4 \times \frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{2} = \pi a^2

✔ Area enclosed by the circle = \pi a^2 square units.वृत्त से घिरा क्षेत्रफल = \pi a^2 वर्ग इकाई।Circle se ghira area = \pi a^2 square units.

Area of the circle x² + y² = a²: four equal quartersवृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल: चार बराबर चौथाई भागCircle x² + y² = a² ka area: chaar barabar quarterNCERT Example 1 (Fig 8.5, 8.6) · 9 tappable partsOpen
Example 2Find the area enclosed by the ellipse \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1.उदाहरण 2दीर्घवृत्त \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Example 2Ellipse \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 se ghira area nikaliye.
Solution — step by step (9)हल — चरण दर चरण (9)Hal — step by step (9)
  1. The ellipse is symmetrical about both axes. AOBA is the part in the first quadrant, bounded by the curve, the x-axis and the ordinates x = 0, x = a.दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है। AOBA प्रथम चतुर्थांश वाला भाग है, जो वक्र, x-अक्ष और कोटियों x = 0, x = a से घिरा है।Ellipse dono axes ke saapeksh symmetric hai. AOBA first quadrant wala part hai, jo curve, x-axis aur ordinates x = 0, x = a se ghira hai.
    \text{Area} = 4 \times \text{area of region AOBA}
  2. Taking vertical strips.ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लेने पर।Vertical strips lene par.
    = 4\int_0^a y\,dx
  3. y^2 = b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2), then take the square root.y^2 = b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2), फिर वर्गमूल लीजिए।y^2 = b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2), phir square root lijiye.
    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}
  4. AOBA is in the first quadrant, so y is positive: y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}. The constant \frac{b}{a} comes outside the integral.AOBA प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए y धनात्मक: y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}। अचर \frac{b}{a} समाकल के बाहर आ जाता है।AOBA first quadrant mein hai, isliye y positive: y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}. Constant \frac{b}{a} integral ke bahar aa jaata hai.
    \text{Area} = 4\cdot\frac{b}{a}\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx
  5. The same standard integral as in Example 1 (the book asks "Why?" — this is the reason).उदाहरण 1 वाला ही मानक समाकल (पुस्तक "क्यों?" पूछती है — यही कारण है)।Example 1 wala hi standard integral (book "Why?" poochti hai — yahi reason hai).
    = \frac{4b}{a}\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin-1\frac{x}{a}\right]_0^a
  6. Put the limits x = a and x = 0.सीमाएँ x = a और x = 0 रखिए।Limits x = a aur x = 0 rakhiye.
    = \frac{4b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0 + \frac{a^2}{2}\sin-11\right) - 0\right]
  7. \sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}; one a cancels.\sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}; एक a कट जाता है।\sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}; ek a cancel ho jaata hai.
    = \frac{4b}{a} \times \frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{2} = \pi ab
  8. Horizontal strips: from the ellipse, x = \frac{a}{b}\sqrt{b^2 - y^2} (positive in the first quadrant), and y runs from 0 to b.क्षैतिज पट्टियाँ: दीर्घवृत्त से x = \frac{a}{b}\sqrt{b^2 - y^2} (प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक), और y, 0 से b तक।Horizontal strips: ellipse se x = \frac{a}{b}\sqrt{b^2 - y^2} (first quadrant mein positive), aur y, 0 se b tak.
    \text{Alternatively: } 4\int_0^b x\,dy = \frac{4a}{b}\int_0^b \sqrt{b^2 - y^2}\,dy
  9. Same answer again.फिर वही उत्तर।Phir wahi answer.
    = \frac{4a}{b}\left[\frac{y}{2}\sqrt{b^2 - y^2} + \frac{b^2}{2}\sin-1\frac{y}{b}\right]_0^b = \frac{4a}{b} \times \frac{b^2}{2} \times \frac{\pi}{2} = \pi ab

✔ Area enclosed by the ellipse = \pi ab square units.दीर्घवृत्त से घिरा क्षेत्रफल = \pi ab वर्ग इकाई।Ellipse se ghira area = \pi ab square units.

Area of the ellipse x²/a² + y²/b² = 1 = πabदीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का क्षेत्रफल = πabEllipse x²/a² + y²/b² = 1 ka area = πabNCERT Example 2 (Fig 8.7, 8.8) · 10 tappable partsOpen
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxCheck your answer with a special case: if b = a, the ellipse becomes the circle x^2 + y^2 = a^2 and \pi ab becomes \pi a^2 — exactly Example 1. So you can remember just one result: ellipse = \pi ab, circle = \pi r^2. For a quarter, divide by 4: e.g. the first-quadrant part of x^2 + y^2 = 4 is \frac{\pi \cdot 4}{4} = \pi.एक विशेष स्थिति से उत्तर जाँचिए: यदि b = a, तो दीर्घवृत्त वृत्त x^2 + y^2 = a^2 बन जाता है और \pi ab, \pi a^2 हो जाता है — ठीक उदाहरण 1। इसलिए एक ही परिणाम याद रखिए: दीर्घवृत्त = \pi ab, वृत्त = \pi r^2। चौथाई भाग के लिए 4 से भाग दीजिए: जैसे x^2 + y^2 = 4 का प्रथम चतुर्थांश वाला भाग \frac{\pi \cdot 4}{4} = \pi है।Ek special case se answer check kijiye: agar b = a, to ellipse circle x^2 + y^2 = a^2 ban jaata hai aur \pi ab, \pi a^2 ho jaata hai — theek Example 1. Isliye ek hi result yaad rakhiye: ellipse = \pi ab, circle = \pi r^2. Quarter ke liye 4 se divide kijiye: jaise x^2 + y^2 = 4 ka first quadrant wala part \frac{\pi \cdot 4}{4} = \pi hai.
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🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxTopper habit: always draw a rough sketch first, shade the region, and draw ONE typical strip in it. The strip tells you everything: its length gives the integrand (y for a vertical strip, x for a horizontal one), its direction tells you dx or dy, and where it can move gives the limits.टॉपर की आदत: पहले हमेशा एक कच्चा चित्र बनाइए, क्षेत्र को छायांकित कीजिए, और उसमें एक प्रतिनिधि पट्टी बनाइए। पट्टी सब बता देती है: उसकी लंबाई समाकल्य देती है (ऊर्ध्वाधर पट्टी के लिए y, क्षैतिज के लिए x), उसकी दिशा dx या dy बताती है, और वह कहाँ तक खिसक सकती है, वह सीमाएँ देता है।Topper ki aadat: pehle hamesha ek rough sketch banaiye, region ko shade kijiye, aur usme EK typical strip banaiye. Strip sab bata deti hai: uski length integrand deti hai (vertical strip ke liye y, horizontal ke liye x), uski direction dx ya dy batati hai, aur wo kahan tak khisak sakti hai, wo limits deta hai.
Parabola y² = 4x, the y-axis and the line y = 3परवलय y² = 4x, y-अक्ष और रेखा y = 3Parabola y² = 4x, y-axis aur line y = 3NCERT Exercise 8.1, Q4 · 8 tappable partsOpen
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(Exercise 8.1, Q1) Find the area of the region bounded by the ellipse \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1.(प्रश्नावली 8.1, प्र. 1) दीर्घवृत्त \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Exercise 8.1, Q1) Ellipse \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1 se ghire region ka area nikaliye.

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12\pi (here a = 4, b = 3, so \pi ab = 12\pi; or 4 \times \frac{3}{4}\int_0^4 \sqrt{16 - x^2}\,dx = 12\pi).12\pi (यहाँ a = 4, b = 3, अतः \pi ab = 12\pi; या 4 \times \frac{3}{4}\int_0^4 \sqrt{16 - x^2}\,dx = 12\pi)।12\pi (yahan a = 4, b = 3, isliye \pi ab = 12\pi; ya 4 \times \frac{3}{4}\int_0^4 \sqrt{16 - x^2}\,dx = 12\pi).

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(Exercise 8.1, Q2) Find the area of the region bounded by the ellipse \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1.(प्रश्नावली 8.1, प्र. 2) दीर्घवृत्त \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Exercise 8.1, Q2) Ellipse \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1 se ghire region ka area nikaliye.

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6\pi (here a = 2, b = 3).6\pi (यहाँ a = 2, b = 3)।6\pi (yahan a = 2, b = 3).

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(Exercise 8.1, Q3) Area lying in the first quadrant and bounded by the circle x^2 + y^2 = 4 and the lines x = 0 and x = 2 is (A) \pi (B) \frac{\pi}{2} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{4}(प्रश्नावली 8.1, प्र. 3) प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x^2 + y^2 = 4 और रेखाओं x = 0 तथा x = 2 से घिरा क्षेत्रफल है (A) \pi (B) \frac{\pi}{2} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{4}(Exercise 8.1, Q3) First quadrant mein circle x^2 + y^2 = 4 aur lines x = 0 aur x = 2 se ghira area hai (A) \pi (B) \frac{\pi}{2} (C) \frac{\pi}{3} (D) \frac{\pi}{4}

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(A) \pi: \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi.(A) \pi: \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi।(A) \pi: \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi.

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(Exercise 8.1, Q4) Area of the region bounded by the curve y^2 = 4x, the y-axis and the line y = 3 is (A) 2 (B) \frac{9}{4} (C) \frac{9}{3} (D) \frac{9}{2}(प्रश्नावली 8.1, प्र. 4) वक्र y^2 = 4x, y-अक्ष और रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है (A) 2 (B) \frac{9}{4} (C) \frac{9}{3} (D) \frac{9}{2}(Exercise 8.1, Q4) Curve y^2 = 4x, y-axis aur line y = 3 se ghire region ka area hai (A) 2 (B) \frac{9}{4} (C) \frac{9}{3} (D) \frac{9}{2}

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(B) \frac{9}{4}: horizontal strips, x = \frac{y^2}{4}, so Area = \int_0^3 \frac{y^2}{4}\,dy = \left[\frac{y^3}{12}\right]_0^3 = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}.(B) \frac{9}{4}: क्षैतिज पट्टियाँ, x = \frac{y^2}{4}, अतः क्षेत्रफल = \int_0^3 \frac{y^2}{4}\,dy = \left[\frac{y^3}{12}\right]_0^3 = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}।(B) \frac{9}{4}: horizontal strips, x = \frac{y^2}{4}, isliye area = \int_0^3 \frac{y^2}{4}\,dy = \left[\frac{y^3}{12}\right]_0^3 = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}.

🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxExtra practice with the same method (not a book example): the area bounded by the parabola y^2 = 4ax and the vertical line x = a (its latus rectum). The region is symmetric about the x-axis, so Area = 2\int_0^a 2\sqrt{a}\,\sqrt{x}\,dx = 4\sqrt{a}\cdot\frac{2}{3}a^{3/2} = \frac{8}{3}a^2. For y^2 = 4x (a = 1) this is \frac{8}{3}.इसी विधि से अतिरिक्त अभ्यास (पुस्तक का उदाहरण नहीं): परवलय y^2 = 4ax और ऊर्ध्वाधर रेखा x = a (नाभिलंब) से घिरा क्षेत्रफल। क्षेत्र x-अक्ष के सापेक्ष सममित है, अतः क्षेत्रफल = 2\int_0^a 2\sqrt{a}\,\sqrt{x}\,dx = 4\sqrt{a}\cdot\frac{2}{3}a^{3/2} = \frac{8}{3}a^2। y^2 = 4x (a = 1) के लिए यह \frac{8}{3} है।Isi method se extra practice (book ka example nahi): parabola y^2 = 4ax aur vertical line x = a (latus rectum) se ghira area. Region x-axis ke saapeksh symmetric hai, isliye area = 2\int_0^a 2\sqrt{a}\,\sqrt{x}\,dx = 4\sqrt{a}\cdot\frac{2}{3}a^{3/2} = \frac{8}{3}a^2. y^2 = 4x (a = 1) ke liye ye \frac{8}{3} hai.

Miscellaneous Examplesविविध उदाहरणMiscellaneous Examples

Example 3Find the area of the region bounded by the line y = 3x + 2, the x-axis and the ordinates x = -1 and x = 1.उदाहरण 3रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष और कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Example 3Line y = 3x + 2, x-axis aur ordinates x = -1 aur x = 1 se ghire region ka area nikaliye.
Solution — step by step (6)हल — चरण दर चरण (6)Hal — step by step (6)
  1. First find where the line meets the x-axis.पहले ज्ञात कीजिए कि रेखा x-अक्ष से कहाँ मिलती है।Pehle nikaliye ki line x-axis se kahan milti hai.
    3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}
  2. So the line is below the x-axis on the left part and above it on the right part (Fig 8.9).अतः बाएँ भाग में रेखा x-अक्ष के नीचे है और दाएँ भाग में ऊपर (आकृति 8.9)।Isliye left part mein line x-axis ke neeche hai aur right part mein upar (Fig 8.9).
    y < 0 \text{ for } x \in \left(-1, -\tfrac{2}{3}\right),\quad y > 0 \text{ for } x \in \left(-\tfrac{2}{3}, 1\right)
  3. \int-1-2/3(3x + 2)\,dx\right| + \int-2/31(3x + 2)\,dx | Split at x = -\frac{2}{3}; the part below the axis gets an absolute value.x = -\frac{2}{3} पर तोड़िए; अक्ष के नीचे वाले भाग का निरपेक्ष मान लीजिए।x = -\frac{2}{3} par todiye; axis ke neeche wale part ka absolute value lijiye.
    \text{Area} = \text{area of ACBA} + \text{area of ADEA} = \left
  4. Upper limit gives -\frac{2}{3}, lower limit gives -\frac{1}{2}; the result is negative because this part is below the axis.उच्च सीमा से -\frac{2}{3}, निम्न सीमा से -\frac{1}{2}; परिणाम ऋणात्मक है क्योंकि यह भाग अक्ष के नीचे है।Upper limit se -\frac{2}{3}, lower limit se -\frac{1}{2}; result negative hai kyunki ye part axis ke neeche hai.
    \int-1-2/3(3x + 2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} + 2x\right]-1-2/3 = \left(\frac{2}{3} - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{3}{2} - 2\right) = -\frac{1}{6}
  5. At x = 1: \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}.x = 1 पर: \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}।x = 1 par: \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}.
    \int-2/31(3x + 2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} + 2x\right]-2/31 = \frac{7}{2} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{25}{6}
  6. -\frac{1}{6}\right| + \frac{25}{6} = \frac{1}{6} + \frac{25}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} | Add the two areas.दोनों क्षेत्रफल जोड़िए।Dono areas jodiye.
    \text{Area} = \left

✔ Required area = \frac{13}{3} square units. (Integrating straight from -1 to 1 would give 4, which is wrong.)अभीष्ट क्षेत्रफल = \frac{13}{3} वर्ग इकाई। (सीधे -1 से 1 तक समाकलन करने पर 4 आता, जो गलत है।)Required area = \frac{13}{3} square units. (Seedha -1 se 1 tak integrate karne par 4 aata, jo galat hai.)

y = 3x + 2 between x = −1 and x = 1: one piece below, one abovex = −1 और x = 1 के बीच y = 3x + 2: एक भाग नीचे, एक ऊपरx = −1 aur x = 1 ke beech y = 3x + 2: ek part neeche, ek uparNCERT Example 3 (Fig 8.9) · 13 tappable partsOpen
Example 4Find the area bounded by the curve y = \cos x between x = 0 and x = 2\pi.उदाहरण 4वक्र y = \cos x और x = 0 तथा x = 2\pi के बीच घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Example 4Curve y = \cos x aur x = 0 aur x = 2\pi ke beech ghira area nikaliye.
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
  1. Between 0 and 2\pi the curve meets the x-axis at these two points, so the region has three parts: OABO, BCDB, DEFD (Fig 8.10).0 और 2\pi के बीच वक्र x-अक्ष से इन दो बिंदुओं पर मिलता है, इसलिए क्षेत्र के तीन भाग हैं: OABO, BCDB, DEFD (आकृति 8.10)।0 aur 2\pi ke beech curve x-axis se in do points par milta hai, isliye region ke teen part hain: OABO, BCDB, DEFD (Fig 8.10).
    \cos x = 0 \text{ at } x = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}
  2. \int\pi/23\pi/2\cos x\,dx\right| + \int3\pi/22\pi\cos x\,dx | The middle part is below the x-axis (\cos x < 0 there), so it gets an absolute value.बीच वाला भाग x-अक्ष के नीचे है (वहाँ \cos x < 0), इसलिए उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।Beech wala part x-axis ke neeche hai (wahan \cos x < 0), isliye uska absolute value lete hain.
    \text{Area} = \int_0\pi/2\cos x\,dx + \left
  3. [\sin x]\pi/23\pi/2\right| + [\sin x]3\pi/22\pi | \int \cos x\,dx = \sin x + C.\int \cos x\,dx = \sin x + C।\int \cos x\,dx = \sin x + C.
    = [\sin x]_0\pi/2 + \left
  4. -1 - 1| + (0 - (-1)) = 1 + 2 + 1 = 4 | \sin\frac{\pi}{2} = 1, \sin\frac{3\pi}{2} = -1, \sin 2\pi = 0.\sin\frac{\pi}{2} = 1, \sin\frac{3\pi}{2} = -1, \sin 2\pi = 0।\sin\frac{\pi}{2} = 1, \sin\frac{3\pi}{2} = -1, \sin 2\pi = 0.
    = (1 - 0) +

✔ Required area = 4 square units. (Note \int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0 — the integral is not the area here.)अभीष्ट क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई। (ध्यान दीजिए \int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0 — यहाँ समाकल क्षेत्रफल नहीं है।)Required area = 4 square units. (Dhyan dijiye \int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0 — yahan integral area nahi hai.)

Area under y = cos x from 0 to 2π = 1 + 2 + 1 = 4y = cos x के अंतर्गत 0 से 2π तक क्षेत्रफल = 1 + 2 + 1 = 4y = cos x ke neeche 0 se 2π tak area = 1 + 2 + 1 = 4NCERT Example 4 (Fig 8.10) · 14 tappable partsOpen
🏆 Topper box🏆 टॉपर बॉक्स🏆 Topper boxSymmetry shortcut for Example 4: one full wave of \cos x (or \sin x) from 0 to 2\pi splits into four quarter-wave pieces of area 1 each (pieces below the axis counted as positive), so the area is 4 \times \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 4. The same idea gives Misc. Exercise Q3 for \sin x. Use such shortcuts to CHECK, but write the split integrals in the answer.उदाहरण 4 का सममिति वाला शॉर्टकट: 0 से 2\pi तक \cos x (या \sin x) की एक पूरी लहर चार चौथाई-लहर भागों में बँटती है, हर भाग का क्षेत्रफल 1 है (अक्ष के नीचे वाले भाग धनात्मक गिने जाते हैं), इसलिए क्षेत्रफल 4 \times \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 4। यही विचार \sin x के लिए विविध प्रश्नावली प्र. 3 देता है। ऐसे शॉर्टकट से जाँचिए, पर उत्तर में तोड़े हुए समाकल लिखिए।Example 4 ka symmetry wala shortcut: 0 se 2\pi tak \cos x (ya \sin x) ki ek poori wave chaar quarter-wave pieces mein bantti hai, har piece ka area 1 hai (axis ke neeche wale pieces positive gine jaate hain), isliye area 4 \times \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 4. Yahi idea \sin x ke liye Misc. Exercise Q3 deta hai. Aise shortcut se check kijiye, par answer mein tode hue integrals likhiye.
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(Misc. Exercise, Q1 i) Find the area under y = x^2, x = 1, x = 2 and the x-axis.(विविध प्रश्नावली, प्र. 1 i) y = x^2, x = 1, x = 2 और x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Misc. Exercise, Q1 i) y = x^2, x = 1, x = 2 aur x-axis se ghira area nikaliye.

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\frac{7}{3}: \int_1^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.\frac{7}{3}: \int_1^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}।\frac{7}{3}: \int_1^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

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(Misc. Exercise, Q1 ii) Find the area under y = x^4, x = 1, x = 5 and the x-axis.(विविध प्रश्नावली, प्र. 1 ii) y = x^4, x = 1, x = 5 और x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Misc. Exercise, Q1 ii) y = x^4, x = 1, x = 5 aur x-axis se ghira area nikaliye.

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624.8: \int_1^5 x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_1^5 = \frac{3125 - 1}{5} = \frac{3124}{5} = 624.8.624.8: \int_1^5 x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_1^5 = \frac{3125 - 1}{5} = \frac{3124}{5} = 624.8।624.8: \int_1^5 x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_1^5 = \frac{3125 - 1}{5} = \frac{3124}{5} = 624.8.

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(Misc. Exercise, Q2) Sketch the graph of y = |x + 3| and evaluate \int_{-6}^{0}|x + 3|\,dx.(विविध प्रश्नावली, प्र. 2) y = |x + 3| का आलेख खींचिए और \int_{-6}^{0}|x + 3|\,dx का मान ज्ञात कीजिए।(Misc. Exercise, Q2) y = |x + 3| ka graph banaiye aur \int_{-6}^{0}|x + 3|\,dx ki value nikaliye.

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9: the graph is a V with its corner at (-3, 0); \int_{-6}^{-3}-(x + 3)\,dx + \int_{-3}^{0}(x + 3)\,dx = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 (two triangles of base 3 and height 3).9: आलेख V आकार का है जिसका कोना (-3, 0) पर है; \int_{-6}^{-3}-(x + 3)\,dx + \int_{-3}^{0}(x + 3)\,dx = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 (आधार 3 और ऊँचाई 3 वाले दो त्रिभुज)।9: graph V shape ka hai jiska corner (-3, 0) par hai; \int_{-6}^{-3}-(x + 3)\,dx + \int_{-3}^{0}(x + 3)\,dx = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 (base 3 aur height 3 wale do triangles).

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(Misc. Exercise, Q3) Find the area bounded by the curve y = \sin x between x = 0 and x = 2\pi.(विविध प्रश्नावली, प्र. 3) वक्र y = \sin x और x = 0 तथा x = 2\pi के बीच घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(Misc. Exercise, Q3) Curve y = \sin x aur x = 0 aur x = 2\pi ke beech ghira area nikaliye.

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4: \int_0^{\pi}\sin x\,dx + \left|\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right| = 2 + |-2| = 4.4: \int_0^{\pi}\sin x\,dx + \left|\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right| = 2 + |-2| = 4।4: \int_0^{\pi}\sin x\,dx + \left|\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx\right| = 2 + |-2| = 4.

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(Misc. Exercise, Q4) Area bounded by the curve y = x^3, the x-axis and the ordinates x = -2 and x = 1 is (A) -9 (B) \frac{-15}{4} (C) \frac{15}{4} (D) \frac{17}{4}(विविध प्रश्नावली, प्र. 4) वक्र y = x^3, x-अक्ष और कोटियों x = -2 तथा x = 1 से घिरा क्षेत्रफल है (A) -9 (B) \frac{-15}{4} (C) \frac{15}{4} (D) \frac{17}{4}(Misc. Exercise, Q4) Curve y = x^3, x-axis aur ordinates x = -2 aur x = 1 se ghira area hai (A) -9 (B) \frac{-15}{4} (C) \frac{15}{4} (D) \frac{17}{4}

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(D) \frac{17}{4}: \left|\int_{-2}^{0}x^3\,dx\right| + \int_0^1 x^3\,dx = |-4| + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}. (Option B is the plain integral \int_{-2}^{1}x^3\,dx, not the area.)(D) \frac{17}{4}: \left|\int_{-2}^{0}x^3\,dx\right| + \int_0^1 x^3\,dx = |-4| + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}। (विकल्प B केवल समाकल \int_{-2}^{1}x^3\,dx है, क्षेत्रफल नहीं।)(D) \frac{17}{4}: \left|\int_{-2}^{0}x^3\,dx\right| + \int_0^1 x^3\,dx = |-4| + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}. (Option B sirf integral \int_{-2}^{1}x^3\,dx hai, area nahi.)

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(Misc. Exercise, Q5) The area bounded by the curve y = x|x|, the x-axis and the ordinates x = -1 and x = 1 is (A) 0 (B) \frac{1}{3} (C) \frac{2}{3} (D) \frac{4}{3}(विविध प्रश्नावली, प्र. 5) वक्र y = x|x|, x-अक्ष और कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरा क्षेत्रफल है (A) 0 (B) \frac{1}{3} (C) \frac{2}{3} (D) \frac{4}{3}(Misc. Exercise, Q5) Curve y = x|x|, x-axis aur ordinates x = -1 aur x = 1 se ghira area hai (A) 0 (B) \frac{1}{3} (C) \frac{2}{3} (D) \frac{4}{3}

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(C) \frac{2}{3}: y = x^2 for x > 0 and y = -x^2 for x < 0; Area = \left|\int_{-1}^{0}(-x^2)\,dx\right| + \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.(C) \frac{2}{3}: x > 0 के लिए y = x^2 और x < 0 के लिए y = -x^2; क्षेत्रफल = \left|\int_{-1}^{0}(-x^2)\,dx\right| + \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}।(C) \frac{2}{3}: x > 0 ke liye y = x^2 aur x < 0 ke liye y = -x^2; area = \left|\int_{-1}^{0}(-x^2)\,dx\right| + \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

⚠️ Mistakes that cost marks⚠️ ग़लतियाँ जिनसे अंक कटते हैं⚠️ Galtiyan jinse marks katte hainThe options trap: in MCQs like Misc. Q4 and Q5, one option is usually the plain integral (like -\frac{15}{4} or 0). That is the "net" value, not the area. If the curve goes below the x-axis anywhere in the interval, the plain integral is NOT the answer.विकल्पों का जाल: विविध प्र. 4 और 5 जैसे बहुविकल्पी प्रश्नों में एक विकल्प प्रायः केवल समाकल होता है (जैसे -\frac{15}{4} या 0)। वह "शुद्ध" मान है, क्षेत्रफल नहीं। यदि अंतराल में कहीं भी वक्र x-अक्ष के नीचे जाता है, तो केवल समाकल उत्तर नहीं है।Options ka trap: Misc. Q4 aur Q5 jaise MCQs mein ek option aksar sirf integral hota hai (jaise -\frac{15}{4} ya 0). Wo "net" value hai, area nahi. Agar interval mein kahin bhi curve x-axis ke neeche jaata hai, to sirf integral answer NAHI hai.

Formula sheetसूत्र-पत्रFormula sheet

dA = y\,dx \quad (\text{vertical strip}),\qquad dA = x\,dy \quad (\text{horizontal strip})
Elementary area of one thin stripएक पतली पट्टी का प्रारंभिक क्षेत्रफलEk patli strip ka elementary area
A = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx
Curve y = f(x), x-axis, x = a, x = b (b > a)वक्र y = f(x), x-अक्ष, x = a, x = b (b > a)Curve y = f(x), x-axis, x = a, x = b (b > a)
A = \int_c^d x\,dy = \int_c^d \varphi(y)\,dy
Curve x = \varphi(y), y-axis, y = c, y = dवक्र x = \varphi(y), y-अक्ष, y = c, y = dCurve x = \varphi(y), y-axis, y = c, y = d
A = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \ \ (f \le 0),\qquad A = |A_1| + A_2
Curve below the x-axis / partly belowवक्र x-अक्ष के नीचे / कुछ भाग नीचेCurve x-axis ke neeche / kuch part neeche
\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C
The integral used for circles and ellipsesवृत्त और दीर्घवृत्त के लिए प्रयुक्त समाकलCircle aur ellipse ke liye use hone wala integral
x^2 + y^2 = a^2:\ \ A = 4\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \pi a^2
Area of a circle (Example 1)वृत्त का क्षेत्रफल (उदाहरण 1)Circle ka area (Example 1)
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1:\ \ A = \frac{4b}{a}\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \pi ab
Area of an ellipse (Example 2)दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल (उदाहरण 2)Ellipse ka area (Example 2)
\int_0^{2\pi} |\cos x|\,dx = \int_0^{2\pi} |\sin x|\,dx = 4
One full wave: four quarter-wave pieces of area 1 eachएक पूरी लहर: क्षेत्रफल 1 वाले चार चौथाई-लहर भागEk poori wave: area 1 wale chaar quarter-wave pieces

Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

Summary (NCERT). The area of the region bounded by the curve y = f(x), the x-axis and the lines x = a and x = b (b > a) is given by Area = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx. The area of the region bounded by the curve x = \varphi(y), the y-axis and the lines y = c, y = d is given by Area = \int_c^d x\,dy = \int_c^d \varphi(y)\,dy.सारांश (NCERT)। वक्र y = f(x), x-अक्ष और रेखाओं x = a तथा x = b (b > a) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल, क्षेत्रफल = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx से प्राप्त होता है। वक्र x = \varphi(y), y-अक्ष और रेखाओं y = c, y = d से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल, क्षेत्रफल = \int_c^d x\,dy = \int_c^d \varphi(y)\,dy से प्राप्त होता है।Summary (NCERT). Curve y = f(x), x-axis aur lines x = a aur x = b (b > a) se ghire region ka area, Area = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx se milta hai. Curve x = \varphi(y), y-axis aur lines y = c, y = d se ghire region ka area, Area = \int_c^d x\,dy = \int_c^d \varphi(y)\,dy se milta hai.
Recipe in 4 steps. (1) Sketch the curve and the lines; shade the region. (2) Draw one strip: vertical (y\,dx) or horizontal (x\,dy). (3) Find the limits (where the region starts and ends; where the curve crosses the axis, split). (4) Integrate each piece and add absolute values. Use symmetry: circle and ellipse = 4 \times the first-quadrant part.4 चरणों की विधि। (1) वक्र और रेखाओं का चित्र बनाइए; क्षेत्र को छायांकित कीजिए। (2) एक पट्टी बनाइए: ऊर्ध्वाधर (y\,dx) या क्षैतिज (x\,dy)। (3) सीमाएँ ज्ञात कीजिए (क्षेत्र कहाँ शुरू और कहाँ खत्म होता है; जहाँ वक्र अक्ष को काटे, वहाँ तोड़िए)। (4) हर भाग का समाकलन कीजिए और निरपेक्ष मान जोड़िए। सममिति का उपयोग कीजिए: वृत्त और दीर्घवृत्त = 4 \times प्रथम चतुर्थांश वाला भाग।4 steps ki recipe. (1) Curve aur lines ka sketch banaiye; region shade kijiye. (2) Ek strip banaiye: vertical (y\,dx) ya horizontal (x\,dy). (3) Limits nikaliye (region kahan shuru aur kahan khatam hota hai; jahan curve axis ko kaate, wahan todiye). (4) Har part ko integrate kijiye aur absolute values jodiye. Symmetry use kijiye: circle aur ellipse = 4 \times first quadrant wala part.

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